chuyên đề 4 hàm số bậc hai

Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ dương.. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho  P cắt trục Ox tại hai điểm phân

Xác định hàm số bậc hai

Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 2 Cho hàm số yax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng OACB là hình vuông Tính giá trị của b

Câu 3 Cho hàm sốyax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ

Xác định các hệ số a b c, ,

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

Câu 5 Cho hàm số f x    ax 2  bx c a  ,   0  có bảng biến thiên như hình bên dưới Tính f   10

Câu 6 Cho parabol   P : y ax  2  bx c   a  0  Tìm a và c biết parabol   P có đỉnh là I  0; 4   và một trong hai giao điểm của parabol   P với trục hoành là A  2;0 

Câu 7 Cho parabol   P :y ax 2 bx c  a0 Một đường thẳng   d song song với trục hoành cắt

  P tại A  0;3  và B  4;3  Phương trình trục đối xứng của parabol   P là:

Câu 8 Cho hàm số bậc hai y2x 2 bx c , biết đồ thị của nó đi qua điểm M  0; 5  và có trục đối xứng

Câu 9 Biết rằng parabol   P : y  ax 2  bx c a    0  đi qua hai điểm A  0;8  , B   1;3 và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M , Nthỏa mãn MN2 Tính giá trị biểu thức a3b

Câu 10 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

4 Tính tổng T các phần tử của S

Câu 11 Hàm số y x 2 2xm4 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn   1; 2  bằng 3 khi m thuộc

Câu 12 Biết hàm số bậc hai yax 2 bx c có đồ thị hàm số là một đường Parabol đi qua điểm A   1;0  và có đỉnh I  1; 2  Tính a   b c

Câu 14 Cho hàm số yax 2 bx1(a0) có đồ thị ( )P Biết ( )P có trục đối xứng bằng 2 và giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 Tích ab là :

Câu 15 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx c a    0  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A  0; 6  Tính tích Pabc

Câu 16 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx c a    0  đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A  0; 1   Tính tổng S  a b c.

Câu 17 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 0; 2020 để đồ thị của hàm số 

3 9 8 y mx  m x m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ?

Câu 18 Parabol yax 2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x 2 và đi qua điểm A  0;6  có a b c  bằng:

Câu 19 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số mđể giá trị nhỏ nhất của hàm số

  4 2 8 2 3 y f x  x  x m  mtrên  bằng 3 Tính tổng Tcác phần tử củaS

Câu 20 Biết đỉnh của parabol yx 2  x m nằm trên đường thẳng 3 y4 Giá rị của m bằng

Câu 21 Cho parabol   P : y  x 2  2 x  m  1 Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 - 2(m^2 + 2m + 3)x + m \) trên đoạn \([-1; 1]\), ta ký hiệu lần lượt là \( y_1 \) và \( y_2 \) Cần tính tích tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho \( y_1 - y_2 = 24 \).

Câu 23 Gọi Slà tập hợp các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  2 2 2 3 y f x x  mxm  mtrên đoạn  1;3 bằng 5 Tính tổng Tcác phần tử của S

Câu 24 Parabol yax 2 bx c có đỉnh I  2; 5   và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 Khi đó tích abc bằng

Câu 25 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  2 mx m 2 4 m yf x x    trên đoạn 3;0 bằng 11 Bình phương của tổng tất cả các

S Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Câu 26 Biết đồ thị   P : y  ax 2  bx c  cắt trục tung tại điểm bằng có tung độ bằng 7, đi qua điểm

A và có tung độ đỉnh bằng 9 Xác định parabol   P

Câu 27 Tìm m để hàm số y2x 2 4x2m3 có giá trị lớn nhất trên đoạn  2;5 bằng  13 ?

Câu 28 Có bao nhiêu tham số m thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x( )2x 2 2mx m 2 3m trên đoạn 0; 2 bằng  4

  4 2 4 2 2 y f x  x  mxm  m trên đoạn   2; 0  bằng 3 Tính tổng T tất cả các phần tử của S

Hàm số y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại x = -1 và tổng bình phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 10 Từ những điều kiện này, ta có thể xác định hàm số cụ thể mà bài toán yêu cầu.

Tương giao

trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung?

Câu 33 Cho parabol   P : y  x 2  2 x   m 1 Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Câu 34 Xác định parabol   P : y ax 2 bxc, a  0 biết:   P đi qua M(4; 3) cắt Ox tại

N và P sao cho INP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3, với I là đỉnh của ( )P

Câu 35 Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn 0

Gọi x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ giao điểm của parabol   P : y  2 ax 2  3 bx  4 c với trục hoành Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 36 Biết đồ thị hàm số bậc hai y  ax 2  bx c a    0  có điểm chung duy nhất với đường thẳng

5 y 2 và cắt đường thẳng y2 tại điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 5 Giá trị của a b c  bằng:

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Câu 37 Cho parabol   P : y  ax 2  bx c  , a  0 biết   P đi qua M (4;3) ,   P cắt Ox tại N  3; 0  và

Q sao cho INQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 với I là đỉnh của

Để xác định tập hợp S chứa các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x² + 5x + 2m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B với điều kiện OA = 4OB, ta cần tìm các giá trị của m thỏa mãn điều kiện này Tổng các phần tử của tập hợp S sẽ được tính toán dựa trên các giá trị m hợp lệ.

Cho parabol \( P: y = f(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \), biết rằng \( P \) đi qua điểm \( M(4;3) \) và cắt trục Ox tại điểm \( N(3;0) \) Điểm \( Q \) được xác định sao cho diện tích của tam giác \( \Delta MNQ \) bằng 1 và hoành độ của điểm \( Q \) nhỏ hơn 3 Tìm giá trị của \( a + b + c \).

Để tìm tập hợp S các giá trị của tham số m trong phương trình parabol P: y = x² - 4x + m, sao cho P cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B với điều kiện OA = 3OB, ta cần phân tích điều kiện cắt trục Ox Đầu tiên, phương trình y = 0 tương đương với x² - 4x + m = 0, cần có hai nghiệm phân biệt Điều này xảy ra khi delta (Δ) = b² - 4ac > 0, tức là 16 - 4m > 0, dẫn đến m < 4 Tiếp theo, từ điều kiện OA = 3OB, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các nghiệm A và B Cuối cùng, tổng tất cả các phần tử của S sẽ được tính toán dựa trên các giá trị hợp lệ của m.

Câu 41 Biết rằng parabol   P : y  ax 2  bx  c  a  0  đi qua hai điểm A  0;3  , B  2 ; 1   và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M, N thỏa mãn MN2 Tính giá trị biểu thức a 2 b 2

Câu 42 Tất cả các giá trị của m để parabol   P : y  x 2  2 mx  2 m cắt đường thẳng d y: 2x3 tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 là

Câu 43 Cho hàm số y 2x 2 3x1 có đồ thị   P Tìm m để đồ thị hàm số ymx2m1 tiếp xúc với   P

Để tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đường thẳng d: y = mx + 3 cắt parabol P: y = x² - 4x + 3 tại hai điểm phân biệt A và B, đồng thời diện tích tam giác OAB bằng 9, ta cần xác định điều kiện cắt nhau của hai đồ thị và tính diện tích tam giác dựa trên tọa độ của các điểm A và B.

Câu 45 Cho parabol   P : y  x 2  4 x  3 và đường thẳng d y :  mx  3 Tìm giá trị thực của tham số m để d cắt   P tại hai điểm phân biệt A B, có hoành độ x x 1 , 2 thỏa mãn x 1 3  x 3 2  8

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên   2; 2  Khi đó tổng Mm bằng:

A Mm 6 B Mm0 C Mm1 D Mm2 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Câu 47 Cho parabol   P : y  x 2  4x 3  và đường thẳng   d : y  m x 3  Biết rằng có hai giá trị của m là m m 1 , 2 để   d cắt   P tại hai điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9

2 Tính giá trị biểu thức Pm 1 2 m 2 2

Câu 48 Cho hàm số y x 2 4x3 có đồ thị như hình vẽ bên

Tìm m để phương trình 2x 2 8x2m 5 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm thuộc   0;1

Câu 49 Biết đường thẳng d y:   x 4 cắt parabol   P : y  x 2  2 x tại hai điểm phân biệt A và B Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB

Câu 50 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng :y2xm cắt   P : y  x 2  4 x  1 tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Câu 51 Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng   10; 4   để đường thẳng

: 1 2 d y  m x m  cắt Parabol   P : y  x 2   x 2 tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung ?

Câu 52 Cho đồ thị hàm số y  x 2  2 x  1   P (hình vẽ sau) Dựa vào đồ thị   P xác định số giá trị nguyên dương của m để phương trình x 2 2x2m20 có nghiệm x    1; 2 ? 

Để tìm giá trị m sao cho đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A và B, đồng thời OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần phân tích hàm số y = x² - 2x - 2 và phương trình đường thẳng y = x + m Việc xác định giá trị m sẽ liên quan đến việc giải phương trình bậc hai và tối ưu hóa tổng khoảng cách OA và OB.

Ứng dụng định lý vi-et

nghiệm x x 1 , 2 và P5(x 1 x 2 )2x x 1 2 đạt giá trị lớn nhất

Câu 55 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx  c a   0 đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại 3 x  2 và tổng lập phương các nghiệm của phương trình y  0 bằng 9 Tính P  abc

Câu 56 Tìm m sao cho Parabol   P :yx 2 2mxm 2 1 cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x 1 , 2 sao cho biểu thức Px 1 2 x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 57 Xác định hàm số y  ax 2  bx  c a   0  biết hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại 3 x2 và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm x x 1 , 2 thỏa mãn x 1 3 x 2 3 9

Bài toán thực tế

Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” tại trường THPT X, Đoàn trường tổ chức một dự án ảnh trưng bày trên pano hình parabol Các lớp sẽ gửi hình ảnh dự thi để dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD với kích thước cụ thể.

Pano AB và AD đều có chiều dài m, trong khi hình chữ nhật ABCD sẽ được trang trí hoa văn phù hợp Pano sẽ được đặt sao cho cạnh CD tiếp xúc với mặt đất Câu hỏi đặt ra là vị trí cao nhất của pano so với mặt đất là bao nhiêu?

Câu 59 Một chiếc cổng hình parabol có dạng y 4x 2 và có chiều cao h16 m Chiều rộng của chiếc cổng bằng:

Cổng Arch tại thành phố St Louis, Mỹ, có hình dạng parabol với khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m Tại độ cao 43m trên cổng, một sợi dây được thả xuống đất, và điểm tiếp xúc của dây với mặt đất cách chân cổng A 10m Các số liệu này được giả định là chính xác.

Gọi h là chiều cao của cổng Hãy tính chiều cao của cổng

Cổng hình Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng BC là 10m Từ điểm M trên thân cổng, khoảng cách tới mặt đất là MK = 18m, và khoảng cách tới chân cổng gần nhất là BK = 1m Chiều cao AH của cổng cần được xác định.

A 50m B 72m C 16m D 20m Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Độ cao của quả bóng golf trong thời gian được mô tả bằng một hàm số bậc hai, cụ thể là h(t) = -7t² + 42t, với h được tính bằng mét và t bằng giây Độ cao tối đa mà quả bóng golf có thể đạt được là một yếu tố quan trọng trong việc phân tích chuyển động của bóng.

Một kỹ sư thiết kế cây cầu treo bắc qua dòng sông, với hai cột trụ đỡ AA' và BB' cao 30m ở hai bên Dây truyền hình parabol ACB được gắn chặt vào hai điểm A và B, chịu trách nhiệm đỡ nền cầu Để đảm bảo sức nặng của cầu và phương tiện giao thông, cần thêm dây cáp treo thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền, với khoảng cách giữa các dây cáp và hai cột trụ là bằng nhau Dây cáp có độ dài ngắn nhất là OC = 5m, trong khi khoảng cách giữa A và B' là 200m Chiều dài các cáp treo còn lại được xác định dựa trên các thông số này.

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ di chuyển theo quỹ đạo parabol trong mặt phẳng tọa độ Thời gian t tính bằng giây và độ cao h tính bằng mét Quả bóng bắt đầu từ độ cao 1,1m, đạt 8,6m sau 1 giây và 6m sau 2 giây Câu hỏi đặt ra là độ cao lớn nhất mà quả bóng có thể đạt được gần với giá trị nào?

Cổng hình Parabol có chiều rộng giữa hai chân cổng BC là 10m Từ điểm M trên thân cổng, khoảng cách tới mặt đất là MK = 18m và khoảng cách tới chân cổng gần nhất BK = 1m Tính chiều cao AH của cổng.

Câu 66 Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó CD6 ,m AD4m, phía trên cổng có dạng hình parabol

Để thiết kế cổng cho phép các xe container có bề ngang thùng xe 4m và chiều cao 5,2m đi qua, cần xác định độ cao tối thiểu của đỉnh parabol (tính từ mép dưới của cổng) so với mặt đất Chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe, với thùng xe có dạng hình hộp chữ nhật.

Ông A dự định xây dựng một mảnh vườn hình chữ nhật để nuôi gia súc trên một miếng đất, với một cạnh đã có tường Để rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn, ông sử dụng 100m dây rào Câu hỏi đặt ra là diện tích lớn nhất của mảnh vườn này là bao nhiêu.

Để tối ưu hóa diện tích mặt ngang S của máng dẫn nước được tạo thành từ một miếng nhôm có bề ngang 32 cm, tấm nhôm cần được chia thành 3 phần và gấp lại theo góc vuông Câu hỏi đặt ra là giá trị x cần thiết để đạt được diện tích lớn nhất cho máng.

Sức mạnh tối đa của động cơ Canô, tính bằng mã lực, được xác định từ công thức P(r) = -0,0000147r² + 0,18r - 251, với r là tốc độ quay tính bằng vòng/phút Để tìm giá trị sức mạnh lớn nhất, cần xác định giá trị của r tại điểm cực đại của hàm số này.

Để đạt doanh thu lớn nhất cho khóa học kỹ năng sống, trung tâm cần xác định mức giá tối ưu Khóa học hiện có giá 400.000 đồng/người, dự kiến thu hút 1.000 người tham gia Mỗi lần giảm giá 5.000 đồng sẽ tăng thêm 20 người tham gia Trung tâm cần tính toán để tìm ra mức giá hợp lý, đảm bảo doanh thu tối đa từ số lượng học viên tham gia.

Cổng hình parabol có phương trình y = ax² + bx + c, với chiều rộng OA = 10m Điểm M nằm trên cổng, cách mặt đất 27m.

MH  5 m và khoảng cách từ H đến O bằng 1 m Hỏi chiều cao của cổng là bao nhiêu

Một người nông dân có ngân sách 15.000.000 VNĐ để xây dựng hàng rào hình chữ E dọc theo bờ sông, nhằm tạo ra hai khu vực trồng rau hình chữ nhật Chi phí nguyên vật liệu cho hàng rào song song với bờ sông là 60.000 VNĐ/m, trong khi đó, chi phí cho ba mặt hàng rào song song còn lại là 50.000 VNĐ/m Mục tiêu là tìm diện tích lớn nhất của khu đất được bao quanh bởi hàng rào.

Câu 73 Tại một khu hội chợ người ta thiết kế cổng chào có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới

Hàm ẩn

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để ax 2 b x  c m1 có bốn nghiệm phân biệt?

Câu 76 Cho hàm số bậc hai y  f x   có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

  có 6 nghiệm phân biệt Số phần tử của tập Slà

Để tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(x) + m trên đoạn [0; 4] bằng 9, trước tiên cần xác định hàm số f(x) = ax² + bx + c và đồ thị của nó Sau đó, tính giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; 4], từ đó suy ra giá trị m cần thiết để g(x) đạt 9 Cuối cùng, tổng hợp các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện này.

Câu 78 Cho hàm số y  f x   có đồ thị là một parabol như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình f x  2  x   1 là

Để xác định tập hợp tất cả giá trị của tham số m để phương trình ax² + bx = m - 2 có 4 nghiệm phân biệt, cần phân tích đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c Việc này sẽ giúp xác định điều kiện cho m nhằm đảm bảo rằng đường thẳng y = m - 2 cắt đồ thị của hàm số tại 4 điểm khác nhau Liên hệ qua số điện thoại 0946798489 để biết thêm chi tiết về chuyên đề VD-VDC Toán 10.

Câu 80 Cho hàm số f x   ax 2  bx  c đồ thị như hình Hỏi với những giá trị nào của tham số thực m thì phương trình f x     1 m có đúng 3 nghiệm phân biệt

Câu 81 Cho hàm số thỏa mãn và có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Số nghiệm của phương trình là

Câu 82 Hàm số y  f x   có đồ thị trên      ;  trong hình vẽ sau Hãy tìm số nghiệm phương trình

Câu 83 Hàm số yx 2 4x1có bảng biến thiên như hình Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể phương trình |x 2 4x 1| mcó 4 nghiệm phân biệt x y

Câu 84 Tổng các giá trị của m để giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 2x m trên đoạn   3; 2  bằng 10 là

Câu 85 Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f x  m có 8 nghiệm phân biệt?

Câu 86 Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ

Tìm số nghiệm của phương trình f 3   x  f x    2 3 f x    0

Hàm số y = x² - 2x có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để phương trình x² - 2x + m = 1 có hai nghiệm phân biệt Tính tổng các phần tử của tập S.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol f(x) = ax² + bx + c có đồ thị xác định Để tìm số nguyên dương m sao cho đường thẳng y = m + 1 cắt đồ thị y = f(x) - 3 tại 4 điểm phân biệt, cần phân tích điều kiện cắt nhau của hai đồ thị Số lượng m thỏa mãn điều kiện này sẽ phụ thuộc vào các hệ số a, b, c của parabol.

Câu 89 Cho hàm số có đồ thị (như hình vẽ):

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm phân biệt?

Câu 90 Cho hàm số thỏa mãn và có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Số nghiệm của phương trình là

 có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm m để phương trình f x    m có 6 nghiệm thực phân biệt

LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1 Xác định hàm số bậc hai Câu 1 Cho hàm số f x   ax 2   bx c a  0  có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây đúng?

Từ đồ thị hàm số suy ra parabol có tọa độ đỉnh I  1; 1  , đi qua hai điểm O   0;0 và B   2;0

Ta có hệ phương trình

Câu 2 Cho hàm số yax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng OACB là hình vuông Tính giá trị của b

Ta có: A  0; c   C c c  ;  Suy ra, đỉnh của parabol là ; 0

Với điều kiện c ≠ 0 và b ≠ 0, parabol cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ dương Liên hệ để biết thêm chi tiết: 0946798489 Chuyên đề về phương trình và đồ thị hàm số Toán 10.

4 ac bc c c ac b c c ac b b b a b c b b b ac ac b

Câu 3 Cho hàm sốyax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ

Xác định các hệ số a b c, ,

Vì đồ thị hàm số cắt trục Oxtại điểm có tung độ là 2 nên c 2 Mặt khác đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 1) làm đỉnh nên

Vậy a 1,b2,c 2 Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm đỉnh và có hệ số a0nên ta chọn hàm sốy x 2 2x1

Câu 4 Cho hàm số f x    ax 2  bx  c đồ thị như hình Tính giá trị biểu thức T a 2 b 2 c 2

Do đồ thị hàm số có đỉnh là I  2; 1  

Do đồ thị hàm số đi qua điểm  0;3   f   0    3 c 3   2

Câu 5 Cho hàm số f x    ax 2  bx c a  ,   0  có bảng biến thiên như hình bên dưới Tính f   10

Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số bậc hai f x    ax 2  bx c a  ,   0  đi qua ba điểm

Vì đồ thị hàm số đi qua ba điểm   3; 0  ;  0; 3   ; 1; 0 nên ta có hệ sau 

Câu 6 Cho parabol   P : y ax  2  bx c   a  0  Tìm a và c biết parabol   P có đỉnh là I  0; 4   và một trong hai giao điểm của parabol   P với trục hoành là A  2;0 

Theo bài ra, parabol   P có đỉnh là I  0; 4   và một trong hai giao điểm của parabol   P với trục hoành là A  2;0 nên ta có hệ phương trình:

Câu 7 Cho parabol   P : y ax  2  bx c   a  0  Một đường thẳng   d song song với trục hoành cắt   P tại A  0;3  và B  4;3  Phương trình trục đối xứng của parabol   P là:

Vì đường thẳng   d song song với trục hoành nên vuông góc với trục đối xứng của   P Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Khi đường thẳng d cắt đường cong P tại hai điểm A và B, hai điểm này đối xứng qua trục đối xứng của P Trung điểm C của đoạn AB sẽ nằm trên trục đối xứng của P, và hoành độ của điểm C là 2.

Vậy phương trình trục đối xứng của   P là x  2

Câu 8 Cho hàm số bậc hai y2x 2 bx c , biết đồ thị của nó đi qua điểm M  0; 5  và có trục đối xứng

Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số y2x 2 bx c đi qua điểm M  0; 5 và có trục đối xứng x 1 nên ta có hệ: 5

Câu 9 Biết rằng parabol   P : y  ax 2  bx c a    0  đi qua hai điểm A  0;8  , B   1;3 và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M , Nthỏa mãn MN2 Tính giá trị biểu thức a3b

Parabol   P : y  ax 2  bx c a    0  đi qua hai điểm A  0;8  và

Câu 10 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

4 Tính tổng T các phần tử của S

Bảng biến thiên của hàm số y x 2 mxm 2 2m:

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 mxm 2 2m là

Theo bài max 13 y  4 nên ta có

  Tổng các phần tử của S bằng 1 13 8

Câu 11 Hàm số y x 2 2xm4 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn   1; 2  bằng 3 khi m thuộc

Tập xác định  Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số y x 2 2xm4 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn   1; 2  bằng 3 khi và chỉ khi: m 3 3m6 Vậy m   5;7 

Câu 12 Biết hàm số bậc hai yax 2 bx c có đồ thị hàm số là một đường Parabol đi qua điểm A   1;0  và có đỉnh I  1; 2  Tính a   b c

Vì Parabol yax 2 bx c đi qua điểm A   1;0      a b c 0 1  

Vì Parabol yax 2 bx c có đỉnh I  1; 2   

Câu 13 Cho parabol   P : y  x 2  2 x  m  1 Tìm các giá trị của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Hoành độ giao điểm của parabol và Ox là nghiệm của phương trình:

2 2 1 0 x  xm  (1) Parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x 1 0;x 2 0

1m2 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Câu 14 Cho hàm số yax 2 bx1(a0) có đồ thị ( )P Biết ( )P có trục đối xứng bằng 2 và giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 Tích ab là :

( )P có trục đối xứng bằng 2 và giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 suy ra tọa độ đỉnh (2;3)

Câu 15 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx c a    0  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A  0; 6  Tính tích Pabc

+) Vì hàm số y  ax 2  bx c a    0 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x2nên ta có:

+) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A  0; 6  nên ta có:

.02 0 6 6 a b  c c Ta có hệ phương trình:

Câu 16 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx c a    0  đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A  0; 1   Tính tổng S  a b c.

Từ giả thiết ta có hệ 2 2

+) m0 y9x8 Đồ thị hàm số không tồn tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ Vậy m0

+) m0 Gọi M x( 0 ;y 0 ) thuộc đồ thị hàm số, M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O M'x 0;y 0 

Vì M và M' đều thuộc đồ thị hàm số nên ta có  

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 6mx 0 2 16 2 m 2 0

    Để đồ thị của hàm số y  3 mx 2   m  9  x   8 m 2 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì phương trình    phải có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình    phải có 2 nghiệm phân biệt 8

Vậy có 2017 giá trị nguyên của m thuộc khoảng  0; 2020 

Câu 18 Parabol yax 2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x 2 và đi qua điểm A  0;6  có a b c  bằng:

Vì parabol yax 2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x 2 và đi qua điểm A  0;6  nên ta có hệ phương trình:   2  

Câu 19 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số mđể giá trị nhỏ nhất của hàm số

  4 2 8 2 3 y f x  x  x m  mtrên  bằng 3 Tính tổng Tcác phần tử củaS

Hàm số y  f x    4 x 2  8 x m  2  3 m là một Parabol có tọa độ đỉnh là I  1; m 2  3 m  4  Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Dựa vào BBT ta thấy GTNN của hàm số trên  là: min 2 3 4 x y m m

Theo giả thiết ta có: m 2 3m43 m 2  3 m   7 0 *  

Phương trình  * có 2 nghiệm và tổng hai nghiệm 1 2 b 3

Câu 20 Biết đỉnh của parabol yx 2  x m nằm trên đường thẳng 3 y4 Giá rị của m bằng

Lời giải Chọn D Đồ thị hàm số yx 2  x m có đỉnh 1 1

Vì đỉnh I thuộc đường thẳng 3 y4 nên 1 3

Câu 21 Cho parabol   P :yx 2 2xm1 Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và Ox là x 2  2 x  m   1 0   *

Parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi phương trình   * có hai nghiệm x x 1 , 2 dương phân biệt

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 - 2(m^2 + 2m + 3)x + m \) trên đoạn \([-1; 1]\), ký hiệu lần lượt là \( y_1 \) và \( y_2 \) Tính tích tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) thỏa mãn điều kiện \( y_1 - y_2 = 24 \).

 Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số là:

 Từ bảng biến thiên ta có: y 1 y( 1) 2m 2 5m7; y 2 y(1) 2m 2 3m5

          Vậy tích các giá trị thực của m là 1.( 3)  3

Câu 23 Gọi Slà tập hợp các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  2 2 2 3 y f x x  mxm  mtrên đoạn  1;3 bằng 5 Tính tổng Tcác phần tử của S

TH3: m3 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Câu 24 Parabol yax 2 bx c có đỉnh I  2; 5   và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 Khi đó tích abc bằng

 Parabol yax 2 bx c có đỉnh I  2; 5   nên ta có 2

 Parabol yax 2 bx c cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 a.0 2 b.0  c 3

Từ hệ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình

  2 mx m 2 4 m yf x x    trên đoạn 3; 0 bằng 11 Bình phương của tổng tất cả các phần tử của S bằng

Nhận xét: Parabol có bề lõm hướng lên Hoành độ đỉnh 

Nếu   3  6 2 m m thì x I   3 0 Suy ra f x   đồng biến trên đoạn 3; 0

   2   min3;0 f x f 3 m m 9 Theo yêu cầu bài toán:            

Suy ra f x   đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh Do đó     

Theo yêu cầu bài toán

2 m m thì x I   0 3 Suy ra f x   nghịch biến trên đoạn 3;0

Theo yêu cầu bài toán:  

Câu 26 Biết đồ thị   P : y  ax 2  bx c  cắt trục tung tại điểm bằng có tung độ bằng 7, đi qua điểm

A và có tung độ đỉnh bằng 9 Xác định parabol   P

Ta có   P cắt trục tung tại điểm bằng 7 nên c7

   Thay (1) vào phương trình trên ta được: 3b 2   8b 16 0

Câu 27 Tìm m để hàm số y2x 2 4x2m3 có giá trị lớn nhất trên đoạn 2;5 bằng 13 ? 

Lời giải Chọn D Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Câu 28 Có bao nhiêu tham số m thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x( )2x 2 2mx m 2 3m trên đoạn 0; 2 bằng  4

Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số y  f x   là parabol có hệ số bậc hai là 2 0 nên bề lõm hướng lên trên Hoành độ đỉnh

2 m m thì x I 0 Suy ra f x   đồng biến trên đoạn  0; 2 

Theo yêu cầu bài toán:  

     thì x I  0; 2  Suy ra f x   đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh

Theo yêu cầu bài toán

2 m m thì x I 2 Suy ra f x   nghịch biến trên đoạn  0; 2 

Theo yêu cầu bài toán:

Câu 29 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 0; 2020 để đồ thị của hàm số

+) m0 y9x8 Đồ thị hàm số không tồn tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ Vậy m0

+) m0 Gọi M x y( 0 ; 0 ) thuộc đồ thị hàm số, M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O M'x 0;y 0 

Vì M và M' đều thuộc đồ thị hàm số nên ta có  

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 6mx 0 2 16 2 m 2 0

    Để đồ thị của hàm số y  3 mx 2   m  9  x   8 m 2 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì phương trình    phải có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình    phải có 2 nghiệm phân biệt 8

Vậy có 2017 giá trị nguyên của m thuộc khoảng  0; 2020 

  4 2 4 2 2 y f x  x  mxm  m trên đoạn   2; 0  bằng 3 Tính tổng T tất cả các phần tử của S

Xét hàm số y  f x    4 x 2  4 mx  m 2  2 m có tập xác định D

Vì a40 nên ta có bảng biến thiên:

Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại x = -1 và tổng bình phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 10 Từ thông tin này, chúng ta có thể xác định đặc điểm của hàm số.

Lời giải Chọn D Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Từ giả thiết hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4 tại x = -1, ta xác định tọa độ đỉnh của parabol là I(-1; 4) Đồng thời, tổng bình phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 10.

1 2 1 2 2 1 2 10 x x  x x  x x  Vậy ta có hệ phương trình:

Do hàm số đạt giá trị lớn nhất trên  nên loại đáp án#A

Dạng 2 Tương giao Câu 32 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m    10;10  để parabol   P : y  x 2  2  m  1  x  m  2 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung?

Phương trình hoành độ giao điểm của   P với Ox là:

  P cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung khi và chỉ khi phương trình   1 có hai nghiệm trái dấu m 2 0m2

Vì m nguyên thuộc đoạn   10;10  nên m  10; 9; ; 0;1 

Suy ra có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án C

Câu 33 Cho parabol   P : y  x 2  2 x   m 1 Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Phương trình hoành độ giao điểm của   P và trục Ox là

2 2 1 0. x  x    m  1 Để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi  1 có hai nghiệm dương

Câu 34 Xác định parabol   P : y  ax 2  bx  c , a  0 biết:   P đi qua M (4; 3) cắt Ox tại

N và P sao cho INP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3, với I là đỉnh của ( )P

Mặt khác   P cắt Ox tại N (3; 0) suy ra 0  9 a  3 b  c (2),

Theo định lý Viét ta có

S   IH NP với H là hình chiếu của ;

Từ (1) và (2) ta có 7a    b 3 b 3 7a suy ra 3 7 1 4

Suy ra a     1 b 4 c 3.Vậy   P cần tìm là y x 2 4x 3

Câu 35 Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn 0

Gọi x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ giao điểm của parabol   P : y  2 ax 2  3 bx  4 c với trục hoành Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 Phương trình hoành độ giao điểm của   P với trục hoành là 2ax 2 3bx4c0 (1)

   P cắt trục hoành tại hai điểm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm, tức là ta có

 Khi đó hoành độ giao điểm x 1 , x 2 của   P với trục hoành là nghiệm của (1), suy ra

 Theo bài ra ta có 1 9

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 3

2 2 b a b c a      Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

 Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 1

Câu 36 Biết đồ thị hàm số bậc hai y  ax 2  bx c a    0  có điểm chung duy nhất với đường thẳng

5 y 2 và cắt đường thẳng y2 tại điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 5 Giá trị của a b c  bằng:

Ta có   P đi qua 1; 2 ; 5; 2   nên ta có 2 4

  P có điểm chung duy nhất với đường thẳng 5 y 2

Câu 37 Cho parabol   P : y  ax 2  bx c  , a  0 biết   P đi qua M (4;3) ,   P cắt Ox tại N  3;0  và

Q sao cho INQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 với I là đỉnh của

Mặt khác   P cắt Ox tại N  3; 0  suy ra 0  9 a  3 b  c (2),

Theo định lý Viét ta có

S  INQ  IH NQ với H là hình chiếu của ;

Từ (1) và (2) ta có 7ab3b 3 7a suy ra 3 7 1 4

Để xác định tập hợp S chứa tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x² + 5x + 2m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B với điều kiện OA = 4OB, ta cần giải hệ phương trình liên quan Đầu tiên, tìm nghiệm của phương trình bậc hai và áp dụng điều kiện về khoảng cách giữa các điểm A và B Cuối cùng, tính tổng các giá trị của m trong tập hợp S.

Lời giải Chọn A Để đồ thị hàm số yx 2 5x2m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

2 5 2 0 x  x m có hai nghiệm phân biệt, tức 25

       Gọi A x  1, 0, B x  2, 0 Theo yêu cầu đề bài ta có:

Cho parabol \( P: y = f(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \) đi qua điểm \( M(4, 3) \) và cắt trục Ox tại điểm \( N(3, 0) \) Biết rằng diện tích của tam giác \( \Delta MNQ \) bằng 1 và hoành độ của điểm \( Q \) nhỏ hơn 3, ta cần tìm giá trị của \( a + b + c \).

Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox.Ta có

  Ta thu được Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 10

Để xác định tập hợp S của tất cả các giá trị tham số m cho parabol P: y = x² - 4x + m, sao cho P cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B với điều kiện OA = 3OB, ta cần phân tích và giải phương trình bậc hai Điều kiện cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt yêu cầu delta của phương trình lớn hơn 0 Sau khi xác định các điểm A và B, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa OA và OB để tìm giá trị của m Tổng tất cả các phần tử của S sẽ được tính toán dựa trên các giá trị này.

Hoành độ giao điểm của parabol   P và trục Ox là nghiệm của phương trình

Để phương trình \(2x^2 - x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần thiết là delta \(\Delta' = 4 - m\) phải lớn hơn 0 Điều này tương đương với việc \(m < 4\) Khi \(m < 4\), parabol \(P\ cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B, với A tại \(x_1\) và B tại \(x_2\), trong đó \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình Theo định lý Viète, tổng và tích của các nghiệm cũng được xác định từ các hệ số của phương trình.

Với x 1 3x 2 kết hợp với (3) ta có hệ phương trình 1 2 2

Với x 1  3x 2 kết hợp với (3) ta có hệ phương trình 1 2 2

Thay vào (4) ta được m 12 (thỏa mãn)

Vậy tổng các phần tử của S bằng 9

Câu 41 Biết rằng parabol   P : y  ax 2  bx  c  a  0  đi qua hai điểm A  0;3  , B  2 ; 1   và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M, N thỏa mãn MN2 Tính giá trị biểu thức a 2 b 2

Parabol   P : y  ax 2  bx  c  a  0  đi qua hai điểm A  0;3  và B  2 ; 1  

Phương trình hoành độ giao điểm của   P và trục hoành là ax 2 bx c 0

Do đó,   P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt M, N thỏa mãn MN2

 phương trình ax 2 bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 x 2 2

Thay (1) vào (2) ta được:    2 2 a  2  4 .3 a  4 a 2  4 4  a  0  a  1 (thỏa mãn)b 4 Vậy a 2  b 2  1 2    4  2  17

Câu 42 Tất cả các giá trị của m để parabol   P : y  x 2  2 mx  2 m cắt đường thẳng d y: 2x3 tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 là

Phương trình hoành độ giao điểm của d với   P là:

  P cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

Câu 43 Cho hàm số y 2x 2 3x1 có đồ thị   P Tìm m để đồ thị hàm số ymx2m1 tiếp xúc với   P

Đồ thị hàm số y = -2x² + 3x + 1 tiếp xúc với đường thẳng P khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm -2x² + 3x + 1 = mx - 2m + 1 có nghiệm kép Điều này tương đương với việc phương trình 2x² + (m - 3)x - 2m = 0 có nghiệm kép, khi và chỉ khi.

Để tìm các giá trị thực của m sao cho đường thẳng d: y = mx + 3 cắt parabol P: y = x² - 4x + 3 tại hai điểm phân biệt A và B, đồng thời diện tích tam giác OAB bằng 9, ta cần giải hệ phương trình liên quan đến tọa độ các điểm A và B Diện tích tam giác OAB được tính bằng công thức 1/2 * đáy * chiều cao, trong đó đáy là khoảng cách giữa hai điểm A và B trên trục hoành, và chiều cao là giá trị y tại điểm O Việc phân tích điều kiện cắt nhau của đường thẳng và parabol sẽ giúp xác định các giá trị m cần thiết.

Phương trình hoành độ giao điểm của   P và d là x 2  4 x  3  mx  3

Để d cắt   P tại hai điểm phân biệt A B, khi và chỉ khi 4m 0 m 4 Với x   0 y  3  A  0;3   Oy

Gọi H là hình chiếu của B lên OA Suy ra BH  x B 4m

Theo giả thiết bài toán, ta có 9 1 9 1 9

Tiêu đề	Hàm Số Bậc Hai
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Chuyên Đề

Định dạng
Số trang	62
Dung lượng	2,01 MB