Problems in mathematical alnalysis ii kaczkornowak Problems in mathematical alnalysis ii kaczkornowak Problems in mathematical alnalysis ii kaczkornowak
Mục lục Lời nói đầu iii Các ký hiệu khái niệm vii Bài tập Số thực 1.1 1.2 3 Cận cận d-ới tập số thực Liên phân số Mét số bất đẳng thức sơ cấp 11 D·y sè thùc 19 2.1 DÃy đơn điệu 23 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ 30 2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz ứng dụng 2.4 Điểm giới hạn Giới hạn giới hạn d-ới 42 2.5 Các toán hỗn hợp 48 Chuỗi số thực 37 63 3.1 Tỉng cđa chuỗi 67 3.2 Chuỗi d-ơng 75 3.3 DÊu hiÖu tÝch ph©n 90 3.4 Héi tơ tut đối Định lý Leibniz 93 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet tiêu chuẩn Abel 99 i ii Mơc lơc 3.6 TÝch Cauchy cđa c¸c chuỗi vô hạn 102 3.7 S¾p xếp lại chuỗi Chuỗi kép 104 3.8 Tích vô hạn 111 Lêi gi¶i Số thực 121 1.1 Cận cận d-ới tập số thực Liên phân số 121 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp 131 D·y sè thùc 145 2.1 DÃy đơn điệu 145 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tô 156 2.3 Định lý Toeplitz, định lí Stolz ứng dụng 173 2.4 §iĨm giíi hạn Giới hạn giới hạn d-ới 181 2.5 Các toán hỗn hợp 199 Chuỗi số thực 231 3.1 Tổng chuỗi 231 3.2 Chuỗi d-ơng 253 3.3 DÊu hiƯu tÝch ph©n 285 3.4 Hội tụ tuyệt đối Định lý Leibniz 291 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet tiêu chuẩn Abel 304 3.6 Tích Cauchy chuỗi vô hạn 3.7 Sắp xếp lại chuỗi Chuỗi kép 321 3.8 TÝch vô hạn 338 Tài liệu tham khảo 313 354 Lời nói đầu Bạn có tay tập I sách tập giải tích (theo chúng tôi) hay giới Tr-ớc đây, hầu hết ng-ời làm toán Việt Nam th-ờng sử dơng hai cn s¸ch nỉi tiÕng sau (b»ng tiÕng Nga đà đ-ợc dịch tiếng Việt): "Bài tập giải tích toán học" Demidovich (B P Demidovich; 1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu, Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva) "Giải tích toán học, ví dụ bµi tËp" cđa Ljaszko, Bojachuk, Gai, Golovach (I I Lyashko, A K Boyachuk, YA G Gai, G P Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh, Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola) để giảng dạy học giải tích Cần chó ý r»ng, cn thø nhÊt chØ cã bµi tËp đáp số Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết phần lớn tập thứ số toán khác Lần chọn sách (bằng tiếng Ba Lan đà đ-ợc dịch tiếng Anh): "Bài tập giải tích Tập I: Số thực, DÃy số Chuỗi số" (W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Pierwsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), "Bài tập giải tích Tập II: Liên tục Vi phân " (W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Druga, Funkcje iii iv Lời nói đầu Jednej Zmiennej{Rachunek Rozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998) để biên dịch nhằm cung cấp thêm tài liệu tốt giúp bạn đọc học dạy giải tích Khi biên dịch, đà tham khảo tiếng Anh: 3* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000 4* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001 Sách có -u điểm sau: ã Các tập đ-ợc xắp xếp từ dễ khó có nhiều tập hay ã Lời giải đầy đủ chi tiết ã Kết hợp đ-ợc ý t-ởng hay toán học sơ cấp toán học đại Nhiều tập đựơc lấy từ tạp chí tiếng nh-, American Mathematical Monthly (tiÕng Anh), Mathematics Today (tiÕng Nga), Delta (tiÕng Balan) V× thế, sách dùng làm tài liệu cho học sinh phổ thông lớp chuyên nh- cho sinh viên đại học ngành toán Các kiến thức để giải tập sách tìm Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hµ Néi, 2000 W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book Company, New York, 1964 Tuy vËy, tr-ớc ch-ơng trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại kiến thức cần thiết giải tập ch-ơng t-ơng ứng Tập I II sách bàn đến hàm số biến số (trừ phần không gian metric tập II) Kaczkor, Nowak viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến phép tính tích phân Chúng biên dịch tập II, tới xuất Lời nói đầu v Chúng biết ơn : - Giáo s- Phạm Xuân Yêm (Pháp) đà gửi cho gốc tiếng Anh tập I sách này, - Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đà gửi cho gốc tiếng Anh tập II sách này, - Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đà gửi cho gốc tiếng Anh sách tiếng W Rudin (nói trên), xuất lần thứ ba, 1976, - TS D-ơng Tất Thắng đà cổ vũ tạo điều kiện để biên dịch sách Chúng chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đà đọc kỹ thảo sửa nhiều lỗi chế đánh máy Chúng hy vọng sách đ-ợc đông đảo bạn đọc đón nhận góp nhiều ý kiến quí báu phần biên dịch trình bày Rất mong nhận đ-ợc giáo quý vị bạn đọc, ý kiến góp ý xin gửi về: Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn TrÃi, Thanh Xuân, Hà Nội Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, Xuân 2002 Nhóm biên dịch Đoàn Chi Các ký hiệu khái niệm ã R - tập số thực ã R+ - tập số thực d-ơng ã Z - tập số nguyên ã N - tập số nguyên d-ơng hay số tự nhiên ã Q - tập số hữu tỷ ã (a, b) - khoảng mở có hai đầu mút a b ã [a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút a b ã [x] - phần nguyên số thực x ã Với x R, hàm dấu cđa x lµ 1 sgn x = −1 víi víi víi x > 0, x < 0, x = • Víi x ∈ N, n! = · · · · n, (2n)!! = · · · · (2n − 2) · (2n), (2n − 1)!! = · · · · (2n − 3) · (2n − 1) • Ký hiƯu nk = thøc Newton n! , k!(n−k)! n, k ∈ N, n k, hệ số khai triển nhị vii viii Các ký hiệu khái niệm ã Nếu A R khác rỗng bị chặn ta ký hiệu sup A cận nó, không bị chặn ta quy -íc r»ng sup A = +∞ • NÕu A ⊂ R khác rỗng bị chặn d-ới ta ký hiệu inf A cận d-ới nó, không bị chặn d-ới ta quy -ớc inf A = ã DÃy {an } số thực đ-ợc gọi đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu giảm) an+1 an (t-ơng ứng an+1 ≤ an ) víi mäi n ∈ N Líp c¸c dÃy đơn điệu chứa dÃy tăng giảm ã Số thực c đ-ợc gọi điểm giới hạn d·y {an } nÕu tån t¹i mét d·y {ank } cđa {an } héi tơ vỊ c • Cho S tập điểm tụ dÃy {an } Cận d-ới cận dÃy , ký hiệu lần l-ợt lim an lim an đ-ợc xác định n n nh- sau + lim an = −∞ n→∞ sup S −∞ lim an = +∞ n→∞ inf S ã Tích vô hạn Q {an } không bị chặn trên, {an } bị chặn S = , {an } bị chặn S 6= , {an } không bị chặn d-ới, {an } bị chặn d-ới S = , {an } bị chặn d-ới S 6= ∅, an héi tơ nÕu tån t¹i n0 ∈ N cho an 6= víi n=1 n ≥ n0 vµ d·y {an0 an0 +1 · · an0 +n } héi tơ n → ∞ tíi mét giíi h¹n P0 6= Sè P = an0 an0 +1 à à an0 +n à P0 đ-ợc gọi giá trị tích vô hạn ã Trong phần lớn sách toán n-ớc ta từ tr-ớc đến nay, hàm tang côtang nh- hàm ng-ợc chúng đ-ợc ký hiệu tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo c¸ch ký hiƯu cđa c¸c sách có nguồn gốc từ Pháp Nga, nhiên sách toán Mỹ phần lớn n-ớc châu Âu, chúng đ-ợc ký hiệu t-ơng tự tan x, cot x, arctan x, arccot x Trong cuèn sách sử dụng ký hiệu để bạn đọc làm quen với ký hiệu đà đ-ợc chuẩn hoá giới Bài tập 2.2 Giới hạn Tính chất dÃy hội tụ Để kÕt thóc, chó ý r»ng víi 169 n ≥ 3, √ n(n − 1)(n − 2) √ ( n n − 1)3 n = ( n n − + 1)n > 3! V× vËy √ n ≤ n( n − 1) ≤ n Do ®ã, 3! (n − 1)(n − 2) 23 √ lim n( n n − 1)2 = n→∞ 2.2.50 (a) Ta cã arctan(n + 1) arctan(n + k) + ··· + n+1 n+k 2 π π 1 < < + · · · + 2n+1 2n+k 2n+1 |an+k − an | = ε > bÊt kú lÊy n0 = [log2 πε − 1] Khi với k N n > n0 ta cã |an+k − an | < ε VËy {an } lµ mét d·y Cauchy Víi (b) Cã thĨ chØ b»ng qui n¹p r»ng 4n |an+k − an | < > n4 víi mäi n ≥ V× vËy 1 + + ··· + 2 (n + 1) (n + 2) (n + k)2 Hệ là, |an+k an | 1 + + ··· + < n(n + 1) (n + 1)(n + 2) (n + k − 1)(n + k) 1 1 1 + − + ··· + − = − n n+1 n+1 n+2 n+k−1 n+k 1 < 1ε (c) Ta cã |a2n − an | = 1 1 + + ··· + ≥n = 2n 2n − n+1 2n Điều chứng tỏ an không dÃy Cauchy 170 Ch-¬ng D·y sè thùc (d) Ta cã |an+k − an | n+k−1 n+k−2 n (−1) (−1) (−1) + + ··· + = (n + k)(n + k + 1) (n + k − 1)(n + k) (n + 1)(n + 2) 1 ≤ + + ··· + (n + k)(n + k + 1) (n + k − 1)(n + k) (n + 1)(n + 2) 1 1 1 − + − + ··· + − = n+k n+k+1 n+k −1 n+k n+1 n+2 1 − < [ 1ε − 1] (e) Ta cã |an+k − an | ≤ M(|q|n+k + |q|n+k−1 + · · · + |q|n+1 ) n+1 M |q| (1 − |q|k ) ≤ |q|n+1 < ε =M − |q| − |q| (1−|q|)ε ln M víi bÊt kú k ∈ N vµ n > n0 = −1 ln |q| (f) Ta cã 2n 2n − n+1 + + ··· + 2 (2n + 1) (2n) (n + 2)2 2n 2n2 ≥n ≥ = (2n + 1)2 (3n)2 a2n − an = Do {an } không dÃy Cauchy 2.2.51 Tõ ®iỊu kiƯn ®· cho ta cã |an+k − an | = |an+k − an+k−1 + an+k−1 − an+k−2 + · · · + an+1 − an | < λ(|an+k−1 − an+k−2 | + |an+k−2 − an+k−3 | + · · · + |an − an−1 |) < (λk + λk−1 + · · · + λ2 + λ)|an − an−1 | ≤ (λk + λk−1 + · · · + λ2 + λ)λn−2 |a2 − a1 | = λn−1 (1 − λk ) λn−1 |a2 − a1| < |a2 − a1 | 1−λ 1−λ 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ Do ®ã, víi bÊt kú ta cã 171 ε > cho tr-íc, víi n > + ε(1−λ) ) −a1 | ln( |a ln λ vµ víi mäi k∈N |an+k − an | < ε 2.2.52 V× {Sn } héi tơ nên dÃy Cauchy Chúng ta chứng minh {ln n } dÃy Cauchy Từ bất đẳng thøc 2.1.4,1 ta cã ln σn+k < víi an+k − ln σn = ln + + ··· + an+1 an+k + · · · + ln + an+1