BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN PHAN THÀ HNH PH×ÌNG PHP HM SINH TRONG VIC GII CC BI TON TÊ HÑP LUN VN THC S TON HÅC B¼nh ành - 2020 download by : skknchat@gmail.com BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN PHAN THÀ HNH PH×ÌNG PHP HM SINH TRONG VIC GII CC BI TON Tấ HẹP Chuyản ngnh : Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số : 8460113 Ngữới hữợng dăn : PGS.TSKH HUíNH VN NGI download by : skknchat@gmail.com i Mửc lửc M Ưu 1 Mởt số kián thực chuân b 1.1 CĂc nguyản lỵ côn bÊn cõa tê hđp ¸m 1.1.1 Nguyản lỵ cởng 1.1.2 Nguyản lỵ nhƠn 1.1.3 Nguyản lỵ bũ trứ 1.2 Nhúng sè tê hđp c«n b£n 11 1.2.1 Ho¡n 11 1.2.2 Ch¿nh hñp 12 1.2.3 Tê hñp 13 Hm sinh v cĂc tẵnh chĐt 2.1 2.2 2.3 15 H m sinh chi lơy thøa h¼nh thùc 15 2.1.1 ành ngh¾a 15 2.1.2 CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm sinh chuội lụy thứa hẳnh thực 19 2.1.3 Tẵch cừa cĂc h m sinh chi lơy thøa h¼nh thùc 20 2.1.4 Hñp cõa c¡c h m sinh chi lơy thøa h¼nh thùc 22 Hm sinh dÔng mụ 25 2.2.1 ành ngh¾a 25 2.2.2 T½ch cõa c¡c hm sinh dÔng mụ 27 2.2.3 Hủp cừa cĂc hm sinh dÔng mụ 31 Hm sinh dÔng a thực 37 download by : skknchat@gmail.com ii 2.3.1 ành ngh¾a 37 2.3.2 CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm sinh dÔng a thực 38 2.3.3 Tẵch cừa cĂc hm sinh dÔng a thùc 38 T¼m hiºu h» thèng nhúng ựng dửng hm sinh giÊi mởt số dÔng toĂn tê hđp 3.1 45 Ùng dưng h m sinh t¼m cổng thực tữớng minh cừa mởt dÂy số truy hỗi 46 3.2 3.3 3.4 3.1.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 46 3.1.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 51 Ùng döng h m sinh chùng minh ¯ng thùc tê hñp 52 3.2.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 52 3.2.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 59 Ùng döng h m sinh c¡c b i to¡n sè håc tê hñp 59 3.3.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 59 3.3.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 69 Ùng dưng h m sinh º ¸m c¡c b i to¡n tê hñp 70 3.4.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 70 3.4.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 75 Kát luên 77 Ti liằu tham khÊo 78 download by : skknchat@gmail.com iii Líi cam oan Tỉi xin cam oan luên vôn vợi à ti Phữỡng phĂp hm sinh vi»c gi£i c¡c b i to¡n tê hđp l cỉng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH Huýnh Vôn NgÂi, nởi dung khổng chp cừa bĐt ký v chữa tứng ữủc cổng bố dữợi bĐt kẳ hẳnh thực no, cĂc kát quÊ khổng phÊi cừa riảng tổi Ãu ữủc trẵch dăn nguỗn gốc ró rng Bẳnh nh, ngy 05 thĂng 08 nôm 2020 Sinh viản thỹc hiằn Phan Th HÔnh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop iv Lới cÊm ỡn Luên vôn vợi à ti Phữỡng phĂp hm sinh viằc giÊi c¡c b i to¡n tê hđp ÷đc thüc hi»n v ho n thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH Huýnh Vôn NgÂi Qua Ơy, tổi xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc án thƯy, ngữới  tên tẳnh ch dÔy, giúp ù v truyÃn Ôt kián thực suốt thới gian nghiản cựu v hon thnh luên vôn Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn quỵ ThƯy, Cổ giÊng dÔy lợp cao hồc Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp Khõa 21  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thüc hi»n · t i Ci cịng, tỉi xin gûi líi cÊm ỡn án gia ẳnh, ngữới thƠn v bÔn b  ởng viản giúp tổi hon thnh tốt luên vôn ny Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ cố gưng cừa bÊn thƠn iÃu kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp ỵ cừa quỵ ThƯy, Cổ luên vôn ữủc ho n thi»n hìn luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop M Ưu Lỵ thuyát tờ hủp õng vai trỏ quan trång To¡n håc Phê thỉng, nh§t l c¡c kẳ thi hồc sinh giọi ToĂn Olympic hơng nôm Viằc giÊi cĂc bi toĂn tờ hủp cƯn cõ tữ to¡n håc cao v ÷đc gi£i theo nhi·u ph÷ìng ph¡p khĂc Mội phữỡng phĂp Ãu cõ nhỳng lủi thá v nt c sưc riảng Mởt nhỳng phữỡng phĂp húu hi»u nh§t º gi£i c¡c b i to¡n tê hđp â l ph÷ìng ph¡p h m sinh Ph÷ìng ph¡p h m sinh vứa hiằn Ôi v nhanh chõng, khổng ch ựng dửng nhiÃu cĂc bi toĂn rới rÔc Ngoi ra, hm sinh câ thº ¡p dưng cho c¡c b i to¡n ¸m, h m sinh cho c¡c h» sè nhà thùc ÷đc suy tứ nh lỵ nh thực, tẳm cổng thực tữớng minh tứ cổng thực truy hỗi cừa dÂy số bơng h m sinh v chùng minh ¯ng thùc tê hđp Nhí sû dưng ph÷ìng ph¡p h m sinh v ¡p dưng chi Maclaurin, c¡c b i to¡n n y câ thº gi£i quy¸t mët cĂch nhanh chõng, ỡn giÊn chự khổng phực tÔp bơng c¡ch gi£i cê iºn Xu§t ph¡t tø nhúng nëi dung trẳnh by trản Ơy v mong muốn tẳm hiu sƠu hỡn và nhỳng vĐn à ny, chúng tổi  lỹa chồn à ti luên vôn thÔc sắ Phữỡng phĂp hm sinh vi»c gi£i c¡c b i to¡n tê hñp Luên vôn ny nhơm mửc ẵch tẳm hiu phữỡng phĂp hm sinh lỵ thuyát tờ hủp Hỡn nỳa, hm sinh l mët cỉng cư húu hi»u v quan trång Tờ hủp ỗng thới, chúng tổi cụng nghiản cựu mët sè ùng dưng cõa ph÷ìng ph¡p h m sinh viằc ữa lới giÊi cho mởt số vĐn à tờ hủp Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, nởi dung chẵnh cừa luên vôn ữủc trẳnh by ba chữỡng Chữỡng Mởt số kián thùc chu©n bà luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop Trong chữỡng ny, chúng tổi s trẳnh by mởt số kián thực chuân b bao gỗm mởt số nh nghắa, nh lỵ, mằnh Ã, bờ Ã, hằ quÊ, liản quan án nhỳng số tờ hủp côn bÊn v cĂc nguyản lỵ côn bÊn cừa tờ hủp ám bờ trủ cho cĂc nởi dung ữủc trẳnh by ch÷ìng v ch÷ìng Ch÷ìng H m sinh v cĂc tẵnh chĐt Trong chữỡng ny, chúng tổi giợi thiằu ba dÔng hm sinh õ l hm sinh chuội lụy thứa hẳnh thực, hm sinh dÔng mụ v hm sinh dÔng a thực, tiáp theo l cĂc tẵnh chĐt côn bÊn cừa cĂc hm sinh õ l tẵch v hủp cừa ba loÔi hm sinh trản Chữỡng Tẳm hiºu h» thèng nhúng ùng döng h m sinh gi£i mởt số dÔng toĂn tờ hủp Chữỡng ny gỗm mởt số bi têp, vẵ dử sỷ dửng phữỡng phĂp hm sinh giÊi cĂc dÔng toĂn sau ng dửng hm sinh tẳm cổng thực tữớng minh cừa mởt dÂy số truy hỗi ng dửng hm sinh chùng minh ¯ng thùc tê hđp Ùng dưng h m sinh c¡c b i to¡n sè håc tê hñp Ùng dưng h m sinh º ¸m c¡c b i to¡n tê hđp luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop Ch÷ìng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm v kát quÊ cỡ bÊn chuân b cho cĂc chữỡng sau cừa luên vôn Ton bở cĂc kián thực chữỡng ny ữủc tham khÊo v trẵch dăn tứ cĂc ti liằu [1], [2], [7] 1.1 CĂc nguyản lỵ côn bÊn cừa tờ hủp ám 1.1.1 Nguyản lỵ cởng nh nghắa 1.1.1 (Nguyản lỵ cởng) GiÊ sỷ cõ n cổng viằc T1 , T2 , , Tn , â T1 câ a1 c¡ch thüc hi»n, T2 câ a2 c¡ch thüc hi»n, , Tn câ an c¡ch thüc hi»n Gi£ sû khæng câ hai cæng vi»c no cõ th lm ỗng thới Khi õ, số cĂch º l m mët k cỉng vi»c tr¶n l a1 + a2 + · · · + an Nguy¶n lỵ cởng ữủc phĂt biu theo ngổn ngỳ têp hủp sau: Cho S l mët tªp hđp Gi£ sû {A1 , A2 , , An } l mởt phƠn hoÔch trản S , tực n S l S = Ai v Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j, ≤ i, j ≤ n Khi â, i=1 |S| = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |, â |S| ÷đc gåi l số phƯn tỷ cừa têp S luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop Cho mởt têp S vợi |S| = n, số tĐt cÊ cĂc têp cừa S gỗm têp rộng v chẵnh nõ l 2n nh lỵ 1.1.1 Vẵ dử 1.1.1 [PEA Math Materials, by Richard Parris] Trữợc Ơy, Rick cõ th m từ ỗ têp gym cừa mẳnh, phÊi nhợ tờ hủp sau Hai số cĂc số cừa dÂy ba số hÔng l 17 v 24,  quản số thù ba v khỉng bi¸t thù tü cõa c¡c sè Cõ 40 khÊ nông xÊy vợi số thự ba Họi mữới giƠy mội lƯn thỷ, tối a bao lƠu thỷ hát mồi khÊ nông m ữủc cỷa từ? Lới giÊi Xt têp hủp câ thº x£y cõa tê hñp Khi â, A1 = {(x, 17, 24)|1 ≤ x ≤ 40} , A2 = {(x, 24, 17)|1 ≤ x ≤ 40} , A3 = {(17, x, 24)|1 ≤ x ≤ 40} , A4 = {(24, x, 17)|1 ≤ x ≤ 40} , A5 = {(17, 24, x)|1 ≤ x ≤ 40} , A6 = {(24, 17, x)|1 ≤ x ≤ 40} Dạ thĐy, mội têp cõ 40 phƯn tỷ p dửng nguyản lỵ cởng, ta cõ 40.6 = 240 tờ hđp º thû v tèi a c¦n 40 º thỷ hát Tuy nhiản, mởt viằc quan trồng b bọ qua Ăp dửng nguyản lỵ cởng l cĂc têp Ai phƠn hoÔch, tực l Ai Aj = ∅ vỵi i 6= j, ≤ i, j ≤ Trong v§n · n y, tê hđp (17, 17, 24) thuởc cÊ hai têp A1 v A3 Tữỡng tỹ, méi tê hñp (17, 24, 17), (24, 17, 17), (17, 24, 24), (24, 17, 24), (24, 24, 17) cơng l¦n lữủt thuởc hai têp têp v ữủc ám hai lƯn Do õ, ta ch cõ 240 = 234 tê hđp º thû v c¥u tr£ lới úng l 39 phút 1.1.2 Nguyản lỵ nhƠn nh nghắa 1.1.2 (Nguyản lỵ nhƠn) GiÊ sỷ hon thnh mët cỉng vi»c H c¦n thüc hi»n n cỉng vi»c nhä l H1 , H2 , , Hn , â H1 câ a1 c¡ch thüc hi»n, H2 câ a2 c¡ch thüc hi»n sau ¢ ho n th nh cæng vi»c H1 , , Hn câ luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop 64 v¼ f (ξ ) = f (1) = 21999 Chó þ r¬ng ξ, ξ , , ξ = l c¡c nghi»m cõa g(x) = x7 −1 Khi â, g(x) = x7 − = (x − ξ)(x − ξ ) · · · (x − ξ ) Suy ra, g(−1) = −2 = (−1 − ξ)(−1 − ξ ) · · · (−1 − ξ ), hay (1 + ξ)(1 + ξ ) · · · (1 + ξ ) = V¼ 1999 = · 285 + n¶n f (ξ) = (1 + ξ)(1 + ξ ) · · · (1 + ξ 1999 ) = [(1 + ξ)(1 + ξ ) · · · (1 + ξ )]285 (1 + ξ)(1 + ξ )(1 + ξ )(1 + ξ ) = 2285 · [(1 + ξ)(1 + ξ )(1 + ξ )](1 + ξ ) = 2285 · (1 + ξ + ξ + + ξ )(1 + ξ ) = 2285 · (1 + ξ ) Ta câ f (ξ i ) = 2285 (1 + ξ 3i ), vỵi ≤ i ≤ Suy |Tr | = = 21999 + 2285 21999 + 2285 X ! ξ −ri (1 + ξ 3i ) i=1 X [ξ −ri + (3r)i ] i=1 Tứ phữỡng trẳnh (*), suy ( X − = 5, −ri (3−r)i [ξ +ξ i=1 ]= ! −1 − = −2, r hoc 3( mod 7), cỏn lÔi Vêy sè ph¦n tû cõa Tr l |Tr | = 1999 + · 2285 2 , r = ho°c 3, 1999 − 2286 , V½ dư 3.3.7 r = 1, 2, 4, 5, [IMO 1995] Cho p l sè nguy¶n tè l Họi cõ bao nhiảu têp A cõ p ph¦n tû thuëc {1, 2, , 2p} cho tờng cĂc phƯn tỷ cừa nõ chia hát cho p? luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop 65 Líi gi£i Vỵi méi i, ≤ i ≤ 2p, ta khỉng thº thäa m¢n i cho x0 +xi = 1+xi , vẳ tẵch 2p Y (1 + xi ) i=1 khổng th thọa mÂn iÃu kiằn cĂc têp cõ p phƯn tỷ (vẵ dử, hằ số cừa xkp bơng số têp cõ tờng cĂc phƯn tỷ cừa nõ bơng kp, nhiÃu têp hủp ny khổng câ óng p ph¦n tû.) Thay v o â, ta x²t h m sinh g(t, x) = (t + x)(t + x2 )(t + x3 ) · · · (t + x2p ) = X ak,m tk xm k,m Khi â, ak,m bơng số têp S cừa {1, 2, , 2p} cho (i) |S| = 2p − k ; (ii) Têng c¡c ph¦n tû cõa S l m Do â, A= X ap,m p|m Chó þ r¬ng X p|k,p|m ak,m = X ap,m + p|m X a0,m + p|m X a2p,m = X ap,m + 2, p|m p|m vẳ ch cõ mởt têp vợi mội phƯn tỷ l 2p hoc nản B= X ak,m = A + p|k,p|m 2π º t¼m B , ta sû dưng c¡c nghi»m nguy¶n Gåi ξ = e p i , â i2 = −1 l côn bêc p nguyản thừy cừa phữỡng trẳnh xp = Khi â, E = ξ, ξ , , ξ p−1 , ξ p = Ta t½nh XX g(t, x) t∈E x∈E luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop 66 b¬ng hai c¡ch (Chú ỵ rơng ta tẵnh tờng gĐp ổi trản tĐt cÊ cĂc nghiằm bêc p thay vẳ tẵnh mởt tờng cõa nhúng nghi»m â.) Ta câ X g(t, x) = g(t, 1) + x∈E X g(t, x) = g(t, 1) + x∈E/{1} X g(t, ξ i ) 1≤i≤p−1 Rã r ng, g(t, 1) = (t + 1)2p Theo V½ dư 3.3.6, ta câ {1, 2, , p} ≡ {r · 1, r · 2, , r à p} ( mod p) vợi số nguyản r chia hát cho p Khi õ, i vợi ≤ i ≤ p − 1, ta câ (t + ξ i )(t + ξ 2i ) · · · (t + ξ pi ) = (t + ξ)(t + ξ ) · · · (t + ξ p ), suy g(t + ξ i ) = [(t + ξ)(t + ξ ) · · · (t + ξ p )]2 , vỵi i ≤ i ≤ p − Cơng theo V½ dư 3.3.6, ta câ h(t) = (t + ξ)(t + ξ ) · · · (t + ξ p ) = − Suy h(−t) = (−t − ξ)(−t − ξ ) · · · (−t − ξ p ) = (−t)p − = −(tp + 1) Do â, g(t, ξ t ) = [(t + ξ)(t + ξ ) · · · (t + ξ p )]2 = [(−1)p h(−t)]2 = (tp + 1)2 K¸t hủp cĂc iÃu trản, ta ữủc X g(t, x) = (t + 1)2p + (p − 1)(tp + 1)2 x∈E luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hopluan.van.thac.si.phuong.phap.ham.sinh.trong.viec.giai.cac.bai.toan.to.hop 67 Suy XX g(t, x) = X = X X t∈E t∈E t∈E x∈E [(t + 1)2p + (p − 1)(tp + 1)2 ] t∈E = (t + 1)2p + (p − 1) 2p XX (tp + 1)2 i i C2p t + 4p(p − 1) t∈E i=0 = X X i i C2p t + t∈E i=0,p,2p X X t∈E i i C2p t + 4p(p − 1) i6=p 0