Trang 1 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Đề tài: Ứng dụng các phép biến hình vào giải Toán hình học Trang 2 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài 4 Mục đích nghiên cứu 5 Đối tượng ngiên cứu 5 Giới hạn
Trường Quốc Học Quy Nhơn Sáng kiến kinh nghiệm môn Tốn Đề tài: Ứng dụng phép biến hình vào giải Tốn hình học GVTH: Trần Lê Thanh Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - MỤC LỤC Kiến thức Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng ngiên cứu Giới hạn đề tài Nhiệm vụ đề tài Phương pháp nghiên cứu Thời gian nghiên cứu NỘI DUNG Cơ sở lí luận Cơ sở triết học Cơ sở tâm lí học Cơ sở giáo dục học Thực trạng đề tài Thời gian bước tiến hành Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết Giải vấn đề Định nghĩa phép biến hình Một số tính chất phép biến hình 10 Biểu thức toạ độ số phép biến hình 10 Các dạng tập 11 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 24 Kết 24 Kết luận 24 Khuyến nghị 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 - Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thơng Việt Nam hình thành sở ban đầu trọng yếu người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu điều kiện hồn cảnh đất nước người Việt Nam Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng mơn học cơng cụ học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc toán trở thành công cụ để học tốt môn khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Sách giáo khoa tốn tài liệu thống sử dụng nhà trường phổ thông Thực tế nhà trường THPT vùng cao, vùng sâu chất lượng học tập học sinh thấp Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hố học sinh Nhà trường PT chưa có điều kiện tốt để học sinh giỏi, học sinh yếu phát triển nhận thức phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh hổng kiến thức từ lớp lớn Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp Đặc biệt lượng kiến thức đưa nặng học sinh vùng sâu vùng xa Có lẽ nhận thấy điều đó, đội ngũ giáo viên trực tiếp giảng dạy, cấp lãnh đạo, ngành làm để khắc phục tình trạng Theo tơi vấn đề xúc nóng bỏng cịn tồn tại, tồn ta khơng có giải pháp hợp lí Qua năm giảng dạy tơi nhận thấy học sinh khối 11 học phép biến hình khó tiếp thu áp dụng Vì để giúp học sinh học tốt mơn hình học lớp 11 chọn đề tài - Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - “ Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học” 2.Mục đích nghiên cứu: Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trung bình, yếu tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phép biến hình ứng dụng việc giải tốn Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 3.Đối tượng ngiên cứu: Các phép biến hình ứng dụng giải tốn hình học lớp 11 4.Giới hạn đề tài: Là giáo viên năm trực tiếp giảng dạy khối, tơi tập chung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt phép biến hình, ứng dụng chương trình hình học lớp 11” 5.Nhiệm vụ đề tài: Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt mơn hình học lớp 11(Các phép biến hình, ứng dụng phép biến hình vào giải tốn) Rút kết luận đề xuất số biện pháp tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường THPT 6.Phương pháp nghiên cứu: Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…) Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) Phương pháp thực nghiệm 7.Thời gian địa điểm nghiên cứu: Năm học 2010 -2011 Tại trường THPT số Phù Mỹ - Lớp 11TN1 - 11TN2 - Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lí luận: Cơ sở triết học: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Vì trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình phản ánh cách lơgíc biện chứng quan niệm nội thân em Từ kích thích em phát triển tốt 2.Cơ sở tâm lí học: Theo nhà tâm lí học: Con người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư đứng trước khó khăn cần phải khắc phục Vì GV cần phải để học sinh thấy khả nhận thức với điều biết với tri thức nhân loại Căn vào quy luật phát triển nhận thức hình thành đặc điểm tâm lí từ lớp cuối cấp THCS, học sinh bộc lộ thiên hướng, sở trường hứng thú lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả ham thích Tốn học, mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương mơn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngồi cịn có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh học phép biến hình, em thường có tâm lí: khơng biết ứng dụng phép biến hình để làm gì, nói cách khác em không gắn lý thuyết vào thực hành, em khơng muốn học chương này.Vì GV cần rõ, cụ thể hướng dẫn cho học sinh ứng dụng phép biến hình vào giải toán - Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - 3.Cơ sở giáo dục học: Để giúp em học tốt GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh Chương II: Thực trạng đề tài: 1.Thời gian bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2010-2011 2.Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học: Thơng qua khảo sát chất lựơng đầu năm thu kết sau: Trên trung bình 18% 3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết thấp Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian.Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Các em cịn lúng túng việc tìm ảnh hình qua phép biến hình - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư hàm, tư lơgíc cịn hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học Đây mơn học địi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó khơng HS mà cịn khó GV việc truền tải kiến thức tới em.Hơn điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động học tập,… nên chưa thực phát huy hết mặt mạnh học sinh Nhiều em hổng kiến - Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng to lớn mơn hình học đời sống Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hố nội thích hợp Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán Chương III: Giải vấn đề: Trong học phần: Các phép biến hình, ứng dụng học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu chất Ĩc tư hàm, suy luận lơgíc, khả kh qt phân tích cịn hạn chế, đặc biệt phần ứng dụng phép biến hình Vì học sinh cịn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Để em tiếp thu cách có hiệu xin đưa vài ứng dụng phép biến hình cụ thể giải tốn hình học lớp 11: 1: Định nghĩa phép biến hình: 1.1: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng 1.2: Một số phép biến hình mặt phẳng: 1.2.1: Phép tịnh tiến: r r Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ v ≠ , phép biến hình biến điểm uuuuur r uuuuur r r M thành điểm M’ cho MM ' = v , gọi phép tịnh tiến theo vectơ v Kí hiệu: Tvr Vậy: Tvr (M) = M’ ⇔ MM ' = v - Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - 1.2.2: Phép đối xứng trục: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho d đường thẳng trung trực đoạn thẳng MM’ gọi phép đối xứng trục d Kí hiệu: Đd uuuuuur uuuuuur Vậy: Đd(M) = M’ ⇔ M M ' = − M M (M0 giao điểm d với đoạn thẳng MM’) 1.2.3: Phép đối xứng tâm: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến điểm M khác I thành điểm M’ cho I trung điểm đoạn thẳng MM’ gọi phép đối xứng tâm I Kí hiệu: ĐI uuuur uuur Vậy: ĐI(M) = M’ ⇔ IM ' = − IM 1.2.4: Phép quay: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O góc lượng giác α , phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = α gọi phép quay tâm O, góc quay α Kí hiệu: Q(O, α ) ⎧OM = OM ' ⎩(OM , OM ') = α Vậy: Q(O, α )(M)=M’ ⇔ ⎨ 1.2.5: Phép đồng nhất: Định nghĩa: Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng 1.2.6: Phép vị tự: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O số k ≠ 0, phép biến hình biến uuuuur uuuur điểm M thành điểm M’ cho OM ' = kOM , gọi phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu: V(O,k) - Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học uuuuur uuuur Vậy: V(O,k)(M)=M’ ⇔ OM ' = kOM 1.2.7: Phép dời hình: Định nghĩa: Phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm gọi phép dời hình 1.2.8: Phép đồng dạng: Định nghĩa: Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k(k>0) với điểm M, N ảnh M’,N’ tương ứng ln có M’N’=kMN 2: Một số tính chất phép biến hình: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến tam giác thành tam giác ( đồng dạng với nó), biến góc thành góc Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính R (hoặc kR) Biểu thức toạ độ số phép biến hình: 3.1: Phép tịnh tiến: r Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho v(a, b) , M(x;y), M’(x’;y’) Khi ⎧x ' = x + a ⎩y' = y +b Tvr (M) = M’ ⎨ 3.2: Phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’) Khi ⎧x ' = x ⎩y' = −y +) ĐOx(M) = M’ ⎨ -10 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học ⎧x ' = −x +) ĐOy(M) = M’ ⎨ ⎩y' = y 3.3: Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I (a, b) , M(x;y), M’(x’;y’) Khi ⎧ x ' = 2a − x ⎩ y ' = 2b − y ĐI(M) = M’ ⎨ 4: Các dạng tập bản: Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép biến hình: Phương pháp chung: -Sử dụng định nghĩa -Sử dụng biểu thức toạ độ phép biến hình -Sử dụng tính chất phép biến hình r Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ v(−2;3) , đường thẳng d có phương trình: 3x-5y+3=0 Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép r tịnh tiến theo vectơ v r Cách 1: Chọn M(-1;0) thuộc d, M’=T v (M) =(-3;3) M’ thuộc d’.Vì d’//d nên d’ có phương trình 3x-5y+C=0 M’ thuộc d’ÙC=24 Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0 r ⎧x ' = x − ⎧ x = x '+ ⇔⎨ thay vào phương ⎩ y ' = y + ⎩ y = y '− Cách 2: Từ biểu thức toạ độ T v ⎨ trình d ta được: 3x’ -5y’+24=0 Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0 Cách 3: Lấy M, N thuộc d, tìm ảnh M’, N’ tương ứng M N qua r phép tịnh tiến theo vectơ v Khi đường thẳng d’ đường thẳng M’N’ -11 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Trưòng hợp 1: Coi sơng hẹp Bài tốn trở thành: Cho hai điểm A,B nằm hai phía khác so với đường thẳng a Tìm vị trí M A để AM+AN nhỏ Khi M giao điểm AB với a Trưòng hợp 2: a//b uuuur Nhận xét: a,b cố định => MN cố định r T uuuu MN (A) =A’ =>A’N = AM Ta có AM+BN = A’N+NB =A’B uuuur Cách dựng: Dựng A’=T MN (A) Nối A’ với B cắt b N Từ N hạ đường thẳng vng góc với a M Khi MN vị trí xây cầu Bài 3: Cho hai điểm A,B nằm phía đường thẳng d Hãy xác định điểm M d cho AM+MB bé Giải: Nhận xét: Gọi A’= Đd(A) =>AM=AM’ Vậy: AM+MB =A’M+MB=A’B Cách dựng: Dựng A’= Đd(A) Nối A’ với B cắt d M, AM+MB nhỏ Bài 4: Cho góc nhọn xOy , điểm A nằm góc Hãy xác định điểm B Ox, điểm C Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ -15 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Giải: Nhận xét: Gọi A’ = ĐOx(A), A”=ĐOy(A) =>A’B=AB, A”C=AC =>AB+BC+CA=A’B+BC+A”C=AA” (nhỏ nhất) Dựng: A’ = ĐOx(A) A”=ĐOy(A) Nối A’ với A”, AA” cắt Ox Oy B C Khi chu vi tam giác ABC nhỏ Bài 5: Cho góc nhọn xOy , điểm A thuộc miền góc Hãy tìm đường thẳng qua A, cắt Ox, Oy M N cho A trung điểm MN Giải: Giả sử dựng hai điểm M,N thoả mãn yêu cầu tốn Khi N=ĐA(M) Gọi O’x’ = ĐA(Ox), ta có N giao điểm O’x vàOy Từ ta có cách dựng: Dựng O’x’ = ĐA(Ox), gọi N giao điểm O’x Oy, M=ĐA(N).Khi M,N hai điểm cần tìm Theo cách dựng cặp điểm M,N Bài 6: Cho đường tròn (O;R) (O1;R1) cắt A B Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt (O;R) (O1;R1) M M1 cho A trung điểm MM1 -16 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Giải: Giả sử dựng đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề Khi ta có M1=ĐA(M) Gọi đường trịn (O’,R) ảnh đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A Ta có M1 giao điểm (O’;R) với đường tròn (O1,R1) Cách dựng: Dựng đường tròn (O’,R) ảnh đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A.Gọi M1 giao điểm (O’;R) với đường tròn (O1,R1) không trùng với A, M=ĐA(M1) đường thẳng d đường thẳng MM1 Theo cách dựng có đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề Bài 7:Cho hai đường thẳng cắt a b, điểm C Tìm a b điểm A B tương ứng cho tam giác ABC vuông cân A -17 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Giải: Giả sử dựng hai điểm A,B thoả mãn điều kiện đầu Ta thấy: ACB =45 , CB = => B ảnh CA A qua phép đồng dạng F có cách thực liên tiếp phép quay tâm C, góc quay -450, phép vị tự tâm C tỉ số Gọi a” ảnh a qua phép đồng dạng F Ta có B giao điểm b a” Cách dựng: Dựng a’ ảnh a qua phép quay tâm C, góc quay -450 Dựng a” ảnh a’ qua phép vị tự tâm C tỉ số B giao điểm a” b Dựng B’ ảnh B qua phép quay tâm C, góc quay 450 Dựng A ảnh B’ qua phép vị tự tâm C tỉ số ( )-1 Theo cách dựng cặp điểm A,B Bài 8: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ Dựng hình vng ABCD có hai đỉnh A,B nằm đường thẳng PQ hai đỉnh C,D nằm đường tròn Giải: -18 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Giả sử dựng hình vng ABCD thoả mãn điều kiện toán Gọi I M N C D trung điểm đoạn thẳng PQ OI đường trung trực PQ nên đường trung trực DC O đường trung trực AB Từ suy ra, dựng hình vng PQMN có phép vị tự tâm I biến hình vng PQMN P A B A' B' Q I thành hình vng ABCD C' Cách dựng: D' Dựng hình vng PQMN Lấy giao điểm C C’ đường thẳng IM đường tròn, lấy giao điểm D D’ IN đường trịn( ta kí hiệu cho hai điểm C, D nằm phía đường thẳng PQ) Gọi điểm B,A,B’,A’ hình chiếu điểm C,D,C’,D’ đường thẳng PQ Ta hình vuông ABCD A’B’C’D’ thoả mãn điều kiện tốn Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải số tốn tìm tập hợp điểm Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm ảnh hình biết qua phép biến hình Bài 1: Cho đường tròn (O) tam giác ABC Một điểm M thay đổi đường tròn(O) Gọi M1 điểm đối xứng M qua A, M2 điểm đối xứng M1 qua B, M3 điểm đối xứng M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3 -19 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Giải: M2 Gọi D trung điểm MM3 B ABCD hình bình hành Do điểm D cố định Phép đối xứng M1 qua điểm D biến M thành M3 O Do Quỹ tích điểm M3 ảnh C A đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D M D M3 Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC đường kính) đường trịn (O), điểm A di động (O) Chứng minh A di động (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn Giải: Cách1: A D Gọi H trực tâm tam giác ABC, M trung điểm BC Tia BO cắt đường tròn (O) D Ta có BCD =900 nên DC//AH, AD//CH => tứ giác ADCH hình bình hành O => uuur uuur uuuur AH = DC = 2OM uuuur r Vì OM không đổi => T2 Ouuuu M (A) =H Vậy A di chuyển đường trịn (O) H H C M B di chuyển đường tròn (O’) ảnh (O) uuuur qua phép tịnh tiến theo OM -20 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Cách 2: Gọi H trực tâm tam giác ABC A Gọi I, H’ giao điểm tia AH với D đoạn thẳng BC vả đường tròn (O) Ta có: BAH = HCB ; BAH = BCH ' O Do tam giác HCH’ cân C => H H’ H đối xứng qua BC Khi A chạy đường (O) H’ chạy đường tròn (O) => A di động C I B (O) trực tâm tam giác ABC di động H' đường tròn ảnh (O) qua phép đối xứng trục BC Cách 3: Gọi H trực tâm tam giác ABC, I trung điểm A BC Tia AO BO cắt (O) M D D Theo chứng minh cách 1ta có uuur uuur uur AH = DC = 2OI O Trong tam giác AHM có OI//AH OI = AH H => OI đường trung bình tam giác AHM => I trung điểm HM => H M đối xứng qua I Vì BC cố định nên I cố định C I B M Khi A di động (O) M di chuyển (O) Do A di động (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép đối xứng tâm I -21 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Bài 3: Cho đường tròn (O;R), I cố định khác O Một điểm M thay đổi (O) Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ điểm N Giải: Vì ON tia phân giác góc MOI nên MN OM IM − IN OM = = hay (O), I cố định NI OI IN OI nên OM =k( k số, k ≠ 0) OI M N I IM − IN IM = k ⇔ IN = IN k +1 uur uuur ⇒ IN = IM k +1 ⇒ Vậy phép vị tự tâm I tỉ số O biến điểm M k +1 thành điểm N Do M chạy đường trịn (O) N di động đường trịn (O’) ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số k +1 -22 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Bài 4: Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường trịn Dựng hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D Giải: Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M cho P AM=AB=AD Khi đó, ta có: AM AB = = AC AC B Ngoài ra; (AM,AB)=45 (AM,AD)=-45 Suy ra, phép vị tự V tâm A, tỉ số k= biến A M điểm C thành điểm M phép quay Q tâm A góc quay 450 biến điểm M thành điểm B Vậy gọi F phép hợp thành V Q F biến C thành B Vì quỹ tích C đường R O D Q C trịn (O), nên quỹ tích B ảnh đường trịn qua phép đồng dạng F Đường trịn quỹ tích B xác định sau: Gọi AR đường kính đường trịn (O) PQ đường kính (O) vng góc với AR (ta kí hiệu điểm P,Q cho (AR,AP)=450) Khi ta thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích điểm B đường trịn đường kính AP Tương tự ta có quỹ tích điểm D đường trịn đường kính AQ Bài 5:Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường trịn Một đường thẳng thay đổi qua P, cắt (O) hai điểm A B Tìm quỹ tích điểm M cho: uuuur uuur uuur PM = PA + PB -23 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Giải: Gọi I trung điểm AB B uuur uuur uur PA + PB PI = uuuur uuur uuur uur Bởi PM = PA + PB = PI I Gọi V phép vị tự tâm P tỉ số k=2 P V biến điểm I thành điểm M Vì I trung điểm AB nên OI ⊥ AB Suy quỹ tích điểm I đường trịn (C) O O' (C') A (C) đường kính PO Vậy quỹ tích điểm M đường tròn uuuur uuur (C’) ảnh (C) qua phép vị tự V Nếu ta lấy O’ cho PO ' = PO (C’) đường trịn đường kính PO’ -24 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1.Kết Áp dụng đề tài học sinh lớp 11 thu kết sau Kết thúc học kì I năm học 2008-2009.Trên trung bình: 60% Kết thúc học kì I năm học 2009-2010.Trên trung bình: 70% Quan trọng học sinh cảm thấy hứng thú với mơn hình học, khơng bị áp lực phải ngồi học hình học, tạo niềm tin hứng thú học tập 2.Kết luận: Qua thời gian nghiên cứu đề tài vận dụng đề tài vào giảng dạy rút số ý kiến sau: • Giáo viên: Tạo tâm hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức mơn học để thúc đẩy tính tích cực tư học sinh, khắc phục tâm ngại, sợ tiếp cận nội dung môn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học trở lên hấp dẫn người học thấy ý nghĩa môn học Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri thức HS, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải tốn thơng qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thơng qua hình thành phát triển nhân cách em Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm phương pháp dạy học phù hợp Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập Ln tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập học sinh Cho học sinh thấy ứng dụng lý thuyết vào thực hành Đặt câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh • Học sinh: Chăm nắm lý thuyết Có ý thức học tập, hiểu vấn đề cách sâu sắc Biết chuyển ngơn ngữ thơng thường sang ngơn ngữ Tốn -25 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - Có óc tưởng tượng, phán đốn lơgíc Khuyến nghị: Nên có chuyên đề tự chọn để giáo viên học sinh trao đổi thẳng thắn với vấn đề, từ rút phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Do kinh nghiệm thiếu, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề tài không tránh khỏi nhiều hạn chế Rất mong đóng góp đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài -26 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học lớp 11 Sách giáo viên hình học lớp 11 Để học tốt hình học lớp 11 Sách hướng dẫn giảng dạy hình học lớp 11 Phương pháp dạy học mơn tốn Một số vấn đề phát triển hình học 11 Sách chuyên đề nâng cao hình học THPT Tạp chí giáo dục thời đại Tạp chí tốn học tuổi trẻ -27 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn hình học - ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG -28 Giáo viên: Trần Lê Thanh sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan sang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toansang.kien.kinh.nghiem.mon.toan.ung.dung.phep.bien.hinh.vao.giai.cac.bai.toan