Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN QUANG TRUNG VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN TỬ ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.1 Khơng gian Hilbert 1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert 1.1.2 Tính trực giao hình chiếu 1.1.3 Tốn tử tuyến tính phiếm hàm không gian Hilbert 11 1.2 Toán tử đa trị 14 1.2.1 Một số kiến thức giải tích lồi 14 1.2.2 Toán tử đa trị 20 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 24 2.1 2.2 Toán tử đơn điệu 24 2.1.1 Toán tử đơn điệu 24 2.1.2 Tốn tử đơn điệu tuần hồn 32 2.1.3 Toán tử đơn điệu cực đại 34 2.1.4 Hàm Fitzpatrick 40 Tổng hai toán tử đơn điệu cực đại 43 Tài liệu tham khảo 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu Tốn tử đơn điệu lĩnh vực quan trọng giải tích đại, có nhiều ứng dụng giải tích ứng dụng nhiều ngành toán học ứng dụng khác bất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa, Nội dung luận văn trình bày kiến thức sở liên quan; Các định nghĩa, tính chất điều kiện để toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại; Điều kiện để tổng hai toán tử đơn điệu cực đại toán tử đơn điệu cực đại nhờ hàm Fitzpatrick Bố cục Luận văn gồm hai chương: • Chương Kiến thức tốn tử đa trị khơng gian Hilbert • Chương Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Nội dung chương là: Chương I: Trình bày kiến thức không gian Hilbert Sau trình bày kiến thức tốn tử đa trị khơng gian Hilbert, có trình bày số kiến thức Giải tích lồi phục vụ cho nghiên cứu tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Chương II: Trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hồn, đơn điệu cực đại tính chất như: điều kiện đủ để tốn tử đơn điệu, đơn điệu cực đại Tiếp theo trình bày tính cực đại tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Để hoàn thành Luận văn này, trước hết tác giả xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc học trị suốt q trình nghiên cứu giúp đỡ tác giả hoàn thành hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy giáo thuộc Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tham gia giảng dạy nhiệt tình khóa học, giúp tác giả tích lũy nhiều kiến thức quan trọng phục vụ cho luận văn Tác giả xin cám ơn Seminar Toán Viện toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ nhận xét góp ý cho luận văn Tác giả xin cám ơn tới quan nơi tác giả cơng tác, gia đình bạn bè động viên, ủng hộ giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng tích cực học tập, nghiên cứu khoa học, song q trình thực khơng tránh khỏi sai sót Vì tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỐN TỬ ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Trong chương giới thiệu kiến thức khơng gian Hilbert tốn tử đa trị Các khái niệm kết tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3, 4, 10] 1.1 Không gian Hilbert Chúng ta ký hiệu H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng h.|.i chuẩn k.k Toán tử đồng H Id 1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert Một tập X mà phần tử đối tượng bất kỳ, gọi không gian vectơ, nếu: a) Trên X trang bị hai phép tốn: + : X × X → X : (x, y) 7→ x + y; · : R × X → X : (α, x) 7→ αx, b) Hai phép tốn thỏa mãn tám tiên đề sau: i) x + y = y + x; ii) (x + y) + z = x + (y + z) ; (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 iii) ∃ ∈ X : x + = x, ∀x ∈ X ; iv) x ∈ X , ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0; v) 1.x = x; vi) α (βx) = (αβ) x, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ; vii) (α + β) x = αx + βx, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ; viii) α (x + y) = αx + αy, ∀α ∈ R; ∀x, y ∈ X Nếu tập X trang bị metric: p : X × X → R+ : (x, y) 7→ p (x, y) , thỏa mãn tính chất sau: i) p (x, y) > 0, ∀x 6= y; p (x, y) = 0, x = y; ii) p (x, y) = p (y, x) , ∀x, y; iii) p (x, y) ≤ p (x, z) + p (y, z) , ∀x, y, z ∈ X , (X , p) gọi không gian metric Định nghĩa 1.1 Một không gian vectơ định chuẩn tập X vừa không gian vectơ, vừa không gian metric Khi X trang bị chuẩn kxk = p (x, 0) thỏa mãn điều kiện: i) kxk > x 6= 0; kxk = x = 0, ii) kαxk = |α| kxk , iii) kx + yk ≤ kxk + kyk Định nghĩa 1.2 Một khơng gian tuyến tính thực X gọi không gian tiền Hilbert với x, y ∈ X , xác định số thực kí hiệu hx| yi gọi tích vơ hướng x, y ∈ X thỏa mãn: i) hx|yi = hy|xi ii) hx + y|zi = hx|zi + hy|zi iii) hλx|yi = λ hx|yi iv) hx|xi ≥ với x, dấu "=" xảy x = v) hx|xi = kxk2 Nhận xét 1.1 Từ tính chất i), ii), iii) v) Định nghĩa 1.2 ta (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 suy ra: 2 2 kx + yk + kx − yk = kxk + kyk (1.1) Công thức (1.1) gọi điều kiện bình hành Mệnh đề 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert X không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định: q kxk = hx| xi, ∀x ∈ X (1.2) Chứng minh Với số thực λ ta có: ≤ hx − λy|x − λyi = hx|xi − 2λ hx|yi + λ2 hy|yi , tam thức bậc hai theo λ có biệt thức ∆ ≤ 0: |hx|yi|2 − hx|xi hy|yi ≤ 0, hay |hx|yi| ≤ kxk kyk (1.3) Từ ≤ hx + y|x + yi = hx|xi + hx|yi + hy|yi ≤ ≤ kxk2 + kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 Vậy kx + yk ≤ kxk + kyk , (1.4) nghĩa bất đẳng thức tam giác thỏa mãn Mặt khác từ (1.2), (1.3) (1.4) ta suy kxk > x 6= 0, kxk = x = kλxk = |λ| kxk Do kxk chuẩn Nhận xét 1.2 Qua chứng minh ta thấy khơng gian tiền Hilbert ln có bất đẳng thức (1.3) gọi bất đẳng thức Schwarz Hơn nữa, theo đẳng thức hình bình hành (1.1) ln Vì: hx + y|x + yi − hx − y|x − yi = hx|yi nên có: hx| yi = (hx + y| x + yi − hx − y| x − yi) (1.5) (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 Khi kxn − xk → 0, kyn − yk → 0, kxn + yn k → kx + yk , kxn − yn k → kx − yk , nên theo (1.5) có hxn |yn i → hx|yi Vậy hx|yi hàm liên tục x y Định nghĩa 1.3 Cho X không gian định chuẩn Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy X lim kxn − xm k = n,m→∞ Nếu X dãy hội tụ, tức kxn − xm k → ⇒ ∃x0 ∈ X : xn → x0 , X gọi khơng gian đủ không gian Banach Định nghĩa 1.4 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Định nghĩa 1.5 Khơng gian Banach thỏa mãn điều kiện bình hành gọi không gian Hilbert Bổ đề 1.1 (xem [10]) Cho x, y ∈ H Khi có kết sau: i) hx| yi ≤ ⇔ (λ ∈ R++ ) kxk ≤ kx − λyk ⇔ (λ ∈ [0, 1]) kxk ≤ kx − λyk ii) x⊥y ⇔ (λ ∈ R) kxk ≤ kx − λyk ⇔ (λ ∈ [−1, 1]) kxk ≤ kx − λyk Ví dụ 1.1 Cho (Ω, F, µ) khơng gian có độ đo, cho (H, h.|.iH ) không gian Hilbert thực, cho p ∈ [1; +∞) Ký hiệu Lp ((Ω, F, µ) ; H) không gian ánh xạ Boren đo x : Ω → H cho Z kx (ω)kpH µ (dω) < +∞ Ω Khi L2 ((Ω, F, µ) ; H) (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 khơng gian Hilbert thực với tích vô hướng Z (x, y) 7→ hx (ω) |y (ω)iH µ (dω) Ω Ví dụ 1.2 Khơng gian Rk khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Xk ξi η i , hx| yi = i=1 chuẩn xác định công thức r Xk ξi2 kxk = i=1 Ví dụ 1.3 Cho T ∈ R++ cho (H, h.|.iH ) không gian Hilbert thực Rt Với y ∈ L2 ([0, T ] ; H), hàm x : [0, T ] → H : t 7→ y (s) ds khả 0 vi hầu khắp nơi [0, T ], với x (t) = y (t) hầu khắp nơi (0, T ) Chúng ta nói x : [0, T ] → H thuộc W1,2 ([0, T ] ; H) tồn y ∈ L2 ([0, T ] ; H) cho (∀t ∈ [0, T ]) x (t) = x (0) + Zt y (s) ds, lựa chọn W1,2 ([0, T ] ; H) = x ∈ L2 ([0, T ] ; H) (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 25 Hình 2.1: Mệnh đề 2.1 Cho A : H → 2H Khi phát biểu sau tương đương (i) A đơn điệu (ii) A tăng, tức (∀ (x, u) ∈ gra A) (∀ (y, v) ∈ gra A) (∀λ ∈ [0, 1]) kx − y + λ (u − v)k ≥ kx − yk (iii) (∀ (x, u) ∈ gra A) (∀ (y, v) ∈ gra A) ky − uk2 + kx − vk2 ≥ kx − uk2 + ky − vk2 Chứng minh (i) ⇔ (ii): Kết hợp Định nghĩa 2.1 Bổ đề 1.1 (i) ta có điều phải chứng minh (iii) ⇔ (i): Sử dụng tính chất tích vơ hướng khơng gian Hilbert H, có: ky − uk2 + kx − vk2 ≥ kx − uk2 + ky − vk2 ⇔ −2 hy| ui − hx| vi ≥ −2 hx| ui − hy| vi ⇔ hx| ui − hx| vi ≥ hy| ui − hy| vi (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 26 ⇔ hx| u − vi ≥ hy| u − vi ⇔ hx − y| u − vi ≥ Ví dụ 2.1 Cho f : H → (−∞, +∞] hàm lồi, thường Khi ∂f toán tử đa trị đơn điệu Chứng minh Lấy (x, u) (y, v) ∈ gra ∂f Khi đó, theo (1.19), có: hx − y| ui + f (y) ≥ f (x) hy − x| vi + f (x) ≥ f (y) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên, được: hx − y| u − vi ≥ Ví dụ 2.2 Giả sử H = R, D ⊂ H, D 6= ∅ cho A : D → H tăng Khi A đơn điệu Định nghĩa 2.2 Toán tử T : H → 2H gọi toán tử ngược đơn điệu mạnh H hx − y| T x − T yi ≥ αkT x − T yk2 với ∀x, y ∈ H Ví dụ 2.3 Giả sử D ⊂ H, D 6= ∅ cho T : D → H toán tử ngược đơn điệu mạnh Khi T đơn điệu Chứng minh Theo Định nghĩa 2.2, có hx − y| T x − T yi ≥ αkT x − T yk2 với ∀x, y ∈ H, α ∈ R++ hay hT x − T y| x − yi ≥ Vậy T tốn tử đơn điệu Ví dụ 2.4 Cho D 6= ∅, D ⊂ H T : D → H ánh xạ không giãn Cho α ∈ [−1, 1] A = Id + αT Khi A tốn tử đơn điệu (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 27 Chứng minh Với x, y ∈ D, có: hx − y| Ax − Ayi = kx − yk2 + α hx − y| T x − T yi ≥ kx − yk (kx − yk − |α| kT x − T yk) ≥ Vậy A tốn tử đơn điệu Ví dụ 2.5 Cho D 6= ∅, D ⊂ H T : D → H đặt A = Id − T Khi phát biểu sau tương đương: (i) T giả không giãn (pseudononexpansive), theo nghĩa: (∀x ∈ D) (∀y ∈ D) kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 + k(Id − T ) x − (Id − T ) yk2 (ii) A toán tử đơn điệu Chứng minh Lấy x, y ∈ D Khi đó, có: kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 + k(Id − T ) x − (Id − T ) yk2 ⇔ kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 +kx − yk2 −2 hx − y| T x − T yi+kT x − T yk2 ⇔ kx − yk2 −hx − y| T x − T yi ≥ ⇔ hx − y| Ax − Ayi ≥ ⇔ A toán tử đơn điệu Ví dụ 2.6 Cho H khơng gian Hilbert thực, cho T ∈ R++ giả sử H = L2 ([0, T ] ; H) (Xem ví dụ 1.4) Hơn nữa, cho A toán tử timederivative (Xem ví dụ 1.3), A : H → 2H : x 7→ {x0 } , x ∈ D; ∅, x ∈ / D, D = x ∈ W1,2 ([0, T ] ; H) x (0) = x0 với x0 ∈ H Khi A đơn điệu Chứng minh (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 28 Lấy x y ∈ domA = D Khi đó, có: hx − y| Ax − Ayi = ZT hx (t) − y (t)| x0 (t) − y (t)iH dt = ZT d kx (t) − y (t)k2H dt dt = 1 ≥ 0, kx (T ) − y (T )k2H − kx (0) − y (0)k2H điều chứng tỏ A đơn điệu Mệnh đề 2.2 Cho K không gian Hilbert thực, cho A : H → 2H B : K → 2K toán tử đơn điệu, cho L ∈ B (H, K) γ ∈ R+ Khi tốn tử A−1 , γA, A + L∗ BL đơn điệu Chứng minh Trước hết, chứng minh A−1 đơn điệu Vì A đơn điệu nên với x, y ∈ dom A, ∀u ∈ A (x) , ∀v ∈ A (y), có: hu − v| x − yi ≥ 0, hay hx − y| u − vi ≥ ∀u, v ∈ dom T −1 , ∀x ∈ T −1 (u) , ∀y ∈ T −1 (v) , điều chứng tỏ A−1 đơn điệu Tiếp theo, chứng minh γA đơn điệu Giả sử x, y ∈ dom A u ∈ λA (x) , v ∈ λA (y) Lấy u1 ∈ A (x) , v1 ∈ A (y) Vì A đơn điệu nên có hx − y| u1 − v1 i ≥ 0, hay λ hx − y| u1 − v1 i ≥ , ∀λ ≥ ⇔ hx − y| u − vi ≥ , (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 29 điều chứng tỏ γA đơn điệu Cuối chứng minh A + L∗ BL đơn điệu Thật vậy, giả sử với x, y ∈ dom A ∩ dom (L∗ BL), ∀u ∈ (A + L∗ BL) (x) = A (x) + (L∗ BL) (x) , ∀v ∈ (A + L∗ BL) (y) = A (y) + (L∗ BL) (y) Lấy u1 ∈ A (x) , u2 ∈ L∗ BL (x) , v1 ∈ A (y) , v2 ∈ L∗ BL (y) Vì A đơn điệu nên có: hx − y| u1 − v1 i ≥ , chọn u3 ∈ BL (x) , v3 ∈ BL (y) cho u2 = L∗ u3 , v2 = L∗ v3 Do B đơn điệu nên có: hx − y| u2 − v2 i = hx − y| L∗ u3 − L∗ v3 i = hLx − Ly| u3 − v3 i ≥ Điều chứng tỏ L∗ BL đơn điệu Khi đó, cộng vế theo vế bất đẳng thức được: hx − y| (u1 + u2 ) − (v1 + v2 )i ≥ hay hx − y| u − vi ≥ Vậy chứng minh A+L∗ BL đơn điệu Mệnh đề 2.3 Cho (Ω , F, µ) khơng gian có độ đo, cho (H, h.| iH ) không gian Hilbert thực cho A : H → 2H toán tử đơn điệu Giả sử H = L2 ((Ω , F, µ) ; H), định nghĩa A : H → 2H , gra A = (x, u) ∈ H × H| (x (ω) , u (ω)) ∈ gra A µ-hkn Ω Khi A đơn điệu Chứng minh (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 30 Lấy (x, u) (y, v) ∈ gra A Do tính đơn điệu A nên có: hx (ω) − y (ω)| u (ω) − v (ω)iH ≥ µ − hkn Ω Xem lại Ví dụ 1.1, lấy tích phân Ω với độ đo µ, thu kết sau: hx − y| u − vi = Z hx (ω) − y (ω)| u (ω) − v (ω)iH µ (dω) ≥ Ω Điều chứng tỏ toán tử A đơn điệu Ví dụ 2.7 Cho C 6= ∅, C ⊂ H cho ΠC toán tử chiếu C định nghĩa công thức ΠC : H → 2C : x 7→ {p ∈ C| kx − pk = dC (x)} Khi ΠC toán tử đơn điệu Chứng minh Lấy (x, u) (y, v) ∈ gra ΠC Khi có: kx − uk = dC (x) ≤ kx − vk , ky − vk = dC (y) ≤ ky − uk Do kx − uk2 + ky − vk2 ≤ kx − vk2 + ky − uk2 ⇔ −2 hx| ui − hy| vi ≤ −2 hx| vi − hy| ui ⇔ hx| ui − hx| vi ≥ hy| ui − hy| vi ⇔ hx| u − vi ≥ hy| u − vi ⇔ hx| u − vi − hy| u − vi ≥ ⇔ hx − y| u − vi ≥ (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 31 Như thu ΠC toán tử đơn điệu Ví dụ 2.8 Cho C 6= ∅ đóng , C ⊂ H ký hiệu ( ΦC : H → 2H : x 7→ ) u ∈ C| kx − uk = sup kx − pk , p∈C toán tử điểm xa (farthest-point) Khi −ΦC tốn tử đơn điệu Chứng minh Giả sử (x, u) (y, v) ∈ graΦC Khi đó, có: kx − uk ≥ kx − vk , ky − vk ≥ ky − uk Do đó, có kx − uk2 + ky − vk2 ≥ kx − vk2 + ky − uk2 ⇔ −2 hx| ui − hy| vi ≥ −2 hx| vi − hy| ui ⇔ hx| vi − hx| ui ≥ hy| vi − hy| ui ⇔ hx| v − ui ≥ hy| v − ui ⇔ hx − y| v − ui ≥ ⇔ − hx − y| u − vi ≥ Điều chứng tỏ −ΦC toán tử đơn điệu Mệnh đề 2.4 (xem [10]) Cho A : H → 2H , F = h.| i Khi phát biểu sau tương đương: (i) A toán tử đơn điệu (ii) Mọi họ hữu hạn (αi )i∈I (0, 1) thỏa mãn X αi = (xi , ui )i∈I ∈ graA, i∈I có ! F X i∈I αi (xi , ui ) ≤ X αi F (xi , ui ) i∈I (iii) F lồi graA (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02(LUAN.van.THAC.si).ve.toan.tu.don.dieu.trong.khong.gian.hilbert.luan.van.thac.si.toan.hoc.60.46.01.02 32 Bổ đề 2.1 Cho A : H → 2H tuyến tính Khi A đơn điệu ⇔ (∀x ∈ H) hAx| xi ≥ Chứng minh Với (x, u) (y, v) ∈ gra A Khi có: A đơn điệu ⇔ hx − y| u − vi ≥ ⇔ hx − y| Ax − Ayi ≥ ⇔ hx − y| A (x − y)i ≥ ⇔ (∀w ∈ H) hw| Awi ≥ Đó điều phải chứng minh 2.1.2 Toán tử đơn điệu tuần hoàn n Định nghĩa 2.3 Cho T : Rn → 2R C ⊆ domT Ta nói T tốn tử đơn điệu tuần hồn C , với số nguyên, dương m cặp xi , y i ∈ graT, xi ∈ C (i = 0, , m) ta có x − x0 y + x2 − x1 y + + x0 − xm
Ngày đăng: 20/12/2023, 20:13
Xem thêm:
