Aik|.Cổng thực trản ữủc gồi l nguyản lỵ cởng tờng quĂt, trong õ nguyảnlỵ cởng  xt l trữớng hủp riảng cĂcNk, trứk = 1, Ãu bơng0.BƠy giớ ta ỗng nhĐt têpAk1 k nvợi tẵnh chĐtAkl têp con cừa
CĂc nguyản lỵ côn bÊn cừa tờ hủp ám
Nguyản lỵ cởng
Giả sử có n cổng việc T1, T2, , Tn, trong đó T1 có a1 cách thực hiện, T2 có a2 cách thực hiện, , Tn có an cách thực hiện Giả sử không có hai cổng việc nào có thể xảy ra đồng thời Khi đó, số cách xảy ra một trong k cổng việc sẽ là a1 + a2 + + an.
Nguyản lỵ cởng ữủc phĂt biºu theo ngổn ngỳ têp hủp sau:
Cho S l mởt têp hủp GiÊ sỷ {A 1 , A 2 , , A n } l mởt phƠn hoÔch trản S , tực l S = S n i=1
|S | = |A 1 | + |A 2 | + ã ã ã + |A n |,trong õ |S | ữủc gồi l số phƯn tỷ cừa têp S ành lỵ 1.1.1 Cho mởt têp S vợi |S | = n , số tĐt cÊ cĂc têp con cừa S gỗm têp rộng v chẵnh nõ l 2 n
Vẵ dử 1.1.1 [PEA Math Materials, by Richard Parris]
Rick đã gặp khó khăn trong việc ghi nhớ các số liệu từ buổi tập gym của mình, đặc biệt là số thứ ba Hai trong số các số là 17 và 24, nhưng anh không nhớ số thứ ba Có 40 khối nông được ghi lại, và Rick tự hỏi liệu có cách nào để nhớ số thứ ba không Anh đã cố gắng tìm ra phương pháp để cải thiện khả năng ghi nhớ của mình.
Lới giÊi X²t 6 têp hủp con cõ thº xÊy ra cừa tờ hủp Khi õ,
Dạ dày có 40% phần trăm, trong đó p dừng nguyền lý cường, ta có 40.6 = 240 tờ hợp Thời gian tối ưu cho việc tiêu hóa là khoảng 40 phút Tuy nhiên, việc quan trọng là hiểu rõ cơ chế hoạt động của dạ dày và các tế bào liên quan đến quá trình này, đặc biệt là trong các tình huống cụ thể.
A i ∩A j = ∅ vợi i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ 6 Trong vĐn ã n y, tờ hủp (17, 17, 24) thuởc cÊ hai têp A 1 v A 3 Tữỡng tỹ, mội tờ hủp (17, 24, 17), (24, 17, 17), (17, 24, 24), (24, 17, 24) ,
(24, 24, 17) cụng lƯn lữủt thuởc hai têp trong 6 têp con v ữủc ám hai lƯn Do õ, ta ch¿ cõ 240 − 6 = 234 tờ hủp º thỷ v cƠu trÊ lới úng l 39 phút.
Nguyản lỵ nhƠn
Nguyản lỵ nhƠn là quá trình mở cổng viếc H, trong đó H 1, H 2, , H n được thực hiện theo một cách thức nhất định Cụ thể, H 1 có a 1 cách thức hiển thị, H 2 có a 2 cách thức hiển thị sau khi hoàn thành H 1, và tiếp tục như vậy cho đến H n Tổng số cách thức hiển thị cổng viếc H được tính bằng a 1 x a 2 x x a n Nguyản lỵ nhƠn được phát biểu bằng ngôn ngữ tệp hợp.
Vẵ dử 1.1.2 [AIME 1988] Tẵnh xĂc suĐt º mởt ữợc số dữỡng ữủc chồn ngău nhiản cừa 10 99 l bởi cừa 10 88
Lới giÊi X²t thứa số nguyản tố cừa 10 99 ho°c 2 99 ã 5 99 CĂc ữợc dữỡng cừa
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá số lượng cách chọn hai số nguyên dương a và b trong khoảng từ 0 đến 99, với tổng số cách là 100 Cụ thể, số cách chọn cho mỗi cặp a và b phải thỏa mãn điều kiện 88 ≤ a, b ≤ 99 Từ đó, chúng ta có 12 cách chọn cho mỗi cặp a và b, dẫn đến tổng cộng 12 cách trong số 100 cách có thể được tạo ra từ cặp số này.
Vêy xĂc suĐt cƯn tẵnh l 100 12 ã ã 12 100 = 625 9 Vẵ dử 1.1.3 XĂc ành số c°p số nguyản dữỡng (a, b) theo thự tỹ sao cho
BCN N (a, b) = 2^3 5^7 11^13 Với a và b là các số có thừa số chung là 2^3 5^7 11^13, ta có a = 2^x 5^y 11^z và b = 2^s 5^t 11^u, trong đó x, y, z, s, t, u là các số nguyên không âm Các giá trị tối đa cho các số mũ là max(x, s) = 3, max(y, t) = 7 và max(z, u) = 13 Với x và s, có thể có các cặp (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (3, 1) hoặc (3, 0) Do đó, có tổng cộng 7 cách chọn cho (x, s).
Tữỡng tỹ, ta cõ 15 v 27 cĂch chồn lƯn lữủt ối vợi (y, t) v (z, u) p dửng nguyản lỵ nhƠn, ta cõ 7.15.27 = 2835 c°p số nguyản dữỡng (a, b) theo thự tỹ vợi BCN N (a, b) = 2 3 5 7 11 13
0, 1, 2, , 7 Do õ, ta cõ 2.8 cĂch chồn cõ thº xÊy ra, những (7, 7) ữủc ám hai lƯn Vêy ta cõ 2.8 − 1 = 15 cĂch chồn cõ thº xÊy ra ối vợi (y, t)
Có bao nhiêu biển số xe khác nhau có thể được tạo ra từ một dây 3 chữ cái và một dây 3 chữ số? Mỗi biển số xe gồm một dãy 3 chữ cái theo sau là một dãy 3 chữ số.
0 v O khổng thº sỷ dửng ỗng thới?
Lới giÊi, tập hợp S1 chứa các biến số xe khổng có số 0, trong khi S2 chứa các biến số xe khổng không có số 0 Đối với biến số thuộc S1, ta có các biến α, β, γ và θ, φ, ψ với điều kiện θ, φ, ψ khác 0 Do đó, tổng số cách chọn cho α, β, γ là 26, và cho θ, φ, ψ là 9 Vì vậy, số lượng phần tử trong S1 được tính là |S1| = 26³ 9³ Tương tự, số lượng phần tử trong S2 được tính là |S2| = 25³ 10³, phản ánh vai trò của các biến số và sự chuyển đổi giữa chúng.
Dữớng nhữ kát quÊ cừa b i toĂn l |S 1 | + |S 2 | = 26 3 9 3 + 25 3 10 3 Tuy nhiản õ khổng phÊi l kát quÊ chẵnh xĂc M°c dũ mội bữợc ãu hủp lỵ.
Gồi S là tập hợp các biển số xe chứa một dãy 3 chữ cái và theo sau là một dãy 3 chữ số Khi đó, chúng ta có 26 cách chọn mỗi chữ cái và 10 cách chọn cho mỗi chữ số Do đó, tổng số biển số xe có thể được tạo ra là |S| = 26^3 * 10^3 Khổng khõ không kiểm tra rỗng.
|S 1| + |S 2| = 26^3.9^3 + 25^3.10^3 > 26^3.10^3 = |S| Trong toán học, |S 1| + |S 2| không phải là kết quả muốn có Hiện tại, chúng ta cần sửa chữa lỗi sai này Chúng ta nhận thấy có một số chỗ trống trong S 1 và S 2, có thể là những biến số không chứa số 0 nằm quanh O.
Gọi S3 là tập hợp các biển số xe, trong đó S3 = S1 ∩ S2 Với mỗi biển số trong S3, có 25 cách chọn và với mỗi số, có 9 cách chọn Do đó, |S3| = 25^3 * 9^3 Mỗi biển số trong S3 được xuất hiện hai lần trong S1 và S2, dẫn đến kết quả cuối cùng của bài toán.
Kÿ thuêt bao gỗm cĂc têp hủp chỗng ch²o nhau v loÔi trứ phƯn ữủc ám
2 lƯn ữủc gồi l nguyản lỵ bũ trứ.
Nguyản lỵ bũ trứ
Khi hai cổng viếng có thể mở thông thời, ta không thể dũng nguyên lý cường để tính số cách thực hiện nhằm vững gỗm cả hai việc Số cách thực hiện nhằm vững này ta cần tính số cách làm của mỗi một trong hai việc, rồi trừ đi số cách làm thông thời cả hai việc đó.
Ta cõ thº phĂt biºu nguyản lỵ ám bơng ngổn ngỳ têp hủp sau:
Cho A 1 , A 2 l hai têp hủp hỳu hÔn Khi õ,
Bơng quy nÔp, ta cõ thº mð rởng cho cĂc têp hủp hỳu hÔn A 1 , A 2 , , A n nhữ sau
|A 1 ∪ A 2 ∪ ∪ A n | = N 1 − N 2 + N 3 − ã ã ã + (−1) n−1 N n , trong õ cĂc N k (k = 1, 2, , n) ữủc xĂc ành bði cổng thực
Cổng thực trản ữủc gồi l nguyản lỵ cởng tờng quĂt, trong õ nguyản lỵ cởng  x²t l trữớng hủp riảng (cĂc N k , trứ k = 1 , ãu bơng 0 ).
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách xác định số lượng phần tử của biến ngẫu nhiên X sao cho không thỏa mãn một tính chất A_k nào đó Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét các tập con A_k với điều kiện 1 ≤ k ≤ n và phân tích tỷ lệ của chúng trong tổng thể Mục tiêu là hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các tập hợp này và tính chất của biến ngẫu nhiên X.
Gồi N l số phƯn tỷ cừa X v N l số phƯn tỷ cƯn ám Ta cõ
N = N − |A 1 ∪ A 2 ∪ ∪ A n | = N − N 1 + N 2 − N 3 + ã ã ã + (−1) n N n , trong õ cĂc N k (k = 1, 2, , n) ữủc xĂc ành bði cổng thực
Khi õ, cổng thực trản ữủc gồi l nguyản lỵ bũ trứ.
Vẵ dử 1.1.5 XĂc ành số nguyản dữỡng nhọ hỡn 1000 cõ chựa ẵt nhĐt chỳ số 1 trong biºu diạn thêp phƠn cừa chúng.
Lới giÊi Gồi S l têp hủp tĐt cÊ số nguyản dữỡng nhọ hỡn 1000 Khi õ
Gồi S 1 , S 2 v S 3 lƯn lữủt l têp hủp cĂc số nguyản dữỡng gỗm mởt chỳ số, hai chú sè, ba chú sè.
Ró r ng S 1 , S 2 , S 3 l mởt phƠn hoÔch cừa S v |S 1 | = 9 , |S 2 | = 90 v |S 3 | = 900 Vợi i = 1, 2, 3 , gồi A i l têp hủp con cừa S i cõ chựa ẵt nhĐt chỳ số 1 trong cĂc số õ Ta ch¿ tẵnh
Dạ thĐy A 1 = 2, 3, , 9 vợi |A 1 | = 8 Ta cõ thº phƠn chia A 2 th nh ba têp con
Khi õ, |A 2 | = 1 + 9 + 8 = 18 Gồi A 1bc l têp hủp gỗm 3 chỳ số vợi chỳ số Ưu tiản l 1 v b , c 6= 1 Gồi A a1c l têp hủp gỗm 3 chỳ số vợi chỳ số ð giỳa l 1 ; a , c 6= 1 v a 6= 0
Ta ành nghắa cĂc têp hủp khĂc tữỡng tỹ.
Ta câ thº chia A 3 th nh
Khi õ A 111 = {111} v |A 111 | = 1 Cho A 1bc , ta cõ 9 cĂch chồn vợi mội b v c , vẳ vêy |A 1bc | = 9.9 = 81
Khổng khõ º thĐy rơng |A a1c | = |A ab1 | vẳ b v c ối xựng nhau.
Cho |A a1c | , ta cõ 8 cĂch chồn a v 9 cĂch chồn c Vẳ vêy |A a1c | = |A ab1 | = 8.9 = 72 Dạ thĐy |A 11c | = |A 1b1 | = 9 v |A a11 | = 8
Vẵ dử 1.1.6 Cõ 15 lộ thổng hỡi iãu hỏa riảng biằt trong rÔp chiáu phim Để khổng khẵ trong l nh, ẵt nhĐt mởt trong cĂc lộ thổng hỡi phÊi ữủc bêt lản mồi lúc Có bao nhiêu cách cõ thº ữủc thỹc hiằn?
Lới giÊi Náu Ăp dửng nguyản lỵ cởng, ta cõ nhiãu cĂch º x²t Kỵ hiằu cĂc lộ thổng hỡi l v 1 , v 2 , , v 15 Mội lộ thổng hỡi v i cõ hai cĂch chồn l bêt ho°c tưt.
Ta cần chú ý đến việc sử dụng các ký tự đặc biệt như "bêt" và "tưt" Gợi ý là nên áp dụng 15 ký tự cho mỗi và trả lại Việc sử dụng những ký tự này phải tuân thủ quy định và đảm bảo sự nhất quán trong các lộ trình Các ký tự như v1, v2, v7, v9, v10, v13, và v14 cần được sử dụng một cách hợp lý để tạo nên sự liên kết và rõ ràng trong nội dung Hãy nhớ rằng việc giữ nguyên tính chất của những ký tự này là rất quan trọng trong việc truyền tải thông điệp một cách hiệu quả.
Ró r ng, mội và trẵ phũ hủp vợi m cừa nõ Do õ, kát quÊ l 2 15 − 1 = 32767
Vào năm 1988, AIME đã đưa ra bài toán 1.1.7 liên quan đến các giải Đu 5 Trong bài toán này, mỗi giải Đu được mở ra trên một giải Đu khác, với điều kiện rằng mỗi giải Đu có 50% kích thước của giải Đu chính Câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại một giải Đu nào không bị ảnh hưởng bởi giải Đu khác hay không.
Lới giải: Mỗi ởi phải Đu 4 trên, suy ra 5 ởi cõ 5.4 trên Ta ám hai ởi bĐt ký Đu vợi nhau úng hai trên Do õ 5 ởi Đu tờng cởng 5.4 2 = 10 trên Vậy mội trên cõ thể có hai kát quÊ cõ thể xãy ra Khi õ, ta cõ 2 10 kát quÊ cõ thể xãy ra cừa trên Đu.
Cõ 5 cĂch º chồn mởt ởi bĐt bÔi Náu ởi A thưng cÊ bốn trên Khi õ, mội ởi cừa sĂu trên cỏn lÔi cõ hai kát quÊ cõ thº xÊy ra vợi tờng 2 10−4 = 2 6 kát qu£.
Vận hữu hát mởt ởi có thể bắt bồ, ta có 5.2 6 trên m sinh ra mởt ởi bắt bồ Lép luân tưởng tỹ, ta thấy 5.2 6 cừa 2 10 trên có thể sinh ra mởt ởi vổ àch Tuy nhiên, các khê nông n y khổng lồ trứ lăn nhau Có thể có duy nhất mởt ởi bắt bồ và duy nhất mởt ởi vổ àch g°p nhau trong cùng một trên Đu Khi đó, ta có A 2 5 = 5.4 = 20 trên hai ởi như vậy.
Giới sỹ ở A bất bồ với B là một vấn đề quan trọng Có 7 (không phải 8) khả năng xảy ra trên trong giới A hoặc giới B hoặc cả hai giới đối đầu với nhau Kết quả của 7 khả năng này sẽ quyết định Do đó, 3 trong số các khả năng còn lại có thể dẫn đến tường số 2 10−7 = 2 3 trên đối đầu.
Nõi cĂch khĂc, ta cõ 20.2 3 = 5.2 5 trên trong 2 10 trên cõ cÊ ởi bĐt bÔi v ởi vổ àch. p dửng nguyản lỵ bũ trứ, ta cõ
2 10 − 2.5.2 6 + 5.2 5 = 2 5 (2 5 − 5.2 2 + 5) = 2 5 17 kát quÊ trên Đu trong õ khổng cõ ởi bĐt bÔi hay ởi vổ àch TĐt cÊ cĂc kát quÊ ãu cõ khÊ nông nhữ nhau.
Vêy xĂc suĐt cƯn tẵnh l 17.2 2 10 5 = 17 32
Trong cĂc tẳnh huống sưp xáp cõ thự tỹ, cĂc ối tữủng ữủc sưp xáp theo cĂch n o õ, thự tỹ chồn cĂc ối tữủng khổng cỏn quan trồng nỳa.
Vào cuối năm học lớp 5, giáo viên muốn sắp xếp một bậc thềm để học sinh có thể đứng thành hàng Các bậc thềm được sắp xếp theo thứ tự giảm dần chiều cao từ trái qua phải, với chiều cao của mỗi bậc khác nhau Hỏi có mấy cách sắp xếp các bậc thềm này? (Biết rằng các bậc thềm không được xếp chồng lên nhau, và không có bậc thềm nào được xếp cùng một vị trí.)
Lới giÊi GiÊ sỷ 14 khoÊng trống trong mởt h ng s 1 s 2 s 14
Náu si 1, si 2, , si 5 là những bồn nam được chọn cho và tráng các bồn nam chắc chắn được chọn duy nhất mởt chộ theo chiều cao cừa hồ Tương tự, các bồn này cũng được chọn duy nhất mởt chộ ứng theo chiều cao cừa hồ Do đó, kết quả là
Nhỳng số tờ hủp côn bÊn
Ho¡n và
n phƯn tỷ theo mởt thự tỹ n o õ. p dửng nguyản lỵ nhƠn, ta nhên ữủc số tĐt cÊ hoĂn và cừa n l
Vẵ dử 1.2.1 Cõ 6 hoĂn và cừa 3 phƯn tỷ {1, 2, 3} l (1, 2, 3) , (1, 3, 2) , (2, 1, 3) ,
Trong bài toán tổ hợp, mở số phần tử có thể giống nhau Khi đó, chúng ta cần tính toán số cách sắp xếp các phần tử giống nhau Số hoán vị của n phần tử trong đó có n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử giống nhau, và nk phần tử giống nhau được tính bằng công thức n! / (n1! * n2! * * nk!) Ngoài ra, hoán vị và vòng quanh là số cách sắp xếp n phần tử phân biệt của tập X trong một vòng tròn.
CĂc cĂch sưp xáp cĂc phƯn tỷ cừa X trản mởt ữớng trỏn m sai khĂc nhau mởt ph²p quay ữủc coi l cũng mởt hoĂn và vỏng quanh.
Hằ quÊ 1.2.1 Số cĂc hoĂn và vỏng quanh cừa n phƯn tỷ phƠn biằt ữủc tẵnh bði cổng thực
Chứng minh rằng việc sắp xếp n phần tử vào một bàn tròn có hai cách sắp xếp khác nhau, dựa vào một phép quay Nguyên nhân dẫn đến điều này chính là vai trò của các phần tử là như nhau, dù sắp xếp kiểu gì cũng chỉ là một cách Để giải quyết vấn đề này, ta cố định một phần tử tại vị trí nhất định và sắp xếp n - 1 phần tử còn lại Do đó, số hoán vị của n phần tử khi sắp xếp vào một bàn tròn sẽ là (n - 1)!.
Vẵ dử 1.2.2 Mởt b n trỏn gỗm cõ 10 chộ ngỗi Họi cõ bao nhiảu cĂch xáp 10 ngữới ngỗi v o mởt b n trỏn?
Lới giÊi Mội cĂch xáp 10 ngữới n y ngỗi v o mởt b n trỏn l mởt hoĂn và vỏng quanh cừa 10 phƯn tỷ nản số cĂch xáp thọa mÂn ã b i l (10 − 1)! = 9! =
Ch¿nh hủp
Chỉnh hợp là một khái niệm trong toán học, được định nghĩa là việc sắp xếp các phần tử từ một tập hợp nhất định Trong chỉnh hợp, một tập hợp có n phần tử có thể được sắp xếp thành các nhóm k phần tử, với điều kiện 0 ≤ k ≤ n Mỗi nhóm k phần tử này là một chỉnh hợp khác nhau và không được trùng lặp Các chỉnh hợp thường được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, từ xác suất đến tổ chức dữ liệu, giúp phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp.
Vẵ dử 1.2.3 Ta cõ 6 ch¿nh hủp chêp 2 cừa 3 giĂ trà {1, 2, 3} l (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) ,
(2, 3) , (3, 1) , (3, 2) p dửng nguyản lỵ nhƠn, ta cõ ành lỵ sau ành lỵ 1.2.2 Cho n v k l nhỳng số nguyản dữỡng vợi n ≥ k Số tĐt cÊ cĂc ch¿nh hủp chêp k cừa n l
(n − k)! , trong õ 0! = 1 v n! = 1.2.3 ã ã ã n , vợi n ≥ 1 °t k = n trong ành lỵ 1.2.1, ta cõ hằ quÊ sau:
Hằ quÊ 1.2.2 Số tĐt cÊ cĂc hoĂn và cừa n l n!
Trong nhiều ứng dụng trong thực tế, việc chọn giá trị các phần tỷ của chính hợp có thể là phức tạp, khi chính hợp được gọi là chính hợp lặp.
Trong vẵ dử trản, số tĐt cÊ cĂc ch¿nh hủp l°p l 9 , õ l 6 ch¿nh hủp chêp 2 cừa 3 giĂ trà {1, 2, 3} v thảm 3 ch¿nh hủp cõ l°p l (1, 1) , (2, 2) , (3, 3)
Tứ õ ta cõ ành nghắa sau. ành nghắa 1.2.4 (Ch¿nh hủp l°p) Mởt ch¿nh hủp l°p chêp k cừa n phƯn tỷ
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm liên quan đến việc phân biệt thứ tự của các phần tử trong một tập hợp Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét cách tạo ra k phần tử khác nhau từ n phần tử tổng quát Điều này bao gồm việc xác định số lượng cách sắp xếp các phần tử sao cho không có phần tử nào bị lặp lại Các khái niệm này có ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực, từ toán học đến khoa học máy tính.
Tờ hủp
Mở một tờ hủp chép k cừa n phần tỷ (0 ≤ k ≤ n) là một nhóm khổng phân biệt thực tế gồm k phần tỷ khác nhau, được lấy ra từ một tệp n phần tỷ có sẵn.
Với bài toán 1.2.4, chúng ta có 3 tờ hợp chép 2 cửa 3 phân tỷ {1, 2, 3} là (1, 2), (1, 3) và (2, 3) Để tìm số nguyên dương n và k, với n ≥ k, ta sẽ xác định số tờ hợp chép k cửa n.
Khi mở một tờ hủp chép k cửa n phần tỷ (0 ≤ k ≤ n), ta tạo ra một nhóm khổng phân biệt gồm k phần tỷ khác nhau từ n phần tỷ có sẵn Số cách để chọn k phần tỷ từ n phần tỷ được tính bằng công thức (n − k)!k!.
C ˜ n k = C n+k−1 k Vẵ dử 1.2.5 Ta cõ 6 tờ hủp l°p chêp 2 cừa 3 phƯn tỷ {1, 2, 3} l (1, 2) , (1, 3) ,
(2, 3) , (1, 1) , (2, 2) , (3, 3) ành lỵ 1.2.4 (ành lỵ nhà thực) Cho n l số nguyản khổng Ơm Khi õ
Công thức (n − k)!k! là một phần quan trọng trong toán học, được chứng minh bởi hai nhà toán học nổi tiếng là Sir Isaac Newton vào năm 1665 và James Gregory vào năm 1670 Ngoài ra, có một số khái niệm liên quan đến số thực và số nguyên, đặc biệt là trong việc nghiên cứu các khía cạnh khác nhau của toán học.
C r i x i là một hàm số xác định trong khoảng -1 < x < 1 Cổng thực truy hồi được xây dựng từ dãy số a0, a1, a2, , với a n được xác định thông qua các phần tử trước đó, cụ thể là a n = F(a0, a1, a2, , a n−1) Điều kiện bắt buộc là các giá trị gần nhất cho một số hữu hạn của các phần tử này phải được tối ưu hóa.
Với một biến ngẫu nhiên X có phân phối tần suất P(X), ta có thể xác định số tập con của X Giả sử X có phân phối tần suất, cho x là một phần tử trong phân phối của X Phân hoạch P(X) thành hai tập A và B, trong đó A chứa các tập con có chứa x và B chứa các tập con không có x Khi đó, B chính là P(X \ {x}) và A tương ứng với B Từ đó, ta có công thức thực a_n = 2a_{n-1}, đây là một công thức thực truy hồi.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày ý nghĩa và tầm quan trọng của hầm sinh lụy thứa, cũng như sự khác biệt giữa hầm sinh động và hầm sinh lụy thứa Nội dung sẽ được tham khảo từ các tài liệu uy tín để đảm bảo tính chính xác và đáng tin cậy.
H m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực
ành nghắa
ành nghắa 2.1.1 Cho {a n } n≥0 l mởt dÂy cĂc số thỹc Khi õ, chuội lụy thứa hẳnh thực G(x) = P n≥0 a n x n ữủc gồi l h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực cừa d¢y {a n } n≥0
Vẵ dử 2.1.1 Cho {a n } n≥0 = (1, 1, 1, ) Tẳm h m sinh cừa dÂy {a n } n≥0 Líi gi£i H m sinh cõa d¢y {a n } n≥0 l
Vẵ dử 2.1.2 Cho a n = n, n ≥ 0 Tẳm h m sinh cừa dÂy {a n } n≥0 Líi gi£i H m sinh cõa d¢y {a n } n≥0 l
(1 − x) 2 Vẵ dử 2.1.3 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa a n náu
Lới giÊi Ta cƯn tẳm hằ số cừa x n trong G(x) ho°c hằ số cừa x n−1 trong 1
1 − 3x Khi õ, thay x = 3x trong Vẵ dử 2.1.1, ta cõ
Do õ, hằ số cƯn tẳm l a n = 3 n−1
CĂch º chuyºn cĂc cổng thực truy hỗi th nh cĂc cổng thực tữớng minh.
(1) XĂc ành h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực G(x) cừa dÂy {a n } n≥0
Chuyển đổi cổng thực truy hồi thành phương trình theo G(x) có thể thực hiện bằng cách nhân cổng thực truy hồi với x_n hoặc x_n+1 Điều này cho phép tính toán tường cổng của tĐt cÊ n khổng Ơm khi áp dụng x_n+k.
(4) Tẳm hằ số cừa x n trong G(x) Vẳ hằ số n y l a n nản ta tẳm ữủc cổng thực t÷íng minh cõa a n
Nếu một người đầu tư 1000 USD vào tài khoản tiết kiệm với lãi suất 5% vào cuối mỗi năm, và sau đó rút 500 USD từ tài khoản này, thì số tiền còn lại trong tài khoản sẽ được tính lãi suất cho số tiền còn lại Sau một năm, người đó sẽ có bao nhiêu tiền trong tài khoản?
Lới giÊi Gồi a n l số dữ t i khoÊn sau n nôm Khi õ a 0 = 1000 v a n+1 =
1, 05.a n + 500 Ta s³ thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau.
(2) NhƠn cÊ hai vá cừa cổng thực truy hỗi cho x n+1 v tẵnh tờng cừa tĐt cÊ n khổng Ơm, ta ữủc
500x n+1 (∗) é Ơy, vá trĂi l G(x) − a 0 , trong khi số hÔng Ưu tiản cừa vá phÊi l
1, 05xG(x) v số hÔng thự hai cừa vá phÊi ch¿ ỡn giÊn l 1 500x − x Vêy (*) tữỡng ữỡng vợi
Tâm điểm của việc tối ưu hóa là xác định và phân tích các yếu tố quan trọng trong số hạng ưu tiên và số hạng thứ hai Điều này đảm bảo rằng bạn có thể tối đa hóa hiệu quả trong quá trình thực hiện.
Vẳ vêy, hằ số cừa x n trong số hÔng Ưu tiản l 1000.1, 05 n ối vợi số hÔng thù hai, ta câ
Chú ỵ rơng º tẳm hằ số cừa x n trong (**), ta cƯn tẳm hằ số cừa x n−1 trong
Ta sử dụng số hạng mở rộng với số mũ n - 1 khi tính toán giá trị của x trong trường hợp ưu tiên Công thức được áp dụng là 1,05^(n-1-i) * x^(n-1-i) với i nằm trong khoảng từ 0 đến n - 1 Đồng thời, giá trị của x phải thỏa mãn điều kiện không lớn hơn n - 1 Do đó, giá trị của x^n trong số hạng thứ hai cũng cần được xem xét cẩn thận.
Do õ, hằ số cừa x n ð vá phÊi v vá trĂi cừa (*) l a n = 1000.1, 05 n + 10000.(1, 05 n − 1) = 1, 05 n 11000 − 10000.
Với sự phát triển của công nghệ, việc sử dụng phương pháp sinh động trong việc truy hồi thông tin trở nên quan trọng hơn bao giờ hết Các cổng thông tin ảo giúp người dùng dễ dàng truy cập và tìm kiếm dữ liệu một cách nhanh chóng và hiệu quả Điều này không chỉ nâng cao trải nghiệm người dùng mà còn tối ưu hóa quy trình làm việc trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Vẵ dử 2.1.5 Cho a n+2 = 3a n+1 − 2a n , náu n ≥ 0 v cho a 0 = 0, a 1 = 1 Tẳm cổng thùc t÷íng minh cõa a n
Líi gi£i Gi£ sû G(x) = P n≥0 a n x n NhƠn hai vá cừa cổng thực truy hỗi cho x n+2 v tẵnh tờng cừa tĐt cÊ n khổng Ơm, ta ữủc
1 − 3x + 2x 2 Mău cừa vá phÊi l mởt a thực bêc hai M 1 − 3x + 2x 2 = (x − 1)(2x − 1) Khi õ, ta cƯn tẳm số thỹc A v B sao cho
Tứ (1) ta tẳm ữủc x = (2A + B)x − (A + B) Suy ra 2A + B = 1 v A + B = 0 Vẳ vêy A = 1 v B = −1 Khi õ,
CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực 19
Mằnh ã 2.1.1 Cho {a n } n≥0 v {b n } n≥0 l hai dÂy số Gồi A(x) = P n≥0 a n x n v B(x) = P n≥0 b n x n lƯn lữủt l cĂc h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực cừa {a n } n≥0 v {b n } n≥0 Khi â,
Sau Ơy l vẵ dử vã cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn trản.
Vẵ dử 2.1.6 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa dÂy a n náu a 0 = 0, a 1 = 1 v a n + 3a n−1 + 2a n−2 = 2n , vợi n ≥ 2 Lới giÊi Gồi G(x) l h m sinh cừa {a n } Khi õ,
G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ã ã ã 3xG(x) = 3a 0 x + 3a 1 x 2 + 3a 2 x 3 + 3a 3 x 4 + ã ã ã 2x 2 G(x) = 2a 0 x 2 + 2a 1 x 3 + 2a 2 x 4 + 2a 3 x 5 + ã ã ã Cởng cĂc ¯ng thực trản, ta cõ
Tứ giÊ thiát a 0 = 0 , a 1 = 1 v a n + 2a n−1 + 3a n−2 = 2n , vợi n ≥ 2 , ta cõ
Hằ số cừa x n trong khai triºn cừa G(x) l a n = −5
Tẵch cừa cĂc h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực
Bờ ã 2.1.1 Cho {a n } n≥0 v {b n } n≥0 l hai dÂy Gồi A(x) = P n≥0 a n x n v B(x) = P n≥0 b n x n lƯn lữủt l cĂc h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực cừa {a n } n≥0 v {b n } n≥0 Ta ành nghắa c n = P n i=0 a i b n−i v C (x) = P n≥0 c n x n Khi â, A(x)B(x) = C(x).
Ngo i ra, hằ số cừa x n trong A(x)B(x) l c n = P n i=0 a i b n−i Chựng minh Khi ta nhƠn tờng vổ hÔn A(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ã ã ã vợi tờng
B(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + là một hàm số biểu diễn một chuỗi số hạng, trong đó mỗi số hạng có dạng aᵢxⁱ.bⱼxʲ Số mũ của x trong chuỗi này là n khi j = n − i Do đó, số hạng của xⁿ trong A(x)B(x) được tính là Pₙ = Σ (aᵢbₙ₋ᵢ) từ i=0 đến n A(x), B(x) và C(x) là các hàm sinh chuỗi liên quan đến các dãy {aₙ}, {bₙ} và {cₙ}, trong đó aₙ là số cách xây dựng một cấu trúc nhất định từ n phần tử, bₙ là số cách xây dựng cấu trúc khác từ n phần tử và cₙ là số cách phân hoạch n phần tử thành các tập con.
S = {1, 2, , i} v T = {i + 1, i + 2, , n} , (cĂc têp S v T ữủc ph²p º rộng) Sau õ, xƠy dỹng cĐu trúc thự nhĐt trản S v cĐu trúc thự hai trản T Khi õ,
Chựng minh Cõ a i cĂch xƠy dỹng cĐu trúc thự nhĐt trản S v b n−i cĂch xƠy dỹng cĐu trúc thự hai trản T iãu n y úng vợi mồi i , 0 ≤ i ≤ n Khi õ, c n = P n i=0 a i b n−i (Theo Bờ ã 2.1.1).
Trong mỗi học kỳ, trường khoa Kỹ thuật thiết kế sẽ tổ chức học kỳ theo cách chia thành hai phần Phần ưu tiên gồm n ngày, trong đó có k ngày ưu tiên cho học phần lý thuyết và n - k ngày thực hành Sau đó, sẽ chọn một ngày nghỉ trong phần ưu tiên và hai ngày nghỉ trong phần thực hành Vậy có bao nhiêu cách khác nhau để thiết kế học kỳ với những quy tắc này?
(1 − x) 3 Gồi G(x) l h m sinh cừa dÂy {a n } Khi õ, A(x)B(x) = G(x) Do õ,
Vào ngày 2.1.8, việc chia một học kỳ thành ba phần đã được quy định, bao gồm: phần ưu tiên ghi số ngày nghỉ trong phần một, số lượng ngày nghỉ trong phần thứ hai, và số ngày nghỉ trong phần thứ ba.
Lới giÊi Gồi g n l số cĂch ngữới ta cõ thº lêp ká hoÔch cho mởt hồc ký nhữ vêy GiÊ sỷ A(x), B(x) v C(x) l cĂc h m sinh cừa dÂy cho ba phƯn trản.
1 − 2x vẳ ta cõ 2 n cĂch chồn số ng y ngh¿ bĐt ký tứ têp n ng y Số têp con cừa [n] cõ số l´ cĂc phƯn tỷ l 2 n−1 náu n ≥ 0 v bơng 0 náu n = 0 Do õ, B(x) = P n≥1 2 n−1 x n = x
1 − 2x Tữỡng tỹ, số têp con cừa [n] cõ số chđn cĂc phƯn tỷ l 2 n−1 náu n ≥ 1 v bơng 1 náu n = 0 Do õ,
1 − 2x Gồi G(x) l h m sinh cừa dÂy {g n } Khi õ, G(x) = A(x)B(x)C(x)
(1 − 2x) 3 p dửng ành lỵ nhà thực, ta ữủc
Hủp cừa cĂc h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực
ành nghắa 2.1.2 Cho F (x) = P n≥0 a n x n l h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực cừa dÂy {a n } v cho G(x) l h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực vợi hằ số hơng l 0 Ta ành nghắa
F(G(x)) = Σ(n≥0) a_n (G(x))^n = a_0 + a_1 G(x) + a_2 (G(x))^2 + Trong đó, a_n là số cách xây dựng một cấu trúc nhất định từ các phần tử Khi a_0 = 0, h_n là số cách phân hoạch tập [n] thành một số tập con rời nhau Do đó, A(x) = Σ(n≥0) a_n x^n và H(x) = Σ(n≥0) h_n x^n.
A(x) là một hàm sinh được định nghĩa cho số cách phân hoạch [n] thành các tập con rời nhau Khi đó, ta xây dựng cấu trúc của hàm A cho toàn bộ tập con này Đối với mỗi k ≥ 1, A(x) sẽ có giá trị khác 0 Nếu A(0) = 0, điều này cho thấy không có chuỗi lặp thứ hai nào trong A(x) với giá trị khác 0 Hơn nữa, H(x) cũng có giá trị khác 0.
1 theo ành nghắa Ta cõ
Vẵ dử 2.1.9 đề cập đến việc mở một ơn và quần ở cỏn binh sắ xáp thông th nh mởt h ng Sắ quan phử trách phân chia các binh sắ thành các nhóm nhỏ khác nhau Sau đó, sắ quan gồi tản mởt ngữới bĐt ký trong mội nhõm l m ch¿ huy cừa nhõm õ Tất cả những cách sắ quan có thể làm đều nhằm mục đích tạo ra sự rõ ràng và hiệu quả trong việc quản lý.
Lới giÊi Gồi h k l số cĂch sắ quan phử trĂch cõ thº tián h nh Gồi a k l số cĂch º chồn mởt ch¿ huy tứ mởt nhõm k ngữới Khi õ, a k = k v do õ
(1 − x) 2 p dửng ành lỵ 2.1.2, ta ữủc
1 − 3x + x 2 phực tÔp hỡn so vợi cĂc vẵ dử trữợc CĂc nghiằm cừa x 2 − 3x + 1 l α = 3 +
(x − α)(x − β) = A x − α − B x − β Sau khi nhƠn ch²o, ta ữủc
Chú ỵ rơng α.β = 1 Do õ, ta cõ thº nhƠn cÊ tỷ v mău cừa phƠn số thự nhĐt (tữỡng ựng, thự hai) trong ngo°c ỡn vợi β (tữỡng ựng vợi α ), ta ữủc
Do õ, hằ số cừa x n trong 1 1
5 α n+1 − β n+1 Vêy hằ số cừa x n trong H(x) l 1 náu n = 0 v h n = 1
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm sinh chuỗi lũy thừa A(x), B(x) và G(x) liên quan đến các dãy số {a_n}, {b_n} và {g_n} Hàm A(x) đại diện cho số cách sắp xếp mở một cấu trúc nhất định với a_0 = 0, trong khi B(x) biểu thị số cách sắp xếp cho cấu trúc thứ hai với b_0 = 1 Hàm G(x) liên quan đến số cách phân hoạch tập [n] thành một số tập con rời nhau, với cấu trúc duy nhất cho mỗi tập con n Cuối cùng, chúng ta nghiên cứu sự kết hợp giữa các hàm sinh này và mối liên hệ của chúng với các dãy số đã nêu.
Chứng minh rằng hệ số phân hoạch của một số nguyên dương n có thể được biểu diễn bằng cách xây dựng cấu trúc thứ hai từ các số con Khi đó, có một cách để xây dựng cấu trúc thứ nhất từ mỗi số con A(x) k Do đó, tham gia của trường hợp này vào G(x) là b k A(x) k Từ đó, ta có G(x) = Σ k≥0 b k A(x) k.
Vẵ dử 2.1.10 đề cập đến việc mởt ỡn và bở ởi cõ n ngữới lãnh xáp th¯ng th nh mởt h ng Sắ quan phử trĂch phƠn chia cĂc binh sắ th nh cĂc ỡn và nhọ hỡn (khĂc rộng), sau õ, sắ quan chồn mởt nhõm (cõ thº rộng) cừa cĂc ỡn và mợi th nh lêp º giao nhiằm vử ban ảm Họi sắ quan cõ bao nhiảu cĂch chồn mởt nhõm º phƠn cổng trỹc ảm?
Lới giÊi Gồi a k l viằc chồn mởt nhõm tứ mởt ỡn và mợi gỗm k ngữới lẵnh, suy ra a k = 1 , ∀k ≥ 1 v do â A(x) = P k≥1 x k = x
1 − x Gồi b m l số cĂch chồn mởt ỡn và mợi cừa mởt têp cõ m ngữới lẵnh, suy ra b m = 2 m v do â B(x) = P m≥0
1 − 2x p dửng ành lỵ 2.1.3, ta cõ
2.3 n−1 x n Vêy náu n ≥ 1 , sắ quan phử trĂch cõ 2.3 n−1 cĂch chồn mởt nhõm º i trỹc ảm.
H m sinh d¤ng mô
ành nghắa
ành nghắa 2.2.1 Cho {a n } n≥0 l mởt dÂy cĂc số thỹc Khi õ, chuội lụy thứa hẳnh thực F (x) = P n≥0 a n n! x n ữủc gồi l h m sinh dÔng mụ cừa dÂy {a n } n≥0
Vẵ dử 2.2.1 Cho b n = 1 , vợi mồi cĂc số nguyản n khổng Ơm Tẳm h m sinh d¤ng mô cõa d¢y {b n } n≥0
Líi gi£i H m sinh d¤ng mô cõa d¢y {b n } n≥0 l
B(x) = X n≥0 b n n! x n = X n≥0 x n n! = e x Vẵ dử 2.2.2 Cho a 0 = 1 v a n+1 = (n + 1)(a n − n + 1) náu n ≥ 0 Tẳm cổng thực t÷íng minh cõa a n
Lới giÊi Gồi F (x) = P ∞ n=0 a n n! x n l h m sinh d¤ng mô cõa d¢y {a n } n≥0 L m tữỡng tỹ nhữ phữỡng phĂp cừa h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực Ta nhƠn cÊ hai vá cổng thực truy hỗi vợi x n+1
(n + 1)! v tờng cừa tĐt cÊ n ≥ 0 , ta ữủc
X n=0 n − 1 n! x n+1 (∗) Vá trĂi l F (x) − 1 , cỏn số hÔng Ưu tiản cừa vá phÊi l xF (x) Suy ra
Hằ số cừa x n! n trong P n≥0 x n l n! , cỏn hằ số cừa x n! n trong P n≥0 x n+1 n! l n
Do õ, hằ số cừa x n n! trong F (n) l a n = n! + n
Vẵ dử 2.2.3 Cho a 0 = 0 v a n+1 = 2(n + 1)a n + (n + 1)! náu n ≥ 0 Tẳm cổng thùc t÷íng minh cõa a n
Líi gi£i Gi£ sû F (x) = P n≥0 a n n! x n l h m sinh d¤ng mô cõa d¢y {a n } n≥0
Ta nhƠn cÊ hai vá cừa cổng thực truy hỗi vợi (n x n+1 + 1)! v tờng cừa tĐt cÊ n ≥ 0 , ta ữủc
Vẳ a 0 = 0 , vá trĂi cừa (**) bơng F (x) , cỏn số hÔng thự nhĐt cừa vá phÊi l 2xF (x) v số hÔng thự hai cừa vá phÊi l x
(2 n − 1)x n ,Vêy hằ số cừa x n! n trong F (x) l a n = (2 n − 1)n!
Tẵch cừa cĂc h m sinh dÔng mụ
Bờ ã 2.2.1 Cho {a i } v {b k } l hai dÂy v A(x) = P i≥0 a i i! x i v B(x) = P k≥0 b k k! x k lƯn lữủt l cĂc h m sinh dÔng mụ cừa {a i } v {b k } ành nghắa c n =
P n i=0 C n i a i b n−i v C (x) l h m sinh d¤ng mô cõa d¢y {c n } Khi â
Ngo i ra, hằ số cừa x n! n trong A(x)B(x) l c n = P n i=0 C n i a i b n−i
Chựng minh NhƠn A(x) vợi B(x) suy ra nhƠn mội số hÔng cừa A(x) vợi mội số hÔng cừa B(x) Mởt số hÔng tờng quĂt cừa tẵch n y cõ dÔng a i x i i! b k x k k! = x i+k i!k! (i + k)!
Mởt tẵch nhữ vêy cõ bêc n khi v ch¿ khi i + k = n
Do õ, hằ số cừa x n n! trong A(x)B(x) l P n i=0 C n i a i b n−i
Vào dịp 2.2.4, trường Ôi Hồc Khoa Học Xã Hội tổ chức hai cuộc thi viết dành cho sinh viên Mỗi sinh viên phải tham gia một cuộc thi Những người tham gia cuộc thi ưu tiên phải viết một truyện ngắn liên quan đến một trong ba chủ đề đã định sẵn Các thí sinh còn lại phải viết một bài luận về một trong bốn chủ đề đã được công bố.
Vào cuối cuộc thi, những người tham gia đã xác nhận trong cả hai cuộc thi và hiện đã bị loại khỏi hồ sơ ghi chú bản công khai của hồ Có thể xảy ra bao nhiêu bảng xác nhận cuối cùng? (Bảng xác nhận cuối cùng bao gồm xác nhận của sinh viên từ cả hai cuộc thi và hiện đã bị loại khỏi hồ sơ ghi chú.) Lời giải Giám khảo có quyền sinh viên quyết định tham gia cuộc thi ưu tiên.
Có ba cách để sinh viên chọn được chỗ ngồi trong cuộc thi Do đó, có tổng cộng 3 cách để sắp xếp những sinh viên này Nếu n - i sinh viên còn lại chọn chỗ ngồi, họ có thể sắp xếp trong 4 n - i cách và có nghĩa là cuộc thi thứ hai sẽ kết thúc với b n - i = 4 n - i (n - i)! cách.
Vợi mội i , ta cõ C n i ã 3 i i! ã 4 n−1 (n − i)! kát quÊ cõ thº xÊy ra.
C n i ã 3 i i! ã 4 n−i (n − i)!. º tẳm cổng thực tữớng minh cừa d n , °t
1 − 4x , trong â, A(x) v B(x) l c¡c h m sinh d¤ng mô cõa hai d¢y {a n } v {b n } °t D(x) = P n≥0 d n x n n! Khi â,
Do õ, ta tẳm ữủc cổng thực tữớng minh cừa D(x)
Do õ, d n = n!(4 n+1 − 3 n+1 ) l hằng số cừa x n! n trong D(x) Vậy có thể xác định d n = n!(4 n+1 − 3 n+1 ) bằng cách tính toán cuối cùng Ảnh lị 2.2.1 (Cổng thực tẵch của hàm sinh động mụ) Gọi A(x), B(x) và C(x) là các hàm sinh động mụ tương ứng của các dãy.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách xây dựng một cấu trúc nhị phân từ hai tập hợp S và T, với S ∪ T = [n] Đầu tiên, chúng ta xác định số cách để xây dựng cấu trúc nhị phân từ các phần tử trong tập hợp S, tiếp theo là số cách xây dựng cấu trúc khác từ tập hợp T Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét cách phân hoạch n phần tử thành hai tập hợp S và T, từ đó tạo ra cấu trúc thực tế cho cả hai tập hợp này.
Chứng minh rằng tỷ lệ phần trăm của S có thể được xác định thông qua các phần trăm của S Để làm điều này, chúng ta cần xây dựng cấu trúc thứ nhất cho S và một cách xây dựng cấu trúc thứ hai cho T, với điều kiện 0 ≤ i ≤ n Do đó, công thức sẽ là c_n = ∑( từ i=0 đến n) C(n, i) a^i b^(n-i) (theo Bờ ã 2.2.1).
Vào phần 2.2.5, mởt huấn luyện viên bóng đá cần tập trung vào việc cải thiện kỹ năng của các cầu thủ trong từng nhóm Ưu tiên huấn luyện viên chia các cầu thủ thành hai nhóm nhỏ và yêu cầu các cầu thủ trong mỗi nhóm hoạt động cùng nhau Nhóm thứ nhất có thể chọn trang phục màu cam, áo trưng bày hoặc áo màu xanh, trong khi nhóm thứ hai có thể chọn áo màu đỏ Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để thực hiện việc chọn áo như thế?
Lới giê sỹ huĐn luyằn viản chồn không ngờ tới những thực tế quan trọng Có nhiều cách mà người ta có thể sử dụng để thể hiện sự sáng tạo, như qua việc sử dụng màu sắc tươi sáng, hình ảnh độc đáo hoặc thiết kế ấn tượng Điều này giúp thu hút sự chú ý và tạo ấn tượng mạnh mẽ với người xem Do đó, việc sinh động hóa nội dung trở thành yếu tố then chốt trong việc truyền tải thông điệp hiệu quả.
Tữỡng tỹ, giÊ sỷ chồn m ngữới tứ nhõm thự hai Gồi b m l số cĂch m m ngữới n y xáp th nh mởt h ng v chồn Ăo ọ Khi õ, b m = m! v h m sinh d¤ng mô cõa d¢y {b m } l
Gồi c n l số cĂch chồn Ăo cừa cÊ hai nhõm v C(x) l h m sinh dÔng mụ cừa chuội dÂy {c n } Khi õ, cổng thực tẵch cõ dÔng
Suy ra, hằ số cừa x n! n trong C(x) l c n = n! 3 n+1 2 − 1 Vêy cõ n! 3 n+1 2 − 1 cĂch chồn Ăo.
Vẵ dử 2.2.6 Tẳm mởt h m sinh dÔng mụ cho số hoĂn và l°p cừa n phƯn tỷ cừa têp {a, b, c} , trong õ cõ l´ lƯn số a , chđn lƯn số b v bĐt ký lƯn số c
Lới giÊi cho biết rằng, nếu ta có lươn số a, b, và c, thì có thể áp dụng công thức để tính toán Ví dụ, nếu ta có 3 lươn số a, 4 lươn số b và 2 lươn số c, thì có thể xác định được tổng hợp của các lươn số này.
Trong vẵ dử trản, ta cƯn tẳm hằ số cừa x 9
9! trong tẵch trản Mởt cĂch º tẳm ữủc x 9 l x 3 3! ã x 4 4! ã x 2 2! = 9!
3 4 2 x 9 9! Tực l , mởt số hÔng trản ám ữủc số hoĂn và trong õ cõ 3 lƯn số a , 4 lƯn số b v 2 lƯn số c Hằ số cừa x 9
9! bơng tờng tĐt cÊ cĂc cĂch cõ thº xÊy ra vợi sỹ tham gia cõa l´ l¦n sè a , ch®n l¦n sè b v b§t ký l¦n sè c
Hủp cừa cĂc h m sinh dÔng mụ
ành nghắa 2.2.2 Cho F (x) = P n≥0 a n n! x n l h m sinh d¤ng mô cõa d¢y {a n } n≥0 v cho G(x) l h m sinh dÔng mụ vợi hằ số hơng l 0 Ta ành nghắa
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách xây dựng cấu trúc nhị phân từ các tập hợp con của một tập hợp cho trước Đầu tiên, ta có G(x) = 0 = 1, với n ≥ 1, cho thấy số cách phân hoạch tập [n] thành các tập con khác rỗng Sau đó, chúng ta sẽ xem xét cách xây dựng cấu trúc nhị phân cho từng tập con Đặc biệt, nếu A(x) = Σ(n≥0) a_n/n! x^n và H(x) = Σ(n≥0) h_n/n! x^n, chúng ta sẽ phân tích mối quan hệ giữa các hệ số và hàm sinh.
Chứng minh rằng trong một tập phân hoạch, thực tế các tập con rời nhau, theo hình lý 2.2.1, A(x) không là hợp của các tập con, sau đó xây dựng một cấu trúc cho toàn bộ tập con Với k ≥ 1, ta có P k≥1.
A(x) k k! Vẳ a 0 = 0 , khổng cõ chuội lụy thứa A(x) k! k cõ hằ số hơng khĂc 0 Ngo i ra, H(x) cõ hằ số hơng l 1 theo ành nghắa Khi õ,
Vẵ dử 2.2.7 Cõ bao nhiảu cĂch khĂc nhau º sưp xáp n ngữới v o cĂc nhõm,sau õ mội nhõm ngỗi v o mởt b n trỏn?
Lới giÊi Ta cõ (k − 1)! cĂch º mởt nhõm k ngữới ngỗi v o mởt b n trỏn Khi â, a k = (k − 1)! Suy ra
Do õ, cổng thực mụ cõ dÔng
1 − x = X n≥0 x n = X n≥0 n! x n n! iãu n y cho thĐy cõ h n = n! cĂch sưp xáp n ngữới ngỗi xung quanh cĂc b n trán.
Vẵ dử 2.2.8 Tẳm h m sinh dÔng mụ F (x) cừa dÂy {a n } biºu diạn số cĂch phƠn hoÔch têp [n] th nh cĂc têp con rới nhau cõ số phƯn tỷ l 3, 4 v 9
Lới giÊi Gồi a n , b n v c n lƯn lữủt l số cĂch phƠn hoÔch têp [n] th nh cĂc têp con rới nhau cõ số phƯn tỷ lƯn lữủt l 3 , 4 v 9
GiÊ sỷ A(x), B(x) v C(x) lƯn lữủt l cĂc h m sinh dÔng mụ cừa {a n } , {b n } , v {c n } Ta cƯn tẳm cĂc h m sinh dÔng mụ n y theo cổng thực mụ.
Gồi t n l số cĂch º têp n phƯn tỷ cõ thº tÔo th nh mởt têp con cõ 3 phƯn tỷ.
Ró r ng, t 3 = 1 v t n = 0 náu n 6= 3 Do õ, h m sinh dÔng mụ cừa dÂy n y l
3! Suy ra cổng thực mụ l
Lêp luên tữỡng tỹ, ta cụng cõ B(x) = e x 4! 4 v C(x) = e x 9! 9
Ta phân hoạch thành ba tập con, bao gồm tập rộng, với phần hoạch có ba tỷ trần tập con thực nhất, phần hoạch có bốn tỷ trần tập con thực hai, và phần hoạch có chín tỷ trần tập con thực ba Khi đó, cổng thực tách có dòng.
Số cách sắp xếp n người ngồi xung quanh một bàn tròn khác nhau được tính bằng công thức a_n = (n - 1)! Nếu có hai người ngồi cạnh nhau được coi là giống nhau, số cách sắp xếp sẽ giảm đi Hàm sinh của số cách sắp xếp này được biểu diễn qua công thức H(x) = ∑ (n≥0) h_n x^n / n! Để tính số cách sắp xếp cho n người, ta bắt đầu với a_0 = 0 và a_1 = a_2 = 1, từ đó áp dụng quy tắc đệ quy.
Vêy cổng thực cƯn tẳm l
Cho S = {s1, s2, } là một tập hợp các số nguyên dương Hàm H_S(n) biểu diễn số phân hoạch của tập [n] thành các tập con rời nhau sao cho tỷ lệ của mỗi tập con là một tỷ lệ của S Hàm H_S(x) là hàm sinh động của dãy {H_S(n)}.
P i≥1 xsi si ! Chựng minh Kỵ hiằu
A(x) = Σ (i≥1) x^s_i / s_i! thể hiện công thức liên quan đến phân phối xác suất Phân phối này tham gia vào hàm sinh H(n) khi xem xét các phần tử trong phân phối ban đầu S Theo nghiên cứu thực nghiệm, chúng ta có thể phân tích và áp dụng các kết quả này để hiểu rõ hơn về hành vi của các biến ngẫu nhiên trong hệ thống.
Têp S cừa ành lỵ 2.2.3 cõ thº l vổ hÔn Vẵ dử sau Ơy cho thĐy iãu õ.
Vẵ dử 2.2.10 Tẳm h m sinh dÔng mụ cừa số phƠn hoÔch têp [n] th nh cĂc têp con câ sè ph¦n tû ch®n.
Lới giÊi p dửng ành lỵ 2.2.3, vợi S = {2, 4, 6, } Khi õ,
Giáo viên cần tổ chức sinh viên thành các nhóm nhỏ trong lớp học của anh Đy Sau đó, giáo viên sẽ phân công từng sinh viên trong mỗi nhóm để đảm bảo sự tương tác và hỗ trợ lẫn nhau Giáo viên có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau để quản lý và hướng dẫn các nhóm này.
Lới giÊi Trong mởt nhõm k sinh viản, ta cõ a k = k cĂch chồn ngữới ựng ¦u Khi â,
X k=1 x k−1 (k − 1)! = xe x p dửng cổng thực mụ, náu giĂo viản cõ thº tián h nh theo h n cĂch thẳ
Trong chuội xe xe x , vợi x = 0, 1, , 10 Ta tẳm ữủc 10 số hÔng Ưu tiản cừa h m sinh H(x)
Gọi A(x), B(x) và G(x) lần lượt là các hàm sinh của các dãy {a_n}, {b_n} và {g_n} Trong đó, a_n là số cách xây dựng một cấu trúc nhất định từ n phần tử, với a_0 = 0; b_n là số cách xây dựng cấu trúc thứ hai từ n phần tử, với b_0 = 1; và g_n là số cách phân hoạch tập [n] thành một số tập con rời nhau Sau đó, a_n và b_n sẽ tạo thành cấu trúc của loài thực vật từ mỗi tập con n_y và cấu trúc của loài thực vật thứ hai từ các tập con đó.
Chứng minh rằng Giêsu Phôn hoạc là một phần quan trọng trong việc kết nối các tệp con với nhau Khi thực hiện điều này, cần có cách để lấy cấu trúc của loài thực hai tản tệp không phân tỷ của các tệp con này Do đó, theo hình lý 2.2.1, cần phải xem xét kỹ lưỡng các mối liên hệ giữa các tệp con để đảm bảo tính chính xác và nhất quán.
A(x) k k! l h m sinh động mụ cho số cách phân hoạch tệp [n] thành k tệp con Khi đó, xây dựng cấu trúc  cho toàn bộ tệp con và đây là cấu trúc của loài thứ hai trong phân tỷ của các tệp con này Với a 0 = 0, không có chuỗi lũy thừa b k.
A(x) k k! cõ mởt hằ số hơng M°t khĂc, G(x) cõ hằ số hơng l
Với 2.2.12, cho n thẻ khác nhau, chúng ta phân hoạch tập hợp n thẻ thành các tập con khác rời nhau, mỗi tập con có một số thẻ nhất định Sau đó, chúng ta xếp thứ tự cho các thẻ trong mỗi tập con Cuối cùng, sắp xếp các tập con này thành một hệ thống Tạo một cổng thực tương minh cho số cách gán để có thể là mẫu hình này.
Lới giÊi Ta cõ a n = n! náu n ≥ 2 l chđn v a n = 0 náu n l số l´ ho°c n = 0 Hỡn nỳa, b n = n! , vợi mồi n ≥ 0 Khi õ,
1 − x p dửng cổng thực hủp, ta cõ
Vêy hằ số g n cừa x n n! trong G(x) l 0 náu n l số l´ v 2 m−1 (2m)! náu n = 2m Do õ, ối vợi n chđn , ta cõ g n = 2 n 2 −1 n! cĂch º tián h nh.
Vẵ dử 2.2.13 chứng minh rằng số cách chia một nhóm người thành một số nhóm rời nhau, khác rỗng, mỗi nhóm ngồi xung quanh một bàn tròn và phục vụ rượu vang đỏ hoặc rượu vang trắng cho mỗi bàn là (n + 1)! Theo lới giải, từ Vẵ dử 2.2.7, ta tìm cách sắp xếp cho mỗi bàn Nếu có k > 0 người ngồi vào một bàn nhất định thì ta có a_k = (k − 1)! cách Suy ra hàm sinh A(x) = P k≥1 (k − 1)! x^k / k! = ln.
Ta cƯn tẳm nhỳng b n n o s³ nhên ữủc rữủu vang ọ Náu cõ k cĂc b n khĂc rộng thẳ cõ thº ữủc thỹc hiằn theo b k = 2 k cĂch khĂc nhau, suy ra h m sinh
Gồi h n l số cĂch thỹc hiằn cÊ hai viằc trản v °t H(x) = P n≥0 h n x n n! Khi â, Ăp dửng cổng thực hủp, ta cõ
Số cách sắp xếp n sinh viên trong H(x) là (n + 1)n! = (n + 1)! Ví dụ, trong một kỳ thi, sinh viên được phép thi lại nếu không đạt yêu cầu Mỗi ngày, các sinh viên chỉ được phép thi một lần Vậy có bao nhiêu cách thi khác nhau cho sinh viên trong mỗi kỳ thi?
Lới giÊi Náu k sinh viản l m b i kiºm tra v o mởt ng y nhĐt ành thẳ hồ cõ thº l m iãu õ trong a k = k! cĂch khĂc nhau, vợi mồi k ≥ 1 Suy ra
Khi các sinh viên được phân thành nhóm nhỏ, họ sẽ tham gia vào các bài kiểm tra trong cùng một ngày Điều này giúp tạo ra sự tương tác và hợp tác giữa các thành viên trong nhóm Qua đó, việc sắp xếp thứ tự các nhóm cũng trở nên dễ dàng hơn, đảm bảo quy trình tổ chức diễn ra suôn sẻ.
Do õ, theo cổng thực hủp, ta cõ
H m sinh d¤ng a thùc
Mởt số b i têp cõ lới giÊi
Vẵ dử 3.1.1 Cho {F n } ∞ n=0 l dÂy Fibonacci XĂc ành cổng thực tữớng minh cõa F n
Lới giÊi Gồi F = (F 0 , F 1 , F 2 , ) , trong õ F 0 = F 1 = 1 v F n+2 = F n+1 + F n vợi n ≥ 0 v A(x) l h m sinh cừa dÂy {F n } ∞ n=0 Khi õ,
Phữỡng trẳnh bêc hai x 2 + x − 1 = 0 cõ nghiằm r 1 = −1 +
Vẵ dử 3.1.2 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa a k náu a 0 = 0 v a k+1 = a k + 2 k vợi k ≥ 0
Lới giÊi Gồi A(x) = P k≥0 a k x k NhƠn cổng thực truy hỗi vợi x k+1 v tẵnh tờng tĐt cÊ k ≥ 0 , ta ữủc
Vêy a k = P k−1 i=0 2 i = 2 k − 1 Đối với dãy số a n được định nghĩa bởi a n = na n−1 + (n + 1)!, với n ≥ 1 và a 0 = 0, ta có thể xây dựng hàm sinh A(x) = P n≥0 a n n! x n Qua đó, việc nhân cặp và cổng thực truy hồi cho x n! n sẽ cho phép ta tìm ra các giá trị cho n ≥ 1.
Vẳ a 0 = 0 nản vá trĂi cừa (1) bơng A(x) , số hÔng Ưu tiản cừa vá phÊi cừa (1) l xA(x) , số hÔng thự hai cừa vá phÊi cừa (1) l 1
Ta cƯn tẳm hằ số cừa x n ð vá phÊi Số hÔng thự hai cừa vá phÊi l 1 Số hÔng Ưu tiản cừa vá phÊi bơng
Vẳ hằ số cừa x n trong số hÔng Ưu tiản cừa vá phÊi l C n+2 2 nản hằ số cừa x n ð vá phÊi l C n+2 2 − 1 Do õ, a n = n! C n+2 2 − 1
Với dãy số thực a_n được định nghĩa bởi a_n = a_{n-1} + (-1)^n với n ≥ 1 và a_0 = 1, ta có thể xây dựng hàm sinh A(x) = ∑_{n≥0} a_n/n! * x^n Bằng cách nhân cả hai vế của dãy a_n với x^n/n! và thực hiện phép biến đổi, ta nhận được công thức truy hồi cho x^n/n! với n ≥ 1, từ đó dẫn đến mối liên hệ giữa các hệ số của dãy số.
Do õ, hằ số cừa x n! n trong A(x) , vợi n ≥ 1 l a n = n
(−1) k n! k! Vẵ dử 3.1.5 Cho a 0 = 1 v giÊ sỷ rơng
X k=0 a i a n−i , (3.1) vợi mồi số nguyản n ≥ 1 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa a n
Lới giÊi NhƠn cÊ hai vá cừa (3.1) cho x n v lĐy tờng cừa tĐt cÊ n ≥ 0 , ta ữủc
Tẳm h m sinh A(x) = P n≥0 a n x n cừa cÊ hai vá cổng thực trản Ró r ng, vá trĂi l (1 − x) −3 , cỏn vá phÊi l A(x) 2 Thêt vêy, Ăp dửng cổng thực (3.1) vợi B(x) = A(x) Khi â,
(1 − x) −3 2 = A(x). º tẵnh cĂc hằ số cừa A(x) , ta cƯn tẵnh hằ số nhà thực C n −3
Chú ỵ rơng tỷ số cừa phƠn số ð và phÊi ch¿ l tẵch cừa tĐt cÊ các số nguyên l´ tứ 1 án 2n + 1 Tẵch n y tữỡng tỹ nhữ mởt giai thứa những ta lĐy mồi số nguyên l´ tứ 1 án 2n + 1 thay vẳ mồi số nguyên Do õ, tẵch 1 ã 3 ã ã ã (2n + 1) = (2n + 1)!!.
2 n ã n! , vợi mồi n ≥ 0 Vẵ dử 3.1.6 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa a n náu a 0 = 0, a 1 = 1 v a n = 4a n−1 − 4a n−2
Lới giÊi GiÊ sỷ A(x) l h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực cừa dÂy {a n } Khi â,
Vêy a n = n ã 2 n−1 Sau Ơy l vẵ dử tẳm h m sinh cừa dÂy khi biát cổng thực tữớng minh.
Vẵ dử 3.1.7 Tẳm mởt h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thực cừa dÂy ữủc ành nghắa bði a n = n 2
Líi gi£i Nh c l¤i (1 − 1 x) 3 = P n≥0 C n+2 2 x n , suy ra (1 − x 2 x) 3 = P n≥0 C n+2 2 x n+2 =
(1 − x) 2 = P n≥1 nx n CĂc cổng thực trản ữủc chựng minh bơng cĂch lĐy Ôo h m 1−x 1 ho°c bơng cĂch xem x²t cĂc lụy thứa cừa (1 + x + x 2 + ã ã ã ) v hằ số cừa x n ð õ.
Ta câ n 2 = 2C n 2 + n NhƠn hai vá cho x n v lĐy tờng tĐt cÊ n ≥ 0 , ta ữủc
Mởt số b i têp tỹ giÊi
1 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa a n náu a 0 = 2 v a n = 4a n−1 + 3 , vợi mồi số nguyản n ≥ 1
2 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa a n náu a 0 = a 1 = 1 v a n = 2a n−1 + 3 n , vợi mồi số nguyản n ≥ 2
3 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa a n náu a 0 = 0, a 1 = 1 v a n = 4a n−1 − 5a n−2
4 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa a n náu a 0 = 2, a 1 = 5 v a n = 4a n−1 − 3a n−2
5 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa a n náu a 0 = a 1 = 1 v a n = 3a n−1 + 4a n−2
6 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa b n náu b n = 4b n−2 , b 0 = 0 v b 1 = 1
7 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa b n náu b 0 = 0, b 1 = 1, b 2 = −1 v b n = 9b n−1 − 26b n−2 + 24b n−3
8 Tẳm cổng thực tữớng minh cừa b n náu b 0 = 1, b 1 = 3 v b n = b n−1 + b n−2
Ùng dửng h m sinh trong chựng minh ¯ng thực tờ hủp
Mởt số b i têp cõ lới giÊi
X (a 1 a 2 ã ã ã a n ) ð dÔng õng, trong õ tờng cừa tĐt cÊ cĂc dÂy cõ n số hÔng nguyản dữỡng sao cho a 1 = 1 v a i+1 ≤ a i + 1, vợi mồi 1 ≤ i ≤ n − 1
(a 1 a 2 ã ã ã a n ), trong õ tờng ữủc lĐy trản tĐt cÊ cĂc dÂy n số hÔng cĂc số nguyản dữỡng sao cho a 1 = m v a i+1 ≤ a i + 1 vợi mồi 1 ≤ i ≤ n − 1
Ta cƯn tẳm f (1, n) Náu a 1 = m thẳ 1 ≤ a 2 ≤ m + 1 Khi õ, f (m, n + 1) = m X
= m[f (1, n) + f (2, n) + ã ã ã + f (m + 1, n)]. º tẳm f (m, n) ð dÔng õng, dữớng nhữ f (m, n + 1) v tờng mởt phƯn f (1, n) + f (2, n) + ã ã ã + f (m + 1, n) cõ thº ữủc viát cũng mởt hẳnh thực Ta cõ
(2i − 1), ta chựng minh ữủc f (m, n) = C m+2n−2 2n−1 (2n − 1)!! (∗) bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo n.
Trữớng hủp cỡ bÊn l tƯm thữớng vẳ f (m, 1) = m GiÊ sỷ rơng f (m, n) thọa mÂn cổng thực (*) vợi cĂc số nguyản dữỡng 1 ≤ n ≤ k Ta cƯn chựng minh cổng thực (*) úng vợi n = k + 1 Thêt vêy, f (m, k + 1) = m[f (1, k) + f (2, k) + ã ã ã + f (m + 1, k)]
Vẵ dử 3.2.2 (Vandermonde) Cho m, n v k l cĂc số nguyản vợi m, n ≥ 0 Chựng minh rơng
Lới giÊi X²t a thực (1 + x) m+n cõ hằ số cừa x k l C m+n k (1) M°t kh¡c, ta câ
A(x) = (1 + x) m , B(x) = (1 + x) n cõ hằ số lƯn lữủt l a i = C m i , b k−i = C n k−i Hằ số x k cừa A(x)B(x) l a 0 b k + a 1 b k−1 + ã ã ã + a m b k−m = C m 0 C n k + C m 1 C n k−1 + ã ã ã + C m m C n k−m
C m i C n k−i Vẵ dử 3.2.3 Chựng minh rơng
(C n 0 ) 2 + (C n 1 ) 2 + ã ã ã + (C n n ) 2 = C 2n n Lới giÊi X²t a thực (1 + x) 2n cõ hằ số cừa x n l C 2n n Ta cõ
Hằ số cừa x n trong G(x)H (x) l a 0 b n +a 1 b n−1 +ã ã ã+a n b 0 = (C n 0 ) 2 +(C n 1 ) 2 +ã ã ã+(C n n ) 2 Vêy
Trữợc khi án vẵ dử tiáp theo, ta cõ ành nghắa sau
Số Bell thự n l số cĂc phƠn hoÔch cừa têp cõ n phƯn tỷ, kẵ hiằu l B(n) Trong â B(0) = B(1) = 1
Cổng thực truy hỗi cừa số Bell l
Vẵ dử 3.2.4 Cho B(x) l h m sinh dÔng mụ cừa số Bell B(n) Chựng minh rơng B(x) = e e x −1
Líi gi£i Ta câ B(n + 1) = P n i=0 C n i B(i) náu n ≥ 0 v B(0) = 1 NhƠn cÊ hai vá vợi x n! n v tờng tĐt cÊ n ≥ 0 , ta ữủc
B(i)C n i x n n! Chú ỵ rơng vá trĂi l B 0 (x) , cỏn vá phÊi l B(x)e x Theo Bờ ã 2.2.1 Khi õ
Thay x = 0 , vá trĂi bơng ln 1 = 0 , do õ ta chồn c = −1 ð vá phÊi.
Suy ra ln B(x) = e x − 1 Vêy B(x) = e e x −1 Vẵ dử 3.2.5 Vợi mồi số nguyản dữỡng k Chựng minh rơng
Lới giÊi Khai triºn vá trĂi theo ành lỵ nhà thực Ơm, ta thĐy rơng hằ số cừa x n l (−1) n C −k n Ta cƯn chựng minh hằ số n y bơng C n+k−1 k−1 Thêt vêy, ta cõ
= C n+k−1 n = C n+k−1 k−1 Vêy (1 − x) −k = P n≥0 C n+k−1 k−1 x n Vẵ dử 3.2.6 (¯ng thực Pascal) Chựng minh rơng
G n (x) = (1 + x) n = (1 + x)(1 + x) n−1 = (1 + x)G n−1 (x) = G n−1 (x) + xG n−1 (x).Hằ số cừa x k trong khai triºn G n (x) = (1 + x) n l C n k , cỏn hằ số cừa x k trong khai triºn G n−1 (x) + xG n−1 (x) l C n−1 k + C n−1 k−1 Vêy C n k = C n−1 k + C n−1 k−1
Vẵ dử 3.2.7 [Putnam 1957] Gồi α(n) l số cĂch biºu diạn cừa số nguyản dữỡng n cõ tờng cừa 1 v 2 theo thự tỹ Vẵ dử,
4 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 = 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1, ta cõ α(4) = 5 Gồi β(n) l số cĂch biºu diạn cừa n cõ tờng cừa cĂc số nguyản lợn hỡn 1, cụng ữủc sưp xáp theo thự tỹ Vẵ dử,
6 = 4 + 2 = 2 + 4 = 3 + 3 = 2 + 2 + 2, ta cõ β(6) = 5 Chựng tọ rơng α(n) = β (n + 2) Lới giÊi Vợi mội số nguyản dữỡng k , gồi α(n, k) l số k bở số nguyản cõ thự tỹ (a 1 , a 2 , , a k ) vợi 1 ≤ a i ≤ 2 sao cho a 1 + a 2 + ã ã ã + a k = n Cho A = (1, 2) , ta câ α(n, k) = [x n ](x + x 2 ) k
Ró r ng, α(n) được định nghĩa là tổng của α(n, k) cho tất cả k, trong đó α(n, k) = 0 khi k nhỏ hơn 1 Với n ≥ 1, ta có k ≥ 1 và α(n, 0) = 0 Điều này cho thấy α(n, 0) tương ứng với số hạng x^n trong biểu thức (x + x^2)^0 = 1 Do đó, với n ≥ 1, α(n) cũng đại diện cho số hạng x^n trong hàm f(x) Khi f(x) được xác định là 1 + (x + x^2) + (x + x^2)^2 + = 1.
Tữỡng tỹ, vợi n ≥ 2 ta cõ thº biºu diạn β (n) bơng hằ số cừa x n trong g(x) Khi â, g(x) = 1 + (x 2 + x 3 + ã ã ã ) + (x 2 + x 3 + ã ã ã ) 2 + ã ã ã
Vêy α(n) = β(n + 2) Vẵ dử 3.2.8 Cho n l mởt số nguyản dữỡng v f (x) = n
Chựng minh rơng [x 2m−1 ]f (x) = 0 , vợi mồi số nguyản dữỡng m Lới giÊi Vẵ dử n y cõ thº ữủc giÊi trỹc tiáp bơng cĂch Ăp dửng ành lỵ nhà thùc
Những cổng thực n y rĐt khõ chựng minh Do õ, ta dũng h m sinh º giÊi b i toĂn trản.
C n k [(1 − x) 2 ] k C n n−k [(1 + x) 2 ] n−k cõ hằ số cừa mởt số hÔng nhĐt ành trong tẵch cừa hai chuội lụy thứa °c biằt, nõ l hằ số cừa y n trong khai triºn g(x, y) = [y + (1 + x) 2 ] n [y + (1 − x) 2 ] n Suy ra, g(x, y) = [y + (1 + x) 2 ] n [y + (1 − x) 2 ] n
Để chứng minh rằng biểu thức \((y + 1 + x^2)^2 - 4x^2\) có số hạng lẻ trong khai triển \(g(x, y)\), ta cần xem xét số hạng của \(x\) trong khai triển này Cụ thể, số hạng của \(y\) trong khai triển \(g(x, y)\) chỉ chứa các số hạng chẵn của \(x\) Do đó, chúng ta cần chứng minh điều này.
Vẵ dử 3.2.9 [China 1994] Chựng minh rơng n
Lới giÊi Ta cõ C k b k 2 c l hằ số tỹ do trong khai triºn (1 + x)(x + x −1 ) k Khi â, n
Mởt số b i têp tỹ giÊi
2 Tứ vẵ dử 3.2.3 , hÂy tẳm dÔng õng cừa
3 Cho m l mởt số nguyản dữỡng chđn Tẳm dÔng õng cừa n
4 (AMM 2010) Vợi mồi số nguyản dữỡng n Chựng minh rơng n
Ùng dửng h m sinh trong cĂc b i toĂn số hồc tờ hủp
Mởt số b i têp cõ lới giÊi
Lới giÊi Vẳ x 1 , x 2 , x 3 , , x k l cĂc số nguyản khổng Ơm nản vợi 1 ≤ i ≤ k , x i nhên cĂc giĂ trà 0, 1, 2, 3,
Khi õ, h m sinh cho cĂch chồn mội x i , vợi 1 ≤ i ≤ k l 1 + x +x 2 + x 3 + ã ã ã = 1−x 1 Suy ra, h m sinh cho cĂch chồn bở số (x 1 , x 2 , x 3 , , x k ) l 1
(1 − x) k Gồi a n l số nghiằm nguyản khổng Ơm cừa phữỡng trẳnh x 1 + x 2 + x 3 +ã ã ã +x k = n Khi õ, h m sinh cừa dÂy cĂc số hÔng a n chẵnh l h m sinh cho số cĂch chồn bở sè (x 1 , x 2 , x 3 , , x k ) Tùc l P m≥0 a m x m = (1−x) 1 k = P m≥0 C m+k−1 m x m Vêy a n = C n+k−1 n
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách gieo xúc xắc và tính xác suất của các kết quả có thể xảy ra Cụ thể, chúng ta sẽ tính số trường hợp có thể xảy ra của bộ số (x1, x2, , x6) với điều kiện 1 ≤ xi ≤ 6, sao cho tổng của chúng bằng 21 Để làm điều này, chúng ta cần phân tích các giá trị của d1, d2, , d6 và xác định số lượng các kết quả thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Số trữớng hủp xÊy ra n y bơng hằ số cừa x 21 trong khai triºn
Vẳ x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 l h m sinh cừa dÂy (1, 2, 3, 4, 5, 6) Ta cõ thº tẵnh nh÷ sau x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = x(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) = x 1 − x 6
Vẳ tẳm hằ số cừa x 21 trong khai triºn G(x) nản ta ch¿ quan tƠm tợi hằ số cừa
P (x) = x 6 − C 6 1 x 12 + C 6 2 x 18 − C 6 3 x 24 + C 6 4 x 30 − C 6 5 x 36 + x 42 vợi bêc ≤ 21 °t p r l hằ số cừa x r trong khai triºn P (x) Do õ, P (x) ch¿ cõ cĂc hằ số l p 6 = 1, p 12 = −C 6 1 = −6, p 18 = C 6 2 = 15 l thọa mÂn. °t c r l hằ số cừa x r trong khai triºn C(x) = 1
C r+5 r Do õ, hằ số cừa x 21 trong khai triºn cừa G(x) l p 6 c 15 + p 12 c 9 + p 18 c 3 = 1.C 20 15 − 6C 14 9 + 15C 8 3 = 4332.
Vêy xĂc suĐt º tờng iºm bơng 21 l 4332
3888 Vẵ dử 3.3.3 Tẳm số nghiằm nguyản dữỡng º x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 17 , trong õ
0 ≤ x 1 ≤ 2, 0 ≤ x 2 ≤ 5, 0 ≤ x 3 ≤ 5, 2 ≤ x 4 ≤ 6 Lới giÊi B i toĂn  cho quy vã ám số nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 17.
H m sinh cho số nghiằm nguyản dữỡng cừa x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 17 l G(x) = (1+x+x 2 )(1+x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 )(1+x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 )(x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ).
Do õ, số nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh chẵnh l hằ số cừa x 17 trong khai triºn h m sinh G(x) Vợi sỹ trủ giúp cừa hằ thống Ôi số mĂy tẵnh, ta ữủc
45x 7 + 31x 6 + 19x 5 + 10x 4 + 4x 3 + x 2 Suy ra hằ số cừa x 17 l 4
Vêy cõ 4 nghiằm nguyản dữỡng.
Vẵ dử 3.3.4 Tẳm h m sinh cho số nghiằm nguyản dữỡng cừa x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = k , trong â x 1 ≥ 0, 0 ≤ x 2 ≤ 5, 0 ≤ x 3 ≤ 5, 2 ≤ x 4 ≤ 6
Lới giÊi Vẵ dử n y giống nhữ vẵ dử trữợc ngoÔi trứ x 1 khổng bà giợi hÔn trản Do õ, ta cõ h m sinh f (x) = (1 + x + x 2 + ã ã ã )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 2 (x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 )
Chú ỵ rơng (1 − x) −1 = (1 + x + x 2 + ã ã ã ) l chuội Maclaurin quen thuởc Khổng giống nhữ h m sinh trong vẵ dử trữợc, h m sinh n y cõ khai triºn vổ hÔn f (x) = x 2 + 4x 3 + 10x 4 + 20x 5 + 35x 6 + 55x 7 + 78x 8 + 102x 9 + 125x 10 + 145x 11 + 160x 12 + 170x 13 + 176x 14 + 179x 15 + 180x 16 + 180x 17 + 180x 18 + 180x 19 + 180x 20 + ã ã ã
Vẵ dử 3.3.5 [China 1996] Cho n l số nguyản dữỡng Tẳm số a thực P (x) vợi hằ số thuởc {0; 1; 2; 3} thọa mÂn P (2) = n
Lới giÊi °t P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ã ã ã + a k x k + ã ã ã Theo giÊ thiát P (2) = n , suy ra a 0 + 2a 1 + 4a 2 + ã ã ã + a k 2 k + ã ã ã = n , vợi 0 ≤ k ≤ 3
Vẵ dử 3.3.6 [China 1999] Vợi têp hủp A , gồi s(A) l tờng cừa cĂc phƯn tỷ cừa
Trong bài viết này, ta nghiên cứu tỉ lệ phần trăm của tập hợp T Đầu tiên, với mỗi số nguyên i thuộc T trong khoảng từ 1 đến 1999, ta có T = i trong tờng s(T) Ngược lại, nếu T = 0, ta có thể liên kết T với hàm sinh x thông qua công thức x^0 + x^i = 1 + x^i Hàm f(x) được định nghĩa là f(x) = (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^1999) = Σc_n * x^n Hàm f là một sóng ánh giữa mọi tập con T = {a1, a2, , an} của S, với mỗi số hạng x^a1 * x^a2 * * x^am = x^(a1 + a2 + + am).
Gồi ξ = e 2π 7 i l côn bêc 7 nguyản thừy cừa phữỡng trẳnh x 7 = 1 , trong õ i 2 = −1 v ξ 6= 1 Khi õ, ξ l mởt nghiằm cừa x 7 − 1 x − 1 = 1 + x + x 2 + ã ã ã + x 6 , tực l 1 + ξ + ξ 2 + ã ã ã + ξ 6 = 0 Vợi r chia hát cho 7, ta cõ P 6 k=1 ξ kr = P 6 k=1 1 = 6 Vợi r khổng chia hát cho 7,
(Nõi cĂch khĂc, mởt têp hủp ho n ch¿nh cừa cĂc lợp dữ mổun 7 văn cỏn bĐt bián bơng cĂch nhƠn r vợi mội số trong têp hủp.) Khi õ,
L m c¡ch t÷ìng tü, ta câ
!, vẳ f (ξ 0 ) = f (1) = 2 1999 Chú ỵ rơng ξ, ξ 2 , , ξ 7 = 1 l cĂc nghiằm cừa g(x) = x 7 −1 Khi â, g(x) = x 7 − 1 = (x − ξ)(x − ξ 2 ) ã ã ã (x − ξ 7 ).
Ta cõ f (ξ i ) = 2 285 (1 + ξ 3i ) , vợi 1 ≤ i ≤ 6 Suy ra
Tứ phữỡng trẳnh (*), suy ra
−1 − 1 = −2, cán l¤i Vêy số phƯn tỷ cừa T r l
Vẵ dử 3.3.7 [IMO 1995] Cho p l số nguyản tố l´ Họi cõ bao nhiảu têp con A cõ p phƯn tỷ thuởc {1, 2, , 2p} sao cho tờng cĂc phƯn tỷ cừa nõ chia hát cho p ?
Lới giÊi Vợi mội i, 1 ≤ i ≤ 2p , ta khổng thº thọa mÂn i sao cho x 0 +x i = 1+x i , vẳ tẵch
Hàm sinh g(t, x) được định nghĩa là g(t, x) = (t + x)(t + x²)(t + x³) (t + x²p), thể hiện mối quan hệ giữa các tệp con và phân tỷ của chúng Số lượng tệp con tương ứng với số hạng của x trong hàm sinh này, cho thấy sự tương tác giữa các thành phần trong phân phối.
Khi õ, a k,m bơng số têp con S cừa {1, 2, , 2p} sao cho (i) |S| = 2p − k ;
(ii) Têng c¡c ph¦n tû cõa S l m
X p|k,p|m a k,m = X p|m a p,m + X p|m a 0,m + X p|m a 2p,m = X p|m a p,m + 2, vẳ ch¿ cõ mởt têp con vợi mội phƯn tỷ l 2p ho°c 0 nản
B = X p|k,p|m a k,m = A + 2. º tẳm B , ta sỷ dửng cĂc nghiằm nguyản Gồi ξ = e 2π p i , trong õ i 2 = −1 l côn bêc p nguyản thừy cừa phữỡng trẳnh x p = 1 Khi õ,
X x∈E g(t, x) bơng hai cĂch (Chú ỵ rơng ta tẵnh tờng gĐp ổi trản tĐt cÊ cĂc nghiằm bêc p thay vẳ tẵnh mởt tờng cừa nhỳng nghiằm õ.) Ta cõ
Ró r ng, g(t, 1) = (t + 1) 2p Theo Vẵ dử 3.3.6, ta cõ
{1, 2, , p} ≡ {r ã 1, r ã 2, , r ã p} ( mod p) vợi số nguyản r chia hát cho p Khi õ, ξ i vợi 1 ≤ i ≤ p − 1 , ta cõ
Cụng theo Vẵ dử 3.3.6, ta cõ h(t) = (t + ξ)(t + ξ 2 ) ã ã ã (t + ξ p ) = t p − 1 Suy ra h(−t) = (−t − ξ)(−t − ξ 2 ) ã ã ã (−t − ξ p ) = (−t) p − 1 = −(t p + 1).
Do â, g(t, ξ t ) = [(t + ξ)(t + ξ 2 ) ã ã ã (t + ξ p )] 2 = [(−1) p h(−t)] 2 = (t p + 1) 2 Kát hủp cĂc iãu trản, ta ữủc
Trong cĂc tẵnh toĂn trản, ta  Ăp dửng
( 0, náu r khổng chia hát cho p p, náu r chia hát cho p
Ngữủc lÔi, vẳ g(t, x) = P k,m a k,m t k x m , ta câ X t∈E
Vêy số têp con cõ p phƯn tỷ thuởc {1, 2, , 2p} l
(1 − x) 3 = 1 2 x + 2 2 x 2 + 3 2 x 3 + ã ã ã NhƠn cÊ hai vá cừa ¯ng thực cuối vợi 2 , ta cõ
Vêy hằ số cừa x n trong G(c) l a n = 2n 2
Ta cƯn tẵnh tờng cĂc hằ số a 0 + a 1 + a 2 + ã ã ã + a n
(1 − x) 4 = 2x(1 − x) −4 + 2x 2 (1 − x) −4 Hằ số cừa x n trong khai triºn 2x(1 − x) −4 l hằ số cừa x n−1 trong khai triºn
2(1 − x) −4 Hằ số cừa x n trong khai triºn 2x 2 (1 − x) −4 l hằ số cừa x n−2 trong khai triºn 2(1 − x) −4
Vẵ dử 3.3.9 [PTNK 2009] Tẳm số tĐt cÊ cĂc số cõ n chỳ số lêp tứ cĂc chỳ số
3, 4, 5, 6 v chia hát cho 3 Lới giÊi Mởt số chia hát cho 3 náu tờng cĂc chỳ số cừa nõ chia hát cho 3 Méi chú sè câ thº l 3, 4, 5, 6
G(x) = (x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ã ã ã + a 6n x 6n Gồi số tĐt cÊ cĂc số cõ n chỳ số lêp tứ cĂc chỳ số 3, 4, 5, 6 v chia hát cho 3 l
S n Khi õ, S n chẵnh l tờng cĂc hằ số cừa cĂc số mụ chia hát cho 3 Gồi ε = e 2πi 3 l côn bêc ba nguyản thừy cừa phữỡng trẳnh x 3 = 1 , ta cõ ε 2 +ε+1 = 0 Khi â,
Mởt số b i têp tỹ giÊi
CĂc b i têp dữợi Ơy tữỡng tỹ cĂc vẵ dử cõ lới giÊi ð trản nản d nh cho ngữới ồc tỹ giÊi.
1 Tẳm h m sinh cho số nghiằm cừa x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 , biát 0 ≤ x 1 ≤ 3, 2 ≤ x 2 ≤ 5, 0 ≤ x 3 ≤ 5, 4 ≤ x 4 ≤ 6
2 Tẳm h m sinh cho số nghiằm cừa x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = k , biát 0 ≤ x 1 ≤ ∞, 3 ≤ x 2 ≤ ∞, 2 ≤ x 3 ≤ 5, 1 ≤ x 4 ≤ 5
3 Tẳm mởt h m sinh cho số nghiằm nguyản khổng Ơm l 3x + 2y + 7z = n Hữợng giÊi H m sinh cừa 3x + 2y + 7z = n l
4 Cho p l số nguyản tố Tẳm số têp con T cừa têp {1, 2, , p} sao cho tờng cĂc phƯn tỷ cừa T chia hát cho p
Hữợng giÊi X²t h m sinh G(x) = (1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 3 ) ã ã ã (1 + x p ) GiÊ sỷ khai triºn ữủc G(x) = P a n x n Ta cƯn tẵnh tờng cĂc hằ số cõ số mụ chia hát cho p , tực l cƯn tẵnh a 0 + a p + ã ã ã
5 Cho A 1 , A 2 , ã ã ã , B 1 , B 2 , ã ã ã l cĂc têp sao cho A 1 = ∅ , B 1 = {0} ,
A n+1 = {x + 1|x ∈ B n } v B n+1 = A n ∪ B n /An ∩ B n ,vợi mồi số nguyản dữỡng n Tẳm tĐt cÊ n sao cho B n = {0}
Ùng dửng h m sinh º ám trong cĂc b i toĂn tờ hủp
Mởt số b i têp cõ lới giÊi
Cho n là số nguyên dương với n ≥ 3, và n học sinh có chiều cao khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp n học sinh sao cho chiều cao của 3 học sinh bất kỳ (không nhất thiết phải đứng cạnh nhau), từ trái sang phải, không theo thứ tự trung bình, cao, thấp?
Lới giÊi Gồi a n l số cĂch xáp h ng thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa b i toĂn v cho dÂy {a n } n≥0 = (a 0 , a 1 , a 2 , ) , vợi a 0 = 1, a 1 = 1 v a 2 = 2
Gồi G(x) là hàm sinh của dãy {a_n} với n ≥ 0 Chú ý rằng hệ số của x^(n-1) trong (G(x))^2 chính là P_n, được xác định bởi công thức P_n = Σ (a_k * a_(n-k)) với k từ 0 đến n Nói cách khác, với n ≥ 1, hệ số của x^(n-1) trong (G(x))^2 tương ứng với hệ số của x^n trong G(x).
Do õ, chuội x(G(x)) 2 khợp vợi chuội G(x) ngoÔi trứ hơng số khổng ời Ta cõ x(G(x)) 2 = G(x) − 1.
GiÊi phữỡng trẳnh trản dữợi dÔng bêc hai theo G(x) , ta ữủc
Tiáp theo ta khai triºn √ 1 − 4x ra chuội lụy thứa Cho f (x) = √ 1 − 4x Khi õ, f 0 (x) = −2(1 − 4x) −1 2 , f 00 (x) = −2 2 (1 − 4x) −3 2 , f (3) (x) = −2 3 3(1 − 4x) −5 2 , f (4) (x) = −2 4 3.5(1 − 4x) −7 2 , ã ã ã f (n) (x) = −2 n 3.5 ã ã ã (2n − 3)(1 − 4x) −(2n−1) 2
(n − 1)! (1 − 4x) −(2n−1) 2 , trong õ vợi n ≥ 3, f (n) (x) l Ôo h m thự n cừa f (x) Do õ, chuội Maclaurin vợi √ 1 − 4x l
Vêy a n = 1 n + 1 C 2n n Vẵ dử 3.4.2 Gồi a n l số cĂch º trÊ n USD bơng cĂch sỷ dửng hõa ỡn 10 USD, hõa ỡn 5 USD v hõa ỡn 1 USD Tẳm h m sinh chuội lụy thứa hẳnh thùc A(x) = P n≥0 a n x n
Lới giÊi Gồi f (n) l số cĂch ch¿ trÊ n USD bơng hõa ỡn 10 USD Khi õ, f (n) = 1 náu n chia hát cho 10 v f (n) = 0 náu n khổng chia hát cho 10 Do õ,
Tữỡng tỹ, gồi g(n) l số cĂch ch¿ trÊ n USD bơng hõa ỡn 5 USD Khi õ g(n) = 1 náu n chia hát cho 5 v g(n) = 0 náu n khổng chia hát cho 5 Do õ,
Cuối cũng, náu gồi h(n) l số cĂch ch¿ trÊ n USD bơng hõa ỡn 1 USD, thẳ ró r ng h(n) = 1, ∀n ≥ 0 Khi â,
Để tạo ra số tiền 53 USD, cần kết hợp các mệnh giá tiền sao cho tổng cộng là 53 Cụ thể, có một số mệnh giá chia hết cho 10, một số chia cho 5 và một số cuối cùng là 30 + 20 + 3 Cách thực hiện là sử dụng 3 tờ 10 USD (tổng 30 USD), 4 tờ 5 USD (tổng 20 USD) và 3 tờ 1 USD (tổng 3 USD) Như vậy, ta có thể sắp xếp các mệnh giá khác nhau để đạt được tổng số tiền 53 USD một cách hợp lý.
Vêy hằ số cừa x n ð vá phÊi (chẵnh l số cĂch ta cõ thº chồn tứ ba số hÔng nhữ vêy) l a n Vẳ vêy, ta chựng minh ữủc rơng
Số Catalan là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lý thuyết tổ hợp Nó thể hiện số lượng cách sắp xếp các cặp dấu ngoặc đúng cách Một cây nhị phân có gốc là một ví dụ điển hình, trong đó các nút con có thể có 0, 1 hoặc 2 nút con Câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu cây nhị phân có gốc khác nhau có thể được tạo ra.
Hẳnh 3.1: CƠy nhà phƠn cõ gốc
Cây nhà phấn có gốc khác nhau được biểu diễn bằng số Catalan Ban đầu, ta xác định C(0) = 1 Tiếp theo, ta có C(1) = 1, C(2) = 2 và C(3) = 5 Chú ý rằng bất kỳ cây nhà phấn nào có gốc n đều có thể được hình thành từ hai cây nhà phấn (có thể không có gốc) nối với nhau thành một cây mới, bằng cách thay thế một đỉnh gốc mới và tạo ra con đường gốc n mới từ hai gốc của hai cây nhà phấn trước đó.
Để tối ưu hóa việc mở rộng các cây nhà phấn, chúng ta cần chú ý đến việc cắt tỉa đúng cách Việc cắt tỉa không chỉ giúp cây phát triển mạnh mẽ hơn mà còn tạo điều kiện cho các nhánh mới sinh trưởng Khi thực hiện cắt tỉa, cần đảm bảo rằng các nhánh được cắt tỉa đúng vị trí và không làm tổn hại đến cây mẹ Điều này sẽ giúp cây phát triển đồng đều và khỏe mạnh hơn trong tương lai.
Hẳnh 3.2: CƠy mợi ữủc tÔo ra tứ nhỳng cƠy nhọ hỡn Vẵ dử nhữ C 0 = C 1 = 1 v C 2 = 2 Suy ra
Ta có thể kết hợp các cây trần rụng vợi 0, 1 và 2 đỉnh để tạo ra các cây rụng vợi 3 đỉnh, như mô tả trong hình 3.3 Lưu ý rằng hai cây ưu tiểu không có con bản trái, và chỉ có một cây 0 đỉnh là rộng, trong khi hai cây cuối cùng cũng không có con.
Hẳnh 3.3: CƠy nhà phƠn trản 3 ¿nh p dửng h m sinh º tẳm cổng thực tữớng minh cừa C n Gồi f = P ∞ i=0 C i x i X²t f 2 , hằ số cừa số hÔng x n trong khai triºn cừa f 2 l P n i=0 C i C n−i t÷ìng ùng vợi tĐt cÊ cĂc cĂch cõ thº nhƠn cĂc số hÔng cừa f º ữủc số hÔng x n
Do â f 2 = P ∞ n=0 C n+1 x n Suy ra xf 2 + 1 = f ho°c xf 2 − f + 1 = 0 , vợi mồi x Ta cõ f = 1 ± √
2x , vợi x 6= 0 Khi x tián tợi 0 thẳ
1 − 4x 2x tián tợi 1 Vẳ f (0) = C 0 = 1 nản Ơy l f ta cƯn tẳm. p dửng ành lỵ 1.2.5, ta cõ
Khai triºn hằ số nhà thực C n+1 1
Mởt số b i têp tỹ giÊi
1 Cõ bao nhiảu cĂch ời tớ 500 nghẳn ỗng th nh cĂc tớ 1 nghẳn, 2 nghẳn, 5 nghẳn v 1 0 nghẳn?
Hữợng giÊi B i toĂn  cho quy vã ám số nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 10x 4 = 500.
Số nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh trản chẵnh l hằ số cừa x 500 trong khai triºn cõa h m sinh
(1 − x 5 ) 2 ỗng nhĐt thực hằ số, ta cƯn tẳm ữủc A, B, C, D, E, F Vêy số cĂch ời tớ 500 nghẳn ỗng chẵnh bơng hằ số cừa x 500 trong khai triºn G(x)
2 Cõ bao nhiảu cĂch chồn ra 25 USD tứ 30 ngữới náu 29 ngữới Ưu, mội ngữới cõ thº ữa ra nhiãu nhĐt 1 USD, ngữới thự 30 cõ thº ữa ra 1 USD ho°c 5 USD ho°c khổng cõ USD n o?
Hữợng giÊi H m sinh cho số cĂch chồn nhiãu nhĐt 1 USD tứ 29 ngữới l A(x) = (1 + x) 29
H m sinh cho số cĂch chồn 1 USD ho°c 5 USD ho°c khổng cõ USD n o cõa ng÷íi thù 30 l B(x) = 1 + x + x 5
H m sinh cho cĂch chồn ra 25 USD l
Ta ch¿ cƯn tẳm hằ số cừa x 25 trong khai triºn cừa G(x) l số cĂch chồn ra
Kát luên õng gõp cừa luên vôn Trong luên vôn n y, chúng tổi  trẳnh b y chi tiát mởt số nởi dung sau.
1 ành nghắa, cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn, tẵch v hủp cừa h m sinh lụy thứa hẳnh thùc.
2 ành nghắa, tẵch v hủp cừa h m sinh dÔng mụ.
3 ành nghắa, cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn, tẵch cừa h m sinh dÔng a thực.
4 Ùng dửng h m sinh trong tẳm cổng thực tữớng minh cừa mởt dÂy số truy hỗi.
5 Ùng dửng h m sinh trong chựng minh ¯ng thực tờ hủp.
6 Ùng dửng h m sinh trong cĂc b i toĂn số hồc tờ hủp.
7 Ùng dửng h m sinh º ám trong cĂc b i toĂn tờ hủp.