Định nghĩa LCT
Biến đổi chính tắc tuyến tính( LCT ) được định nghĩa như sau:
Do tính chất của LCT được mô tả bằng ma trận 2 × 2 nên các tham số {a, b, c, d} của LCT là ma trận 2 × 2
Một số trường hợp đặc biệt của LCT
Biến đổi Fourier ( F T )
Khi {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0} , biến đổi LCT trở thành F T
Biến đổi Fourier phân thứ ( F RF T )
Khi {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α} thì LCT trở thành F RF T được định nghĩa như sau
O F (cos α,sin α,− sin α,cos α) (f (t)) = r 1 2π sin α e (i/2)(cos α/ sin α).u 2 ×
Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) là biến đổi tổng quát của biến đổi Fourier (FT) Biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn tính chất cộng tính
Biến đổi Fourier phân thứ với hiệu số pha không đổi
Biến đổi Fresnel
Biến đổi Fresnel là phép toán biểu diễn việc truyền ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong suốt Biến đổi Fresnel được định nghĩa như sau
Hàm phân bố của nguồn ánh sáng đơn sắc được biểu diễn bởi công thức f(x, y), trong đó λ là bước sóng và z là khoảng cách Công thức (1.7) có thể được viết lại dưới dạng tổ hợp của hai biến đổi Fresnel, thể hiện sự tương tác giữa các biến số (u, v) và (x, y).
Khi {a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1} LCT trở thành biến đổi Fresnel 1− D:
Ta tìm được biến đổi Fresnel 1− D là trường hợp đặc biệt của LCT khi {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} với hiệu số pha không đổi
Hệ thức liên hệ giữa tham số b và khoảng cách z là b = zλ2π
Phép toán co giãn
Vì vậy, biến đổi FT, biến đổi FRFT, biến đổi Fresnel và phép toán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT.
Hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ
Biến đổi Fourier phân thứ F RF T có hàm riêng φ m (t) = 1 p 2 m m! √ π e −t 2 /2 H m (t) m ∈ [0, 1, 2, 3, ] (1.12) ở đây H m (t) là hàm Hermite cấp m:
(1.13) và giá trị riêng tương ứng của φ m (t) là exp(−imα)
Hàm riêng của FRFT có tính chất trực giao
Khi α/2π không phải là số hữu tỷ, hàm (1.12) trở thành hàm riêng nhỏ nhất của phép biến đổi Fourier phân tích theo tần số (FRFT) Ngược lại, nếu α/2π là số hữu tỷ, FRFT sẽ có nhiều hàm riêng khác Cụ thể, khi α = 0, FRFT trở thành phép toán đồng nhất, và tất cả các hàm đều là hàm riêng Khi α = π, FRFT trở thành phép toán nghịch đảo, với cả hàm chẵn và hàm lẻ là hàm riêng Cuối cùng, khi α = ±π/2, FRFT trở thành phép biến đổi Fourier nghịch đảo, và một số hàm nhất định sẽ là hàm riêng của FRFT.
Trong nhiều tài liệu (như [21] và [22]) trong trường hợp khi α = 2πN M trong đó
N, M là số nguyên thì FRFT cũng có hàm riêng khác (1.12).
Hàm riêng của FRFT, hay còn gọi là hàm Fourier phân thứ, có nhiều ứng dụng quan trọng trong phân tích hệ quang học và sự lan truyền sóng Đặc biệt, nó được sử dụng để phân tích hiện tượng tự tạo ảnh và hiện tượng cộng hưởng.
F RF T là LCT với tham số {cos α, sin α, − sin α, cos α} và được nhân lên hệ số (e iα ) 1/2 LCT này có hàm riêng tương tự như (1.12), tuy nhiên giá trị riêng lại là (e −iα ) 1/2 exp(−imα).
Tổng hợp hàm riêng của LCT
Trong [12] hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) với tham số {a, b, c, d} φ m (t) = 1 p σ.2 m m! √ π exp
H m t σ m = 0, 1, 2, 3 (1.14) trong đó H m (t) là hàm Hermite, và giá trị riêng tương ứng là λ m = exp(−iαm + ε α ) (1.15) ε α là hằng số phụ thuộc vào α và giá trị của σ, τ, α lần lượt là σ 2 = 2b p 4 − (a + d) 2 , τ = a − d p 4 − (a + d) 2
Tham số ban đầu có thể biểu diễn bởi {a, b, c, d} biểu diễn bởi {σ, τ, α} a = cos α + τ sin α, b = σ 2 sin α c = −(τ 2 + 1) sin α σ 2 , d = cos α − τ sin α.
Hàm riêng của LCT tương tự như hàm riêng của F RF T, nhưng có sự khác biệt trong phép co giãn và phép nhân Ba tham số {σ, τ, α} đại diện cho ba biến tự do của LCT, trong khi LCT có bốn tham số {a, b, c, d} với ràng buộc ad − bc = 1, dẫn đến bậc tự do.
Tham số σ và τ đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hàm riêng, trong khi tham số α xác định giá trị riêng Tuy nhiên, hàm riêng của LCT trong công thức (1.14) và (1.15) chưa đủ hoàn chỉnh khi điều kiện |a + d| < 2 được áp dụng Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ phát triển hàm riêng cho phép biến đổi LCT trong trường hợp này.
Hình 1.1: 7 trường hợp để thảo luận hàm riêng của LCT.
Hàm riêng của LCT cho trường hợp
Tính chất
Trước khi khám phá các hàm riêng của LCT, chúng ta cần xem xét hai tính chất quan trọng Hai tính chất này sẽ là nền tảng giúp chúng ta xác định các hàm riêng của LCT.
Tính chất 2.1.1 Giả sử ad − bc = a 1 d 1 − b 1 c 1 = a 2 d 2 − b 2 c 2 = 1 và
Tính chất 2.1.2 Giả sử {a, b, c, d} , {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 } và {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } thỏa mãn công thức (2.1) và ad − bc = a 1 d 1 − b 1 c 1 = a 2 d 2 − b 2 c 2 = 1 LCT với tham số {a, b, c, d} có thể được tách rời như sau:
Nếu ta biết e(t) là hàm riêng của LCT với tham số {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } và giá trị riêng tương ứng là
O (a F 1 ,b 1 ,c 1 ,d 1 ) (e(t)) sẽ là hàm riêng của LCT với tham số {a, b, c, d} , và giá trị riêng tương ứng cũng là λ :
Thay vì xây dựng hàm riêng của LCT cho bộ tham số {a, b, c, d} bất kỳ, ta chỉ cần xây dựng hàm riêng với bộ tham số {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } Các tham số {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } được chọn để hàm riêng của LCT tương ứng dễ xây dựng Do đó, việc tìm hàm riêng của LCT trong các trường hợp được xét trong luận văn sẽ dựa trên hai tính chất quan trọng này.
Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a |a |a + + + d| d| d| < < < 2 2 2
Do −2 ≤ 2 cos α ≤ 2 , từ tính chất (2.1), ta có thể chỉ ra rằng khi |a + d| < 2 , các tham số {a, b, c, d} có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau
Ta có a + d = cos α + cos α , do vậy, α = cos −1 a+d 2
Khi |a + d| < 2 , LCT có thể được phân tích
Phép phân tích này kết hợp F RF T và LCT với các tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 } và {d 1 , −b 1 , −c 1 , a 1 } Dựa vào tính chất (2.2), LCT có hàm riêng được biểu diễn dưới dạng tập hợp {O F (a 1 ,b 1 ,c 1 ,d 1 ) (φ m (t)), m = 0, 1, 2, }, trong đó φ m (t) là hàm riêng của FRFT, được định nghĩa là φ m (t) = 1 p 2 m m! √ π e −t 2 /2 H m (t) với m thuộc [0, 1, 2, 3, ], và H m (t) là hàm Hermite cấp m.
, và giá trị riêng tương ứng của φ m (t) là exp(−imα)
Có một số lựa chọn cho tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 } Chẳng hạn:
LCT với các tham số này là sự kết hợp giữa biến đổi của phép toán co giãn và phép nhân Theo định nghĩa của LCT khi b = 0, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.
Từ đó, hàm riêng của LCT trường hợp |a + d| < 2 là φ (σ,τ) m (t) = O F (a 1 ,b 1 ,c 1 ,d 1 ) (φ m (t))
(2.7) trong đó H m (t) là hàm Hermite có giá trị riêng tương ứng giống giá trị riêng của LCT với tham số {cosα, sinα, −sinα, cosα} a + d
Khi đó, các giá trị cụ thể của {σ, τ, α} là σ 2 = |b| sin α = 2|b| p 4 − (a + d) 2 , τ = sgn(b).(a − d) p 4 − (a + d) 2 α = cos −1 ( a + d
Phương trình (2.7), (2.8) và (2.10) đại diện cho hàm riêng và giá trị riêng của LCT khi điều kiện |a + d| < 2 được thỏa mãn Đặc biệt, tương tự như trường hợp F RF T, hàm riêng của LCT trong khoảng này có đặc tính trực giao.
Trong trường hợp |a + d| < 2, bên cạnh hàm riêng φ(σ, τ m) đã đề cập, câu hỏi đặt ra là liệu còn tồn tại các hàm riêng khác và mối quan hệ giữa chúng Chúng ta sẽ thảo luận chi tiết về vấn đề này trong bài viết tiếp theo.
Từ tính chất (2.1), (2.2) ta có a + d = a 2 + d 2 và hàm riêng của LCT với tham số
{a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } như ta đã chỉ ra là {cos α, sin α, − sin α, cos α} với α = cos −1 a + d
Để tìm hàm riêng khác của LCT trong trường hợp |a + d| < 2, cần xác định các giá trị của {a1, b1, c1, d1} khác với (2.5) nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện (2.3) Các giá trị khác của {a1, b1, c1, d1} với a1 d1 - b1 c1 = 1 có thể được phân tích thành ma trận 2 × 2, với {σ, τ} được xác định như trong (2.10).
(2.11) trong đó a 3 d 3 − b 3 c 3 = 1 Khi đó, ta tìm ra a 3 = cos β, b 3 = sin β, c 3 = − sin β, d 3 = cos β. với β là số thực bất kỳ Do vậy
Từ tính chất (2.2), và giá trị của tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 } đã chỉ ra, thì hàm riêng của LCT là hàm riêng φ m (t) của F RF T
Nếu không xem xét sự khác nhau của hằng số pha, thì (2.13) và (2.7) thực chất là giống nhau Vì vậy, không có hàm riêng mới nào được phát hiện Trong nhiều trường hợp, (2.7) là hàm riêng duy nhất của LCT khi |a + d| < 2, nhưng khi α 2π là số thực, α = cos −1 (a + d)/2.
Ta có thể tìm ra hàm riêng khác của LCT , khi (2.14) thỏa mãn
X k=1 c k φ (σ,τ) s+N k (t) với φ σ,τ m (t) thỏa mãn (2.7) Và giá trị riêng tương ứng là (e −iα ) −( 1 2 ) exp(−iα.s)
Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a |a |a + + + d| d| d| = 2 = 2 = 2
Trường hợp a a a + + + d d d = 2 = 2 = 2 và b b b = 0 = 0 = 0
Từ ad − bc = 1 , trong trường hợp a + d = 2 và b = 0 , tham số {a, b, c, d} của
Trong trường hợp này LCT trở thành phép nhân
Hàm riêng của phép toán nhân có dạng ϕ(t) =
|A n | 2 Nếu s n thỏa mãn điều kiện ã ã ã = e (i/2)c.s 2 −1 = e (i/2)c.s 2 0 = e (i/2)c.s 2 1 = e (i/2)c.s 2 2 = ã ã ã , thì
Do đó, ta kết luận hàm riêng của LCT trong trường hợp a + d = 2 và b = 0 có dạng φ c,h B (t) =
, với giá trị riêng tương ứng là λ c,h = exp ich 2
Trường hợp a a a + + + d d d = = = −2 −2 −2 và b b b = 0 = 0 = 0
Trong trường hợp này ta có tham số {a, b, c, d} có dạng sau
Khi đó, công thức của LCT trong trường hợp này trở thành
(1,0,c,1) 1/2 −i.c.u 2 /2 Đây là sự tổ hợp của phép nhân và phép nghịch đảo Hàm riêng trong trường hợp này là đối xứng hoặc phản đối xứng φ c,h C (t) =
|A n | 2 , với giá trị riêng tương ứng cho công thức (2.17) và (2.18) lần lượt là λ c,h = (−1) 1/2 exp ich 2
Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} {a, b, c, d} {a, b, c, d} = = = {±1, b, {±1, b, {±1, b, 0, 0, 0, ±1} ±1} ±1}
Biến đổi 1-D Fresnel với tham số {a, b, c, d} mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong suốt Theo lý thuyết hiệu ứng Talbot, nếu ánh sáng đầu vào là hàm tuần hoàn f(x, 0), thì f(x, 0) = f(x + q, 0) sau khi đi qua môi trường trong suốt, và cường độ ánh sáng ở khoảng cách N.z sẽ tương tự như cường độ ánh sáng ban đầu.
|f (x, N.z)| = |f (x, 0)|, z = 2q 2 λ khoảng cách Talbot , N là số nguyên
Kết hợp công thức (1.7) và (1.8), ta có thể kết luận rằng e(t) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ q Hàm riêng của LCT với tham số {1, N q π 2 , 0, 1}, trong đó N là số nguyên, có dạng xác định rõ ràng.
O (1,Sq F 2 /π,0,1) (e(t)) = τ.e(t) nếu e(t) = e(t + q) (2.20) Xét ma trận
Đa thức đặc trưng của A det(A − λE 2 ) =
= (λ − 1) 2 Đa thức có đủ nghiệm thực λ 1 = λ 2 = 1 Khi đó, phương trình trên có thể viết lại như sau
Kết quả nghiên cứu dựa trên hiệu ứng Talbot cho thấy rằng nếu g(t) = g(t + q) và g 0 (v) là LCT của g(t) với tham số {1, q πM 2 N , 0.1}, thì chu kỳ ánh sáng đơn sắc qua khoảng cách z T M N, với z T là khoảng cách Talbot, có thể được diễn đạt bằng công thức [26] g 0 (v) = O F (1,(q 2 N/πM ),0,1) (g(t)).
X n=0 e i(2π/M)(pn−N n 2 ) (2.22)Trong đó g 0 (v) là tổ hợp tuyến tính của g(v − pq M ) Đây được gọi là hiệu ứngTalbot phân thứ (fractional Talbot effect) [26]-[28] Hiệu ứng Talbot điểm là
Từ công thức (2.22), ta có thể tổng quát kết quả trong công thức (2.20) và (2.21) Giả sử [1, a 1 , a 2 , ã ã ã , a M ] T là vộc tơ riờng cuả ma trận sau
X n=0 e i(2π/M)(pn−N n 2 ) , (2.23) với giá trị riêng tương ứng là λ Nếu g(x) = g(x + q) và g(x) : g x + q M
Hàm g(x) được xác định là hàm riêng của LCT {1, N q πM 2 , 0, 1} với giá trị riêng tương ứng là λ Mặc dù không có biểu thức đơn giản cho véc tơ riêng của ma trận trong công thức (2.23), giá trị riêng có thể được biểu diễn dưới dạng λ k = exp.
Trong công thức (2.21) ta tìm được hàm riêng với chu kỳ q = q |b|π
N là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} Ở đây, ta cũng chỉ ra hàm với chu kỳ q = r |η|πM
N cũng là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} nếu thỏa mãn ràng buộc đối xứng.
Trên thực tế, LCT với tham số {1, b, 0, 1} và biến đổi Fresnel cũng có một số hàm riêng không tuần hoàn
Ta áp dụng hàm riêng của LCT với tham số {1, 0, c, 1} , từ tính chất (2.1.1) và (2.1.2) để suy ra hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} Từ đó
Từ Tính chất (2.1.2), chúng ta áp dụng biến đổi Fourier cho hàm riêng của LCT với tham số {1, 0, −b, 1}, và nhận thấy rằng nó cũng là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} Theo công thức (2.15), LCT với tham số {1, b, 0, 1} có hàm riêng được biểu diễn như sau: ψ b,h (t) = FT φ −b,h B (t).
, (2.25) với giá trị riêng tương ứng cũng là giá trị riêng của LCT với tham số {1, 0, −b, 1} λ b,h = exp
Phương trình (2.26) là tổng quát của hàm riêng LCT với tham số {1, b, 0, 1} Phương trình (2.24) không tuần hoàn và gọi là hàm hầu tuần hoàn.
Biến đổi Fresnel có thể được xem là biến đổi LCT với tham số {1, zλ 2π , 0, 1} kết hợp với hiệu số pha không đổi Theo công thức (2.26), hàm riêng tổng quát của biến đổi Fresnel được biểu diễn là ψ b,h (t) = r 1 2πE.
, (2.27) ở đây 0 6 h < 8π zλ 2 , A n , B m tùy ý, E xác định bởi công thức (2.24) với giá trị riêng tương ứng là λ z,h = exp iπ.z λ − izλh
, z là khoảng cách truyền ánh sáng.
Theo định lý của hiệu ứng Talbot và hiệu ứng Talbot phân thứ, hàm tuần hoàn được xác định là hàm riêng của biến đổi Fresnel Tuy nhiên, từ công thức (2.27), có thể tìm thấy một số hàm hầu tuần hoàn cũng là hàm riêng của biến đổi Fresnel Hàm không tuần hoàn đóng vai trò quan trọng trong việc giải thích hiện tượng tạo ảnh qua môi trường trong suốt Hiệu ứng Talbot được coi là trường hợp đặc biệt của công thức (2.27) khi h = 0, A n = B m = 0, với n, m không bằng N^2, trong đó N là số nguyên.
Sau đó, ta sẽ thảo luận hàm riêng của LCT với tham số {−1, b, 0, −1} Tương tự như trên, ta có thể áp dụng hàm riêng của LCT với tham số {−1, 0, c, −1}
, kết quả biến đổi của FT cho hàm riêng của LCT với tham số {−1, 0, −b, −1} là hàm riêng của LCT với tham số {−1, b, 0, −1} lần lượt là à b,h (t) = FT φ −b,h C (t)
Phương trình (2.28) được gọi là hàm đối xứng hầu tuần hoàn, trong khi phương trình (2.29) là hàm phản đối xứng hầu tuần hoàn Giá trị riêng tương ứng cho hai công thức này lần lượt là λ b,h = (−1) 1/2 exp.
Hàm riêng của LCT với tham số {±1, b, 0, ±1} đã được xác định, từ đó cho phép suy ra hàm riêng của LCT cho các trường hợp khác.
Trường hợp a a a + + + d d d = 2 = 2 = 2 và b b b 6= 0 6= 0 6= 0
Trong trường hợp này, từ Tính chất (2.1.1), ta có a² + d² = 0 và áp dụng Tính chất (2.1.2) để xác định hàm riêng của LCT với tham số {a², b², c², d²} Cụ thể, chúng ta thay thế {1, η, 0, 1} bằng {a², b², c², d²} trong công thức (2.1).
Nghiệm tổng quát của phương trình trên là a 1 , d 1 tùy ý, a 1 6= 0 thỏa mãn η = b a 2 1 , c 1 = d − a
Khi a khác d, công thức được đưa ra là 2b a 1 , b 1 = 2b(d 1 − a −1 1 ) d − a Trong trường hợp a bằng d, các giá trị của {a, b, c, d} sẽ là {1, b, 0, 1}, và vấn đề này sẽ được thảo luận chi tiết ở phần sau Áp dụng Tính chất (2.1.2), chúng ta có thể kết luận rằng nếu a + d = 2 và b khác 0, thì f(t) là hàm riêng của LCT với tham số {1, a b 2 , 0, 1}.
Khi đó, LCT với tham số {a, b, c, d} sẽ là hàm riêng φ D (t) = O a 1 ,2b(d 1 −a
F (f (t)), (2.32) ở đây a 1 , d 1 tùy ý với giá trị riêng tương ứng cũng là λ Khi đó, f (t) là hàm tuần hoàn như f (t) = r 1 2πE
0 6 h < 4πa |b| 2 1 , A n , B m tùy ý, E xác định bởi công thức (2.25) và giá trị riêng tương ứng xác định bởi công thức (2.31) là λ = exp(−ibh/2a 2 1 ).
Từ công thức (2.30) ta có
Vì thế, công thức (2.31) có thể viết lại như sau φ D (t) = 1 p i2πa 2 1 b 1 e i((d−a)/4b)t 2
Khi đó, ta được hàm mới g(t) và định nghĩa một tham số mới ρ như sau g(t) = 1
Sau khi phân tích kết quả, chúng ta nhận thấy rằng tham số a1 là bất biến Do a1 và d1 có thể được chọn tùy ý, nếu thay thế a1 và d1 bằng tham số ρ, thì ρ cũng sẽ là tùy ý Kết quả từ công thức (2.31)-(2.33) có thể được trình bày lại một cách đơn giản như dưới đây.
Nếu g(t) là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} g(t) = r 1 2πS
(|C n | 2 + |D n | 2 ), (2.35) khi đó LCT với tham số {a, b, c, d} trong trường hợp a + d = 2 và b 6= 0 sẽ là hàm riêng như φ (b,ρ) D (t) = 1
−∞ e i((t−x) 2 /2ρ) g(x)dx, (2.36) ở đây ρ được chọn tự do (nhưng khi a = d ta phải chọn ρ = 0 ) Giá trị riêng tương ứng là λ b,h = exp
Khi a + d = 2 và b khác 0, hàm riêng của LCT là tích của một hàm hầu tuần hoàn, với hàm trong công thức (2.34) cũng là hàm hầu tuần hoàn Đặc biệt, ta có thể chọn ρ = 0, dẫn đến giới hạn ρ tiến tới 0.
= δ(x 1 − x 2 ), (2.38) ta có thể đơn giản hàm riêng của LCT khi a + d = 2 và b 6= 0 , khi đó φ (b,ρ) D (t) = e i((d−a)/4b)t 2 g(t).
Trường hợp a a a + + + d d d = = = −2 −2 −2 và b b b 6= 0 6= 0 6= 0
Trong trường hợp này ta chọn {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } bằng {−1, η, 0, −1} và công thức (2.1) trở thành
Khi a khác d, nghiệm của tập hợp {a1, b1, c1, d1} tuân theo công thức (2.30) Nếu a bằng d, giá trị của {a, b, c, d} sẽ là {−1, b, 0, 1}, trường hợp này đã được thảo luận trong (2.27) Dựa vào tính chất (2.1.2) và công thức (2.39), chúng ta có thể rút ra kết luận quan trọng.
F (g(t)) = λ.g(t), a 1 tùy ý g(t) là hàm riêng của LCT với tham số {−1, a b 2
F g(t), d 1 tùy ý sẽ là hàm riêng của LCT khi a + d = 2 và b 6= 0 với giá trị riêng tương ứng cũng là λ.
Khi a + d = 2 và b ≠ 0, chúng ta có thể đơn giản hóa kết quả Theo công thức (2.40)-(2.43), nếu a + d = −2 và b ≠ 0, hàm g(t) là hàm riêng của LCT với tham số {−1, b, 0, −1} Theo công thức (2.28) và (2.29), g(t) thỏa mãn điều kiện g(t) = r 1 2πS.
2 , khi đó LCT với tham số {a, b, c, d} sẽ là hàm riêng φ (b,ρ) E (t) = 1
−∞ e i((t−x) 2 /2ρ) g(x)dx, (2.42) ở đây ρ tùy ý nhưng khi a = d ta phải chọn ρ = 0 Giá tri riêng tương ứng cho công thức (2.40) và (2.41) lần lượt là λ (b,h) = (−1) 1/2 exp
Phương trình (2.42)-(2.44) thể hiện hàm riêng và giá trị riêng của LCT khi a + d = −2 và b 6= 0 Dựa vào công thức (2.40)-(2.42), chúng ta kết luận rằng hàm riêng của LCT trong trường hợp này là phép nhân của hàm hầu tuần hoàn đối xứng hoặc phản đối xứng Để đơn giản hóa công thức (2.42), ta chọn ρ = 0, dẫn đến việc công thức trở thành φ (b,ρ) E (t) = e i((d−a)/4b)t 2 g(t).
Hàm riêng của LCT được đơn giản hóa trong trường hợp a + d = −2 và b 6= 0, tương đương với phép nhân của hàm tuần hoàn đối xứng hoặc hàm hầu tuần hoàn phản đối xứng.
Hàm riêng Giá trị riêng
(e −iα ) 1/2 exp(−iα.m), (|a + d| < 2) với H m là hàm Hermite với α = cos −1 a+d 2 σ 2 = |b| sin α = 2|b| p 4 − (a + d) 2 , τ = sgn(b).(a − d) p 4 − (a + d) 2
C n = D n , C n = −D n với mọi n ±(−1) 1/2 exp −ibh 2 Bảng 2.1: Hàm riêng của LCT cho các trường hợp
Chương 3 Ứng dụng của LCT trong bài toán tạo ảnh
Trên cơ sở tìm hiểu về các hàm riêng của F RF T , ta sẽ tìm hiểu ba ứng dụng sau:
1 Bài toán tạo ảnh (self-imaging problem) ;
Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá bài toán tạo ảnh thông qua các hàm riêng của LCT Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu cách sử dụng hàm riêng của LCT để mô hình hóa hệ quang học, đồng thời trình bày một số tính chất quan trọng liên quan đến ứng dụng của chúng.
Quan hệ giữa biến đổi LCT và hệ quang học
Biến đổi LCT có sự liên kết chặt chẽ với quang học, vì nhiều phép toán trong sự lan truyền sóng có thể được xem như là những trường hợp đặc biệt của LCT Ví dụ, từ công thức (1.7), chúng ta có thể áp dụng hàm riêng của LCT với tham số tương ứng.
{a, b, c, d} bằng {1, 2π zλ , 0, 1} để mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong suốt với khoảng cách z.
Bên cạnh đó, ánh sáng đơn sắc với bước sóng λ xuyên qua thấu kính có tiêu cự tiêu cự f có thể biểu diễn được như sau
O lens f g(x) = e i(π/λ)n∆ e −i(π/f.λ)x 2 g(x), n : chiết suất, ∆ : độ dày thấu kính.
Công thức trên tương ứng với biến đổi LCT với tham số {1, 0, −2π f λ , 1}
Dựa vào công thức (1.7) và (3.1), cùng với sự tổ hợp của các thành phần quang học được biểu diễn bởi ma trận abcd, chúng ta có thể áp dụng biến đổi LCT để mô tả hệ quang học trong môi trường trong suốt với nhiều thấu kính Cụ thể, trong trường hợp hệ quang học bao gồm một thấu kính có tiêu cự f và nằm trong môi trường trong suốt với khoảng cách z, ta có thể phân tích sự tương tác của ánh sáng qua các thành phần này.
Hệ quang học được biểu diễn thông qua biến đổi LCT với tham số {1 − z f , zλ 2π , −2π f λ , 1} Để hiểu rõ hiện tượng tạo ảnh trong hệ quang học này, ta cần xem xét các tính chất đặc trưng của nó.
Tính chất 3.1.1 (Điều kiện để hai LCT tương đương trong hệ quang học [29]).
2 , kết quả biến đổi LCT với tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , } và {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } , tương ứng thỏa mãn hệ thức sau
Hai LCT được coi là tương đương khi xét cường độ nếu a₁ = a₂ và b₁ = b₂ Nếu bỏ qua hiệu số co giãn, hai LCT tương đương khi tỉ số a₁:b₁ = a₂:b₂ và c₁:d₁ = c₂:d₂ Trong trường hợp chỉ xét cường độ và không tính đến hiệu số co giãn, hai LCT tương đương khi tỉ số a₁:b₁ = a₂:b₂.
Trong hệ quang học, hiệu số pha và hiệu số co giãn thường không được xem xét, dẫn đến việc giải thích hiện tượng tạo ảnh trở nên hạn chế Hầu hết các hệ quang học đều có sự khác biệt giữa hàm được đưa vào và hiện tượng tự tạo ảnh Để làm rõ hơn về vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét một trường hợp cụ thể.
3.2 Giải thích bài toán tạo ảnh
Mối quan hệ giữa LCT và hệ quang học cho phép chúng ta giải thích hiện tượng tạo ảnh thông qua hàm riêng của LCT Mỗi hệ quang học, được cấu thành từ nhiều thấu kính và môi trường trong suốt, có thể được biểu diễn bằng LCT với các tham số {a1, b1, c1, d1} Khi ánh sáng đầu vào có phân bố tương tự như hàm riêng của biến đổi LCT với các tham số này, chúng ta có thể hiểu rõ nguyên nhân tạo ảnh trong hệ quang học.
Trong hệ quang học, chúng ta chỉ xem xét cường độ ánh sáng và bỏ qua hiệu số co giãn Từ Tính chất 3.1.1, tất cả các hàm riêng của LCT với tham số {a, b, c, d} thỏa mãn tỉ lệ a1:b1 = a2:b2 có thể giải thích hiện tượng tạo ảnh Do đó, để giải thích hiện tượng tạo ảnh của một hệ quang học, chúng ta sẽ áp dụng một thuật toán cụ thể.
1 Tìm tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , } của LCT từ biểu diễn hệ quang học.
2 Nếu xét hiệu số co giãn thì i) Chọn a = a 1 , b = b 1
Do đó, tất cả các tham số {a, b, c, d, } của LCT thỏa mãn a = a 1 , b = b 1 có thể tìm được Từ đó, ta có thể giải thích hiện tượng tạo ảnh.
Nếu không xem xét hiệu số co giãn, ta có thể thực hiện các bước sau: i) Chọn a = a σ 1 và b = b σ 1 ii) Với d thuộc khoảng (−∞, +∞), ta xác định c = ad−1 b và tìm tất cả các hàm riêng của LCT với các tham số {a, b, c, d} thỏa mãn điều kiện a = a σ 1 và b = b σ 1 iii) Khi σ thuộc khoảng (−∞, +∞), ta lặp lại các bước i) và ii).
Chúng ta có thể xác định tất cả các tham số {a, b, c, d} của LCT sao cho tỉ lệ a : b = a1 : b1 Hàm riêng của LCT với các tham số này giúp giải thích hiện tượng tạo ảnh khi bỏ qua hiệu số co giãn và tỷ số co giãn Tỷ số σ thỏa mãn điều kiện |f0(t)| = τ.|fi(σ.t)|, trong đó fi(t) là đầu vào và f0(t) là đầu ra, dẫn đến σ = a1/a = b1/b.
Ta đưa ra ví dụ sau Cho hệ quang học gồm hai thấu kính
Hình 3.1: Hệ quang học với hai thấu kính và một môi trường trong suốt.
Ma trận biểu diễn hệ bởi biến đổi LCT với tham số như sau:
Khi đó, tất cả hàm riêng của LCT với tham số {a, b, c, d, } a : b = 1 − z f 1 : zλ2π , sẽ giải thích hiện tượng tạo ảnh trong quang học với tỷ số co giãn là σ = 1 − f z
2π , (3.2) thì σ = 1 và hàm riêng của LCT trong trường hợp này sẽ giải hiện tượng tạo ảnh bỏ qua hiệu số co giãn.
Sau đây ta sẽ thảo luận trường hợp σ = 1 và bỏ qua hiệu số co giãn Trước tiên ta chọn a và b như công thức (3.2).
Giá trị của a + d xác định từ hàm riêng của biến đổi LCT Từ đó d có thể là giá trị bất kỳ và a + d = 1 − z f 1
Giá trị d có thể nằm trong khoảng từ âm vô cùng đến dương vô cùng (d ∈ (−∞, +∞)) Chúng ta có thể tìm đầu vào hợp lý để giải thích hiện tượng tạo ảnh trong hệ quang học khi bỏ qua hiệu số co giãn.
1 , (a + d = −2) (giả sử z 6= 2f 1 ) Trong trường hợp này, để giải thích hiện tượng tạo ảnh, ta xác định hàm φ(t) như sau φ(t) = e i.π((−2+z/f 1 )/zλ)t 2
! , với ρ và C n tùy ý, 0 6 h < zλ 2 Ta có thể chọn ρ = 0 φ(t) = A.e i.π((−2+z/f 1 )/zλ)t 2 g(t).
1 , (−2 < a + d < 2) Trong trường hợp này, từ mục 2.2, ta chỉ ra hàm φ(t) như sau: φ (σ,τ) m (t) = exp −(iτ + 1)t 2
Trong trường hợp này, để giải thích hiện tượng tạo ảnh, ta xác định hàm sau φ(t) = e i(π/f 1 λ)t 2
Ta có thể chọn ρ = 0 khi đó φ(t) = e i.π.t 2 /f 1 λ g(t).
Để giải thích hiện tượng tạo ảnh trong hệ quang học với nhiều ảnh đầu vào, cần lưu ý rằng thấu kính (tiêu cự f2) không ảnh hưởng đến quá trình này Chúng ta có thể áp dụng phương pháp tương tự như trước, điều chỉnh các giá trị b và d trong khoảng (−∞, +∞) để tìm kiếm đầu vào thích hợp, qua đó làm rõ hiện tượng tạo ảnh khi xem xét hiệu số co giãn.
Luận văn đã giải quyết được các công việc chính sau:
Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, cho phép chuyển đổi giữa các miền khác nhau Biến đổi Fourier là một phương pháp mạnh mẽ để phân tích tín hiệu trong miền tần số, trong khi biến đổi Fourier phân thứ mở rộng khái niệm này cho các tín hiệu không liên tục Biến đổi Fresnel, một dạng đặc biệt của biến đổi Fourier, được sử dụng trong quang học để mô tả sự lan truyền của sóng Ngoài ra, nhiều kết quả đã được xây dựng liên quan đến các hàm riêng của LCT, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết và ứng dụng của các biến đổi này trong khoa học và kỹ thuật.
• Chỉ ra các hàm riêng và giá trị riêng của biến đổi LCT trong trường hợp
• Giải thích hiện tượng tạo ảnh trong quang học dựa trên cơ sở các kết quả thu được từ hàm riêng của biến đổi LCT
Mặc dù thời gian thực hiện luận văn có hạn và kiến thức còn thiếu sót, nhưng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ thầy cô và bạn đọc để hoàn thiện hơn.
[1] K B Wolf, Integral transforms in science and engineering, in Canonical Transform New York: Plenum, 1979, ch.9.
[2] S Abe and J T Sheridan, Optical operations on wave functions as the Abelian subgroups of the special affine Fourier transformation, Opt.Lett, vol 19, no 22, pp 1801-1803, 1994.
[3] L M Bernardo, ABCD matrix formalism of fractional Fourier optics, Opt Eng., vol 35, no 3, pp 732-740 Mar 1996.
[4] S Abe and J T Sheridan, Almost Fourier and almost Fresnel transforma- tion,Opt.Commun.,vol.113, pp 385-388, 1995.
[5] M Moshinsky and C Quesne, Linear canonical transformations and their unitary representation, J Math Phys., vol 12, no 8, pp 1772-1783, Aug 1971.
[6] S A Collins, Lens-system diffraction integral written in terms of matric optics, J Opt Soc Amer., vol 60, pp 1168-1177, Sept 1970.
[7] V Namias, The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics, J.Inst Math Appl., vol 25, pp 241-265, 1980.
[8] L B Almeida, The fractional Fourier transform and time-frequency rep- resentations, IEES Trans Signal Processing, vol 42, pp 3084-3091, Nov.1994.
[9] H M Ozaktas, M A Kutay, and Z Zalevsky, The fractional Fourier trans- form with applications in optics and processing, New York: Wiley, 2000.
[10] J W Goodman, Introduction to Fourier optics, 2nd ed New York: McGraw- Hill, 1988.
[11] S C Pei and J J Ding Eigenfuntions of the canonical transform and self- imaging problems in optical system, in Proc IEE Int Conf Acoust., Speech, Signal Process., Istanbul, Turkey, June 2000, pp 73-76.
[12] D F V James and G S Agarwal, The generalized Fresnel transform and its applications to optics, Opt Commun., vol 126, pp 207-212, May, 1996.
[13] M J Bastiaans, Wigner distribution funtion and its application to first- order optics, J Opt Soc Amer., vol 69, pp 1710-1716, 1979.
[14] M Nazarathy and J Shamir, First-order optics–A canonical operator rep- resentation: Lossless system, J Opt Soc Amer., vol 72, pp 356-364, 1982.
[15] M J Bastiaans, Propagation laws for the second-order moments of the Wigner distribution funtion in first-order optical systems, Optik, vol 82, pp 173-181, 1989.
[16] J T Winthrop and C R Worthington, Theory of Fresenel images 1 Plane periodic objects in monochromatic light, J Opt Soc Amer., vol 55, pp 373-
[17] K Paiorski, The self-imaging phenomenon and its applications, in Progess in optics, E Wolf, Ed Amsterdam, The Netherlands: North-Holland, 1989, pt 1, vol 27.
[18] W Zhao and R M Rao, Discrete-time, continuous-dilation construction of self-similar signals and linear scale-invariant systems, to be published.