luận văn thạc sĩ một số vấn đề về môđun vi phân kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN NGUYN TH NGC VN MT S VN ă VỀ MƠĐUN VI PHÂN KAHLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN NGUYN TH NGC VN MT S VN ă VỀ MÔĐUN VI PHÂN KAHLER Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS PHẠM THÙY HƯƠNG download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun 1.2 Dãy khớp 1.3 Tích tenxơ 1.4 Đại số 1.5 Địa phương hóa ă MễUN VI PHÂN KAHLER 10 2.1 Đạo hàm 10 2.2 Mụun vi phõn Kăahler 15 2.3 Hai dãy khớp 22 2.4 Địa phương húa ca mụun vi phõn Kăahler 34 2.5 Một áp dụng dãy khớp thứ hai 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler M u Lý thuyt vi phõn Kăahler l mt lnh vực đại số hình học nhận quan tâm nghiên cứu nhà tốn học Nó có nhiều áp dụng đại số giao hốn, hình học đại số số lĩnh vực khác toỏn hc Mụun vi phõn Kăahler tỏc ng quan trng đến tính chất vành, chẳng hạn qua kết nối với tính quy Do đó, việc tìm hiu mt s v mụun vi phõn Kăahler cần thiết tiền đề cho việc nghiên cứu tốn liên quan Luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo bao gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị đại số giao hoán dùng luận văn Các kết chương trích dẫn từ [1], [3] Chương tìm hiểu trình bày số vấn đề mơđun vi phõn Kăahler, bao gm khỏi nim o hm, s xõy dng mụun vi phõn Kăahler, hai dóy khp c bn ca cỏc mụun vi phõn Kăahler, a phng húa ca mụun vi phõn Kăahler, v mt minh cho s kt ni ca mụun vi phõn Kăahler vi tớnh quy vành Các kết chương tham khảo từ tài liệu [2], [4], [5], [6], [7], [8], [9] luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Phạm Thùy Hương Qua xin gởi lời cảm ơn sâu sắc kính trọng đến Cơ, người tận tình giúp đỡ suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đồng thời, chân thành cảm ơn đến quý thầy, cô dày công giảng dạy suốt hai năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Chúng tơi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người động viên giúp đỡ trình làm luận văn Mặc dù chúng tơi cố gắng q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn, vành giả thiết vành giao hốn có đơn vị Chương trình bày số kiến thức đại số giao hoán sử dụng luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [3] 1.1 Môđun Cho R vành Định nghĩa 1.1.1 Một R-mơđun nhóm cộng abel M với ánh xạ R × M → M , (a, x) 7→ ax với a ∈ R x ∈ M , thỏa mãn điều kiện sau với a, b ∈ R x, y ∈ M : a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx, (ab)x = a(bx), 1x = x luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler Định nghĩa 1.1.2 Cho M N R-môđun Một ánh xạ f : M → N gọi đồng cấu R-môđun hay R-đồng cấu với x, y ∈ M a ∈ R, ta có f (x + y) = f (x) + f (y), f (ax) = af (x) Cho M N R-môđun Tập hợp tất đồng cấu R-môđun từ M đến N ký hiệu HomR (M, N ) Tập hợp HomR (M, N ) R-môđun với phép cộng phép nhân cho bởi: với f, g ∈ HomR (M, N ) a ∈ R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), (af )(x) = af (x) với x ∈ M Một đồng cấu R-môđun f gọi đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh) Cho f : M → N đồng cấu R-môđun Các tập hợp Imf := f (M ) Kerf := {x ∈ M |f (x) = 0} = f −1 (0) tương ứng môđun N M 1.2 Dãy khớp Định nghĩa 1.2.1 Cho n ∈ N, n ≥ Một dãy ϕ1 ϕ2 ϕn−1 M1 → M2 → · · · → Mn luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler R-môđun M1 , , Mn đồng cấu R-môđun ϕi : Mi → Mi+1 với i = 1, , n − gọi khớp Imϕi−1 = Kerϕi với i ∈ {1, 2, , n − 1} Mệnh đề 1.2.2 Một dãy R-môđun ϕ1 ϕ2 M1 → M2 → M3 → khớp với R-môđun M , dãy R-môđun ϕ∗ ϕ∗ → HomR (M3 , M ) →2 HomR (M2 , M ) →1 HomR (M1 , M ) khớp, ϕ∗i (ϕ) = ϕ ◦ ϕi với i ∈ {1, 2} 1.3 Tích tenxơ Định nghĩa 1.3.1 Cho M, N P R-môđun Một ánh xạ ϕ : M × N → P gọi R-song tuyến tính ánh xạ ϕ(x, ) : N → P, y 7→ ϕ(x, y), ϕ(., y) : M → P, x 7→ ϕ(x, y) R-đồng cấu với x ∈ M y ∈ N Định lý 1.3.2 Cho M N R-mơđun Khi tồn Rmơđun T ánh xạ R-song tuyến tính τ : M × N → T cho tính chất phổ dụng sau thỏa mãn Với R-môđun P ánh xạ R-song tuyến tính ϕ : M ×N → P , tồn R-đồng cấu h : T → P cho h ◦ τ = ϕ, tức cho biểu đồ sau giao hoán M ×N τ ϕ /T $  ∃! h P luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler Hơn nữa, (T1 , τ1 ) (T2 , τ2 ) thỏa mãn tính chất phổ dụng, T1 T2 R-mơđun, τ1 : M × N → T1 τ2 : M × N → T2 ánh xạ R-song tuyến tính, tồn đẳng cấu f : T1 → T2 cho f ◦ τ1 = τ2 Định nghĩa 1.3.3 R-môđun T xác định Định lý 1.3.2 gọi tích tenxơ M N R, ký hiệu M ⊗ N = M ⊗ N = T R Với x ∈ M y ∈ N , ta viết x ⊗ y = τ (x, y) Mệnh đề 1.3.4 Cho R vành I iđêan R Khi với R-mơđun M , ta có (R/I) ⊗ M ∼ = M/IM R R/I-môđun 1.4 Đại số Cho R0 R vành, ϕ : R0 → R đồng cấu vành Với r0 ∈ R0 a ∈ R, ta định nghĩa r0 a = ϕ(r0 )a Khi vành R trở thành R0 -mơđun Cấu trúc R0 -mơđun tương thích với cấu trúc vành R, tức (r0 a)b = r0 (ab) với r0 ∈ R0 a, b ∈ R Định nghĩa 1.4.1 Vành R với cấu trúc R0 -môđun gọi R0 -đại số luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler Định nghĩa 1.4.2 Cho ϕ : R0 → R ψ : R0 → S hai đồng cấu vành Một đồng cấu R0 -đại số f : R → S đồng cấu vành mà đồng cấu R0 -môđun Chú ý 1.4.3 Với ký hiệu trên, f : R → S đồng cấu R0 -đại số biểu đồ sau giao hoán R0 ϕ / ψ R !  f , S tức ψ = f ◦ ϕ Cho R R0 R0 -đại số tương ứng định nghĩa đồng cấu vành ϕ : R0 → R ψ : R0 → R0 Khi R0 -mơđun R ⊗ R0 R0 vành với phép nhân định nghĩa X  X  X (ai ⊗ a0i ) (bj ⊗ b0j ) = (ai bj ⊗ a0i b0j ) i j i,j với , bj ∈ R a0i , b0j ∈ R0 Hơn nữa, R ⊗ R0 R0 -đại số, R0 định nghĩa đồng cấu vành R0 → R ⊗ R0 , r0 7→ ϕ(r0 ) ⊗ ψ(r0 ) R0 Mệnh đề 1.4.4 Cho R0 vành R R0 -đại số Cho M R0 -môđun N R-mơđun Khi ánh xạ ψ : HomR (R ⊗ M, N ) → HomR0 (M, N ) R0 f 7→ f ◦ γ, đẳng cấu R-môđun, γ : M → R ⊗ M cho quy R0 tắc γ(x) = ⊗ x với x ∈ M luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 30 Chứng minh Xét tương ứng d : R/I → M a 7→ d(a) với a ∈ R Trước hết ta chứng minh d ánh xạ Lấy a, b ∈ R/I cho a = b, a, b ∈ R Vì a−b ∈ I nên d(a)−d(b) = d(a−b) = Suy d(a) = d(a) = d(b) = d(b) Bây ta chứng minh d R0 -đạo hàm Thật vậy, lấy a, b ∈ R/I r0 ∈ R0 , a, b ∈ R Khi ta có d(a + b) = d(a + b) = d(a + b) = d(a) + d(b) = d(a) + d(b), d(r0 a) = d(r0 a) = d(r0 a) = r0 d(a) = r0 d(a), d(ab) = d(ab) = d(ab) = ad(b) + bd(a) = ad(b) + bd(a) = ad(b) + bd(a) Hơn nữa, với a ∈ R, ta có (d ◦ π)(a) = d(a) = d(a) Do d = d ◦ π  Định lý 2.3.8 (Dãy khớp thứ hai) Cho R0 vành R R0 -đại số Cho I iđêan R T = R/I Khi tồn dãy khớp T-môđun β α I/I → T ⊗ ΩR/R0 → ΩT /R0 → 0, R α(a) = 1⊗dR/R0 a β(t⊗dR/R0 b) = tdT /R0 b với a ∈ I, b ∈ R t ∈ T luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 31 Chứng minh Trước hết ta chứng minh α ánh xạ Thật vậy, giả sử a1 , a2 ∈ I cho a1 = a2 ∈ I/I , tức a1 − a2 ∈ I Suy tồn P n ∈ N\{0}, ui , vi ∈ I, i = 1, 2, , n cho a1 − a2 = ni=1 ui vi Khi ta có ⊗ dR/R0 (a1 − a2 ) = ⊗ dR/R0 n X ui vi  i=1 = = n X i=1 n X
⊗ (ui dR/R0 vi + vi dR/R0 ui )
(ui ⊗ dR/R0 vi ) + (vi ⊗ dR/R0 ui ) = i=1 Từ suy α(a1 ) = ⊗ dR/R0 a1 = ⊗ dR/R0 a2 = α(a2 ) Do α ánh xạ Rõ ràng α đồng cấu T -mơđun Tính phổ dụng tích tenxơ suy tồn đồng cấu T -môđun P β Ta chứng minh β toàn ánh Lấy x = ni=1 a0i dT /R0 ∈ ΩT /R0 , n ∈ N\{0}, , a0i ∈ R với i = 1, , n, ta có n n X  X β a0i ⊗ dR/R0 = β(a0i ⊗ dR/R0 ) = x i=1 i=1 Vậy β toàn ánh Theo Mệnh đề 1.2.2, ta cần chứng minh với M T -môđun, dãy T -môđun sau khớp β∗ α∗ HomT (ΩT /R0 , M ) → HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ) → HomT (I/I , M ) R Theo Mệnh đề 2.3.3, ta có đẳng cấu T -mơđun ϕ1 : HomT (ΩT /R0 , M ) → DerR0 (T, M ) Hơn nữa, ta có đẳng cấu T -môđun ϕ2 : HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ) → DerR0 (R, M ), R luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 32 ϕ2 = ϕ ◦ ψ, với ψ : HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ) → HomR (ΩR/R0 , M ) R ϕ : HomR (ΩR/R0 , M ) → DerR0 (R, M ) tương ứng xác định Mệnh đề 1.4.4 Hệ 2.3.5 Do ta cần chứng minh dãy T -môđun sau khớp φ χ DerR0 (T, M ) → DerR0 (R, M ) → HomT (I/I , M ), −1 ∗ φ = ϕ2 ◦ β ∗ ◦ ϕ−1 χ = α ◦ ϕ2 Trước hết, lấy δ ∈ DerR0 (T, M ) bất kỳ, ta chứng minh φ(δ) = δ ◦ π, π : R → R/I ánh xạ tắc Vì dT /R0 : T → ΩT /R0 R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn h ∈ HomT (ΩT /R0 , M ) cho δ = h ◦ dT /R0 Khi theo Chú ý 2.3.4, ϕ−1 (δ) = h Do
φ(δ) = ϕ2 ◦ β ∗ (h) = ϕ2 (h ◦ β) = (ϕ ◦ ψ)(h ◦ β) = ϕ(h ◦ β ◦ γ) = h ◦ β ◦ γ ◦ dR/R0 , γ : ΩR/R0 → T ⊗ ΩR/R0 , x 7→ ¯1 ⊗ x với x ∈ ΩR/R0 Từ R suy với a ∈ R, ta có (φ(δ))(a) = (h ◦ β ◦ γ ◦ dR/R0 )(a) = (h ◦ β)(¯1 ⊗ dR/R0 a) = h(dT /R0 a ¯) = (h ◦ dT /R0 )(¯ a) = δ(¯ a) = δ(π(a)) Vậy f (δ) = δ ◦ π Mặt khác, với d ∈ DerR0 (R, M ) bất kỳ, dR/R0 : R → ΩR/R0 R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn l ∈ HomR (ΩR/R0 , M ) cho d = l ◦ dR/R0 Ta có

∗ −1 −1 χ(d) = α∗ ◦ ϕ−1 (d) = α ◦ ψ ◦ ϕ (d) = α∗ (ψ −1 (l)) = α∗ (˜ γ ) = γ˜ ◦ α, luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 33 γ˜ ∈ HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ), γ˜ (t ⊗ x) = tl(x) với x ∈ ΩR/R0 R t ∈ T Bây ta chứng minh Imφ ⊆ Kerχ Với δ ∈ DerR0 (T, M ), theo chứng minh trên, ta có (χ ◦ φ)(δ) = χ(φ(δ)) = χ(δ ◦ π) Ta chứng minh χ(δ ◦ π) = Vì δ ◦ π ∈ DerR0 (R, M ) nên theo chứng minh trên, tồn l ∈ HomR (ΩR/R0 , M ) cho δ ◦ π = l ◦ dR/R0 Do với a ¯ ∈ I/I , a ∈ I, ta có χ(δ ◦ π)(¯ a) = (˜ γ ◦ α)(¯ a) = γ˜ (1 ⊗ dR/R0 a) = (l ◦ dR/R0 )(a) = (δ ◦ π)(a) = δ(¯ a) = Ngược lại, ta chứng minh Kerχ ⊆ Imφ Ta có Kerχ = {d ∈ DerR0 (R, M ) | χ(d) = 0} Lấy d ∈ Kerχ, theo chứng minh tồn l ∈ HomR (ΩR/R0 , M ) cho d = l ◦ dR/R0 Khi γ˜ ◦ α = χ(d) = Từ suy với a ∈ I, d(a) = (l ◦ dR/R0 )(a) = γ˜ (¯1 ⊗ dR/R0 a) = γ˜ (α(¯ a)) = Theo Bổ đề 2.3.7, tồn d ∈ DerR0 (T, M ) cho d = d ◦ π = φ(d) Vậy d ∈ Imφ  Cho R0 vành R R0 -đại số Cho I iđêan R Đặt d = dR/R0 ký hiệu RdI = n nX o dbi n ∈ N\{0}, ∈ R, bi ∈ I, i = 1, , n ⊆ ΩR/R0 i=1 Khi RdI R-môđun ΩR/R0 chứa IΩR/R0 Hơn nữa, ΩR/R0 /RdI R/I-môđun luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 34 Hệ 2.3.9 Với ký hiệu trên, ta có ΩT /R0 ∼ = ΩR/R0 /RdI T -mơđun, T = R/I Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.4, ta có đẳng cấu T -môđun γ : T ⊗ ΩR/R0 → ΩR/R0 /IΩR/R0 R cho γ(a ⊗ x) = ax với a ∈ R x ∈ ΩR/R0 Do đó, từ Định lý 2.3.8, ta có dãy khớp T -mơđun β˜ α ˜ I/I → ΩR/R0 /IΩR/R0 → ΩT /R0 → 0, α ˜ = γ ◦ α β˜ = β ◦ γ −1 với α β đồng cấu T -môđun dãy khớp thứ hai Ta có Im˜ α = RdI/IΩR/R0 Do  ΩT /R0 ∼ = (ΩR/R0 /IΩR/R0 ) (RdI/IΩR/R0 ) ∼ = ΩR/R0 /RdI T -mơđun 2.4  Địa phương hóa mơđun vi phõn Kă ahler Trong mc ny ta chng minh rng vic hỡnh thnh mụun vi phõn Kăahler l "giao hoỏn" với địa phương hóa Các kết mục tham khảo từ [7], [9] Trong mục ký hiệu d dùng thay cho dR/R0 , đạo hàm phổ dụng R R0 luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 35 Mệnh đề 2.4.1 Cho R0 vành R R0 -đại số Cho S ⊆ R tập nhân đóng Khi tồn R0 -đạo hàm δ˜ : S −1 R → S −1 ΩR/R0 a sda − ads 7→ s s2 cho biểu đồ sau giao hoán R d π1  ΩR/R0 π2 / / S −1 R  δ˜ , S −1 ΩR/R0 tức δ˜ ◦ π1 = π2 ◦ d Chứng minh Trước hết ta chứng minh δ˜ ánh xạ Giả sử mãn a s1 = b s2 , a b s1 , s2 ∈ S −1 R thỏa a, b ∈ R s1 , s2 ∈ S Khi tồn t ∈ S cho t(s2 a−s1 b) = Do = d(t(s2 a−s1 b)) = (s2 a−s1 b)dt+td(s2 a−s1 b) Suy = t2 d(s2 a − s1 b) = t2 (s2 da + ads2 − s1 db − bds1 ) Vì ts2 a = ts1 b nên   2 t s2 (s1 da − ads1 ) − s1 (s2 db − bds2 ) = t2 s22 s1 da − t2 s22 ads1 − t2 s21 s2 db + t2 s21 bds2 = t2 s22 s1 da − t2 s1 bs2 ds1 − t2 s21 s2 db + t2 s2 as1 ds2 = t2 s1 s2 (s2 da + ads2 − s1 db − bds1 ) = Do  a  s da − ads s2 db − bds2 ˜ b  1 ˜ δ = = =δ s1 s21 s22 s2 luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 36 Bây ta chứng minh δ˜ R0 -đạo hàm Lấy a b s1 , s2 ∈ S −1 R r0 ∈ R0 , ta có a b  ˜ s2 a + s1 b  s1 s2 d(s2 a + s1 b) − (s2 a + s1 b)d(s1 s2 ) ˜ δ + =δ = s1 s2 s1 s2 (s1 s2 )2 da ads1 db bds2 ˜ a  ˜ b  = +δ , − + − =δ s1 s1 s2 s2 s1 s2  a  s d(r a) − r ads  s da − ads  a 0 1 ˜ ˜ δ r0 = = r0 = r0 δ , s1 s21 s21 s1 a b  ab  d(ab) abd(s s ) ˜ ˜ δ =δ = − s1 s2 s1 s2 s1 s2 (s1 s2 )2 adb + bda abs1 ds2 abs2 ds1 = − − s1 s2 (s1 s2 )2 (s1 s2 )2  a db a bds2   b da b ads1  + − − = s1 s2 s1 s22 s2 s1 s2 s21 a ˜ b  b ˜ a  = δ + δ s1 s2 s2 s1 Cuối ta chứng minh δ˜ ◦ π1 = π2 ◦ d Thật vậy, với a ∈ R, ta có  a  1da − ad1 da ˜ ˜ = = = π2 (da) (δ ◦ π1 )(a) = δ 12 = (π2 ◦ d)(a)  Mệnh đề 2.4.2 Cho R0 vành, R R0 -đại số Cho S ⊆ R tập nhân đóng Khi ta có ΩS −1 R/R0 ∼ = S −1 ΩR/R0 S −1 R-môđun Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.1, ta có R0 -đạo hàm sda − ads a δ˜ : S −1 R → S −1 ΩR/R0 , → s s2 luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 37 với a ∈ R s ∈ S Đặt δ = dS −1 R/R0 Vì δ : S −1 R → ΩS −1 R/R0 R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn đồng cấu S −1 R-môđun h : ΩS −1 R/R0 → S −1 ΩR/R0 cho δ˜ = h ◦ δ Đặt d˜ = δ ◦ π1 , π1 : R → S −1 R, a 7→ a với a ∈ R Ta chứng minh d˜ : R → ΩS −1 R/R0 R0 -đạo hàm Thậy vậy, lấy a1 , a2 ∈ R r0 ∈ R0 , ta có       ˜ + a2 ) = (δ ◦ π1 )(a1 + a2 ) = δ a1 + a2 = δ a1 + δ a2 d(a 1 ˜ ) + d(a ˜ ), = (δ ◦ π1 )(a1 ) + (δ ◦ π1 )(a2 ) = d(a     ˜ a1 ) = (δ ◦ π1 )(r0 a1 ) = δ r0 a1 = r0 δ a1 = r0 (δ ◦ π1 )(a1 ) d(r 1 ˜ ), = r0 d(a a a  a a  a a  2 ˜ d(a1 a2 ) = (δ ◦ π1 )(a1 a2 ) = δ = δ + δ 1 1 ˜ ) + a2 d(a ˜ ) = a1 (δ ◦ π1 )(a2 ) + a2 (δ ◦ π1 )(a1 ) = a1 d(a Hơn nữa, d : R → ΩR/R0 R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn đồng cấu R-môđun g : ΩR/R0 → ΩS −1 R/R0 cho biểu đồ sau giao hoán R d / d˜ ΩR/R0 g , #  ΩS −1 R/R0 tức d˜ = g ◦ d Xét tương ứng l : S −1 ΩR/R0 → ΩS −1 R/R0 Pn n X  bi  i=1 dbi 7→ δ s s i=1 luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 38 với x = Pn dbi s i=1 ∈ S −1 ΩR/R0 , n ∈ N\{0}, , bi ∈ R với i = 1, , n s ∈ S Ta chứng minh l đồng cấu S −1 R-môđun l ánh xạ ngược h Trước hết, ta chứng minh l ánh xạ Giả −1 sử x, y ∈ S ΩR/R0 thỏa mãn x = y Ta có x = Pn i=1 dbi s1 Pm ,y = j=1 cj ddj s2 , n, m ∈ N\{0}, , bi , cj , dj ∈ R s1 , s2 ∈ S, i = 1, , n, j = 1, , m Khi tồn t ∈ S cho n m  X  X t s2 dbi − s1 cj ddj = i=1 j=1 Từ suy n m X  bi  X  dj  l(x) − l(y) = δ − cj δ s1 i=1 s2 j=1 n m X X = (δ ◦ π1 )(bi ) − cj (δ ◦ π1 )(dj ) s1 i=1 s2 j=1 n m X ˜ X ˜ d(bi ) − cj d(dj ) = s1 i=1 s2 j=1 n m  X  X ˜ ˜ = ts2 d(bi ) − ts1 cj d(dj ) ts1 s2 i=1 j=1 n m  X  X = ts2 (g ◦ d)(bi ) − ts1 cj (g ◦ d)(dj ) ts1 s2 i=1 j=1 n m  X   X g ts2 dbi − ts1 cj ddj = = ts1 s2 i=1 j=1 Bây ta chứng minh l đồng cấu S −1 R-môđun Thật vậy, với x, y ∈ S −1 ΩR/R0 , x, y as ∈ S −1 R, ta có ! Pn Pm s a db + s c dd j i=1 i i j=1 j l(x + y) = l s1 s2 ! n m b  X d  X i j = s δ + s1 cj δ s1 s2 i=1 1 j=1 luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 39 n m X  bi  X  dj  δ + cj δ = l(x) + l(y), = s1 i=1 s2 j=1 n a   Pn aa db  b  X i i i i=1 l x =l = aai δ s ss1 ss1 i=1 n a X  bi  a δ = l(x) = s s1 i=1 s Cuối cùng, ta chứng minh h ◦ l = IdS −1 ΩR/R0 l ◦ h = IdΩS−1 R/R Với −1 x ∈ S ΩR/R0 , x trên, ta có n n h1 X  b i b  X i i (h ◦ l)(x) = h δ = (h ◦ δ) s1 i=1 s1 i=1 n n X dbi X ˜ bi  = = x δ = s1 i=1 s1 i=1 Pn  bi  Hơn nữa, với ω = i=1 ti δ si ∈ ΩS −1 R/R0 , n ∈ N\{0}, , bi ∈ R ti , si ∈ S với i = 1, , n, 1 s   si  si   i = δ + δ 0=δ si si 1 si nên n n hX hX ˜ bi i  si dbi − bi dsi i (l ◦ h)(ω) = l δ =l t si t s2i i=1 i i=1 i n n X  dbi bi dsi  X h  bi  bi  si i = l − = δ − 2δ t s s s t s si i i i i i i i=1 i=1 n  i X h  b i  b i  δ = − − s2i δ t si si si i=1 i n X h  bi  bi  i = δ + δ = ω t s 1 s i i i i=1 Vậy ta có điều cần chứng minh luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com  luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 40 2.5 Một áp dụng dãy khớp thứ hai Trong mục này, ta tìm hiểu áp dụng dãy khớp thứ hai trường hợp R vành afin m iđêan cực đại để đưa điều kiện cần đủ cho vành địa phương Rm quy Các kết mục tham khảo từ tài liệu [2], [5] Trong mục này, K giả thiết trường đóng đại số K[x1 , x2 , xn ] vành đa thức n biến K Mệnh đề 2.5.1 Cho R = K[x1 , x2 , , xn ]/I, I iđêan thực K[x1 , x2 , , xn ] Cho m iđêan cực đại R Khi tồn đẳng cấu K-không gian vectơ m/m2 → R/m ⊗ ΩR/K R Chứng minh Vì K trường đóng đại số nên tồn c = (c1 , , cn ) ∈ K n cho m = mc = hx1 − c1 , , xn − cn i/I Áp dụng dãy khớp thứ hai ta có dãy khớp R/m-khơng gian vectơ β α m/m2 → R/m ⊗ ΩR/K → ΩR/m/K → R Do R/m ∼ = K Ví dụ 2.2.7 (i), ta có R/m-tồn cấu α m/m2 → R/m ⊗ ΩR/K , R α(x) = ⊗ dR/K x với x ∈ m Ta cần chứng minh tồn đồng cấu γ ∈ HomR/m (R/m ⊗ ΩR/K , m/m2 ) R luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 41 cho γ ◦ α = Idm/m2 Trước hết, ta định nghĩa K-đạo hàm δ : R → m/m2 Với a ∈ R, a = f , f ∈ K[x1 , x2 , , xn ], ta viết f = f (c) + f˜, f˜ ∈ hx1 − c1 , , xn − cn i Từ suy a = a0 + x, a0 = f (c) ∈ K x = f˜ ∈ m Ta định nghĩa δ(a) = x ∈ m/m2 Khi δ ánh xạ δ K-tuyến tính Hơn nữa, với a, b ∈ R, ta có a = a0 + x, b = b0 + y, a0 , b0 ∈ K x, y ∈ m Khi δ(ab) = a0 y + b0 x = (a − x)y + (b − y)x = ay + bx = aδ(b) + bδ(a) Do δ ∈ DerK (R, m/m2 ) Đặt γ = (ψ −1 ◦ ϕ−1 )(δ), ϕ ψ tương ứng xác định Hệ 2.3.5 Mệnh đề 1.4.4 Khi γ ∈ HomR/m (R/m ⊗ ΩR/K , m/m2 ) γ = ψ −1 (h) = γ˜ , R luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler 42 h ∈ HomR (ΩR/K , m/m2 ), h ◦ dR/K = δ γ˜ ∈ HomR/m (R/m ⊗ R ΩR/K , m/m ), γ˜ (a ⊗ ω) = ah(ω) với a ∈ R/m, a ∈ R ω ∈ ΩR/K Ta cần chứng minh γ ◦ α = Idm/m2 Thật vậy, với x ∈ m, ta có (γ ◦ α)(x) = (˜ γ ◦ α)(x) = γ˜ (1 ⊗ dR/K x) = (h ◦ dR/K )(x) = δ(x) = x  Bổ đề 2.5.2 Cho R = K[x1 , x2 , , xn ]/I, I iđêan thực K[x1 , x2 , , xn ] Cho m iđêan cực đại R Khi m/m2 ∼ = mRm /(mRm )2  không gian vectơ R/m ∼ = Rm mRm Chứng minh Ta có đẳng cấu trường a  α : R/m → Rm mRm , a 7→ với a ∈ R Xét tương ứng ϕ : m/m2 → mRm /(mRm )2 x x 7→ với x ∈ m Ta chứng minh ϕ ánh xạ Giả sử x, y ∈ m cho x − y ∈ m2 Suy x−y x y − = ∈ (mRm )2 1 Do ϕ(x) = ϕ(y) luan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahlerluan.van.thac.si.mot.so.van.de.ve.modun.vi.phan.kahler download by : skknchat@gmail.com