Skkn rèn luyện cho học sinh cách phát triển hệ thống bài tập thông qua một bài toán số học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH CÁCH PHÁT TRIỂN HỆ THỐNG BÀI TẬP THÔNG QUA MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC" skkn PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong trình giảng dạy toán trường THPT chuyên Lam Sơn, trước kỳ thi yêu cầu đề thi HSG phải mới, chưa xuất Vậy làm để học sinh khơng bỡ ngỡ, đưa quen thuộc, kiến thức có Nói cách khác tập cho học sinh hệ thống, phát triển vấn đề từ vấn đề cũ, sáng tạo toán điều cần thiết người giáo viên dạy Toán cho lớp chuyên Vấn đề thân thường xuyên làm, viết xuất phát từ toán cũ quen thuộc với học sinh, phát triển thành nhiều vấn đề gặp kỳ thi HSG II Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập phát triển theo nhiều khía cạnh khác nhau, nói cách khác: tập cho học sinh làm quen với toán mở III Nội dung Xuất phát từ kỳ thi Olympic Toán Quốc tế lần 49 năm 2008 (tác giả Kestuis Cesnavicius, người Litva), tốn khó ngày thi thứ nhất, viết ta ký hiệu toán Bài toán hay toán mở Từ toán năm sau nhiều nước dựa ý tưởng để phát triển thành đề thi Olympic, đề chọn đội tuyển nước Bài tốn Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n cho n + có ước nguyên tố lớn 2n + skkn Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Lời giải toán phát triển từ lời giải của tốn đơn giản sau, hay nói từ tốn ta có tốn dễ thở hơn, để giả chúng sau quay lại toán Bài toán 2.(đề thi chọn đội tuyển Inđơnêxia dự thi Tốn Quốc tế năm 2009) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n cho n2 + không ước n! Lời giải toán Trước giải toán ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Tồn vô số số nguyên tố dạng 4k + (k N*) Chứng minh: Gọi A tập hợp gồm tất số nguyên tố dạng 4k + (k N*), A khác rỗng A Giả sử A hữu hạn, gọi p < p2 < … 1, a N, Gọi q ước nguyên tố a q pi (i = 1, 2, …, n)(1), mặt khác Suy -1 số phương (mod q) q lẻ q có dạng 4k + q A (2) Từ (1) (2) mâu thuẫn Vậy bổ đề chứng minh Chúng ta chuyển sang tốn 2, giả sử p sơ ngun tố dạng 4k + (k -1 số phương (mod p) N*) tồn np {0, 1, 2, …, p – 1} skkn Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc cho , tồn vơ số ngun tố p dạng 4k + (k N*) nên tồn vô số số nguyên dương n cho n2 + khơng ước n! Bài tốn (Tạp chí Animath Pháp năm 2006) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n cho ước nguyên tố lớn n + lớn 2n Lời giải toán Giả sử p số nguyên tố dạng 4k + (k phương (mod p) Ta có q2 N*), suy -1 số tồn x {0, 1, 2, …, p – 1} cho (p – q)2 (mod p) (q Z), suy tồn q cho , đặt q = p – x, ta có: q2 = (p – x)2 Thật giả sử p) , ta có q2 + p p x2 -1 (mod 2q + > 2q, suy ước nguyên tố lớn q2 + lớn 2q Vì có vơ số số ngun tố dạng 4k + (k N*) nên tồn vô số số nguyên dương n cho n2 + có ước nguyên tố lớn n Sau lời giải toán skkn Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Cách Xét số nguyên tố p dạng 4k + (k N*) -1 số phương (mod p) Vì x2 tồn x {0, 1, 2, …, p – 1} cho x)2 (mod p) (x Z), suy tồn Đặt m = suy m cho (p – m2 -1 (mod p), giả sử p > 20, Vì m2 -4 (mod p) Mặt khác 4m2 = vơ lý Điều Vậy p > 2m + Vì m2 + p nên m2 Vì tồn vô số số nguyên tố p dạng 4k + (k N*) nên tồn vô số số nguyên dương n cho ước nguyên tố lớn n2 + lớn 2n + Cách Giả sử n số nguyên, n Hiển nhiên p > n Giả sử 24, goi p ước nguyên tố (n!)2 + số dư phép chia n! –n! cho p Khi < x < p – x < p Ta chứng minh x2 + chia hết cho p Thật tồn m Z cho n! = mp + x –n! = mp + x skkn Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Trong trường hợp ta có (n!)2 + = (mp + 1)2 + x2 + = (n!)2 +1 – m2p2 – 2mpx x2 + p Từ suy p ước p2 – 2px + 4x2 + = (p – 2x)2 + p (p – 2x)2 + p p 2x + 2x + , từ suy điều phải chứng minh Tổng quát toán Bài toán Chứng minh tồn vô số sô nguyên dương n cho n + có ước nguyên tố lớn 2n + Bài toán (Đề thi Olympic Bungari năm 1996) Chứng minh với số nguyên n tồn cặp số nguyên dương lẻ (xn, yn) cho Giải Với n = ta chọn x3 = y3 = 1, giả sử với n (xn, yn) cho tồn cặp số nguyên dương lẻ ta chứng minh cặp: thỏa mãn 7X2 + Y2 = 2n + Thật skkn Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Vì xn, yn lẻ nên xn = 2k + 1, yn = 2l + (k, l Z) Điều chứng tỏ số lẻ, với n + tồn số tự nhiên lẻ xn +1 yn +1 thỏa mãn Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n phương trình x + 15y2 = 4n có n nghiệm tự nhiên (x, y) (Đề thi HSG Toán Quốc gia năm 2010) Giải Trước tiên ta chứng minh với số nguyên n cho Giả sử với n tồn cặp số nguyên dương lẻ (xn, yn) Thật với n = chọn x2 = 2, y2 = tồn cặp số nguyên dương lẻ (xn, yn) cho , ta chứng minh cặp thỏa mãn X2 + 15Y2 = 4n+1 Thật + 1, yn = 2l + (k, l Và xn, yn lẻ nên xn = 2k Z) = k + l + skkn Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Điều chứng tỏ số lẻ Vì với n + tồn số tự nhiên lẻ xn+1, yn+1 thỏa mãn Quay lại toán Với n = 1, phương trình x + 15y2 = 4n có nghiệm tự nhiên (x, y) = (2, 0) Với n = phương trình x2 + 15y2 = 4n có nghiệm tự nhiên (x, y) = (4, 0); (1, 1) Giả sử với n phương trình có n nghiệm tự nhiên (x 1, y1); (x2, y2);…;(xn, yn) Khi (x, y) = (2xk, 2yk) (1 k n) nghiệm tự nhiên phương trình x2 + 15y2 = 4n+1 Theo chứng minh phương trình x + 15y2 = 4n+1 lại có nghiệm tự nhiên lẻ Vậy phương trình x2 + 15y2 = 4n+1 có n +1 nghiệm tự nhiên, toán giải Bài tốn Tìm tất cặp số ngun dương (x, y) cho số nguyên ước 1995 (Đề thi Olympic Bungari năm 1995) Giải Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Cho số nguyên tố p = 4q + (q N), giải sử x, y số nguyên cho x2 + y2 chia hết cho p, x y chia hết cho p Thật x p y p Giả sử x không chia hết cho p y không chia hết cho p Theo định lý Phecma ta có xp-1 (mod p) tương tự y4p+2 Ta có x2 + y2 p x4p+2 (mod p), (mod p) x2 -y2 (mod p) skkn Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc -1 (mod p) p = (vô lý) Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề vào toán 7: giả sử tồn số nguyên dương x, y cho x > y, số nguyên ước 1995 Đặt k = x2 + y2 = k(x – y) k ước 1995 = 3.5.7.19 *) Nếu k k = 3k1 (k1 N, k1 không chia hết cho 3) x = 3x1, y = 3y1 (x1, y1 N*, x1 > y1) x y Nếu k = x2 + y2 = x – y điều vơ lý x2 + y2 *) Nếu k = x2 + y2 = 5(x + y) x2 + y x + y > x – y (vì x, y N*) (2x – 5)2 + (2y + 5)2 = 50 (x, y) = (3, 1) (2, 1) *) Nếu k = tương tự tồn k N* cho k = 7k2 (k2 không chia hết cho 7) x = 7x2; y = 7y2 (x2, y2 N*, x2 > y2) *) Nếu k 19) 19 tương tự tồn k3 N* cho k = 19k3 (k3 không chia hết cho x = 19x3; y = 19y3 (x3, y3 N*, x3 > y3) Vậy tất cặp số nguyên dương (x, y) cần tìm có dạng (3c, c); (2c, c); (c, 2c); (c, 3c) c {1,3, 7, 19, 21, 57, 133, 399} Bài tốn Tìm tất cáccặp số nguyên dương (x, y) cho số A = nguyên ước 2010 (Đề thi Olympic Toán khu vực duyên hải đồng Bắc Bộ năm học 2009-2010) skkn Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Giải Trên sở lời giải tốn ta cần tìm cácnghiệm nguyên dương phương trình x2 + y2 = k(x – y) với k = 2, 5, 10 Phương trình x2 + y2 = 2(x – y) khơng có nghiệm nguyên dương Thật giả sử x, y N*, x > y suy x2 + y2 2x + y2 2(x – y), điều vô lý Phương trình x2 + y2 = 5(x – y) có nghiệm nguyên dương (x, y) = (3, 1); (2, 1) Phương trình x2 + y2 = 10(x – y) có nghiệm nguyên dương (x, y) = (6, 2); (4, 2) Vậy tất cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn đề là: (3c, c); (2c, c); (c, 2c); (c, 3c); (6c, 2c); (4c, 2c); (2c, 6c); (2c, 4c) c {1,3, 6, 7, 201} Cuối số toán tự luyện Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình: 7x + y2 = 2n+2 ln có nghiệm ngun dương Bài tốn10 Chứng minh với số nguyên n, phương trình x2 + 15y2 = 4n c n ngh nhin Bài toán 11 Cho số nguyên dương n, gọi Sn tổng bình phương hệ số đa thức f(x) = (x + 1) n Chứng minh S2n + không chia hết cho (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 2010) Bài tốn 12 Chứng minh tồn vơ số số nguyên dương n cho 2n + chia hết cho n Bài tốn 13 Chứng minh tồn vơ số số nguyên dương n cho tất ước nguyên tố n2 + n + không lớn (Đề chọn đội tuyển Ukraina dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 2007) 10 skkn Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc Skkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hocSkkn.ren.luyen.cho.hoc.sinh.cach.phat.trien.he.thong.bai.tap.thong.qua.mot.bai.toan.so.hoc