(LUẬN văn THẠC sĩ) dưới vi phân clarke và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ YẾN DƯỚI VI PHÂN CLARKE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ YẾN DƯỚI VI PHÂN CLARKE VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội - Năm 2017 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 1.3 Tôpô, tôpô yếu 1.4 Định lý Hahn - Banach 10 1.5 Ánh xạ Lipschitz địa phương 10 1.6 Đạo hàm suy rộng theo phương 11 Chương Dưới vi phân Clarke ứng dụng 2.1 2.2 14 Dưới vi phân Clarke 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Ví dụ 15 2.1.3 Một số tính chất vi phân Clarke 16 Ứng dụng 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung Bảng ký hiệu viết tắt R Tập hợp số thực Rn Không gian thực n chiều E Không gian Banach E∗ Không gian đối ngẫu không gian Banach X E ∗∗ Không gian liên hợp thức hai không gian X sup Cận inf Cận dom f Miền xác định hữu hiệu f epi f Trên đồ thị hàm f L(E, F ) Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 2015 - 2017 quan tâm giúp đỡ em suốt thời gian học tập trường Em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn khóa 2015 - 2017 động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Học viên Vũ Thị Yến (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung Lời nói đầu Lý chọn đề tài Trong thực tiễn lý thuyết thường gặp tốn địi hỏi phải khảo sát hàm số khơng khả vi Với tốn thế, cơng cụ tốn học “phép tính vi phân cổ điển” không đủ để giải chúng Để đáp ứng nhu cầu giải tốn có yếu tố “không khả vi”, nhiều khái niệm vi phân suy rộng đời Đặc biệt năm 70 kỉ XX, Clarke [4] xây dựng khái niệm vi phân cho hàm Lipschitz địa phương Từ đến nay, lý thuyết khơng ngừng phát triển ngày có nhiều ứng dụng hiệu Trong luận văn này, em trình bày định nghĩa, vài tính chất bật vi phân Clarke ứng dụng tốn tối ưu Nội dung luận văn bao gồm hai phần Chương trình bày số khái niệm, định lý liên quan đến đề tài Chương trình bày khái niệm, số tính chất vi phân Clarke ứng dụng toán tối ưu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, tính chất vi phân Clarke ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng hợp kiến thức vi phân Clarke số ứng dụng (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Clarke ứng dụng Phạm vi: Lý thuyết vi phân Clarke số ứng dụng vào lý thuyết tối ưu Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm, lý thuyết tốn tử Dự kiến đóng góp Nghiên cứu làm rõ khái niệm vi phân Clarke Tổng hợp, hệ thống số kết nhà khoa học nghiên cứu công bố vi phân Clarke ứng dụng (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 ([1, trang 18]) Một không gian định chuẩn không gian véctơ với chuẩn Định nghĩa 1.1.2 ([1, trang 18]) Cho E không gian tuyến tính trường K Một chuẩn E hàm x 7→ kxk từ E vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ E, λ ∈ K i) kxk ≥ 0, kxk = ⇔ x = ii) kλxk = |λ| · kxk iii) kx + yk ≤ kxk + kyk Hệ 1.1.3 ([1, trang 19]) Giả sử E không gian định chuẩn Khi điều kiện sau tương đương: i) U lân cận điểm ∈ E ii) αU lân cận 0, ∀α 6= iii) a + U lân cận a với a ∈ E Định nghĩa 1.1.4 Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn E gọi dãy lim kxn − xm k = m,n→∞ Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach dãy E hội tụ (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung Ví dụ 1.1.6 Kí hiệu C[a, b] không gian hàm liên tục đoạn [a, b] Vì hàm liên tục đoạn bị chặn nên ta xác định kf k = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}, f ∈ C[a, b] Dễ thấy hàm f 7→ kf k xác định chuẩn không gian C[a, b] Như vậy, C[a, b] không gian định chuẩn Dễ kiểm tra C[a, b] không gian Banach Định nghĩa 1.1.7 Cho E không gian định chuẩn Không gian liên hợp (hay cịn gọi khơng gian đối ngẫu) E, kí hiệu E ∗ , tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục E Chú ý 1.1.8 • Từ định nghĩa, dễ dàng kiểm chứng E ∗ không gian véctơ với phép tốn thơng thường • E ∗ khơng gian định chuẩn Hơn E ∗ cịn cịn không gian Banach 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Tập lồi Cho E không gian Banach, x1 , x2 ∈ E Đoạn thẳng nối hai điểm x1 , x2 , kí hiệu [x1 , x2 ], tập hợp tất điểm x = tx1 + (1 − t)x2 ∀t ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.2.1 ([2, trang 3]) Tập A ⊂ E gọi lồi λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A, ∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ[0, 1] Theo định nghĩa, tập ∅ xem tập lồi Mệnh đề 1.2.2 ([2, trang 4]) Giả sử Aα ⊂ E (α ∈ I) tập lồi, với I tập số Khi đó, tập A = T α∈I Aα tập lồi Mệnh đề 1.2.3 ([2, trang 4]) Giả sử E, F không gian Banach, g : E → F tốn tử tuyến tính Khi đó: i) Nếu A ⊂ E lồi g(A) lồi ii) Nếu B ⊂ F lồi nghịch ảnh g −1 (B) lồi (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung 1.2.2 Hàm lồi Giả sử E không gian lồi địa phương, A ⊂ E, f : A → R ∪ {±∞} Định nghĩa 1.2.4 ([2, trang 38]) Trên đồ thị hàm f, kí hiệu epi f , định nghĩa sau: epi f = {(x, r) ∈ A × R : f (x) ≤ r} Định nghĩa 1.2.5 ([2, trang 38]) Miền hữu hiệu hàm f, kí hiệu dom f , định nghĩa sau: dom f = {x ∈ D : f (x) < +∞} Định nghĩa 1.2.6 ([2, trang 39]) Hàm f gọi thường dom f 6= ∅ f (x) > −∞ (∀x ∈ A) Định nghĩa 1.2.7 ([2, trang 39]) Hàm f gọi lồi A, epi f tập lồi E × R Hàm f gọi lõm A −f hàm lồi A Ví dụ 1.2.8 Hàm f : R → R, f (x) = ex hàm lồi Định lý 1.2.9 ([2, trang 40]) Giả sử A tập lồi không gian E, hàm f : A → [−∞, +∞] Khi đó, f lồi A f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ A) Mệnh đề 1.2.10 ([2, trang 42]) Giả sử f : E → [−∞, +∞] Khi đó, f hàm lồi f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s (∀λ ∈ (0, 1), ∀x, y : f (x) < r, f (y) < s) Định nghĩa 1.2.11 ([2, trang 43]) Hàm f xác định E gọi dương, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ (0, +∞) f (λx) = λf (x) Định nghĩa 1.2.12 ([2, trang 45]) Hàm f goi đóng epi f đóng E × R Định nghĩa 1.2.13 ([2, trang 57]) Hàm f gọi nửa liên tục x ∈ E (với f (x) < ∞), với ε > 0, tồn lân cận U x cho: f (x) − ε ≤ f (y) (∀y ∈ U ) (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung 16 Giải Thật vậy, với x1 , x2 ∈ R, ta có |x1 | ≤ |x1 − x2 | + |x2 | |x2 | ≤ |x2 − x1 | + |x1 | Suy |x1 | − |x2 | ≤ |x1 − x2 | Với x < 0,  ∂(x) = {f (x)} = x |x|  = {1} Với x > 0, ∂(x) = {f (x)} =  −x |x|  = {−1} Với x = 0, ta có ( f ◦ (0; v) = v v < −v v ≥ Suy f ◦ (x; v) = |v| Từ suy ∂f (0) = {ξ ∈ R : |v| ≥ ξv, v ∈ R} = [−1, 1]  2.1.3 Một số tính chất vi phân Clarke Hàm tựa Định nghĩa 2.1.5 ([3, trang 27]) Cho C ⊂ E, C 6= ∅ Hàm tựa C xác định σC (ζ) = suphζ, xi x∈C Nếu F ⊂ E ∗ hàm tựa xác định E ∗∗ Nếu E không gian E ∗∗ ∀x ∈ E σF (x) = suphζ, xi ζ∈F Mệnh đề 2.1.6 ([3, trang 27]) Giả sử C, D ⊂ E, (C, D 6= ∅) đóng, A, B ⊂ E ∗ , (A, B 6= ∅) lồi, đóng, yếu∗ Khi đó, (i) C ⊂ D ⇔ σC (ζ) ≤ σD (ζ) (∀ζ ∈ E ∗ ) (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung 17 (ii) A ⊂ B ⇔ σA (x) ≤ σB (x) (∀x ∈ E) (iii) A compac, yếu∗ ⇔ σA (·) hàm hữu hạn E (iv) Hàm σ : E → R ∪ {+∞} dương, cộng tính, nửa liên tục σ(·) 6= +∞ tương đương tồn tập A ⊂ E ∗ , (A 6= ∅) lồi, đóng, yếu∗ cho σ(·) = σA (·) Tập A xác định Định nghĩa 2.1.7 ([3, trang 28]) Ánh xạ đa trị Γ gọi nửa liên tục x0 ∀ε > 0, ∃δ > cho Γ(x) ⊂ Γ(x0 ) + εBy (∀x ∈ x0 + δBy ) Định lý 2.1.8 ([3, trang 28]) Giả sử hàm f Lipschitz địa phương x0 Khi đó, (i) ζ ∈ ∂f (x0 ) ⇔ f ◦ (x0 ; v) ≥ hζ, vi (∀v ∈ E) (ii) Giả sử {xi } ⊂ E, {ζi } ⊂ X ∗ thỏa mãn ζi ∈ ∂f (xi ), xi hội tụ đến x0 , ζ0 điểm giới hạn {ζi } theo tơpơ yếu∗ Khi ζ0 ∈ ∂f (x0 ) (hay ∂f (x) đóng, yếu∗ ) (iii) ∂f (x0 ) = S T ∂f (y) δ>0 y∈x0 +δB (iv) Nếu E hữu hạn chiều ∂f nửa liên tục x0 Chứng minh (i) Giả sử ζ ∈ ∂f (x0 ) Khi đó, ζ ∈ X ∗ , f ◦ (x0 , v) ≥ hζ, vi (∀v ∈ E) Ngược lại, giả sử f ◦ (x0 , v) ≥ hζ, vi (∀v ∈ E) Theo Định lý 1.6.2(i) |f ◦ (x0 , v)| ≤ Kkvk (∀v ∈ E), K số Lipschitz f lân cận x0 Suy ra, hζ, vi ≤ f ◦ (x0 , v) ≤ Kkvk Do đó, ζ tuyến tính, bị chặn hay ζ liên tục Từ suy ζ ∈ ∂f (x0 ) (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).duoi.vi.phan.clarke.va.ung.dung 18 (ii) Theo tơpơ yếu∗ ta có {ζi } → ζ0 Do với v ∈ E, hζi , vi → hζ0 , vi Vì ζi ∈ ∂f (xi ) nên f ◦ (xi , v) ≥ hζi , vi (∀v ∈ E) Theo Định lý 1.6.2(ii) ta có f ◦ (·; ·) nửa liên tục Suy ra, ∀ε > 0, ∃i0 : ∀i ≥ i0 : f ◦ (x0 , v) + ε ≥ f ◦ (xi , v) ≥ hζi , vi (∀v ∈ E) Từ suy ra: f ◦ (x0 , v) ≥ hζ0 , vi hay ζ0 ∈ ∂f (x0 ) theo (i) (iii) Hệ (ii) (iv) Chứng minh phản chứng: Giả sử ∂f không nửa liên tục x0 Khi đó, tồn {xi } hội tụ đến x0 , {ζi } hội tụ đến ζ0 cho: ζi ∈ ∂f (xi ), ζ0 ∈ / ∂f (x0 ) (Mâu thuẫn với (iii)) Dưới vi phân Định nghĩa 2.1.9 Cho f : U → R hàm lồi tập lồi U, U mở Khi đó, vi phân hàm lồi f x0 ∈ U định nghĩa sau ∂C f (x0 ) = {ζ ∈ X ∗ : f (x) − f (x0 ) ≥ hζ, x − x0 i, ∀x ∈ U } Định lý 2.1.10 ([3, trang 33]) Giả sử f hàm lồi U , Lipschitz địa phương x0 ∈ U , ta có ∂f (x0 ) = ∂C f (x0 ) f ◦ (x0 ; v) = f (x0 ; v) (∀x ∈ E) Ký hiệu ∂f Gradient suy rộng f , f (x0 ; ·) đạo hàm theo phương f x0 Chứng minh Ta có f (x0 ; v) tồn với v f (x0 ; ·) hàm tựa ∂C f (x0 ) (theo giải tích lồi) Do đó, từ Mệnh đề 2.1.6 ta cần chứng minh: Với ∀v, f ◦ (x0 ; v) = f (x0 , v) f ◦ (x0 ; v) viết dạng f (x + tv) − f (x) , t 0