Skkn nêu được cơ sở lý luận của việc sử dụng phương pháp và kiến thức toán học vào chứng minh bất đẳng thức

Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Mục lục Trang Mục lục Phần Mở đầu Phần Nội dung Các kiến thức cần lu ý Một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức Các tập nâng cao 21 ứng dụng Bất đẳng thức 25 Tài liệu tham kảo 30 skkn Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức A Phần mở đầu I Lý chon đề tài Cơ sở khoa học - Giải toán Bất đẳng thức rèn cho học sinh phơng pháp t phân tích, tổng hợp có đợc linh hoạt phơng pháp giải toán, rèn cho học sinh có trí tởng tợng cao, phát huy tính tích cực, chủ động t duy, có tính sáng tạo giải toán - Giải toán Bất đẳng thức nội dung hay khó, kiến thức vận dụng đòi hỏi phải có tinh tế, phải có nhìn khái quát, tổng hợp nhiều mặt, phải có hớng mục đích Nhng rõ ràng nội dung có ý nghĩa việc rèn kĩ Toán học cho học sinh - Qua giảng dạy tìm hiểu dạng toán này, thấy dạng toán khó, làm học sinh phải linh hoạt biết phân biệt dạng để đa toán quen thuộc để thực giải đơn giản - Khi đợc nghiên cứu sâu dạng toán này, giáo viên nâng cao t lực chuyên môn, để từ truyền đạt cho em toán đợc dễ hiểu skkn Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Cơ sở thực tiễn - Khi học sinh cha đợc phân dạng toán chứng minh Bất đẳng thứcthì em thờng lúng túng, hay tìm mò khó tìm lời giải nhanh - Qua thực tế giảng dạy học sinh dạng toán chứng minh Bất đẳng thức, đà phân rõ phơng pháp giải toán khác để em nắm đợc cách phân dạng Toán; từ em đa cách làm cho phù hợp với để có cách giải nhanh - Với giáo viên nắm đợc phơng pháp giải toán chứng minh Bất đẳng thức nâng cao đợc lực t lực chuyên môn II Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu toán đa đợc phơng pháp giải tập khác để em giải tập cụ thể cách dễ ràng Khi học sinh có đợc phơng pháp phân tích t tổng hợp toán học, nâng cao lực giải toán có nghị lực vợt khó để giải toán - Khi nghiên cứu dạng toán chứng minh Bất đẳng thức nâng cao lực chuyên môn làm t liệu dạy học sinh giỏi - Chọn lọc số toán chứng minh Bất đẳng thức III Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu đợc sở lý luận việc sử dụng phơng pháp kiến thức Toán học vào chứng minh Bất đẳng thức IV Phạm vi nghiên cứu Chơng trình toán lớp 10, 11, 12 THPT chơng trình thi Đại học môn toán V Đối tợng nghiên cứu Các toán Bất đẳng thức skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức VI Phơng pháp nghiên cứu Phơng pháp tìm hiểu tài liệu Qua thực tế giảng dạy học sinh Tổng kết, đánh giá, so sánh qua số toán cụ thể, từ rút đợc kinh nghiệm cho dạng toán skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức B phần nội dung I.các kiến thức cần lu ý 1-§inhnghÜa 2-tÝnh chÊt + A>B + A > B > A > B + A>B vµ B >C + A>B A+C >B + C + A>B vµ C > D +A>B A+C > B + + D > A >B A với n lẻ >B với n chẵn + A>B vµ C > A.C > B.C + A>B vµ C < A.C < B.C + < A < B, < C n > vµ A > A > A < + m > n > vµ 3-mét sè bất đẳng thức +A + + + - An víi A ( dÊu = x¶y A = ) víi A ( dÊu = x¶y A = ) víi (dÊu = x¶y A = ) 0) + ( dÊu = xảy A.B < 0) Các đẳng thức (a b)2 =a2 2ab +b2 ( a+ b )( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 ( a - b ) (a2 + ab +b2 ) = a3 - b3 ( a  b)2 = a2  3a2b +3ab2  b2 (a  b)4 =a4a3 + 6a3 b3 (a+b)(a-b) = a2 - b2 4ab3 +b4 Một số Bất đẳng thức Lợng giác hay dùng Ngoài kiến thức công thức Lợng giác, phơng trình Lợng giác, cần quan tâm tới Bất đẳng thức Lợng giác sau Những Bất đẳng thức coi nh kết đà biết, sau này, tài lệu này, dẫn chúng không thích thêm (trừ trờng hợp cần thiết) Chứng minh Bất đẳng thức hiển nhiên đợc tìm thấy (1)| sinx| hay –  | sinx |  ,x  (2)| cosx|  hay –  | cosx |  ,x  (3)| tanx + cotx |  2, x (4) , k   ,x skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh BÊt d¼ng thøc ,xi (5) , n  *, dÊu “=” x¶y x = x2 = ,i= … = xn ,xi (6) , n  *, dÊu “=” x¶y x1 = x2 ,i= = … = xn ,xi (7) ,i= , n  *, dÊu “=” x¶y x1 = x2 = … = xn Tất nhiên phải nhớ lại kiến thức Bất đẳng thức đà nêu SGK lớp 10, Bất đẳng thức quen thc thêng sư dơng – Mét sè lu ý vận dụng kiến thức vào chứng minh Bất đẳng thøc –  k (k > 0) th× ta cã thể đặt x = k.sina (a Nếu k.cosb (b  ) 2 – NÕu x + y = k ta đặt x = k.sin – NÕu x  k > th× ta cã thể đặt x = k tan ) x = vµ sin > 0, tan > NÕu , y = k.cos ,  2 , ®ã x – k =  k > ta đặt x = , sin > skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chøng minh BÊt d¼ng thøc – Víi x  ta đặt x = tan , tan )= cos 2 , x + k = k (1+ > – NÕu gi¶ thiÕt cho a + b = c ta đặt Èn phơ víi m t ý – NÕu gi¶ thiÕt cho: x + y + z = k th× ta nên đặt: với a +b +c = Nếu cho điều kiện , CMR: , ta ®Ỉt – Víi ®iỊu kiƯn x + y = k y l (hay x n) ®Ỉt y = + m víi m  (hay x = n - m víi m  0) Tõ ®ã suy x = k - l - m (hay y = k - n m) suy ra: Rồi thay ẩn vào vế bất đẳng thức cần chứng minh Nếu điếu kiện cho là: ta nên đặt skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc với m,n từ Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Nếu điếu kiện cho là: với n,m ta đặt ii số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : §Ĩ chøng minh A > B Ta chøng minh A B > Lu ý dùng bất đẳng thøc M víi M VÝ dơ  x, y, z chøng minh r»ng : a) x +y +z xy+ yz + zx b) x +y +z c) x +y + z +3 2xy – 2xz + 2yz (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiƯu x = +y ( x + z - xy – yz - zx +y + z - xy – yz – zx) = V× (x-y)2 víix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 (y-z)2 với mäi x;y;z víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x +y +z xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xét hiệu skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc từ Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) =x +y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) VËy x +y ®óng víi mäi x;y;z +z 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiƯu x +y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y = (x-1) + (y-1) -2y +1 + z -2z +1 +(z-1) DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dơ 2: chøng minh r»ng : a) ;b) c) HÃy tổng quát toán Gải a) Ta xÐt hiÖu = = = VËy DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiƯu = 10 skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Chứng minh (1) Giải Ta thấy BĐT (1) với n=1 Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta cã (1) (2) VÕ tr¸i (2) (3) Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sư a b giả thiết cho a -b (+) Giả sử a < b theo giả thiết a - a , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c > Giải : Giả sử a tõ abc > Mµ abc > vµ a < Tõ ab+bc+ca > a ®ã a < cb < a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) > a < vµ b +c < b+c VËy a > t¬ng tù ta cã b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iỊu kiƯn ac 2.(b+d) Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt bất đẳng thức sau sai: , Giải : Giả sử bất đẳng thức : , cộng vế ta đợc (1) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) 2ac (2) 28 skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Từ (1) (2) hay Vậy bất đẳng thức (vô lý) có bất ®¼ng thøc sai VÝ dơ 3: Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng NÕu x+y+z > có ba số lớn Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z ( ) xyz = theo giả thiết x+y +z > nªn (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng Thật ba số dơng x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) VËy cã mét vµ chØ mét ba sè x , y,z lớn III.các tập nâng cao 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = Chøng minh r»ng b2+c2> ab+bc+ac Gi¶i Ta cã hiÖu: b2+c2- ab- bc – ac = = ( b2+c2- ab- bc – ac b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 3bc 29 skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất d¼ng thøc =( =( VËy : -b- c)2 + -b- c)2 + >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chứng minh a) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã c) Gi¶i : a) XÐt hiƯu H= = H ta có điều phải chứng minh b) Vế tr¸i cã thĨ viÕt H= H > ta cã điều phải chứng minh c) vế trái viết H= H ta có điều phải chứng minh Dùng biến đổi tơng đơng 1) Cho x > y xy =1 Chứng minh Giải : Ta có (vì xy = 1) Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với 30 skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc a >0 ) Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy Chứng minh Giải : Ta có BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chứng minh Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta có (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c số dơng Chứng minh (1) 31 skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Giải : (1) áp dụng BĐT phụ Với x,y > Ta có BĐT cuối Vậy (đpcm) dùng phơng pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c Ta cã Đặt (k nguyên dơng x nguyên dơng Ta có Nhng Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên dơng Nên cặp số nguyên dơng thoả mÃn phơng trình Vậy phơng trình cã nghiƯm nhÊt lµ : KÕT LN Trong trình giải tập, lực suy nghĩ , sáng tạo học sinh đợc phát triển đa dạng phong phú tập bất đẳng thức có cách giải 39 skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức không theo quy tắc khuôn mẫu Nó đòi hỏi ngời học phải có cách suy nghĩ lôgic, sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách có hệ thống Cũng toán bất đẳng thức cách giải mẫu, không theo phơng pháp định nên học sinh rât lúng túng giải toán bất đẳng thức học sinh không theo hơng Do hầu hết học sinh làm toán bất đẳng thứcvà vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Rèn kĩ giải toan Bất đẳng thức nội dung quan trọng chơng trình toán THPT Học sinh cần dành nhiều thời gian hợp lí vận dụng nhiều phơng pháp để giải 40 skkn Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc Skkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thucSkkn.neu.duoc.co.so.ly.luan.cua.viec.su.dung.phuong.phap.va.kien.thuc.toan.hoc.vao.chung.minh.bat.dang.thuc