Thông tin tài liệu
Tài liệu hỗ trợ học tập mơn học Tốn Dùng Trong Tin Học Chủ biên: Đoàn Thiện Ngân Tham gia: Huỳnh Văn Đức Hồng Anh Tuấn Nguyễn Cơng Trí Năm 2016 Lời nói đầu Đây tài liệu hỗ trợ học tập mơn Tốn dùng tin học cho sinh viên khoa Hệ thống thông tin kinh doanh Nội dung tài liệu có chương đề cương chi tiết môn học Khoa CHƯƠNG Logic – Các phương pháp chứng minh CHƯƠNG Tập hợp - Các phép toán tập hợp CHƯƠNG Số nguyên – Biểu diễn số nguyên qua hệ đếm CHƯƠNG Quan hệ Hàm CHƯƠNG Đồ thị CHƯƠNG Cây CHƯƠNG Đại số Bool Mỗi chương có cấu trúc tương tự gồm phần: Tóm tắt lý thuyết, Ví dụ Bài tập để sinh viên làm thêm nhà sau tham khảo ví dụ Dù chúng tơi tập trung nhiều cơng sức thời gian, chắn sai sót tài liệu Kính mong độc giả thông báo cho biết lỗi sai sót nhận thấy, để lần tái tài liệu tốt Chúng chân thành tiếp nhận góp ý để có tài liệu tốt cho sinh viên sử dụng Mọi liên hệ xin email địa ngan@ueh.edu.vn Tp HCM, tháng năm 2016 Nhóm tác giả Mục lục Mục lục Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Tóm tắt lý thuyết 1 Một số khái niệm logic Các phương pháp chứng minh Ngụy biện Vị từ lượng từ Các phương pháp chứng minh định lý 10 Ví dụ 11 Bài tập 28 Chương 2: Tập hợp - Các phép toán tập hợp 33 Tóm tắt lý thuyết 33 1 Một số khái niệm tập hợp 33 Mô tả qua tính chất tập hợp 33 Mô tả qua giản đồ Venn 33 Những tập hợp số quan trọng 33 Các phép toán tập hợp 35 Ví dụ 35 Bài tập 40 Chương 3: Số nguyên – Biểu diễn số nguyên qua hệ đếm 43 Tóm tắt lý thuyết 43 1 Tính chia hết 43 Thuật toán chia 43 Số học đồng dư 44 Ứng dụng đồng dư 44 Các thuật toán liên quan đến số nguyên 44 Ví dụ 47 Bài tập 55 Chương 4: Quan hệ Hàm 59 Tóm tắt lý thuyết 59 1 Quan hệ hàm 59 Tính chất quan hệ 59 Tổ hợp quan hệ 59 Quan hệ n–ngôi 60 Các phép toán quan hệ n – 60 Biểu diễn quan hệ ma trận 61 Biểu diễn quan hệ đồ thị có hướng 62 Ví dụ 66 Bài tập 82 Mục lục Chương 5: Đồ thị 91 Tóm tắt lý thuyết 91 1 Khái niệm 91 Các loại đồ thị 91 Các phương pháp biểu diễn đồ thị 92 Tính liên thông đồ thị 92 Đường Euler đường Hamilton đồ thị 94 Bài tốn tìm đường ngắn đồ thị 94 Ví dụ 95 Bài tập 106 Chương 6: Cây 115 Tóm tắt lý thuyết 115 1 Một số khái niệm 115 Cây nhị phân 116 Cây định 117 Các phương pháp duyệt 117 Phương pháp duyệt theo mức 119 Cây bao trùm – Cây khung 119 Thuật tốn tìm bao trùm nhỏ 120 Ví dụ 121 Bài tập 134 Chương 7: Đại số Bool 137 Tóm tắt lý thuyết 137 1 Một số khái niệm 137 Các đẳng thức đại số Boole 138 Phương pháp biểu diễn hàm Boole 139 Mơ hình hố sơ đồ mạch đại số Boole 139 Bộ cộng 140 Phương pháp cực tiểu hoá mạch 142 Ví dụ 144 Bài tập 150 Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Tóm tắt lý thuyết 1 Một số khái niệm logic 1 a Mệnh đề Một mệnh đề câu phát biểu hoặc sai Ta dùng chữ viết thường 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, … để ký hiệu mệnh đề dùng Đ (Đúng), S (Sai) để ký hiệu chân trị mệnh đề 1 b Các phép nối Các phép nối cho phép ta tạo mệnh đề gọi mệnh đề phức hợp Ta thường dùng chữ hoa P, Q, E, F, … để mệnh đề phức hợp Định nghĩa 1.1 Cho hai mệnh đề p, q: ̅ Câu “không phải p” mệnh đề phủ định mệnh đề p, ký hiệu p hay 𝐩 Mệnh đề "𝑝 𝑣à 𝑞", ký hiệu 𝐩𝐪, p q đúng, sai trường hợp lại Mệnh đề 𝐩𝐪 gọi mệnh đề nối liền (hay hội) p q Mệnh đề “p hay q”, ký hiệu 𝐩𝐪, sai p q sai, trường hợp lại Mệnh đề 𝐩𝐪 gọi mệnh đề nối rời (hay tuyển) p q Mệnh đề “p loại trừ q”, ký hiệu 𝐩𝐪, hai mệnh đề p q đúng, sai trường hợp lại Mệnh đề 𝐩𝐪 gọi tuyển loại p q (một số tài liệu khác gọi p q) 1 c Các mệnh đề suy diễn Tất mệnh đề suy diễn liên quan đến mệnh đề kéo theo, loại mệnh đề đóng vai trị cốt yếu suy luận toán học, chúng cho phép ta xây dựng nên lập luận đắn Định nghĩa 1.2 Cho hai mệnh đề p, q a) Mệnh đề kéo theo 𝐩 → 𝐪 mệnh đề sai p q sai, trường hợp lại Khi p gọi giả thiết q gọi kết luận b) Mệnh đề đảo p → q mệnh đề 𝐪 → 𝐩 c) Mệnh đề phản p → q mệnh đề 𝐩 → 𝐪 d) Mệnh đề phản đảo p → q mệnh đề q → p e) Mệnh đề tương đương 𝐩 ↔ 𝐪 mệnh đề p q có chân trị Thuật ngữ “p q” thường dùng để mệnh đề tương đương Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Một số diễn đạt tương đương khác: “p q”, “p cần đủ q”, “nếu p q ngược lại”, … 1 d Độ ưu tiên phép toán Trong mệnh đề phức hợp, ta dùng dấu ngoặc để Phép toán Độ ưu tiên định thứ tự thực phép tốn Ví dụ, (pq)(r) hội (pq) r Như pq (p)q, pqr (p q) → ↔ r p p → r (p p) → r Tuy nhiên ta dùng dấu ngoặc mục đích rõ ràng Bảng 1-1 Độ ưu tiên phép toán logic 1 e Các phép toán bít Một bít nhận hai giá trị Bít dùng để biểu diễn chân trị Thông thường, giá trị biểu diễn chân trị (Đ, True) giá trị để biểu diễn chân trị sai (S, False) Một biến gọi biến Boole giá trị hoặc sai Do đó, dùng bít để biểu diễn biến boole Các phép tốn bít máy tính tương ứng với phép tốn logic (các ngơn ngữ lập trình thường dùng ký hiệu OR, AND XOR thay cho phép toán logic , ) x y xy xy xy 0 1 1 1 0 1 Bảng 1-2 Các phép tốn bít OR, AND, XOR Định nghĩa 1.3 Một xâu bít (xâu nhị phân – chuỗi bít) dãy gồm khơng nhiều bít Chiều dài xâu số bít xâu Khi chiều dài ta gọi chuỗi rỗng Thơng tin thường biểu diễn cách dùng xâu bít, dãy số Khi ấy, phép tốn xâu bít dùng để xử lý thông tin Các phương pháp chứng minh a Tương đương logic Một bước quan trọng dùng lập luận toán học thay mệnh đề mệnh đề khác có chân trị Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Định nghĩa 1.4 a) Một mệnh đề phức hợp chân trị mệnh đề thành phần gọi Một mệnh đề phức hợp sai gọi mâu thuẫn b) Mệnh đề Q gọi hệ logic P 𝐏 → 𝐐 Ký hiệu 𝐏 ⇒ 𝐐 c) Các mệnh đề P Q gọi tương đương logic 𝐏𝐐 Ký hiệu 𝐏𝐐 hay 𝐏 ⇔ 𝐐 Một số tương đương logic quan trọng TƯƠNG ĐƯƠNG TÊN GỌI p Đ p; p S p p Đ Đ; p S S Luật đồng Luật trội − Luật nuốt – Luật thống trị Luật lũy đẳng Luật phủ định kép p p p; p p p (p) p p q q p; p q q p Luật giao hoán (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (p q) p q; (p q) p q p (p q) p; p (p q) p p p Đ; p p S Luật kết hợp Luật phân bố Luật De Morgan Luật hút – Luật hấp thu Luật trung Luật phi mâu thuẫn Bảng 1-3 Tương đương gồm phép nối logic Tương đương có phép kéo theo p → q p q p → q q p p q p → q p p (p → q) (p → q) p q (p → q) (p → r) p → (q r) (p → r) (q → r) (p q) → r (p → q) (p → r) p → (q r) (p → r) (q → r) (p q) → r Tương đương có phép tương đương p ↔ q (p → q) (q → p) p ↔ q p ↔ q p ↔ q (p q) (p q) (p ↔ q) p ↔ q Bảng 1-4 Một số tương đương logic khác b Quy tắc suy diễn Các quy tắc suy diễn phương tiện rút kết luận từ điều khẳng định khác, chúng liên kết bước chứng minh lại với Các quy tắc suy diễn đắn dựa Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Hằng (p (p q)) q sở quy tắc suy diễn p Modus ponens (kí hiệu có nghĩa “vậy thì”) pq q Hằng Tên gọi p (p q) Luật thêm vào (p q) p Luật rút gọn ((p) (q)) (p q) Luật tuyển [(p (p q)] q Modus ponens [((p q) p] q [ q (p q)] p Modus tollens [(p q) q] p [(p q) (q r)] (p r) Tam đoạn luận giả định [(p q) p] q Tam đoạn luận tuyển [(p q) ( p r)] (q r) Hợp giải Bảng 1-5: Các quy tắc suy diễn c Lập luận Một lập luận gọi đắn kết luận phải tất giả thiết Một lập luận đắn dẫn đến kết luận sai mệnh đề dùng lập luận sai d Hợp giải Nhiều chương trình máy tính xây dựng để tự suy luận chứng minh định lý Chúng dùng quy tắc suy diễn hợp giải: [(p q) ( p r)] (q r) Hơn nữa, dùng để xây dựng hệ thống chứng minh định lý tự động Với chứng minh dùng hợp giải quy tắc suy diễn, giả thiết kết luận phải biểu diễn dạng mệnh đề tuyển phủ định biến Ngụy biện Một số dạng suy luận sai thường gặp gọi ngụy biện, chúng giống quy tắc suy diễn không dựa a Ngụy biện chấp nhận kết luận Mệnh đề [(p q) q] p không sai p sai q Dựa mệnh đề này, suy luận sai đuợc gọi ngụy biện chấp nhận kết luận Chương 7: Đại số Bool Phần tử bù (đảo) x + x̅ = Luật trung Luật phi mâu thuẩn xx̅ = Phương pháp biểu diễn hàm Boole Phần đề cập đến hai toán quan trọng đại số Boole Bài toán thứ nhất: Tìm biểu thức biểu diễn hàm số Boole biết tất giá trị hàm số Lời giải tốn thứ tồn cho biết hàm số Boole biểu diễn qua ba phép toán cộng, nhân lấy phần bù Bài toán thứ hai với hàm Boole cho trước, liệu ta tìm tập phép tốn nhỏ để biểu diễn hàm Boole khơng? Bài tốn giải với việc sử dụng phép toán hàm Boole Định nghĩa 7.7 a) Từ đơn y liên kết biến Boole x x hay phần bù x̅ b) Một từ tối tiểu theo n biến Boole x1, x2, …, xn tích Boole dạng y1y2…yn với yk từ đơn liên kết biến xk, k=1,…,n, c) Biểu diễn hàm Boole tổng từ tối tiểu gọi khai triển tổng tích hay dạng phân ly chuẩn tắc (dạng nối rời chuẩn tắc – dạng tuyển chuẩn tắc) Định nghĩa 7.8 Bộ ba phép toán Boole {+,∙, }̅ đủ để biểu diễn hàm Boole Bộ ba {+,∙, }̅ nói có tính đầy đủ hàm Mệnh đề 7.2 a) Bộ hai phép toán Boole nhân lấy phần bù {∙, }̅ hay hai phép toán Boole cộng nhân lấy phần bù {+, }̅ có tinh đầy đủ hàm, b) Bộ hai phép tốn Boole cộng nhân {+,∙} khơng đầy đủ hàm c) Phép tốn hai ngơi NAND (ký hiệu |): tương đương ̅̅̅̅̅̅ (∗∙∗) có tinh đầy đủ hàm ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ d) Phép tốn hai ngơi NOR (ký hiệu ↓): tương đương (∗ + ∗) có tinh đầy đủ hàm Mơ hình hố sơ đồ mạch đại số Boole Mỗi liệu nhập hay xuất thiết bị xem phần tử tập hai phần tử {0, 1} Máy tính hay vật dụng điện tử thường xem tập hợp nhiều mạch, mạch thiết kế thông qua quy luật đại số Boole Thành phần mạch cổng (gate), loại cổng thể phép toán Boole Chương khảo sát mạch cho liệu xuất phụ thuộc vào liệu nhập, mạch thường gọi mạch tổ hợp (combinational circuit) hay mạng cổng (gating network) Ba cổng dùng để xây dựng mạch tổ hợp Định nghĩa 7.9 Cổng nghịch đảo (inverter) hay cổng NOT nhận giá trị biến Boole làm liệu nhập cho liệu xuất phần tử bù biến nhập 139 Chương 7: Đại số Bool Cổng OR nhận liệu vào giá trị từ hai biến Boole trở lên xuất liệu tổng Boole giá trị nhận vào Cổng AND nhận liệu vào giá trị từ hai biến Boole trở lên xuất liệu tích Boole giá trị nhận vào Cổng nghịch đảo Cổng OR Cổng AND Cổng AND với n biến đầu vào Cổng OR với n biến đầu vào Bộ cộng Chúng ta minh họa cách biểu diễn phép cộng hai số nguyên dương qua biểu diễn dạng nhị phân Định nghĩa 7.10 Ta thiết kế mạch cộng hai bit x y, đầu vào hai biến x y đầu hai biến bit s c (bit nhớ) Mạch đươc gọi mạch đa đầu ta gọi mạch nửa cộng (bán cộng) khơng quan tâm đến bit nhớ trước Mạch nửa cộng cho hai biến bit Input x y Output s c 1 1 0 1 0 0 ̅̅̅̅̅̅ Từ bảng ta thấy c = xy s = xy̅ + x̅y = (x + y)(xy) Bộ nửa cộng 140 Chương 7: Đại số Bool Định nghĩa 7.11 Bộ cộng đầy đủ nhận đầu vào gồm ba biến bit x, y ck (bit nhớ vào) đầu hai biến bit s ck+1 (bit nhớ ra) Hai giá trị đầu s = xyck + xy̅c̅k + x̅yc̅k + x̅y̅ck ck+1 = xyck + xyc̅k + xy̅ck + x̅yck Mạch cộng cho ba biến bit đầu vào x Input y Output ck s ck+1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 Ta thường có khuynh hướng dùng mạch nửa cộng biểu diễn cho mạch cộng đầy đủ Bộ cộng biểu diễn qua nửa cộng Cuối ta thiết kế mạch cộng hai số nguyên bit x2x1x0 y2y1y0 để tạo số nguyên tổng s3s2s1s0 Chú ý s3 có từ bit nhớ c2 141 Chương 7: Đại số Bool Mạch cộng số nguyên bit từ nửa cộng hai cộng Phương pháp cực tiểu hoá mạch Hiệu mạch tổ hợp tùy thuộc vào số cổng xếp cổng Quy trình thiết kế mạch xuất phát từ bảng giá trị đầu cho tổ hợp giá trị biến đầu vào, từ bảng giá trị ta ln tìm khai triển tổng từ tối tiểu cho mạch tổ hợp Tuy nhiên khai triển cung cấp nhiều cổng nhu cầu, Có mạch tổ hợp có bốn cổng (một cổng NOT, hai cổng AND với cổng OR) dạng thu gọn sử dùng cổng AND F(x, y, z) = xyz + xy̅z = xz(y + y̅) = xz Ta trinh bày hai phương pháp thu gọn khai triển dạng phân ly chuẩn tắc Mục tiêu phương pháp tìm biểu diễn khai triển dạng phân ly chuẩn tắc thành tổng phần tử chứa số từ đơn nhất, quy trình gọi cực tiểu hóa hàm Boole Quy trình cực tiểu hóa hàm Boole giúp xây dựng mạch tổ hợp sử dụng cổng số biến đầu vào, điều giúp tiết giảm chi phí xây dựng mạch a Phương pháp Karnaugh Karnaugh đưa phương pháp đồ họa trực quan dùng biểu đồ tìm từ kết hợp tạo từ chứa biến Boole đơn giản Các biểu đồ thường gọi biểu đồ Karnaugh hay biểu đồ K Phương pháp Karnaugh phương pháp đồ họa trực quan nên không thích hợp cho việc xây dựng chương trình máy tính Định nghĩa 7.12 Biểu đồ Karnaugh dùng bảng có 2n để biểu diễn 2n từ tối tiểu tương ứng Mỗi ô thường gọi tế bào Khi biểu diễn hàm Boole tương ứng, từ tối tiểu xuất triển khai dạng phân ly chuẩn tắc hàm tương ứng ghi giá trị Biểu đồ Karnaugh có số dịng cột đươc tổ chức tùy theo số biến n Ví dụ với n=2, biểu đồ Karnaugh có dịng cột; với n = 3, biểu đồ Karnaugh có dòng cột với n = 4, biểu đồ Karnaugh có dịng cột Hai tế bào gọi liền kề hai từ tối tiểu biểu diễn tương ứng khác từ đơn Ví dụ xy 𝐱̅𝐲 hai tế bào liền kề biểu đồ K hai biến 142 Chương 7: Đại số Bool Để tìm kết hợp thành từ biến Boole đơn giản hơn, ta cần ý đến khối lớn chứa 2k liền kề Các dịng biên hay cột biên có liền kề theo kiểu tròn theo dòng hay theo cột thành hình trụ trịn xoay tương ứng hàm Boole ba biến Ta nhìn liền kề cách thêm vào cột sau dịng biên hàm Boole ba biến để có bảng mở rộng gồm cột với dịng Nhận xét rằng: Hai liền kề cho phép kết hợp hai từ tối tiểu thành từ từ đơn Bốn liền kề cho phép kết hợp bốn từ tối tiểu thành từ hai từ đơn Tám liền kề cho phép kết hợp tám từ tối tiểu thành từ ba từ đơn Mười sáu ô liền kề cho phép kết hợp thành hàm Khi số biến lớn ta khó dùng biểu đồ K, bảng K có nhiều người dùng khó biểu diễn Việc vẽ chọn liền kề khơng cịn tính trực quan dễ dàng nhiều thời gian công sức Một phương pháp khác giúp làm việc cách tổng quát chuyển phương pháp thành dạng tốn lập trình để chạy máy tính, phương pháp Quine–McClusKey b Phương pháp Quine–McCluskey Phương pháp Quine–McClusKey chia hai giai đoạn, giai đoạn đầu tìm từ ứng viên cho việc rút gọn giai đoạn sau xác định xác từ rút gọn Ta biểu diễn từ tối tiểu chuỗi bit (chiều dài số biến), giá trị từ đơn liên kết biến Boole b ấn định theo quy ước: Từ đơn b b̅ Giá trị Xây dựng bảng giá trị chuỗi bit tương ứng từ tối tiểu, xếp thứ tự số bit giảm dần Từng bước kết hợp tìm dạng tối tiểu Thuật tốn Quine–McClusKey Đầu vào: khai triển dạng phân ly chuẩn tắc hàm Boole Đầu ra: dạng thu gọn đơn giản hàm Boole Biểu diễn từ tối tiểu chứa n từ đơn thành dãy n bit tương ứng với giá trị cho b cho b̅ Nhóm dãy bit theo thứ tự giảm dần số bit dãy bit Xác định cặp từ giống (n−1) bit để có tổng rút gọn cịn n−1 từ đơn, tính tổng để ghi lại kết đồng thời dùng dấu − đánh dấu vị trí biến thu gọn 143 Chương 7: Đại số Bool Từ kết có bước 3, xác định cặp từ giống (n−2) bit để có tổng rút gọn cịn n−2 từ đơn, tính tổng để ghi lại kết đồng thời dùng dấu − đánh dấu chỗ biến thu gọn Tiếp tục so sánh thu gọn tích Boole thành từ đơn giản có biến Boole cách tương tự Tìm tất từ xuất mà dùng cho việc rút gọn thành từ biến Boole Tìm tập nhỏ chứa từ khơng cịn khả rút gọn, tổng từ tạo thành biểu thức biểu diễn hàm Boole Đây bước khó xác định nhất, phải đảm bảo từ tối tiểu biểu diễn khai triển dạng phân ly chuẩn tắc phủ từ tập nhỏ từ Ví dụ Ví dụ 7.1 Tìm giá trị ∙ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (0 + 1) Giải: (0 + 1) = + (̅̅̅̅ Ta có ∙ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1) = + = Nếu xem giá trị F (FALSE) T (TRUE) ba phép tốn Boole ba phép tốn luận lý tương ứng: ¬ (phủ định – đảo − bù), ᴠ (tuyển − hay) ᴧ (hội − và) (0 + 1) = TᴧFᴠ¬(TᴠF) = FᴠF = F ∙ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Trở lại với ví dụ nêu Trong số trường hợp không sợ bị nhầm lẫn, ta bỏ dấu ∙ phép nhân Ví dụ 7.2 ̅𝒚 Xét hàm Boole F: B2 → B với 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝒙 Giải: Lập bảng giá trị ta dễ thấy kết Ta có: F(0, 0) = 0; F(0, 1) = 1; F(1, 0) = 0, F(1, 1) = Ví dụ 7.3 Cho 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚 + 𝒛̅ Hãy xây dựng bảng giá trị hàm F Giải: x y z xy 𝐳̅ 𝐱𝐲 + 𝐳̅ 0 0 1 0 0 0 0 1 144 x 0 1 𝐱̅ 1 0 y 1 F(x,y) 0 Chương 7: Đại số Bool 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Ví dụ 7.4 Cho 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚 + 𝒛̅ Hãy dùng hình lập phương biểu diễn giá trị hàm F Giải: F(x, y, z) = (x, y, z) nhận giá trị (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0) (1,1,1) Tô đậm đỉnh có giá trị hình vẽ Ví dụ 7.5 Với n = 2, số hàm Boole cấp 22 = 16 Giải biến x 0 1 y 1 16 Hàm Boole cấp F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 Ví dụ 7.6 Tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm Boole biến F G với giá trị cho bảng kế bên Giải: 1) F = (x, y, z) = (1, 0, 1) nên dễ thấy 𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐱𝐲̅𝐳 2) G = (x, y, z) có giá trị (1, 1, 0) hay (0, 1, 0) nên dễ thấy 𝐆(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐱𝐲𝐳̅ + 𝐱̅𝐲𝐳̅ Ví dụ 7.7 Tìm từ tối tiểu biến có giá trị x1 = x3 = x2 = x4 = x5 = 145 x 1 1 0 0 y 1 0 1 0 z 1 1 F 0 0 0 G 0 0 Chương 7: Đại số Bool Giải: Dễ thấy từ đơn liên kết y1 = ̅̅̅̅; x1 y2 = x2 ; y3 = ̅̅̅̅; x3 y4 = x4 ; y5 = x5 kết ̅̅̅̅x x1 ̅̅̅̅x x3 x5 Ví dụ 7.8 Tìm dạng phân ly chuẩn tắc hàm 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦)𝑧̅ Giải: PP1: F(x, y, z) = (x + y)z̅ = xz̅ + yz̅ = x(y + y̅)z̅ + (x + x̅)yz̅ = xyz̅ + xy̅z̅ + xyz̅ + x̅yz̅ = xyz̅ + xy̅z̅ + x̅yz̅ PP2: Lập bảng giá trị hàm F, xác định từ tối tiểu, lấy tổng hàm F x y z x+y 𝐳̅ (𝐱 + 𝐲)𝐳̅ F 1 1 0 1 1 𝐱𝐲𝐳̅ 1 0 0 1 𝐱𝐲̅𝐳̅ 1 1 1 0 0 0 0 0 𝐱̅𝐲𝐳̅ F(x, y, z) = xyz̅ + xy̅z̅ + x̅yz̅ Ví dụ 7.9 Một bóng đèn cầu thang cần điều khiển hai công tắc điện Hãy thiết kế mạch cho công tắc Giải Gọi x biến Boole diễn tả trạng thái cơng tắc thứ (1: đóng; 0: mở) Gọi y biến Boole diễn tả trạng thái công tắc thứ hai (1: đóng; 0: mở) Gọi F hàm Boole theo hai biến x y, hàm F diễn tả trạng thái bóng đèn theo hai cơng tắc (1: đèn sáng; 0: đèn tắt) Bảng giá trị x y F 1 146 Chương 7: Đại số Bool 0 0 Ví dụ 7.10 Tìm dạng tối tiểu hàm Boole 𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐱𝐲𝐳 + 𝐱𝐲̅𝐳 Giải Ta có F(x, y, z) = xyz + xy̅z = xz(y + y̅) = xz Dạng thu gọn sử dùng cổng AND Dạng thu gọn cổng Dạng gốc có cổng Dạng gốc 𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐱𝐲𝐳 + 𝐱𝐲̅𝐳 có bốn cổng Ví dụ 7.11 Cho hàm 𝐅𝟏 (𝐱, 𝐲) = 𝐱𝐲 + 𝐱𝐲̅ 𝐅𝟐 (𝐱, 𝐲) = 𝐱̅𝐲 + 𝐱𝐲̅ + 𝐱̅𝐲̅ Tìm biểu đồ K hai biến biểu diễn hàm tương ứng Giải F1 y 𝐲̅ x 1 𝐱̅ F2 147 𝐲̅ x 𝐱̅ Do 𝐅𝟏 (𝐱, 𝐲) = 𝐱 𝐅𝟐 (𝐱, 𝐲) = 𝐱̅ + 𝐲̅ y 1 Chương 7: Đại số Bool Ví dụ 7.12 Tìm biểu đồ K biểu diễn hàm Boole ba biến 𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐱𝐲𝐳̅ + 𝐱𝐲̅ 𝐳̅ + 𝐱̅ 𝐲𝐳̅ + 𝐱̅ 𝐲̅ 𝐳̅ + 𝐱̅ 𝐲̅ 𝐳 Giải Với biến, ta dùng biểu đồ có dịng cột biểu diễn 23 = 𝐲𝐳̅ 𝐲̅𝐳̅ x 1 𝐱̅ 1 yz 𝐲̅𝐳 𝐱𝐲𝐳̅ + 𝐱𝐲̅𝐳̅ + 𝐱̅𝐲𝐳̅ + 𝐱̅𝐲̅𝐳̅ + 𝐱̅𝐲̅𝐳 = 𝐱̅𝐲̅ + 𝐳̅ Vậy F(x, y, z) = x̅y̅ + z̅ Ví dụ 7.13 Tìm biểu đồ K biểu diễn hàm Boole bốn biến 𝐅(𝐰, 𝐱, 𝐲, 𝐳) F = wxyz̅ + wxy̅z̅ + wx̅yz + wx̅yz̅ + wx̅y̅z̅ + w ̅ xyz + w ̅ xyz̅ + w ̅ xy̅z̅ + w ̅ xy̅z + w ̅ x̅𝑦z̅ +w ̅ x̅y̅z̅ Giải Với biến, ta dùng biểu đồ có dịng cột biểu diễn 24 = 16 ô yz yz̅ y̅z̅ y̅z wx wx̅ w ̅x̅ w ̅x 1 1 1 1 1 wx̅y + w ̅ x + z̅ Vậy F(w, x, y, z) = wx̅y + w ̅ x + z̅ Ví dụ 7.14 Dung phương pháp Quine–McClusKey cực tiểu hóa hàm Boole biến F(x, y, z) = xyz̅ + xy̅z̅ + x̅yz̅ + x̅y̅z̅ + x̅y̅z Giải Lập bảng chuỗi bit xếp thứ tự theo số bit giảm dần STT Từ tối tiểu Chuỗi bit xyz̅ 110 Bước (1,2) 1−0 148 Bước xz̅ (1,2,3,5) −−0 z̅ Chương 7: Đại số Bool xy̅z̅ 100 (1,3) −10 yz̅ x̅yz̅ 010 (2,5) −00 y̅z̅ x̅y̅z 001 (3,5) 0−0 x̅z̅ x̅y̅z̅ 000 (4,5) 00− x̅y̅ (1,3,2,5) −−0 z̅ (4,5) 00− x̅y̅ F(x, y, z) = x̅y̅ + z̅ (rõ ràng {1,2,3,4,5} có đủ từ tổng này) Vậy F(x, y, z) = x̅y̅ + z̅ Ví dụ 7.15 Dung phương pháp Quine–McClusKey cực tiểu hóa hàm Boole biến F = wxyz̅ + wxy̅z̅ + wx̅yz + wx̅yz̅ + wx̅y̅z̅ + w ̅ xyz + w ̅ xyz̅ + w ̅ xy̅z̅ + w ̅ xy̅z + w ̅ x̅𝑦z̅ +w ̅ x̅y̅z̅ Giải Lập bảng chuỗi bit xếp thứ tự theo số bit giảm dần Bước Bước STT T.T.T C.Bit wxyz̅ 1110 (1,4) 1−10 wyz̅ (1,4,5,9) 1—0 wz̅ * w ̅ xyz 0111 (1,5) 11−0 wxz̅ (1,4,7,10) −−10 yz̅ ** wx̅yz 1011 (1,7) −110 xyz̅ (1,5,4,9) 1—0 wz̅ * wx̅yz̅ 1010 (2,6) 01−1 w ̅ xz (1,5,7,8) −1−0 xz̅ *** wxy̅z̅ 1100 (2,7) 011− w ̅ xy (1,7,4,10) −−10 yz̅ ** w ̅ xy̅z 0101 (3,4) 101− wx̅y (1,7,5,8) −1−0 xz̅ *** w ̅ xyz̅ 0110 (4,9) 10−0 wx̅z̅ (2,6,7,8) 01−− w ̅x **** w ̅ xy̅z̅ 0100 (4,10) −010 x̅yz̅ (2,7,6,8) 01−− w ̅x **** wx̅y̅z̅ 1000 (5,8) −100 xy̅z̅ (3,4) 101− wx̅y 10 w ̅ x̅yz̅ 0010 (5,9) 1−00 wy̅z̅ (4,9,10,11) −0−0 x̅z̅ # 11 w ̅ x̅y̅z̅ 0000 (6,8) 010− w ̅ xy̅ (4,10,9,11) −0−0 x̅z̅ # (7,8) 01−0 w ̅ xz̅ (5,8,9,11) −−00 y̅z̅ ## (7,10) 0−10 w ̅ yz̅ (5,9,8,11) −−00 y̅z̅ ## (8,11) 0−00 w ̅ y̅z̅ (7,8,10,11) 0—0 w ̅ z̅ ### (9,11) −000 x̅y̅z̅ (7,10,8,11) 0—0 w ̅ z̅ ### (10,11) 00−0 w ̅ x̅z̅ 149 Chương 7: Đại số Bool Bước Bước (1,4,5,9,7,8,10,11) −−−0 z̅ −−10 yz̅ (2,6,7,8) 01−− w ̅x (1,5,7,8) −1−0 xz̅ (3,4) 101− wx̅y (2,6,7,8) 01−− w ̅x (3,4) 101− wx̅y (4,9,10,11) −0−0 x̅z̅ F(w, x, y, z) = wx̅y + w ̅ x + z̅ (5,8,9,11) −−00 y̅z̅ (phủ khắp 11 từ tối tiểu) (7,8,10,11) 0—0 (1,4,5,9) 1—0 (1,4,7,10) wz̅ w ̅ z̅ Nhận xét: qua bước 2, có nhiều từ trùng nên ta lược bớt để dễ thấy từ rút gọn wx̅y xuất phát từ không kết hợp với từ khác nên ta phải giữ lại để tránh việc thiếu sót, có số từ trùng sau bước thu gọn ta loại bớt Kết cho thấy sau bước ta tìm hàm Boole rút gọn ba từ phủ khắp 11 từ tối tiểu cho 𝐅(𝐰, 𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝐰𝐱̅ 𝐲 + 𝐰 ̅ 𝐱 + 𝐳̅ Bài tập Bài 7.1 Hãy xây dựng bảng giá trị hàm F a) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 b) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 c) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦𝑧 e) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(𝑦𝑧 + 𝑦 𝑧) f) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 g) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + (𝑥𝑦𝑧) h) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦(𝑥𝑧 + 𝑥 𝑧) d) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + (𝑥𝑦𝑧) Bài 7.2 Hãy dùng hình lập phương biểu diễn giá trị hàm F Bài 7.1 Tô đậm đỉnh mà hàm F có giá trị Bài 7.3 Chứng minh 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 150 Chương 7: Đại số Bool Bài 7.4 Tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm Boole biến F G với giá trị cho bảng kế bên x 1 1 0 0 y 1 0 1 0 z 1 1 Bài 7.5 Tìm dạng phân ly chuẩn tắc hàm 𝐹 a) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 b) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑧)𝑦 c) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 d) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 e) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 f) g) h) i) j) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦𝑧 𝑥𝑧 + 𝑦 𝑥𝑧 + 𝑦 Bài 7.6 Tìm đầu mạch logic sau Hình 7-1 Hình 7-2 Bài 7.7 Tìm đầu mạch logic sau 151 F 0 1 G 1 1 Chương 7: Đại số Bool Hình 7-3 Hình 7-4 Bài 7.8 Tìm biểu đồ K (Karnaugh) biểu diễn hàm Boole F suy dạng tối tiểu hàm F a) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 b) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 c) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 d) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 e) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 f) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑧 g) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 h) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 i) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 j) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 k) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 l) 𝐹 (𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦 𝑧 + 𝑤 𝑥𝑦𝑧 m) 𝐹 (𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦 𝑧 + 𝑤 𝑥𝑦𝑧 n) 𝐹 (𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥 𝑦𝑧 + 𝑤𝑥 𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤 𝑥 𝑦𝑧 + 𝑤 𝑥𝑦𝑧 o) 𝐹 (𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤 𝑥𝑦𝑧 + 𝑤 𝑥 𝑦𝑧 Bài 7.9 Dùng phương pháp Quine–McCluskey tìm dạng tối tiểu hàm F Bài 7.8 Bài 7.10 Cho hàm Boole 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 + 𝑥 𝑦 a) Lập bảng giá trị hàm 𝐹 b) Tìm dạng phân ly chuẩn tắc 𝐺 hàm 𝐹 c) Tìm dạng tối tiểu hóa hàm 𝐺 Nhận xét gì? 152 Tài liệu tham khảo [1] Giáo trình Tốn rời rạc Đồn Thiện Ngân, Huỳnh Văn Dức, Hồng Anh Tuấn, Nguyễn Cơng Trí, Khoa Tin học quản lý 2010 [2] Discrete Mathematics And Its Applications, Seventh Edition, Kenneth H Rosen, McGraw-Hill, 2012 153
Ngày đăng: 03/01/2024, 01:03
Xem thêm:
