skkn mới nhất skkn một số phương pháp giải hệ phương trình cho học sinh giỏi lớp 9 trường thcs đông cương

Mục lục Tiêu đề Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: .2 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Đối tượng nghiên cứu: 1.4 Phương pháp nghiên cứu: NỘI DUNG .3 2.1 Cơ sở lý luận: 2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: 2.3 Các giải pháp thực hiện: .5 2.3.1: Hệ thống kiến thức số hệ phương trình bản: a Hệ phương trình đối xứng loại I: b Hệ phương trình đối xứng loại II c Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: d Sử dụng phương pháp tạo phương trình đẳng cấp (đồng bậc) 2.3.2 Bài toán cụ thể: 2.3.3 Bài toán tự luyện:……………………………………………………… 17 2.4 Kết sau nghiêm cứu ….20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .20 download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Thực đổi giáo dục nay, là: không dạy kiến thức cho em, mà cần dạy phương pháp suy luận, khả vận dụng, khả kết nối môn khoa học, hướng tư khái quát phát minh khoa học Người thầy phải thực điều hướng dẫn hoc sinh thực tiết học Tất nhiên để làm được, người thầy phải có khả trên, với yêu nghề đam mê khoa học, đồng thời phải có phương pháp tạo tình có vấn đề cho hoc sinh, từ đưa tư tưởng phát minh vào tiết học, với xuất phát điểm phải từ SGK sau phát triển tốn, dạng toán lên để đáp ứng nhu cầu học tập học sinh Hệ phương trình nội dung quan trọng chương trình tốn phổ thơng Hệ phương trình có nhiều dạng cách giải khác Đơn giản hệ hai phương trình bậc hai ẩn, hệ ba phương trình bậc ba ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn học sinh học cấp hai, đến lớp 10 ôn tập lại học hệ ba phương trình bậc ba ẩn Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp nhiều hệ phương trình khơng mẫu mực khác học sinh khơng tìm hiểu thức chương trình học, nhà trường có biết thơng qua tài liệu tham khảo, tự học Chính bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em hệ thống tập nhiều, tốt, khó hay mà phải cần rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh Dạng toán giải Giải hệ phương trình mảnh đất thuận lợi cho thực cơng việc 1.2 Mục đích nghiên cứu: Hệ phương trình mảng kiến thức quan trọng chương trình ơn thi học sinh giỏi cấp thi Đại học sau Để đáp nhu cầu học tập học sinh tơi mạnh dạn cung cấp thêm phương pháp kỹ giải hệ phương trình Để em có cách nhìn tồn diện dạng tốn Cho nên thân mạnh dạn tìm tịi nghiên cứu đưa “Một số phương pháp giải hệ phương trình cho học sinh giỏi lớp trường THCS Đông Cương” nhằm đáp ứng tốt bền vững q trình ơn thi học sinh giỏi cấp download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải hệ phương trình Những tốn cụ thể bao gồm phân tích lời giải Các tập tự luyện 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Giáo viên đưa tập cụ thể với học sinh phân tích, định hướng thuộc dạng phương pháp giải dạng tìm tịi lời giải phân tích lời giải vận dụng vào giải tương tự Định hướng học sinh tham khảo thêm tài liệu liên quan, hướng dẫn cách học nhà, cách khai thác nguồn tài liệu, rèn luyện tính tự học NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thông tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hịa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu Việc học tốn khơng phải học SGK, khơng làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn giải hệ phương trình dạng tốn quan trọng mơn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp học sau môn học khoa học tự nhiên khác, … skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn hệ phương trình cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn Các phương pháp chủ yếu như: * Phương pháp - Cơ sở phương pháp: Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình cịn lại - Nhận dạng: Phương pháp thường hay sử dụng hệ có phương trình bậc ẩn * Phương pháp đưa dạng tích - Cơ sở phương pháp: Phân tích hai phương trình hệ thành tích nhân tử Đơi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình hệ đưa dạng tích * Phương pháp cộng đại số - Cơ sở phương pháp: Kết hợp phương trình hệ phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau - Nhận dạng: Phương pháp thường dùng cho hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k * Phương pháp đặt ẩn phụ 2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Ở kỳ thi học sinh giỏi cấp, thi vào trung học phổ thơng, mơn Tốn thành phố Thanh Hóa nhiều nằm đạt kết cao số năm khơng tốt Đó điều mà người giáo viên đứng lớp lúc phải suy nghĩ, băn khoăn, trăn trở, tìm hiểu nguyên nhân, lý kết không bền vững Để chất lượng đội tuyển bền vững thân thiết nghĩ chương trình dạy học phần quan trọng q trình dạy học Trong phần kiến thức “Giải hệ phương trình” năm có Trong trình dạy học bồi dưỡng cho skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong em, giáo viên thường gặp dạng hướng dẫn dạng mà không theo dạng tổng quát Hầu em cịn lúng túng chưa có cách giải tổng qt hay chưa có kỹ thành thạo gặp dạng hệ phương trình Vì việc nhận dạng khái qt hóa cách giải số hệ phương trình việc làm thiết thực cấp bách Để đánh giá khả giải tốn có phương án, phương pháp truyền đạt đến học sinh Tôi tiến hành kiểm tra em đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp thành phố năm học 2016-2017 với thời gian làm 30 phút Đề bài: Bài (5đ): Giải hệ phương trình: Bài (5đ): Giải hệ phương trình: Kết cụ thể: Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 16,7 33,3 33,3 16,7 Qua kiểm tra thấy học sinh đội tuyển Tốn thức Nhưng chất lượng làm không cao Nếu làm lập luận thiếu chặt chẽ; từ tơi phân dạng để học sinh dễ tiếp thu Trong buổi học thơng qua tình có vấn đề tập đưa ra, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng tốn, biết nhìn tốn nhiều góc độ Hay xuất phát từ toán bất kỳ, yêu cầu học sinh phải phán đoán đưa nhận xét hướng giải Tìm nhiều cách giải thú vị gây hứng thú học tập 2.3 Các giải pháp thực hiện: 2.3.1: Hệ thống kiến thức số hệ phương trình bản: a Hệ phương trình đối xứng loại I: - Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn hệ phương trình khơng thay đổi trật tự phương trình không thay đổi skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong - Cách giải: Biến đổi đưa dạng tổng - tích + Đặt + Giải hệ với ẩn S; P với điều kiện có nghiệm (x; y) + Tìm nghiệm (x; y) cách vào phương trình b Hệ phương trình đối xứng loại II - Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn hệ phương trình khơng thay đổi trật tự phương trình thay đổi (phương trình trở thành phương trình kia) - Cách giải: Lấy vế trừ vế phân tích thành nhân tử, lúc đưa dạng , tức ln có c Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: Lấy (1)- (2) phương trình đẳng cấp bậc hai nên tìm liên hệ phương trình lại với tạo đồng bậc) (bản chất nhân chéo hai Lưu ý: Ta làm tương tự dạng đẳng cấp bậc ba bậc bốn d Sử dụng phương pháp tạo phương trình đẳng cấp (đồng bậc) Dạng thường gặp với biểu thức đẳng cấp bậc m; n; k thỏa mãn Phương pháp giải: Sử dụng kỹ thuật đồng bậc, tức là: Hệ phương trình cho phương trình đẳng cấp bậc k, tìm liên hệ x; y 2.3.2 Bài toán cụ thể: Bài toán 1: Giải hệ phương trình: (1) Phân tích: Khi thay đổi vị trí x y cho hệ khơng thay đổi trật tự phương trình hệ không thay đổi hệ đối xứng loại I phương pháp giải biến đổi tổng tích skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Lời giải: Đặt Khi đó: (thỏa mãn đk) Với Vậy tập nghiệm hệ cần tìm Bài tốn 2: Giải hệ phương trình: (2) Phân tích: Khi thay đổi vị trí x y cho hệ khơng thay đổi trật tự phương trình hệ khơng thay đổi hệ phương trình có chứa thể đặt hệ đối xứng loại I Nhưng , nên ta đặt ta có , sau đặt s; p theo u, v kết tương tự Lời giải: Điều kiện Đặt với Suy ra: hoặc So với điều kiện, nghiệm hệ Bài tốn 3: Giải hệ phương trình: (3) Phân tích: Nếu thay đổi vị trí x y cho hệ khơng thay đổi phương trình trở thành phương trình hệ đối xứng loại II (lấy vế trừ vế) Ngoài quy đồng hệ đẳng cấp bậc ba (đặt ) Lời giải 1: skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong (do ) Vậy tập nghiệm hệ Lời giải 2: Xem hệ phương trình đẳng cấp bậc ba Đặt hệ , vào (1) Bài tốn 4: Giải hệ phương trình: (4) Phân tích: Nếu để hệ khó tìm hướng giải Nhưng chuyển hệ pt nhân chéo thu phương trình đẳng cấp bậc bốn với hai biến có lời giải chi tiết sau: Lời giải: Nhận thấy nghiệm hệ phương trình Xét skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Với vào pt thứ hệ ta Với vào pt thứ hệ ta Vậy tập nghiệm hệ Ghi chú: Ngoài nhân chéo để phương trình đẳng cấp ta dùng phương pháp với mục đích tạo phương trình bậc cao ẩn mà trọng tâm phương pháp cụm tạo thành phương trình đẳng cấp, tiền đề bản, cơng đoạn nhỏ để giải dạng toán Bài toán 5: Giải hệ phương trình: (5) Phân tích: Để ý thấy (1) đưa dạng: vế trái bậc vế phải bậc Mà phương trình (2) có vế trái bậc hai vế phải bậc không Nghĩ đến việc đồng bậc phương trình (1) cách dùng phương pháp từ phương trình (2) hệ Nhưng trước hết ta cần nhân thêm vào hai vế phương trình (1) để xuất hệ số để Lời giải Ta có +) Với +) Với +) Với , vào (2) vô nghiệm , vào (2) , vào (2) Vậy tập nghiệm hệ skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Nhận xét: Sau biến đổi ta hoàn toàn giải cách nhân chéo hai phương trình với nhau, tạo phương trình đẳng cấp bậc với biến Nhưng nhiều tốn, nhân chéo mang lại hiệu khơng cao, tức khơng tạo phương trình đẳng cấp Ta xét toán sau: Bài toán 6: Giải hệ phương trình: (6) Phân tích: Phương trình (1) có vế trái bậc 3, vế phải tích bậc với lượng Nếu lượng biến đổi thành bậc hai, thu phương trình đẳng cấp bậc Thật vào thu bậc 2, hiển nhiên (1) phương trình đẳng cấp bậc có lời giải sau: Lời giải: Vậy tập nghiệm hệ Nhận xét: Giải hệ phương trình đưa tích số dạng tốn thường xun xuất kỳ thi Để đưa tích số ta sử dụng số kỹ thuật như: Kỹ thuật tách, ghép, nhóm tam thức bậc hai, ký thuật liên hợp, kỹ thuật dùng phương pháp cộng Bài tốn 7: Giải hệ phương trình: (7) skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 10 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Phân tích: Phương trình (1) (2) có dạng tam thức bậc theo ẩn theo ẩn ta khơng tìm phương trình (1) Do định hướng biến đổi tích số phương trình (2) với hướng suy nghĩ sau đây: Hướng 1: Nhận thấy vế trái (2) có dạng đẳng cấp nên sử dụng máy tính để phân tích thành tích số nhóm này, tức có ta cần phân tích vế trái theo hạng tử tích này, có sẵn viết nên có nhân tử, tức (2) Lưu ý: Việc phân tích thành tích số biểu thức có dạng bậc hai biến: với trình hai nghiệm phương Ta làm tương tự việc phân tích đa thức bậc hai biến dạng Hướng 2: Xem (2) phương trình bậc ẩn , tức Ta có số phương nên có: hay (2) Hướng 3: Xem (2) phương trình bậc ẩn , ta kết tương tự Lời giải: Ta có (2) * Với , vào (1) * Với , vào (1) Vậy tập nghiệm hệ Bài toán 8: Giải hệ phương trình: (8) Phân tích: Nhận thấy (1) có dạng tam thức bậc với ẩn hướng sau: Hướng 1: Nếu chuyển vế dạng (1) cấp nên phân tích có vế trái dạng đẳng có nhân tử với vế phải skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 11 nên có download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Hướng 2: Xem (2) phương trình bậc ẩn tìm nhân tử từ (2), tức có (2) Lời giải: Điều kiện ẩn ta phân tích , (do ) Suy vào (2) (do: (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm hệ Bài tốn 9: Giải hệ phương trình: (9) Phân tích: Từ phương trình (2), nhìn nhận phương trình bậc với ẩn lập khơng số phương nên khơng áp dụng phân tích theo tam thức Lúc ta nghĩ đến việc nhóm hạng tử, ta nên ưu tiên phép thử hạng tử có chứa số giống trước, nhận thấy nhóm có dựa vào để ghép cặp cịn lại Tức có nhân tử Lời giải: Từ (2) *) Với *) Với , vào (1) , vào (1) Vậy tập nghiệm hệ Nhận xét: Kỹ thuật phân tích thành tích số việc tách - ghép - nhóm hạng tử kỹ thuật việc giải hệ phương trình Ngồi cịn pháp phân tích đa thức biến máy tính bỏ túi sau: Bước 1: Cho biến chứa bậc cao 1000, chẳng hạn bậc cho hay được) skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 12 download by : skknchat@gmail.com (nếu skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Bước 2: Thế tích vào phân tích thành nhân tử (phân Hoocner phương trình bậc cao) Bước 3: Dựa vào đa thức trở lại biểu thức tích Ví dụ: Từ (2) cho lúc viết (2) được: * Ngoài việc kỹ thuật tách, ghép, nhóm tam thức bậc hai để đưa phương trình tích ta sử dụng kỹ thuật liên hợp: Bài toán 10: Giải hệ phương trình: (10) Phân tích: Từ (1), nhận thấy có nhân tử với vế phải nên ghép thức lại với để tiến hành liên hợp Nhưng liên hợp xuất mẫu số dạng nên ta phải xét lượng có khác hay chưa? Lời giải: Điều kiện Khi (1) dương nên cần Với thì: (1) (3) Kết hợp (3) với (2), suy hệ: (thỏa mãn đk) Vậy tập nghiệm hệ Bài tốn 11: Giải hệ phương trình: (11) Phân tích: Nhận thấy (1), (2) phương trình bậc hai với ẩn , biệt số delta không phương Đối với hệ phương trình đại số có biến khơng độc lập với nhau, chẳng hạn Thường ta làm theo bước sau: * Viết lại hệ hai phương trình bậc hai với ẩn : skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 13 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong * Lập tỉ số hệ số: * Thế nghiệm hệ vào hệ ban đầu: * Do để hai phương trình ln (dạng = 0) cộng lại ta phải nhân phương trình thứ hai với -2 Lúc đó, lấy (1’) - 2.(2’) thu tích: Lời giải: Ta có: Với Nếu dấu “=” xảy ra, tức Nhưng nghiệm không thỏa mãn (*) Vậy tập nghiệm hệ Bài tốn 12: Giải hệ phương trình: Phân tích: skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 14 download by : skknchat@gmail.com (12) skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Viết hệ dạng phương trình bậc ẩn y: Lập tỉ lệ hệ số: Thế vào được: Do đó, lấy (1)+3.(2) thu phương trình tích số: Lời giải: Ta có: Với , vào (2) Với (khơng thỏa mãn hệ) Vậy tập nghiệm hệ Bài toán 13: Giải hệ phương trình: Phân tích: Viết lại hệ dạng: skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 15 download by : skknchat@gmail.com (13) skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong lấy (1) + 3.(2) thu phương trình tích số có dạng: có lời giải sau: Lời giải: Ta có: Với vào (1) Vậy tập nghiệm hệ phương trình Bài tốn 14: Giải hệ phương trình: (14) Phân tích: Viết lại hệ dạng: skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 16 download by : skknchat@gmail.com hệ phương trình skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Lời giải: Ta có: Vậy tập nghiệm hệ phương trình: Nhận xét: Từ tốn 11 đến 14 ta tìm hệ số tỉ lệ, từ lựa chọn hệ số nhân vào phương trình thích hợp, cộng lại Đối với tốn khơng tìm hệ số tỉ lệ ta làm nào? Câu trả lời trình bày qua bước giải sau: *) Bước 1: Tìm hai cặp nghiệm hệ phương trình, chẳng hạn: *) Bước 2: Tìm quan hệ tuyến tính hai nghiệm (thực chất viết phương trình đường thẳng qua hai điểm mp ) *) Bước 3: Thế quan hệ tuyến tính cho có lợi vào hệ phân tích thành nhân tử Từ xác định biểu thức nhân vào phương trình Tuy nhiên, cách không giải ta không nhẩm hai cặp nghiệm nghiệm lẻ khơng dị máy tính bỏ túi Bài tốn 15: Giải hệ phương trình: skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 17 download by : skknchat@gmail.com (15) skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong Phân tích: Nhận thấy hệ có nghiệm: hai nghiệm là: hay nên lấy Quan hệ tuyến tính Thay vào hệ ta được: phân tích nhân tử dạng Lời giải: Ta có: *) Với , vào *) Với Khi Khi có vào vơ nghiệm vào vơ nghiệm Vậy tập nghiệm hệ phương trình: Bài tốn 16: Giải hệ phương trình: Phân tích: Nhận thấy hệ có nghiệm: đường thẳng qua hai điểm là: (16) Do phương trình Thế vào hệ ta skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 18 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong được: nên lấy thu phương trình tích số dạng có lời giải chi tiết sau: Lời giải: Ta có: Với , vào Với , kết hợp với (1) được: Đây hệ chứa hai tam thức, giải ta nghiệm: Vậy tập nghiệm hpt: Nhận xét: Qua số toán ta thấy để giải hệ phương trình địi hỏi người học sinh phải nắm số kỹ thuật biến đổi như: Biến đổi đưa hệ dạng đối xứng loại I; II, hệ gần giống đối xứng loại II; hệ đẳng cấp; kỹ thuật tách, ghép, nhóm, tam thức bậc hai, kỹ thuật liên hợp, kỹ thuật dùng phương pháp cộng để đưa tích số; kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2; Kỹ thuật đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp phương trình; đặt ẩn phụ đưa hệ Ngoài ta skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 19 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong có dùng định lý Viét để tìm phép đặt ẩn phụ giải nhiều toán 2.3.3 Bài toán tự luyện: Bài toán 1: Giải hệ phương trình: Bài tốn 2: Giải hệ phương trình: Bài tốn 3: Giải hệ phương trình: Bài tốn 4: Giải hệ phương trình: Bài tốn 5: Giải hệ phương trình: Bài tốn 6: Giải hệ phương trình: 2.4 Kết sau nghiêm cứu Sau áp dụng SKKN vào giảng dạy cho em, nhận thấy việc học tập em có phần tiến rõ rệt Từ việc tư vào giải thái độ học tập u thích mơn Tôi tiến hành kiểm tra lại em đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp thành phố năm học 2016-2017 với thời gian làm 30 phút kết cho thấy khả quan Cụ thể: Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 00,0 16,7 50,0 33,3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tơi nhận thấy việc dạy dạng tốn giải hệ phương trình có ý nghĩa thực tế cao Nó rèn luyện cho học sinh tư logic, khả sáng tạo, khả diễn đạt xác nhiều quan hệ tốn học,… q trình dạy học giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm mối quan skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 20 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong hệ biến, định hướng phân tích để học sinh vận dụng hết kỹ thuật biến đổi để tiếp cận đến lời giải Bên cạnh đó, giáo viên tạo hứng thú cho học sinh học, hướng dẫn học sinh cách học bài, làm cách nghiên cứu trước nhà Để giải tốt dạng toán hệ phương trình người học cần tìm hiểu nhiều kỹ biến đối Nhưng với phạm vi đề tài đưa số kỹ thuật mà thường hay dùng trình làm tập vận dụng để giải nhiều dạng tập khác Do thời gian hoàn thành đề tài không nhiều nên tránh khỏi thiếu sót mong quý đồng nghiệp đóng góp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA TP Thanh Hóa, ngày 22 tháng 03 năm 2017 HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Hà Thị Thu skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong 21 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuongskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.phuong.phap.giai.he.phuong.trinh.cho.hoc.sinh.gioi.lop.9.truong.thcs.dong.cuong