skkn mới nhất rèn luyện cho học sinh lớp 12 kĩ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 KỸ NĂNG SỬ DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Người thực hiện: Trịnh Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn THANH HĨA NĂM 2017 MỤC LỤC download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC MỞ ĐẦU….….………………………………………………… …… 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… …….4 1.5 Những điểm sáng kiến ……………………………….……….4 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………… …4 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề……… ……………………………………… … 2.3 Các giải pháp thực hiện……… ………………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến………… ……………………………… 17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….………………… ……….…………… 18 3.1 Kết luận………………………………………………………………18 3.2 Kiến nghị…………………………………………………………….18 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Giáo dục Việt Nam tập trung đổi mới, hướng tới giáo dục tiến bộ, đại ngang tầm với nước khu vực giới Chính vai trị tốn có nội dung thực tế dạy học tốn khơng thể khơng đề cập đến Chủ đề ứng dụng tích phân kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề khơng giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học, ý nghĩa vật lý tích phân mà cịn cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ toán học với khoa học khác, với thực tế đời sống lao động sản xuất Đồng thời nội dung thường gặp đề thi học kì, đề thi học sinh giỏi đề thi trung học phổ thông Qua thực tế giảng dạy chủ đề ứng dụng hình học tích phân, tơi thấy học sinh gặp nhiều khó khăn Đặc biệt, để giải toán học sinh cần trang bị nhiều kiến thức tính tích phân, thiết lập hàm số, khảo sát vẽ đồ thị, tốn tương giao…Trong em thường vận dụng cơng thức cách máy móc, chưa có phân tích, thiếu tư thực tế trực quan, chưa có liên hệ tình thực tế với toán học nên em hay bị nhầm lẫn khơng giải Khắc phục khó khăn sửa chữa sai lầm cần thiết, giúp cho q trình giải tốn dễ dàng, thuận lợi đạt hiệu cao Đồng thời tạo hứng thú, phát triển tư duy, lực sáng tạo học sinh học tập mơn tốn môn học khác Xuất phát từ thực tế đó, tơi lựa chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông kỹ sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đưa số giải pháp, xây dựng hoạt động hoạt động thành phần giúp học sinh nắm vững công thức, phương pháp giải toán vận dụng linh hoạt kiến thức Thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, gây động để học sinh học tập tích cực từ góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy hình chủ đề ứng dụng tích phân trường trung học phổ thông 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính diện tích hình phẳng tích phân, sai lầm thường gặp học sinh giải toán cách khắc phục 1.4 Phương pháp nghiên cứu skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng trường trung học phổ thông, mạng internet, - Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt học học sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán qua kiểm tra, tìm hiểu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực số trường phổ thơng - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm lớp 12Đ, 12E,12G trường THPT Hà Trung năm học 2016 -2017 1.5 Những điểm sáng kiến - Phân loại dạng tập tính diện tích hình phẳng theo nội dung, cách giải khác sử dụng tốn - Bố sung số câu hỏi trắc nghiệm khách quan để học sinh nhận diện hình phẳng, khắc sâu cơng thức tính diện tích - Bổ sung số tốn ứng dụng tích phân thực tế NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Ý nghĩa hình học tích phân sách giáo khoa giải tích 12 nêu rõ: - Nếu hàm số liên tục đoạn phẳng giới hạn đồ thị hàm số diện tích hình , trục hồnh hai đường thẳng [1] - Để tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn có cơng thức sau: hai đường thẳng ta [1] 2.2 Thực trạng vấn đề Khi học sinh giải tốn ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, em thường mắc số lỗi sau: skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang - Học sinh thường khơng giải giải sai tốn tính tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối - Đối với hình phẳng mà đề cho giới hạn đường, học sinh thường lung túng việc xác định cận để lấy tích phân - Nếu khơng có hình vẽ học sinh thường khơng hình dung hình phẳng cần tính diện tích Do thường giải sai khơng có phương hướng để giải tốn - Đối với tốn có sẵn hình ( học sinh vẽ hình), em thường vận dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng cách máy móc, khơng phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt kĩ đọc đồ thị để xét dấu biểu thức, kĩ chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích - Khi gặp tốn có liên hệ thực tế, học sinh thường khơng nhìn thấy mối liên hệ diện tích hình phẳng cần tính với tích phân, khơng tìm hàm số phù hợp với hình phẳng cần tính diện tích 2.3 Các giải pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: - Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt Đặc biệt kĩ xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối, kĩ vẽ đồ thị đọc đồ thị hàm số - Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa có phân tích kèm lời giải chi tiết với cách khác Chỉ sai lầm mà học sinh thường gặp phải Từ rèn luyện cho học sinh tính xác, linh hoạt q trình giải tốn - Tăng cường tốn có nội dung thực tế để học sinh thấy ý nghĩa tích phân đời sống, từ tạo hứng thú cho học sinh học tập mơn tốn - Đổi việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra lực học sinh có kế hoạch điều chỉnh 2.3.1 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn đường trục đường thẳng Công thức: Nếu hàm số liên tục đoạn diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng [1]  Một số lỗi học sinh thường mắc: - Sử dụng sai công thức, không đưa hàm số tuyệt đối vào dấu giá trị skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang - Không xét dấu đoạn phương trình khoảng  Một số giải pháp: - Nhắc nhở học sinh sử dụng công thức - Củng cố lại cho học sinh cách xét dấu Cách 1: Ta có nhận xét: phương trình khoảng khoảng thức khơng tìm nghiệm có có dấu khơng đổi Vậy ta tính tích phân +) Giải phương trình nghiệm phân biệt biểu sau: Tìm nghiệm thuộc khoảng +) Chia đoạn để tính tích phân +) Xét dấu khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối tính tích phân Một số trường hợp đặc biệt, hàm số bậc ta sử dụng định lí dấu nhị thức bậc nhất; hàm số bậc hai, ta sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai Chú ý: ta sử dụng cơng thức: Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số +) Nếu đoạn đồ thị hàm số để suy dấu nằm phía trục hồnh Suy +) Nếu đoạn đoạn đồ thị hàm số nằm phía trục hoành Suy Các hoạt động củng cố Hoạt động Cho học sinh ghi nhớ cơng thức tính diện tích, nhận diện hình phẳng thơng qua số câu hỏi trắc nghiệm khách quan Trích số câu hỏi trắc nghiệm khách quan: skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Câu Cho hàm số có đồ thi hình vẽ Xét hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành, hai đường thẳng Gọi diện tích Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? y A B C D x Câu Cho hàm số liên tục đoạn giới hạn Xét hình phẳng đồ thị hàm số trục hồnh, hai đường thẳng (như hình vẽ bên) Gọi diện tích hình phẳng Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A y O a x b B C D Câu Cho hàm số đoạn O Gọi y  f  x y liên tục hình phẳng giới hạn đồ thị hồnh, hai đường thẳng (như hình vẽ bên) Giả sử tích hình phẳng Chọn trục a x O b diện công thức phương án A, B, C, D đây? A B C D [3] skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang y Câu 4: Cho hình thang cong hạn đường , giới , , Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích hình vẽ bên Tìm để S2 A S1 B x O C D k ln [3] Câu Cho đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy hình vẽ bên Gọi S phần diện tích tơ đậm Mệnh đề ?  B S    R  R   R  dx 2 A S   R  R  ( x  R) dx R ( x  R)2 C S  R  R   R2  2 D S   R  R  ( x  R) dx [3] Hoạt động Rèn luyện kĩ tính diện tích thơng qua ví dụ cụ thể Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng [2] Phân tích: Hình phẳng cần tính diện tích hội tụ đủ bốn đường Vậy để giải tốn, ta có cơng thức tính , cần xét dấu sau tính tích phân Lời giải: Cách (Xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt đối) Diện tích hình phẳng cần tính là: Ta có vơ nghiệm Suy Cách ( Dùng đồ thị) skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Vẽ đồ thị hàm số y Từ đồ thị ta có: Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: O x -1 -2 Ví dụ Tính diện tích trục hồnh, đường thẳng Lời giải hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số [1] Cách Diện tích cần tìm là: Xét dấu đoạn [0; 2] ta có Cách (Dùng đồ thị) Vẽ đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị ta có y Diện tích cần tìm: x O -1 Nhận xét: Phương pháp dùng đồ thị nên sử dụng tốn có sẵn hình vẽ Ví dụ Tính diện tích hình phẳng gới hạn đồ thị hàm số trục đường thẳng Lời giải Ta có Nghiệm khơng thỏa mãn điều kiện Diện tích cần tìm là: skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Đặt Vậy Nhận xét: Với tốn này, hình phẳng cho giới hạn trục , đường thẳng Thực hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số Trong hoành độ giao điểm Chú ý: Đối với hình phẳng giới hạn đường trục đường thẳng trục ( không đủ đường), ta cần tìm đường cịn lại từ nghiệm phương trình Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn elip: [1] Phân tích: Dựa vào tính chất đối xứng elip, ta nhận thấy hai trục tọa độ chia elip thành bốn phần Vậy để tính diện tích elip, cần tính diện tích phần Cái khó tốn cần tìm phương trình bốn đường tạo nên hình phẳng cần tính diện tích Ta có: Vậy ta có lời giải sau: Lời giải Ta xét phần elip nằm góc phần tư thứ Đó hình bị giới hạn đồ thị hàm số Đặt b trục hoành, trục tung đường thẳng Vậy y x -a O a -b ta có skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 10 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Vậy diện tích elip Nhận xét: Đối với số hình phẳng, đặc biệt hình giới hạn đường trịn, elip, hypebol, parabol, ta cần tìm phương trình đường cong Với elip, nửa đường cong nằm phía trục có phương trình nửa đường cong nằm phía trục có phương trình Như vậy, với tốn tính diện tích hình phẳng, cần phải xác định đầy đủ đường tạo nên hình phẳng sử dụng cơng thức tính diện tích 2.3.2 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng  Để tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn hai đường thẳng ta có công thức sau: [1]  Chú ý: - Nếu tốn trở dạng - Cần xác định hình phẳng với đầy đủ đường áp dụng cơng thức - Việc tính tích phân sử dụng hai cách Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol đường thẳng Phân tích: Hình phẳng tốn bị giới hạn hai đường có dạng: Vậy cần xác định phương trình hai đường thẳng sử dụng cơng thức tính diện tích Lời giải: y x -1 O Cách Phương trình hồnh độ giao điểm: Vậy hình phẳng xét giới hạn đồ thị hàm số thẳng Diện tích cần tìm: đường skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 11 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Cách ( sử dụng đồ thị) Từ đồ thị ta có: Ví dụ Gọi hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hồnh đường thẳng ( hình vẽ bên) Tính diện tích y x O Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: Vậy diện tích cần tìm là: Chú ý: Ta coi hình hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng trục hồnh đường thẳng Khi đó, diện tích cần tìm là: Như vậy, với số tốn, ta coi hình phẳng cần tính diện tích bị giới hạn đường đường thẳng Khi diện tích cần tìm là: Ví dụ Gọi hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( hình vẽ bên dưới) Tính diện tích Phân tích: Ở tốn này, sau tìm hồnh độ giao điểm ta có cơng thức tính diện tích hình phẳng: Tuy nhiên để tính tích phân với hai lần dấu giá trị tuyệt đối đơn giản Giả thiết toán cho đồ thị hàm số, ta dựa vào đồ thị để tính diện tích, vừa đơn giản vừa cho đáp số xác Lời giải skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 12 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Phương trình hồnh độ giao điểm: Diện tích cần tìm là: y x O Nhận xét: Ở tập này, học sinh lung túng giải Cần lưu ý với em, gặp tốn vẽ phác họa đồ thị việc nhận diện hình phẳng tính diện tích trở nên dễ dàng Bài tập tương tự: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 1.Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số Đường cong đường thẳng , trục hoành đường thẳng Hai đường cong và [2] [2] [2] 2.3.3 Hình phẳng giới hạn ba đường Ví dụ Gọi hình phẳng giới hạn parabol tiếp tuyến qua điểm ( hình vẽ bên) Tính diện tích Lời giải Phương trình tiếp tuyến là: Phương trình hồnh độ giao điểm: y 10 x O -2 Diện tích cần tìm là: Như qua toán cần lưu ý với học sinh, để tính diện tích hình phẳng giới hạn từ đường cong trở lên, ta phải sử dụng đồ thị chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích Đối với hình phẳng cần chia nhỏ, phải xác định đầy đủ đường tạo nên hình phẳng skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 13 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Ví dụ Gọi phẳng giới hạn y H1 P1 đường sau: P2 ( hình vẽ bên) Tính diện tích Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: H2 x O Vậy diện tích cần tìm là: Bài tập tương tự Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số thẳng đường thẳng đường [2] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol với parabol điểm trục tung tiếp tuyến 2.3.4 Các tốn thực tế Ví dụ ( Trích đề thử nghiệm thi THPTQG) Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn độ dài trục bé 8m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí trồng hoa 100.000 đồng/ Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? ( Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) [3] Phân tích: Nhận thấy khơng thể tính diện tích dải đất cơng thức tính diện tích thơng thường Hơn nữa, elip dải đất cần tính diện tích có tính đối xứng, có kích thước nên chọn hệ tọa độ cách hợp lý, ta xác skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 14 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang định phương trình elip đường cịn lại Do xác định cơng thức tính diện tích hình phẳng Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ cho trục trùng với trục lớn, trục trùng với trục bé, gốc tọa độ trùng với tâm Elip Từ độ dài trục lớn trục bé, suy phương trình Elip: Suy Khi dải vườn xem hình phẳng giới hạn đường Vây diện tích dải vườn là : Tính tích phân cách đổi biến Vậy số tiền là : Ta có đồng Nhận xét : Sau tìm phương trình elip, ta tính diện tích hình phẳng theo số cách khác Chẳng hạn Từ toán ta suy cách giải số tốn khác có nội dung ứng dụng thực tế tích phân Ví dụ Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh cách kht bỏ bốn phần có hình dạng parabol hình Biết Tính diện tích bề mặt hoa văn đó?[3] Lời giải Ta xét hình parabol Chon hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng trục nằm đường thẳng trục nằm , Phương trình parabol : skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 15 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Theo giả thiết ta có : Vậy Vậy diện tích hoa văn là : Ví dụ Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp toán học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình hệ tọa độ hình vẽ bên Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ trục tọa độ tương ứng với chiều dài mét [3] Lời giải: Gọi diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ Ta có: Nhận thấy, đường diện tích hình phẳng giới hạn bởi: thẳng Vậy diện trục hồnh, tích cần tìm là: Bài tập tương tự Bài Anh Tồn có ao hình elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé 100m 80m Anh chia ao hai phần theo đường thẳng từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục bé (Bề rộng không đáng kể) Phần rộng anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống Biết lãi nuôi cá lấy thịt lãi 2 nuôi cá giống năm 20.000 đồng /m 40.000 đồng / m Hỏi skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 16 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang năm anh Tồn có tiền lãi từ ni cá ao nói (Lấy 12 m A I B E F 6m làm tròn đến hàng nghìn) [3] Bài Một cơng ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên) Cho biết hình chữ nhật có ; cung có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó ? [3] D M 4m N C Bài Để trang trí tịa nhà người ta vẽ lên tường sau:trên cạnh hình lục giác có cạnh dm cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol (P) cách cạnh lục giác dm nằm phía ngồi lục giác; đầu mút cạnh điểm giới hạn đường (P) Hãy tính diện tích hình (kể lục giác ) [3] Bài Một người có mảnh vườn hình vng cạnh 6m hình vẽ, người trồng cỏ phần sân tơ màu Tính diện tích cỏ người phải trồng Bài Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng và phía của Elip có độ dài trục lớn bằng 2 và độ dài trục nhỏ bằng (như hình vẽ bên) skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 17 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 100 Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón 2   kg phân hữu Hỏi cần sử   dụng kg phân hữu để bón cho hoa?[3] Bài 5.Vịm cửa lớn trung tâm văn hóa có dạng hình parabol Người ta dự định lắp cửa kính cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vịm cửa cao rộng [3] 2.4 Hiệu sáng kiến Năm học 2016-2017 tơi giao nhiệm vụ giảng dạy mơn Tốn lớp : 12Đ, 12E, 12G Trong ba lớp có hai lớp theo khối A lớp theo khối D, đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải toán Tuy nhiên gặp tốn tính diện tích hình phẳng em lung túng giải Sau tiến hành thực nghiệm sáng kiến lớp dạy mình, tơi thu nhiều kết khả quan Hoạt động học tập học sinh diễn sôi nổi, đa số học sinh hiểu vận dụng vào giải toán Một số học sinh giỏi biết tự tìm tịi, nghiên cứu thêm đề thi sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức Kết kiểm tra: Lớp Điểm yếu Điểm TB Điểm Điểm giỏi Số % Số % Số % Số % 12Đ 2,1 12,7 20 42,6 20 42,6 12E 10 10 20 25 50 10 20 12G 14,2 15 30,6 21 42,9 12,3 Như ba lớp, số học sinh đạt trung bình trở lên chiếm 91% có 69,9% học sinh đạt điểm khá, giỏi KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 18 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn hầu hết em vận dụng tốt 3.2 Kiến nghị - Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều cho giáo viên việc tiếp xúc với loại sách tham khảo có chất lượng thị trường, đồng thời cần có tủ sách lưu lại sáng kiến kinh nghiệm giáo viên xếp loại, chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham khảo - Các quan quản lý giáo dục tỉnh cần phát triển rộng rãi sáng kiến kinh nghiệm giáo viên, đặc biệt sáng kiến xếp loại để đồng nghiệp tham khảo, học hỏi Qua nâng cao hiệu sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng vào thực tế nhà trường Mặc dù có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho kinh nghiệm đạt chất lượng tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trịnh Thị Hiền skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 19 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang TÀI LIỆU THAM KHẢO: Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo Dục năm 2008 Bài tập giải tích 12 nâng cao, tác giả Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, nhà xuất giáo dục năm 2008 Đề thi minh họa mơn Tốn năm 2017 Bộ Giáo Dục Đào Tạo, Đề thi KSCL mơn tốn Sở Giáo Dục, trường THPT nước Tích phân 12 ví dụ, toán, tác giả Văn Như Cương, Nguyễn Tiến Quang, Nhà xuất Giáo Dục năm 1995 skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang 20 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang skkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phangskkn.moi.nhat.ren.luyen.cho.hoc.sinh.lop.12.ki.nang.su.dung.tich.phan.de.tinh.dien.tich.hinh.phang