Báo cáo bài tập lớn ứng dụng svd vào nén dữ liệu

Tầm quan trọng của vấn đề nén ảnh có thể thấy rõ qua các số liệu cụ thể: với một bức ảnh trắng đen kích thước 512x512 pixels, mỗi pixel được biểu diễn bởi 8 bits biểu diễn một trong 256

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ỨNG DỤNG SVD VÀO NÉN DỮ LIỆU Môn : Đại số tuyến tính GVDH: thầy Đặng Văn Vinh Lớp: P03 - Nhóm: rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr Page of 15 Danh Sách Thành Viên Nhóm Lý Khánh Tồn 2353193 Le Quốc Ngun Giáp 2310835 Lê NGuyễn Anh Khôi 2311670 Nghê Hiếu TIến 2313430 Lưu Minh Đạt 2310658 Page of 15 LỜI NÓI ĐẦU Mục đích việc nén ảnh số mã hố liệu ảnh dạng thu gọn, tối thiểu hoá số bit dùng để biểu diễn ảnh lẫn sai khác trình nén gây Tầm quan trọng vấn đề nén ảnh thấy rõ qua số liệu cụ thể: với ảnh trắng đen kích thước 512x512 pixels, pixel biểu diễn bits (biểu diễn 256 giá trị mức xám), cần khoảng 256 Kbytes liệu Với ảnh màu cần gấp ba lần số Với liệu video, cần 25 frames giây, đoạn video 30s phải cần đến 540MB liệu, số lớn Do vấn đề nén ảnh cần thiết Nói chung, phương pháp nén ảnh chủ yếu phân thành nhóm: nhóm khơng tổn hao nhóm có tổn hao Các phương pháp nén ảnh khơng tổn hao cho phép biểu diễn ảnh với chất lượng hoàn toàn ngang với ảnh gốc Các phương pháp dựa giải thuật nén áp dụng cho tất đối tượng liệu nói chung khơng riêng liệu ảnh, ví dụ mã Hu 昀昀 man, mã số học, mã Golomb, Tuy nhiên, phương pháp không lợi dụng đặc tính riêng liệu ảnh tỷ lệ nén thấp Do đó, thực tế, phương pháp nén có tổn hao phương pháp sử dụng chủ yếu Với phương pháp này, có đánh đổi dung lượng ảnh với chất lượng ảnh Page of 15 MỤC LỤC CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT  1.1 Giới thiệu chung phương pháp phân tích suy biến SVD  1.2 Mục tiêu .5  1.3 Cơ sở toán học .6  1.3.1 Định nghĩa .6  1.3.2 Cách phân tích SVD ma trận  1.3.3 Ví dụ CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG SVD TRONG NÉN ẢNH  2.1 Phương pháp nén ảnh  2.2 Ví dụ phương pháp  2.3 Chú thích lệnh python sử dụng 10  2.4 Đoạn code Python 11  2.5 Ví dụ ảnh qua xử lí…………………………………………………………13 Page of 15 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Giới thiệu chung phương pháp phân tích suy biến SVD Phương pháp phân tích suy biến ( singular value decomposition) viết tắt SVD phương pháp thuộc nhóm matrix factorization phát triển lần đầu nhà hình học vi phân Ban đầu mục đích phương pháp tìm phép xoay khơng gian cho tích vơ hướng vector không thay đổi Từ mối liên hệ khái niệm ma trận trực giao hình thành để tạo phép xoay đặc biệt Phương pháp SVD phát triển dựa tính chất ma trận trực giao ma trận đường chéo để tìm ma trận xấp xỉ với ma trận gốc Phương pháp sau ứng dụng rộng rãi lĩnh vực hình học vi phân, hồi qui tuyến tính, xử lý hình ảnh, clustering, thuật toán nèn giảm chiều liệu 1.2 Mục tiêu Phương pháp SVD tìm lớp ma trận xấp xỉ tốt với ma trận cho trước dựa khoảng cách norm Frobenios ma trận Người ta chứng minh ma trận xấp xỉ tốt biểu diễn dạng tích ma trận đặc biệt bao gồm ma trận trực giao (orthogonal matrix) ma trận đường chéo (diagonal matrix) Quá trình nhân ma trận thực chất trình biến đổi điểm liệu ma trận gốc thông qua phép xoay trục (rotation) phép thay đổi độ lớn (scaling) từ tạo điểm liệu không gian Điều đặc biệt ma trận đường chéo phần tử giá trị riêng ma trận gốc Những điểm liệu khơng gian giữ 100% thông tin ban đầu giữ phần lớn thông tin liệu ban đầu thông qua phép truncate SVD Bằng cách xếp trị riêng theo thứ tự giảm dần đường chéo thuật tốn SVD thu ma trận xấp xỉ tốt mà đảm bảo giảm hạng ma trận sau biến đổi kích thước ma trận nhân tử nằm giới hạn cho phép Do tiết kiệm thời gian chi phí tính tốn đồng thời tìm giá trị dự báo cho ma trận gốc với mức độ xác cao Page of 15 1.3 Cơ sở tốn học phân tích SVD: Mọi ma trận phân tích thành ma trận nhân tử biểu diễn dạng sau: A = QPT Với: A ma trận thực cho trước cỡ mxn có r(A) = r Q P hai ma trận có họ vector cột họ trực chuẩn Q=(q1q2…|qn) , P=(p1p2…|pn)  = D ⋱ 0 ma trận cỡ mxn với D ma trận chéo có phần tử đường chéo: 1, 2, ,r giá trị riêng ma trận A Khi ma trận A ghi dạng A= 1q1p1T+2q2p2T+…+rqrprT Từ ta có phân tích gọn A gọi Compact SVD A=QrDPr Qr, Pr ma trận tạo từ cột Q P tương ứng.Ta giữ vài mcó giá trị cao scó giá trị xấp xỉ bỏ qua Khi A≈AK=1q1p1T+2q2p2T+…+kqkpkT Và sai số xấp xỉ: A-Ak= k+12+k+22+…+r2 Page of 15 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG SVD TRONG NÉN ẢNH 2.1.Phương pháp nén ảnh: Đối với hình ảnh xem ma trận nhiều chiều, với chiều liệu Gọi ma trận A (mxn) Bằng phương pháp SVD ma trận A phân tích thành phương trình ma trận sau: Với U ma trận vuông vecto riêng bên trái cỡ mxm VT ma trận vuông vecto riêng bên phải cỡ nxn Σ ma trận trị số (singular value matrix) cỡ mxn -Khi (1) viết thành (2) *Phương pháp xấp xỉ hạng thấp ảnh (Low rank approximation of image) Các vecto riêng sigma sấp theo ma trận đường chéo -Từ (2) tổng ma trận hạng có dạng: Page of 15 Các trị riêng xếp theo thứ tự giảm dần, ta xấp xỉ A cách bỏ thành phần ảnh tương ứng với giá trị đơn có giá trị nhỏ gần Do số hạng phía sau có ảnh hưởng đến ảnh bỏ số hạng này, ảnh không nhiều thông tin thay chúng 2.2.Ví dụ phương pháp: Cho ma trận ảnh trắng đen Page of 15 Hình 1,2 Phân tích ma trận thành SVD Ta thấy ma trận sigma có giá trị riêng sấp theo thứ tự giảm dần khác tổng số hạng số cột khác sigma ảnh lúc rõ so với ảnh gốc với sối bé i=4 Hình Độ nét ảnh qua tổng thứ 1,2,3 Với i>4 ảnh không thay đổi độ nét cột sau Ϭ(i>=4) = nên ta bỏ qua Khi số chiều ảnh giảm xuống đồng nghĩa liệu giảm chất lượng không đổi => ta nén ảnh Page of 15 2.3.Chú thích lệnh Python sử dụng: Page 10 of 15 2.4 Đoạn codePython: Page 11 of 15 Page 12 of 15 Page 13 of 15 2.5 Ví dụ ảnh qua xử lí: Page 14 of 15 Page 15 of 15