(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp phân rã giải bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ THỊ THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ THỊ THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - Năm 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cảm ơn iii Danh mục ký hiệu iv Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Bài toán cân 1.3 11 1.2.1 Bài tốn tối ưu hóa 12 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân 13 1.2.3 Bài toán điểm bất động Kakutani 15 1.2.4 Cân Nash trò chơi không hợp tác 15 1.2.5 Bài toán điểm yên ngựa 16 Sự tồn nghiệm toán cân 17 Chương Một số phương pháp phân rã giải toán cân 21 2.1 Phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes 21 2.1.1 Ánh xạ Combettes 21 2.1.2 Thuật toán hội tụ phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes 26 Ứng dụng 32 Phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã 33 2.2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường 33 2.2.2 Thuật toán hội tụ phương pháp đạo hàm tăng 2.1.3 2.2 cường phân rã 36 Ví dụ minh họa 48 Phương pháp đạo hàm tăng cường hai bước phân rã 55 2.2.3 2.3 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.3.1 Phương pháp đạo hàm tăng cường suy rộng 2.3.2 Thuật toán hội tụ phương pháp đạo hàm tăng cường hai bước phân rã 2.3.3 55 57 Ví dụ minh họa 63 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS TSKH Phạm Kỳ Anh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017 có cơng lao giảng dạy suốt thời gian học tập Trường Nhận dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp bên cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2017 Học viên Ngô Thị Thương iii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Danh mục ký hiệu conv Bao lồi domf Miền hữu dụng song hàm f gphf Đồ thị song hàm f EP (f, C) Bài toán cân liên kết f C KKM Ánh xạ KKM M EP (f, C) Tập nghiệm toán cân hỗn hợp NC (x) Nón pháp tuyến C x ∈ C ∂f (x) Dưới vi phân f x P rC (x) Hình chiếu x lên C proxf (x) Toán tử gần kề f Sol(f, C) Tập nghiệm toán cân (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Lời nói đầu Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng , chuẩn k.k tương ứng Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H song hàm f : C × C → R cho f (x, x) = với x ∈ C Trong luận văn này, chúng tơi xét tốn cân EP (f, C) sau Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Bài tốn cân EP (f, C) cịn gọi bất đẳng thức Ky Fan để ghi nhận đóng góp ơng lĩnh vực Bài tốn cân bao hàm lớp toán quan trọng tốn tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa, toán cân Nash lý thuyết trị chơi khơng hợp tác, tốn điểm bất động, Chính vậy, tốn cân có nhiều ứng dụng thực tiễn, chẳng hạn vật lý, ngành kỹ thuật, lý thuyết trò chơi, vận tải, kinh tế, hệ thống mạng, Tính ứng dụng cao lớp tốn động lực để nhà toán học nghiên cứu phương pháp giải Phương pháp giải tốn cân chia thành ba hướng tiếp cận phổ biến Hướng sử dụng hàm khoảng cách Thay giải tốn cân EP (f, C) trực tiếp, phương pháp sử dụng hàm khoảng cách chuyển toán gốc thành tốn tối ưu phù hợp Khi đó, phương pháp tối ưu hóa địa phương sử dụng để giải toán tối ưu Phương pháp dựa hàm khoảng cách Zhu Marcotte sử dụng cho bất đẳng thức biến phân Sau đó, Mastroeni phát triển cho toán cân Hướng tiếp cận thứ hai dựa nguyên lý toán phụ Bài toán cân EP (f, C) biến đổi tương đương toán bổ trợ, toán thường giải dễ dàng toán gốc Nguyên lý giới thiệu lần Cohen cho toán tối ưu sau ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân Mastroeni sau mở rộng ngyên lý toán phụ cho (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang toán cân EP (f, C) với song hàm đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitz cụ thể Hướng tiếp cận thứ ba phương pháp điểm gần kề Phương pháp điểm gần kề lần nghiên cứu Martinet để giải bất đẳng thức biến phân sau nghiên cứu sâu Rockafellar để tìm khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại Gần đây, nhiều nhà nghiên cứu sử dụng phương pháp cho tốn cân EP (f, C), ví dụ tác giả Moudafi, L D Muu, T D Quoc, Theo ba hướng tiếp cận đó, số phương pháp giải toán cân EP (f, C) đề xuất phương pháp điểm bất động, phương pháp điểm gần kề, phương pháp đạo hàm tăng cường, Những phương pháp trên, vòng lặp, phải giải toán với song hàm f , điều gặp khó khăn song hàm f phức tạp Một hướng tiếp cận khác phân rã song hàm f thành tổng hai song hàm nhiều Khi đó, tốn giải độc lập dễ dàng Người ta gọi chung phương pháp phương pháp phân rã giải toán cân EP (f, C) Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu hai phương pháp phân rã có đề xuất phương pháp phân rã giải toán cân Hai phương pháp chúng tơi tìm hiểu phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes đề xuất Moudafi [4] phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã đề xuất tác giả P K Anh T N Hai [3] Bên cạnh đó, chúng tơi muốn đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường hai bước phân rã Phương pháp dựa phương pháp đạo hàm tăng cường suy rộng [7] phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã Thuật toán hội tụ phương pháp chúng tơi trình bày chi tiết luận văn Ngồi Lời mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt khái niệm liên quan nêu ví dụ song hàm, toán cân bằng, số lớp toán liên quan toán cân tồn nghiệm toán cân Chương 2: Một số phương pháp phân rã giải toán cân Ở đây, chúng tơi trình bày lại hai phương pháp phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã Thuật toán, (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang hội tụ ví dụ minh họa phương pháp chúng tơi trình bày lại tính tốn chi tiết Cuối cùng, chúng tơi đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường hai bước phân rã Thuật toán hội tụ phương pháp chứng minh cách rõ ràng Bên cạnh đó, chúng tơi có đưa ví dụ minh họa cho phương pháp với tính tốn chi tiết Mặc dù cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn cịn nhiều khiếm khuyết Trong q trình đọc dịch tài liệu, viết luận văn xử lý văn chắn khơng tránh khỏi sai sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2017 Học viên Ngô Thị Thương (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm liên quan đến song hàm f , toán cân bằng, số trường hợp riêng quan trọng tồn nghiệm toán cân 1.1 Một số khái niệm Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert H Định nghĩa 1.1.1 (Xem [3]) Ánh xạ F : C → H gọi γ-đơn điệu mạnh C tồn số γ > cho F (x) − F (y), x − y ≥ γkx − yk2 ≥ ∀x, y ∈ C đơn điệu C F (x) − F (y), x − y ≥ ∀x, y ∈ C γ-giả đơn điệu mạnh C tồn số γ > cho với x, y ∈ C, ta có F (y), x − y ≥ ⇒ F (x), x − y ≥ γkx − yk2 giả đơn điệu C với x, y ∈ C, ta có F (y), x − y ≥ ⇒ F (x), x − y ≥ Ví dụ 1.1.1 Cho ánh xạ F : C → Rn với F (x) = Ax Khi (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com = ≤ ≤ Ω (a(n − 1)ω)2 j6=i n X i=1 j6=i n X |yi − zi | |xj − yj | j=1 Ω kx − yk.ky − zk n(a(n − 1)ω)2 ω = min{ωi : 1, n}, Ω = max{ωi : 1, n} a = min{ai : 1, n} Cho u : C → R hàm lồi, nửa liên tục dưới, λ > tùy ý Với x ∈ C hàm y 7→ λu(y) + ky − xk2 hàm lồi, nửa liên tục Toán tử P roxu (x) : C → C n o x 7→ argmin λu(x) + ky − xk2 : y ∈ C xác định gọi toán tử gần kề u 10 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Định nghĩa 1.1.8 ([3]) Song hàm f : C × C → R gọi liên tục τ Holder phần C tồn số L > τ ∈ (0, 1] cho với x, y, z ∈ C, hai điều kiện sau thỏa mãn (i) |f (x, y) − f (z, y)| ≤ Lkx − zkτ (ii) |f (x, y) − f (x, z)| ≤ Lky − zkτ Ví dụ 1.1.4 Cho f : [0, +∞) × [0, +∞) → R √ √ (x, y) 7→ e−x ( y − x) Ta chứng minh f liên tục 12 -Holder phần Thật vậy, với x, y, z ∈ [0, +∞), ta có √ √ |f (x, y) − f (x, z)| = e−x | y − z| Ta chứng minh p √ √ | y − z| ≤ |y − z| Điều tương đương với việc chứng minh √ yz ≥ y + z − |y − z| Thật vậy, y ≥ z ta có y + z − |y − z| = y + z − y + z = 2z Từ suy bất đẳng thức sau √ yz ≥ 2z Ngược lại, y < z, ta có y + z − |y − z| = y + z + y − z = 2y Từ đó, ta suy bất đẳng thức sau √ yz ≥ 2y Vậy ta chứng minh √ yz ≥ y + z − |y − z| 11 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Do đó, với x, y, z ∈ [0, +∞), ta có |f (x, y) − f (x, z)| ≤ p |y − z| Vì f liên tục 21 -Holder phần Định nghĩa 1.1.9 (Xem [2]) Dưới vi phân hàm u : H → R x tập ∂u(x) := {ω ∈ H : u(y) − u(x) ≥ ω, y − x : y ∈ H} Ví dụ 1.1.5 Cho hàm f (x) = kxk, x ∈ Rn Khi ∂f (0) = {x∗ ∈ Rn : x∗ , x ≤ kxk ∀x ∈ Rn } Cho hàm f (x) = |x|, x ∈ R Ta có ∂f (0) = {x∗ ∈ R : x∗ , x ≤ |x| ∀x ∈ R} = [−1, 1] Định nghĩa 1.1.10 (Xem [2]) Nón pháp tuyến C x ∈ C định nghĩa NC (x) := {q ∈ q, y − x ≤ ∀y ∈ C} Để chứng minh kết chương tiếp theo, cần bổ đề sau Bổ đề 1.1.1 (Xem [3]) Cho f : C → R hàm lồi, khả vi phân C Khi đó, x∗ nghiệm toán min{f (x) : x ∈ C} ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ) 1.2 Bài toán cân Ngày nay, xu hội nhập giới mối liên quan mật thiết đối tác, phương án tối ưu tốt cho đối tác lại không thỏa mãn đối tác khác Ta xét mơ hình có nhiều đối tác tham gia, đối tác có hàm lợi ích riêng Giả sử định đối tác phụ thuộc vào chiến lược đối tác khác Thông thường lợi ích 12 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang đối tác hay mâu thuẫn, chí đối kháng Trong trường hợp này, phương án tối ưu cho tất đối tác thường không tồn Khi đó, người ta nghĩ đến phương án mang tính cân để "thu hút" đối tác, theo nghĩa đối tác khỏi điểm cân bằng, đối tác bị thua thiệt Ta hiểu rõ thêm khái niệm cân xét toán cân Nash trị chơi khơng hợp tác, trình bày Một cách hình thức ta mơ tả toán cân sau: Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H f : C × C → R song hàm phi tuyến Bài toán cân liên kết f C, viết tắt EP (f, C), phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C, f (x, x) = với x ∈ C Chúng ta gọi song hàm thỏa mãn tính chất song hàm cân C Như thường lệ, ta gọi C tập chấp nhận f song hàm cân tốn EP (f, C) Về mặt hình thức, tốn đơn giản, nhiên bao hàm nhiều lớp toán liên quan thuộc nhiều lĩnh vực, ví dụ tốn tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa, toán cân Nash lý thuyết trị chơi khơng hợp tác, toán điểm bất động, 1.2.1 Bài tốn tối ưu hóa Xét tốn min{ϕ(x)|x ∈ C} Đặt f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x) Hiển nhiên ϕ(x) ≤ ϕ(y) ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ ∀y ∈ C Như vậy, toán tối ưu trường hợp riêng toán EP (f, C) 13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân n Cho F : C → 2R ánh xạ đa trị (tức x ∈ C, giá trị F (x) tập hợp Rn ) Xét tốn Tìm x∗ ∈ C, v ∗ ∈ F (x) cho v ∗ , y − x∗ ≥ ∀y ∈ C (VI) Ta minh họa bất đẳng thức biến phân (VI) góc độ mơ hình kinh tế sau Giả sử C tập hợp chiến lược (tập ràng buộc) phương án sản xuất lựa chọn Với phương án sản xuất x ∈ C, tập (ánh xạ giá) F (x) tập hợp giá thành chi phí ứng với phương án x Khi đó, tốn (VI) tốn tìm phương án sản xuất x∗ tập chiến lược C giá v ∗ tương ứng với x∗ cho chi phí thấp Trong trường hợp, ánh xạ giá không phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức F (x) = c với x ∈ C, đó, bất đẳng thức biến phân (VI) trở thành toán quy hoạch quen thuộc min{cT x : x ∈ C} (LP) Trong toán quy hoạch này, véctơ giá c không phụ thuộc vào phương án sản xuất Về mặt hình học, bất đẳng thức biến phân (VI) tốn tìm điểm x∗ ∈ C cho tập F (x∗ ) có phần tử véctơ pháp tuyến (ngoài) tập C điểm x∗ Giả sử x ∈ C, tập F (x) lồi, compact, khác rỗng Với x, y ∈ C, để mơ tả tốn (VI) tốn cân bằng, ta đặt f (x, y) := max v, y − x v∈F (x) Từ suy f (x, y) ≥ với y ∈ C x nghiệm toán (VI) Một trường hợp riêng quan trọng toán (VI) C = Rn+ F đơn trị Khi đó, tốn (VI) tương đương với tốn sau gọi tốn bù Tìm x ≥ cho F (x) ≥ 0, xT F (x) = (CP) Ta toán (CP) tương đương với bất đẳng thức biến phân Tìm x ≥ cho F (x), y − x ≥ ∀y ≥ 14 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Sự tương đương hiểu theo nghĩa tập nghiệm hai toán trùng Thật vậy, x nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân F (x), y − x ≥ ∀y ≥ Lần lượt chọn y = x + ei (véctơ đơn vị thứ i), ta có Fi (x) = F (x), x + ei − x) = F (x), ei ≥ Vậy, Fi (x) ≥ với i Ngồi chọn y = 0, ta có ≤ − F (x), x ≤ Suy xT F (x) = Điều ngược lại, nghiệm toán bù nghiệm bất đẳng thức biến phân hiển nhiên Bài toán quy hoạch lồi min{u(x) : x ∈ C} (CO) u hàm khả vi phân tập lồi C, mơ tả dạng bất đẳng thức biến phân (VI), với F = ∂u Thật vậy, F = ∂u, toán (VI) viết Tìm x∗ ∈ C, v ∗ ∈ ∂u(x∗ ) cho v ∗ , y − x∗ ≥ ∀y ∈ C Nếu x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân, v ∗ ∈ ∂u(x∗ ) nên theo định nghĩa vi phân, ta có ∗ v , y − x∗ + f (x∗ ) ≤ f (y) ∀y ∈ C Mặt khác v ∗ , y − x∗ ≥ ∀y ∈ C Từ suy f (x∗ ) ≤ f (y) với y ∈ C Vậy x∗ nghiệm toán (CO) Trái lại, x∗ nghiệm tốn (CO), theo điều kiện cần đủ tối ưu quy hoạch lồi, ta có ∈ ∂u(x∗ ) + NC (x∗ ) Từ theo định nghĩa nón pháp tuyến C x∗ ta suy x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (VI) với F = ∂u 15 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang 1.2.3 Bài toán điểm bất động Kakutani Cho F : C → 2C Điểm x gọi điểm bất động F x ∈ F (x) Giả sử với x ∈ C, F (x) lồi, compact, khác rỗng Khi đó, tốn tìm điểm bất động F mơ tả dạng toán cân EP (f, C) Để chứng tỏ điều này, với x, y ∈ C, ta đặt f (x, y) := max x − v, y − x v∈F (x) Nếu x ∈ F (x) theo định nghĩa f (x, y), ta có f (x, y) ≥ ∀y ∈ C Ngược lại, giả sử x nghiệm toán EP (f, C), tức x ∈ C f (x, y) ≥ với y ∈ C Khi đó, lấy y hình chiếu x lên tập lồi đóng F (x) Theo tính chất hình chiếu, ta có x − y, y − x = max x − v, y − x v∈F (x) Do x nghiệm EP (f, C) nên ≤ f (x, y) = x − y, y − x = −kx − yk2 Suy x = y ∈ F (x) Vậy x điểm bất động F 1.2.4 Cân Nash trị chơi khơng hợp tác Xét trị chơi có p người chơi (đấu thủ) Giả sử Cj ⊂ Rpj tập phương án mà đấu thủ thứ j lựa chọn (gọi tập chiến lược) Đặt C := C1 × C2 × · · · × Cp gọi ϕj : C → R hàm lợi ích đấu thủ thứ j đấu thủ chọn phương án chơi xj ∈ Cj , đấu thủ k khác chọn phương án chơi xk ∈ Ck với k 6= j Định nghĩa 1.2.1 Ta gọi x∗ = (x∗1 , , x∗p ) điểm cân ϕ = (ϕ1 , , ϕp ) tập C := C1 × C2 × · · · × Cp với j yj ∈ Cj , ta có ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , , x∗p ) ≤ ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , , x∗p ) 16 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Định nghĩa cho thấy đấu thủ thứ j rời khỏi phương án cân bằng, đấu thủ khác giữ phương án cân đấu thủ j bị thua thiệt Đây lý mà khái niệm cân chấp nhận thực tế Dưới toán cân Nash hiểu tốn tìm điểm cân ϕ C Ta ký hiệu toán N (ϕ, C) Bài tốn cân Nash mơ tả dạng tốn cân EP (f, C) Thật vậy, xây dựng song hàm f : C × C → R cách đặt f (x, y) := p X [ϕj (x) − ϕj (x1 , , xj−1 , yj , xj+1 , , xp )] j=1 Nếu x∗ điểm cân Nash f (x∗ , y) ≥ với y ∈ C Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C nghiệm toán EP (f, C), tức f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Ta chứng tỏ x∗ = (x∗1 , , x∗p ) với x∗j ∈ Cj điểm cân Nash Thật vậy, trái lại, tồn j yj ∈ Cj cho ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , , x∗p ) < ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , , x∗p ) Khi đó, với phương án y = (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , , x∗p ), theo định nghĩa hàm f , ta có f (x∗ , y) = ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , , x∗p ) − ϕj (x∗ ) < Điều mâu thuẫn với x∗ nghiệm toán EP (f, C) 1.2.5 Bài toán điểm yên ngựa Cho A ⊆ H, B ⊆ H L : A × B → R Bài tốn điểm n ngựa tốn tìm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B cho L(x∗ , y) ≤ L(x∗ , y ∗ ) ≤ L(x, y ∗ ) ∀(x, y) ∈ A × B Một điểm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B thỏa mãn bất đẳng thức gọi điểm yên ngựa L A × B Ta tốn điểm n ngựa mơ tả dạng toán cân Thật vậy, với u = (x, y)T , v = (x0 , y)T , ta đặt C := A × B, f (u, v) := L(x0 , y) − L(x, y ) 17 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Khi đó, u∗ nghiệm tốn cân EP (f, C), tức u∗ ∈ A × B, f (u∗ , v) ≥ ∀v ∈ C L(x0 , y ∗ ) ≥ L(x∗ , y ) ∀x0 ∈ A, y ∈ B Vậy (x∗ , y ∗ ) điểm yên ngựa Điều ngược lại, (x∗ , y ∗ ) điểm yên ngựa L A × B, u∗ = (x∗ , y ∗ ) lời giải toán cân suy từ định nghĩa 1.3 Sự tồn nghiệm toán cân Trong mục này, nói đến tồn tại, tính nghiệm toán cân Mệnh đề 1.3.1 (Xem [1]) Cho C tập lồi, compact, khác rỗng không gian Hilbert H song hàm cân f : C × C → R có tính chất (i) f (., y) nửa liên tục với y ∈ C (ii) f (x, ) lồi, nửa liên tục khả vi phân C với x ∈ C Khi đó, tốn EP (f, C) có nghiệm Chứng minh Với x ∈ C ta gọi S(x) tập nghiệm toán min{f (x, y) : y ∈ C} (CO) Do C compact f (x, ) nửa liên tục nên theo định lý Weirerstrass, toán tồn nghiệm Hơn nữa, C lồi, compact, f (x, ) lồi nên S(x) lồi, compact Theo định lý cực đại Berge, ánh xạ S nửa liên tục Vậy theo định lý điểm bất động Kakutani, tồn x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ S(x∗ ) Bây giờ, ta x∗ nghiệm toán cân EP (f, C) Thật vậy, f (x, ) lồi khả vi phân C, theo điều kiện cần đủ quy hoạch lồi, ta có ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) + NC (x∗ ) 18 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Theo định nghĩa vi phân nón pháp tuyến, tồn v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) thỏa mãn v ∗ , y − x∗ ≥ ∀y ∈ C Do v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) nên v ∗ , y − x∗ ≤ f (x∗ , y) − f (x∗ , x∗ ) = f (x∗ , y) ∀y ∈ C Vậy f (x∗ , y) ≥ với y ∈ C Điều chứng tỏ x∗ nghiệm toán EP (f, C) Hệ 1.3.1 (Xem [1]) Cho C tập lồi đóng (khơng cần compact) song hàm cân f mệnh đề Giả sử điều kiện (C1 ) sau thỏa mãn Tồn tập compact B cho C ∩ B 6= ∅ ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < Khi đó, tốn EP (f, C) có nghiệm Mệnh đề 1.3.2 (Xem [1]) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng f : C ×C → R song hàm cân Khi (i) Nếu f đơn điệu chặt C, tốn cân EP (f, C) có nhiều nghiệm (ii) Nếu f (., y) nửa liên tục với y ∈ C, f (x, ) lồi, nửa liên tục với x ∈ C f đơn điệu mạnh C, tốn EP (f, C) tồn nghiệm Chứng minh (i) Giả sử EP (f, C) có hai nghiệm x∗ , y ∗ ∈ C Khi f (x∗ , y ∗ ) ≥ f (y ∗ , x∗ ) ≥ Thế nhưng, f (x∗ , y ∗ ) ≥ theo tính đơn điệu chặt ta phải có f (y ∗ , x∗ ) < Điều mâu thuẫn với f (y ∗ , x∗ ) ≥ (ii) Lấy x0 ∈ C Do f (x0 , ) nửa liên tục f (x0 , x0 ) = nên tồn µ cho f (x0 , v) ≥ µ ∀v ∈ C ∩ B(x0 , 1) 19 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang B(x0 , 1) ký hiệu hình cầu tâm x0 , bán kính Ta f thỏa mãn điều kiện (C1) Thật vậy, với x ∈ C\B(x0 , 1) bất kỳ, ta có λ= < kx0 − xk Khi đó, v = λx + (1 − λ)x0 ∈ ∩B(x0 , 1) Theo tính lồi f (x0 , ), ta thu f (x0 , v) ≤ λf (x0 , x) + (1 − λ)f (x0 , x0 ) = λf (x0 , x) Vì λ = nên ta suy kx − xk f (x0 , x) ≥ µkx0 − xk Từ áp dụng tính đơn điệu mạnh (với số γ) f , ta có f (x, x0 ) ≤ −f (x0 , x) − γkx − x0 k2 ≤ −µkx0 − xk − γkx − x0 k2 ≤ −kx0 − xk(µ + γkx − x0 k) Do kx − x0 k > − µ γ f (x, x0 ) ≤ −µkx0 − xk − γkx − x0 k2 < Bây lấy tập compact U := C ∩ B(x0 , ) với  > max{1, −µ, γ}, ta có f (x, x0 ) < ∀x ∈ C\U Vậy tính f thỏa mãn Do tốn EP (f, C) có nghiệm Tính nghiệm suy từ phần (i) tính đơn điệu mạnh kéo theo đơn điệu chặt Bài tốn cân EP (f, C) có mối liên hệ chặt chẽ với toán sau, gọi tốn đối ngẫu EP (f, C) Tìm y ∗ ∈ C cho f (x, y ∗ ) ≤ ∀x ∈ C (DEP) Ta ký hiệu tập nghiệm toán đối ngẫu DS Mối quan hệ hai toán thể mệnh đề Mệnh đề 1.3.3 (Xem [1]) Giả sử f : C × C → R song hàm cân Khi 20 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang (i) Nếu f (x, ) hàm lồi C với x ∈ C tập nghiệm DS lồi (ii) Nếu f giả đơn điệu C, f (., y) nửa liên tục theo tia với y ∈ C f (x, ) lồi với x ∈ C DS = Sol(f, C) Chứng minh (i) Theo định nghĩa toán (DEP), ta có DS = {y ∈ C : f (x, y) ≤ ∀x ∈ C} Do C lồi f (x, ) lồi với x ∈ C nên DS giao họ vô hạn tập lồi, tập lồi (ii) Do tính giả đơn điệu f nên suy Sol(f, C) ⊆ DS Ta cần chứng minh chiều ngược lại Giả sử x∗ nghiệm toán đối ngẫu, tức f (x, x∗ ) ≤ ∀x ∈ C Giả sử phản chứng x∗ không nghiệm tốn EP (f, C) Khi tồi y ∗ ∈ C cho f (x∗ , y ∗ ) < Lấy yt := ty ∗ + (1 − t)x∗ , C lồi nên yt ∈ C với t ∈ [0, 1] Do tính nửa liên tục theo tia f (., y ∗ ), ta có lim f (ty ∗ + (1 − t)x∗ ) ≤ f (x∗ , y ∗ ) < t→0 Vậy tồn t∗ ∈ [0, 1] thỏa mãn f (yt∗ , y ∗ < Khi đó, theo tính chất lồi hàm f (yt∗ , ), ta viết = f (yt∗ , yt∗ ) ≤ t∗ f (yt∗ , y ∗ ) + (1 − t∗ )f (yt∗ ,x∗ ) Vì f (yt∗ , x∗ ) < nên suy f (yt∗ , x∗ ) > Điều mâu thuẫn với x∗ ∈ DS 21 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang Chương Một số phương pháp phân rã giải toán cân Trong chương này, ln giả sử song hàm f : C × C → R thỏa mãn (i) f (x, x) = ∀x ∈ C (ii) f (x, y) + f (y, x) ≤ ∀x, y ∈ C (iii) f (x, ) lồi, nửa liên tục với x ∈ C (iv) lim sup f ((1 − )x + z, y) ≤ f (x, y) ∀x, y, z ∈ C →0+ Sau số phương pháp phân rã giải toán cân EP (f, C) f = f1 + f2 f = f1 + f2 + f3 2.1 Phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes Trước vào phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes, ta nhắc lại ánh xạ Combettes 2.1.1 Ánh xạ Combettes Để bắt đầu, xét định nghĩa miền hữu dụng đồ thị song hàm f sau domf = {x ∈ C : ∃v ∈ H ta có f (x, y) + v, x − y ≥ ∀y ∈ C} 22 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang gphf = {(x, v) ∈ C × H : f (x, y) + v, x − y ≥ ∀y ∈ C} Trong phần này, giả sử điều kiện domf1 ∩ domf2 6= ∅ tập nghiệm Sol(f, C) khác rỗng Ta xét bổ đề tổng quát ánh xạ Combettes Bổ đề 2.1.1 ([5]) Cho C ⊂ H tập lồi, đóng, khác rỗng, song hàm cân f : C × C → R đơn điệu, f (., y) nửa liên tục yếu với y ∈ C, f (x, ) lồi C ϕ : C → R hàm lồi, nửa liên tục Với λ > x ∈ H, định nghĩa ánh xạ Tλ : H → C sau Tλ (x) = {z ∈ C : f (z, y) + ϕ(y) − ϕ(z) + y − z, z − x ≥ ∀y ∈ C} λ Giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn (i) Với x ∈ H λ > 0, tồn tập bị chặn Dx ⊆ C yx ∈ C cho với z ∈ C\Dx bất kỳ, ta có f (z, yx ) + ϕ(yx ) − ϕ(z) + yx − z, z − x < λ (ii) C tập bị chặn Khi đó, ta có khẳng định sau (a) Với x ∈ H, Tλ (x) 6= ∅ (b) Tλ đơn trị (c) Tλ không giãn vững, tức với x, y ∈ H, ta có kTλ (x) − Tλ (y)k2 ≤ Tλ (x) − Tλ (y), x − y (d) F ix(Tλ ) = M EP (f, ϕ), M EP (f, ϕ) tập nghiệm tốn cân hỗn hợp Tìm x ∈ C cho f (x, y) + ϕ(y) − ϕ(x) ≥ ∀y ∈ C (e) M EP (f, ϕ) tập lồi, đóng 23 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.phan.ra.giai.bai.toan.can.bang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com