(Luận Văn Thạc Sĩ) Dạy Toán Theo Hướng Tiếp Cận Phát Triển Năng Lực Biểu Diễn Toán Học Ở Lớp 10 Thpt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NÔNG THỊ PHƯƠNG DẠY TOÁN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NƠNG THỊ PHƯƠNG DẠY TỐN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT Ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Thái Lai THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hồn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình PGS.TS Đào Thái Lai nhiều thầy, cô giáo Những kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nơng Thị Phương i LỜI CẢM ƠN Luận văn “Dạy toán theo hướng tiếp cận phát triển lực biểu diễn toán học lớp 10 THPT” hoàn thành kết trình học tập nghiên cứu tác giả với hướng dẫn tận tình nhiều thầy cô, giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đào Thái Lai, người tận tình hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy khoa tốn trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên quan tâm tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin gửi lời biết ơn đến quý tác giả cơng trình, báo, luận văn, luận án mà tác giả dùng làm tài liệu nghiên cứu, tham khảo cho luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè động viên, tạo điều kiện, giúp đỡ mặt để hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót cần góp ý sửa chữa Tác giả mong nhận ý kiến, góp ý thầy giáo, giáo bạn bè, đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Nông Thị Phương ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục chữ viết tắt iv Danh mục bảng v Danh mục hình vi MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học 4 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Quan niệm lực, lực toán học 1.1.1 Năng lực 1.1.2 Năng lực toán học 1.2 Năng lực biểu diễn toán học 1.2.1 Biểu diễn toán học 1.2.2 Biểu diễn tốn học mơn tốn THPT 17 1.2.3 Đặc điểm biểu diễn toán học sách giáo khoa toán 10 19 1.2.4 Năng lực biểu diễn toán học 27 1.2.5 Các mức độ, thành tố lực biểu diễn toán học 28 1.2.6 Ảnh hưởng lực biểu diễn toán học kết học tập mơn tốn học sinh THPT 30 1.3 Ngơn ngữ tốn học 32 iii 1.3.1 Ngôn ngữ, ngơn ngữ tốn học 32 1.3.2 Ngơn ngữ tốn học sách giáo khoa toán 10 36 1.3.3 Năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học 38 1.4 Mối quan hệ lực BDTH với lực sử dụng NNTH lực GTTH 39 1.4.1 Mối quan hệ lực BDTH lực sử dụng NNTH 39 1.4.2 Mối quan hệ lực BDTH lực GTTH 40 1.5 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ hoạt động học tập HS lớp 10 41 1.5.1 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ học sinh lớp 10 41 1.5.2 Đặc điểm hoạt động học tập học sinh lớp 10 42 1.6 Khảo sát thực trạng vấn đề phát triển lực BDTH dạy học toán 10 trường THPT 43 1.6.1 Mục đích khảo sát 43 1.6.2 Đối tượng khảo sát 43 1.6.3 Nội dung khảo sát 43 1.6.4 Phương pháp khảo sát 43 1.6.5 Kết khảo sát 43 1.7 Kết luận chương 47 Chương BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN 10 THPT 49 2.1 Định hướng đề xuất biện pháp phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học toán 10 THPT 49 2.2 Biện pháp phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học toán 10 THPT 51 2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức cho HS hoạt động nhận biết, hiểu sử dụng dạng biểu diễn đối tượng, quan hệ bước biến đổi toán học 51 iv 2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức cho HS hoạt động liên kết, biến đổi tạo BDTH trình tư để biểu diễn biểu diễn để tư 64 2.2.3 Biện pháp 3: Xây dựng tổ chức hoạt động học tập theo hướng tăng cường hoạt động BDTH 72 2.3 Kết luận chương 82 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 84 3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 84 3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 100 3.4 Kết thực nghiệm sư phạm 101 3.4.1 Đánh giá định tính 101 3.4.2 Đánh giá định lượng 102 3.5 Kết luận chương 105 KẾT LUẬN 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO 108 PHỤ LỤC 112 v DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ HS Học sinh GV Giáo viên BDTH Biểu diễn toán học GTTH Giao tiếp toán học SGK Sách giáo khoa SBT Sách tập NNTN Ngôn ngữ tự nhiên NNTH Ngơn ngữ tốn học THCS Trung học sở THPT Trung học phổ thơng CTGD Chương trình giáo dục PISA Programme for International Student Assessment (Chương trình đánh giá học sinh quốc tế) NCTM Hội giáo viên Toán Hoa Kỳ vi DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Xét dấu nhị thức f(x) = ax + b 11 Bảng 1.2: Khối lượng nhóm cá mè thứ 18 Bảng 1.3: Khối lượng nhóm cá mè thứ 19 Bảng 1.4: Bảng minh họa định lí dấu tam thức bậc hai 31 Bảng 1.5 32 Bảng 1.6: Ý kiến GV việc bồi dưỡng lực BDTH cho HS 43 Bảng 1.7: Nhận xét GV khả hiểu sử dụng NNTH BDTH HS lớp 10 44 Bảng 1.8: Tự nhận xét hs lớp 10 khả hiểu sử dụng NNTH BDTH 44 Bảng 1.9: GV đánh giá khả sử dụng bdth học tập 45 Bảng 1.10: GV nhận xét việc sử dụng bdth học toán 46 Bảng 2.1: Khối lượng 30 củ khoai tây thu hoạch nông trường T 66 Bảng 2.2: Bảng phân bố tần số, tần suất khối lượng 30 củ khoai tây 67 Bảng 2.3: Bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp khối lượng 30 củ khoai tây 68 Bảng 2.4: Phân tích đại lượng 75 Bảng 3.1: Kết hai lớp trước thực nghiệm 103 vii DANH MỤC HÌNH, BIỂU ĐỒ Hình 1.1: Minh họa nội dung định lí dấu nhị thức f(x)=ax+b đồ thị 11 Hình 1.2: Minh họa biểu diễn hình vẽ 13 Hình 1.3: Minh họa biểu diễn công cụ hỗ trợ 14 Hình 1.4: Biểu diễn khơng tiêu chuẩn 16 Hình 1.5: Minh họa biểu diễn bên 17 Hình 1.6: Biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn 3x 2y = 21 Hình 1.7: Minh họa tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn 22 Hình 1.8: Biểu diễn hình học miền nghiệm bất phương trình bậc Hình 1.9: hai ẩn 2x + y ≤ 22 (Nguồn: SBT Đại số 10) 24 Hình 1.10: (Nguồn: SBT Đại số 10) 24 Hình 1.11: Minh họa miền nghiệm Graph 27 Hình 1.12: Minh họa hình học dấu tam thức bậc hai 31 Hình 1.13: (Nguồn: SBT Đại số 10) 34 Hình 1.14: Giá trị lượng giác góc đặc biệt 38 Hình 2.1 56 Hình 2.2: Cổng parabol trường Đại học Bách khoa Hà Nội 56 Hình 2.3 57 Hình 2.4 58 Hình 2.5 60 Hình 2.6 62 Hình 2.7 63 Hình 2.8 64 Hình 2.9 68 Hình 2.10 68 Hình 2.11 68 viii Phụ lục BÀI KIỂM TRA TRƯỚC THỰC NGHIỆM Câu 1: Cho hình vẽ mơ tả đồ thị vận tốc v (m/s) theo thời gian t (s) xe lộ trình ngắn 45s a) Vận tốc xe giây thứ 10 bao nhiêu? b) Vận tốc tối đa (m/s) xe quãng đường là: A.20 B 25 C 30 D 35 c) Viết biểu thức vận tốc v theo thời gian khoảng thời gian từ [5; 15] d) Tính độ dài quãng đường mà xe di chuyển từ lúc người lái đạp chân phanh để giảm tốc độ ? Nêu phương pháp giải trình bày lời giải Câu 2: Cho hình vẽ sau: a) Đặt đề phù hợp với hình vẽ b) Nêu phương pháp giải c) Trình bày lời giải Phụ lục ĐỀ KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM Câu 1: Cho quỹ đạo chuyển động sau: a) Đặt đề toán theo quỹ đão cho (gợi ý: cho tìm) b) Hãy tìm hàm số bậc hai mơ tả quỹ đạo chuyển động Nêu phương pháp giải trình bày lời giải Câu 2: Cho đồ thị hàm số sau, cho biết: Điểm A B đồ thị có tọa độ ? Tìm thêm số điểm thuộc đồ thị ? Đồ thị hàm số: Câu 3: Bài toán cầu Gateshead Millennium (Anh) Cầu Gateshead Millennium (Anh) cầu có dạng parabol bề lõm quay xuống Giả sử lập hệ tọa độ Oxy cho chân cầu qua gốc O (x y(m)) chân cầu bên vị trí có tọa độ (162; 0) Biết điểm A thân cổng có tọa độ (10; 43) Hãy tính tọa độ điểm cao cầu Phụ lục BIỂU DIỄN TOÁN HỌC TRONG MỘT SỐ NỘI DUNG CỦA ĐẠI SỐ 10 Chương 1: Mệnh đề Tập hợp Mệnh đề: (mệnh đề chưa biến, phủ định mệnh đề, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương) Có hai cách đưa mệnh đề, GV nên rèn luyện cho HS cách biểu diễn thứ để HS dễ dàng tìm mệnh đề chứa biến, phủ định mệnh đề, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương C1: (Dùng NNTN) C2: (Dùng NNTH) Ví dụ: Cách P: “a số nguyên” P: “ABC tam giác đều” Cách P: 𝑎 ∈ ℤ P: ∆𝐴𝐵𝐶; 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶; 𝐴̂ = 𝐵̂ = 𝐶̂ = 600 Kí hiệu ∀ ∃: rèn luyện cho HS cách chuyển đổi hai biểu diễn, HS thành thạo làm tập chuyển đổi từ NNTN sang NNTH với thuật ngữ, kí hiệu xác Ví dụ: NNTN: “Có số nguyên nhỏ 0” NNTH: ∃ 𝑛 ∈ ℤ: 𝑛 < Các tập 5, SGK Đại số 10 Tập hợp:  Các cách xác định tập hợp: C1: liệt kê phần tử C2: tính chất đặc trưng cho phần tử Ví dụ: 1) Tập số tự nhiên chia hết cho nhỏ 20 C1: A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} C2: A= {𝑥 ∈ ℕ/ x < 20, x⋮3} 2) Tập hợp B nghiệm phương trình 2x2-5x+3=0 gồm có phần tử C1: B = {x∈ ℝ/2x2-5x+3=0} C2: B= {1; }  Tập hợp con: Cách biểu diễn Cách biểu diễn Cách biểu diễn Tập hợp A tập A ⊂ 𝐵 hợp tập hợp B Tập hợp số ℤ ⊂ ℚ nguyên tập tập hợp số hữu tỉ  Các phép toán tập hợp Giao hai tập hợp Cách biểu diễn thứ 1: tập hợp C gồm phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B gọi giao A B Cách biểu diễn thứ 2: C = A∩B Cách biểu diễn thứ 3: Hợp hai tập hợp Cách biểu diễn thứ 1: tập hợp C gồm phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp A B Cách biểu diễn thứ 2: C = A∪B Cách biểu diễn thứ 3: Hiệu hai tập hợp Cách biểu diễn thứ 1: tập hợp C gồm phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B Cách biểu diễn thứ 2: C = A∖B = {x/x∈ 𝐴 𝑣à 𝑥 ∉ 𝐵} Cách biểu diễn thứ 3: Phần bù hai tập hợp Cách biểu diễn thứ 1: Khi B⊂A A∖B gọi phần bù B A Cách biểu diễn thứ 2: CAB Cách biểu diễn thứ 3:  Các tập hợp số Biểu diễn mối quan hệ tập hợp số C1: C2: ℕ∗ ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ  Các tập hợp thường dùng ℝ Cách biểu diễn thứ Cách biểu diễn thứ Khoảng từ a đến b Cách biểu diễn thứ (a;b)={x∈ ℝ/𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Khoảng từ a đến +∞ (a;+ ∞)={x∈ ℝ/𝑎 < 𝑥} Khoảng từ -∞ đến b Đoạn từ a đến b (- ∞; b)={x∈ ℝ/𝑥 < 𝑏} [a; b]={ x∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Nửa khoảng từ a đến [a; b)={ x∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} b Qua số cách biểu diễn trên, HS rèn luyện dễ dàng hoàn thiện tập xác định tập hợp biểu diễn tập hợp trục số tập 1, 2, SGK Đại số 10 trang 18 Chương 2: Hàm số bậc bậc hai  Cách cho hàm số( tương ứng cách biểu diễn) C1: Hàm số cho bảng C2: Hàm số cho biểu đồ C3: Hàm số cho công thức  Sự biến thiên hàm số: Với khái niệm hàm số đồng biến khoảng (a; b), GV đưa nhiều cách biểu diễn để HS rèn luyện ngôn ngữ, sử dụng kí hiệu lựa chọn cách phù hợp cho thân C1: hàm số f(x) gọi đồng biến khoảng (a; b) với x x2 thuộc khoảng (a; b): 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) C2: hàm số f(x) gọi đồng biến khoảng (a; b) ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓(𝑥2 ) 0, xuống a < 𝑏 2𝑎 𝑏 2𝑎 ; Parabol quay bề lõm lên  Chiều biến thiên hàm số bậc hai Nội dung định lí biểu diễn NNTH bảng, đồ thị, Tùy vào đặc điểm HS, GV lựa chọn cách biểu diễn toán học phù hợp Chương 3: Phương trình Hệ phương trình Đối với nội dung phương trình, hệ phương trình, BDTH sử dụng chủ yếu nêu định nghĩa phương trình, hệ phương trình minh họa, biểu diễn tập nghiệm phương trình, hệ phương trình Tập nghiệm phương trình biểu diễn qua tập hợp, qua dạng công thức, kí hiệu tốn học, qua bảng hay đồ thị Ví dụ: định nghĩa hệ phương trình bậc ba ẩn theo NNTH: Hệ phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 {𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 Trong x, y, z ba ẩn; chữ lại hệ số Mỗi ba số (xo; yo; zo) nghiệm ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ phương trình Ví dụ: giải phương trình √3 − 𝑥 + 𝑥 = √3 − 𝑥 + ta nghiệm x=1 hay tập nghiệm phương trình tập A={1} Ví dụ: Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn: 3x - 2y = Cách biểu diễn 1:Tập nghiệm A ={(x; y)/ 3x - 2y = 7} Cách biểu diễn 2: X -2 -1 Y -13/2 -5 -7 -2 -1/2 Cách biểu diễn 3: Bên cạnh đó, dạng phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối chuyển đổi thành dạng biểu diễn tương đương giúp HS dễ dàng giải tìm nghiệm phương trình 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) Ví dụ trường hợp |𝑓(𝑥)|=g(x) chuyển thành [−𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)=−𝑔(𝑥) trường hợp |𝑓(𝑥)|=-g(x) chuyển thành [−𝑓(𝑥)=−𝑔(𝑥) Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình NNTH sử dụng nhiều nêu nội dung định nghĩa, khái niệm bất đẳng thức, bất phương trình bất đẳng thức hệ quả, bất đẳng thức tương đương, bất đẳng thức cô – si hệ quả, khái niệm bất phương trình ẩn, hệ bất phương trình ẩn,  Các tính chất BĐT tóm tắt biểu diễn bảng:  Dấu nhị thức bậc Định lí dấu nhị thức bậc phát biểu dạng biểu diễn ngôn ngữ, kí hiệu: Nhị thức f(x)=ax+b có giá trị dấu với hệ số a x lấy giá trị −𝑏 khoảng ( 𝑎 ; +∞), trái dấu với hệ số a x lấy giá trị khoảng (-∞; Minh họa bảng: −𝑏 Minh họa trục số Minh họa đồ thị  Bất phương trình bậc hai ẩn – Hệ bất phương trình bậc hai ẩn 𝑎 ) Bất phương trình bậc hai ẩn, hệ bất phương trình bậc hai ẩn thường có vơ số nghiệm nên để mơ tả nghiệm chúng người ta thường sử dụng BDTH, cụ thể biểu diễn hình học Ví dụ: Miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn 2x + y ≤ Cách 1: A = {M(x0; y0)|2𝑥0 + 𝑦0 ≤ 3} Cách 2: biểu diễn hình học  Dấu tam thức bậc hai Định lí dấu tam thức bậc hai (SGK Đại số 10, trang 101) Đầu tiên định lí phát biểu dạng biểu diễn ngơn ngữ, kí hiệu: Cho f(x) = ax2 + bx +c (a ≠0), ∆ = b2 – 4ac Nếu ∆ < f(x) ln dấu với hệ số a, với x ∈ ℝ Nếu ∆ = f(x) ln dấu với hệ số a, trừ x = − 𝑏 2𝑎 Nếu ∆ > f(x) dấu với hệ số a x < x1 x > x2, trái dấu với hệ số a x1 < x < x2 x1, x2, (x1 < x2) hai nghiệm f(x) Minh họa bảng: ∆0 f(x) = ax2 + bx +c (a ≠0), ∆ = b2 – 4ac f(x) dấu với a, ∀ 𝑥 ∈ ℝ −𝑏 f(x) dấu với a, ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∖ { } f(x) dấu với a f(x) trái dấu với a Trong đó: x1, x2, (x1 < x2) hai nghiệm f(x) Minh họa hình học: (SGK Đại số, trang 102) 2𝑎 x < x1 x > x2 x1 < x < x2 Chương 5: Thống kê Trong chương này, BDTH sử dụng chủ yếu thống kê, trình bày số liệu thu thập để giải tối ưu yêu cầu tốn Các số liệu thu thập biểu diễn bảng phân bố tần số tần suất (tùy theo yêu cầu bài), biểu diễn biểu đồ hình cột hay đường gấp khúc, biểu đồ hình quạt, tùy vào lực toán học thân mà HS có lựa chọn biểu diễn phù hợp để giải u cầu tốn nhanh xác Ví dụ: cho bảng chiều cao 36 HS (SGK ĐS 10, trang 111) 158 152 156 158 168 160 170 166 161 160 172 173 150 167 165 163 158 162 169 159 163 164 161 160 164 159 163 155 163 165 154 161 164 151 164 152 Yêu cầu: nêu nhận xét chiều cao 36HS Đa số HS có chiều cao bao nhiêu? Để giải yêu cầu bài, HS cần xử lí số liệu cách lập bảng tần số tần suất ghép lớp Từ bảng, nhiều HS đưa kết để dễ dàng nên vẽ biểu đồ tần suất hình cột Ngồi ra, cịn tốn xử lí số liệu dạng phần trăm hay cho bảng phân bố tần số, tần suất, tùy yêu cầu ta cần chọn cách biểu diễn phù hợp dạng đường gấp khúc, biểu đồ hình cột, biểu đồ quạt, Như tập 2, SGK ĐS 10, trang112 Chương 6: Cung góc lượng giác Công thức lượng giác NNTH sử dụng nhiều nêu nội dung khái niệm đường tròn định hướng, cung lượng giác, góc lượng giác,  BDTH cung lượng giác: 25𝜋 C1: Cung lượng giác AM có số đo 25𝜋 ↷ C2: sđ 𝐴𝑀 =- 4 C3: Biểu diễn đường tròn lượng giác  Giá trị lượng giác cung Cách 1: Biểu diễn sử dụng kí hiệu tốn học ̅̅̅̅ ; cos 𝛼 = ̅̅̅̅ sin 𝛼 = 𝑂𝐾 𝑂𝐻; tan 𝛼 = sin 𝛼 cos 𝛼 (cos 𝛼 ≠ 0); cot 𝛼 = cos 𝛼 sin 𝛼 (sin 𝛼 ≠ 0) ↷ ̅̅̅̅ = 𝑥; M=(x;y) = 𝛼 ; ̅̅̅̅ 𝑂𝐾 = 𝑦; 𝑂𝐻 𝐴𝑀 Cách 2: Biểu diễn ngôn ngữ Trong đó:sđ Trên đường trịn lượng giác cho cung ↷ ↷ = 𝛼 có sđ 𝐴𝑀 𝐴𝑀 Tung độ y = ̅̅̅̅ 𝑂𝐾 điểm M gọi sin 𝛼 Hoành độ x = ̅̅̅̅ 𝑂𝐻 điểm M gọi cos 𝛼 Nếu cos 𝛼 ≠ 0, tỉ số kí hiệu tg 𝛼) Nếu sin 𝛼 ≠ 0, tỉ số dùng kí hiệu cotg 𝛼) sin 𝛼 gọi tang 𝛼 kí hiệu tan 𝛼 (người ta cịn dùng cos 𝛼 gọi cơtang 𝛼 kí hiệu cot 𝛼 (người ta cos 𝛼 sin 𝛼 Cách 3: Biểu diễn hình vẽ minh họa  BDTH tan 𝛼 hay cot 𝛼: tan 𝛼 = sin 𝛼 cos 𝛼 (cos 𝛼 ≠ 0); cot 𝛼 = ̅̅̅̅; cot 𝛼 = 𝐵𝑆 ̅̅̅̅ Tan 𝛼 = 𝐴𝑇 cos 𝛼 sin 𝛼 (sin 𝛼 ≠ 0)