(LUẬN văn THẠC sĩ) bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM KIM QUÝ BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CĨ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM KIM QUÝ BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CĨ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 Cán hướng dẫn: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn tận tình bảo suốt trình thực luận văn Nhân em xin gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo thầy cô giáo, anh/chị cán trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Tốn - Cơ - Tin học nói riêng tạo điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em thời gian em học tập, nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn anh chị bạn chuyên ngành Toán ứng dụng động viên ý kiến trao đổi quý báu thân thời gian qua Cuối tơi xin bày tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân ln chỗ dựa tinh thần vật chất sống học tập Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015 Học viên Phạm Kim Quý TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT • AC([0, ∞), Cn): Không gian hàm liên tục tuyệt đối từ [0, ∞) vào Cn • C: Tập số phức k • Cpw (I, Cn): Khơng gian hàm khả vi liên tục khúc cấp k từ I vào Cn • diag(σ1, σ2): Ma trận đường chéo với phần tử chéo σ1 , σ2 • K: K = R K = C • PTVP: Phương trình vi phân • PTVP ĐS: Phương trình vi phân đại số • R: Tập số thực • rank A: Hạng ma trận A TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm ma trận 1.1.1 Ma trận Metzler, ma trận dương Nghịch đảo Drazin 1.1.2 Khai triển kì dị 1.1.3 Phổ số 10 1.2 Chuẩn véc-tơ chuẩn ma trận 12 1.3 Một số khái niệm phương trình vi phân 13 Một số kết bán kính ổn định 16 2.1 Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số 16 2.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân thường có chậm 27 2.2.1 Bán kính ổn định PTVP thường có chậm 28 2.2.2 Hệ dương có chậm 30 Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số có chậm 33 3.1 Các khái niệm mở đầu 34 3.2 Tính ổn định mũ phương trình vi phân đại số có chậm 39 3.3 Tính ổn định mũ vững 44 Tài liệu tham khảo 58 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Mở đầu Bài tốn bán kính ổn định PTVP ĐS có chậm (Delay Differential Algebraic Equations) tốn nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững xây dựng cơng thức tính tốn bán kính ổn định thực/phức cho PTVP ĐS có chậm, dạng: E x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − τ ), E, A, D ∈ Cn×n, x : I → Cn , I = [0, ∞), τ > độ trễ thời gian, det E = Trong tài liệu này, tính chất P hệ gọi vững tính chất bảo tồn nhiễu tùy ý ε (đủ nhỏ) tác động lên hệ Ngoài việc quan tâm tới tính vững tính chất, người ta cịn quan tâm tới độ vững tính chất mà đại lượng quan trọng để đánh giá khái niệm bán kính thuộc tính (được đo mê-tric tương thích) Trong khn khổ luận văn, tính chất P xét tính ổn định, hệ xét hệ PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số hằng, chịu tác động nhiễu có cấu trúc PTVP ĐS có chậm trường hợp tổng quát PTVP ĐS (Differential Algebraic Equations) PTVP thường có chậm (Delay Ordinary Differential Equations) Trong PTVP ĐS mơ hình tốn học cho nhiều hệ động lực nhiều lĩnh vực ứng dụng chẳng hạn mô mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực chất lỏng, kĩ thuật hóa học, PTVP ĐS có chậm cần thiết để mơ hình hóa tác động khơng tức thời (có chậm) Khơng giống trường hợp PTVP thường có chậm PTVP ĐS, việc nghiên cứu tính ổn định PTVP ĐS có chậm gặp nhiều khó khăn bao gồm phần ràng buộc đại số độ trễ thời TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham gian, chí lý thuyết tồn nghiệm thu nhiều kết Khó khăn cịn rõ rệt phân tích tính ổn định Hầu hết kết biết tính ổn định PTVP ĐS có chậm trường hợp quy có hệ số vài trường hợp có dạng đặc biệt Nhiều kết biết PTVP thường có chậm PTVP ĐS khơng thể chuyển sang PTVP ĐS có chậm Bài báo [5] sở thực luận văn Trong tài liệu này, tác giả nghiên cứu tính ổn định hệ thơng qua mối quan hệ tập phổ với tập C− với số điều kiện kèm theo Và để thu công thức tính tốn bán kính ổn định PTVP ĐS có chậm, việc phân tích phức tạp với việc sử dụng hàm truyền G(λ)(transf erf unctions) Trong luận văn, tác giả đề cập đến dạng PTVP tuyến tính hệ số Luận văn gồm 56 trang, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương: ⋄ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi tóm tắt số kiến thức sử dụng luận văn, chủ yếu kiến thức mở rộng ma trận, véc-tơ chuẩn ⋄ Chương Một số kết bán kính ổn định Nội dung chương giới thiệu số kết cơng thức bán kính ổn định PTVP ĐS PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số trường hợp đặc biệt phương trình vi phân đại số có chậm ⋄ Chương Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số có chậm Chương nội dung luận văn Trong đó, chúng tơi phân tích chứng minh kết bán kính ổn định phức PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số Và kết đưa công thức tính tốn bán kính ổn định Q trình tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề không tránh khỏi sai sót, hạn chế Do đó, em mong nhận góp ý thầy để luận văn hoàn chỉnh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt số kiến thức cần dùng cho phân tích, chứng minh luận văn vài ví dụ minh họa Cụ thể số kiến thức mở rộng ma trận, chuẩn vài kiến thức PTVP 1.1 Một số khái niệm ma trận 1.1.1 Ma trận Metzler, ma trận dương Nghịch đảo Drazin Định nghĩa 1.1 Cho ma trận A = [aij ] ∈ Rn×n, ≤ i, j ≤ n Khi đó: A gọi ma trận Metzler tất phần tử, ngoại trừ phần tử đường chéo chính, khơng âm, tức aij ≥ 0, ∀i 6= j A gọi ma trận không âm (nonnegative matrix) viết A ≥ aij ≥ 0, ∀i, j = 1, 2, , n A gọi ma trận dương (positive matrix) tất phần tử A dương, tức aij > 0, ∀i, j = 1, 2, , n, kí hiệu A > Trong đại số tuyến tính, biết đến khái niệm ma trận nghịch đảo ma trận vuông khả nghịch Mở rộng khái niệm có khái niệm nghịch đảo khác, chẳng hạn: nghịch đảo nhóm, nghịch đảo Drazin, nghịch đảo suy rộng Trong phần chúng tơi trình bày khái niệm nghịch đảo Drazin vài kết liên quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Định nghĩa 1.2 Cho ma trận A ∈ Cn×n Khi đó: Số tự nhiên k gọi số A kí hiệu ind(A) = k k số tự nhiên nhỏ thỏa mãn rank Ak = rank Ak+1 Ma trận X ∈ Cn×n gọi nghịch đảo Drazin A X thỏa mãn đồng thời biểu thức Ak XA = Ak , XAX = X, AX = XA Trong đó, k = ind(A) Nghịch đảo Drazin ma trận A kí hiệu AD Từ định nghĩa ta có rằng, khái niệm nghịch đảo thơng thường trường hợp đặc biệt nghịch đảo Drazin, tức A khả nghịch theo nghĩa thông thường AD = A−1 Ta có số kết sau nghịch đảo Drazin Định lý 1.3 Trong định lý ta xét ma trận vuông Khi ta có khẳng định sau: (a) Nghịch đảo Drazin ma trận A tồn nhất, (b) Nghịch đảo Drazin ma trận lũy linh ma trận không, (c) Nếu P ma trận chiếu, P = P , có số ind P ≤ P D = P , (d) (A∗ )D = (AD )∗ , (e) (AT )D = (AD )T Ví dụ sau ma trận nghịch đảo Drazin ma trận suy biến Ví dụ 1.1 Xét ma trận: # 0 A= 0 0 " TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Ta có rank A = 2, rank A2 = rank A3 = nên ind(A) = Vì det A = 0, nên không tồn A−1 " X= 0 Tuy nhiên ta kiểm tra # 0 0 0 thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.2, tức AD = X 1.1.2 Khai triển kì dị Khai triển kì dị (Singular Value Decomposition) cơng cụ đại số tuyến tính mạnh hữu dụng, sử dụng nhiều toán liên quan đến ma trận mà áp dụng phương pháp khử Gauss hay phân tích LU cho kết với sai số lớn Phân tích SVD dựa định lý sau, xem [6] Định lý 1.4 Cho A ∈ Cm×n Khi ln tồn ma trận trực giao U ∈ Cm×m, V ∈ Cn×n ma trận đường chéo D := diag(σ1, , σr ) σi, ≤ i ≤ r, bậc hai dương (kể bội) giá trị riêng ma trận A∗ A thỏa mãn   D ∗ A=U 0 V   D Ta thường ký hiệu Σ := 0 ∈ Rm×n khai triển A = U ΣV ∗ gọi khai triển kỳ dị ma trận A Các véc-tơ cột ma trận U gọi véc-tơ kỳ dị trái, véc-tơ cột ma trận V gọi véc-tơ kỳ dị phải, σi gọi giá trị kỳ dị ma trận A Để tìm khai triển kì dị ma trận A ta tìm véc-tơ riêng ma trận A∗ A AA∗ Cụ thể véc-tơ riêng đơn vị A∗ A véc-tơ cột V , véc-tơ riêng đơn vị AA∗ véc-tơ cột U , giá trị kỳ dị A bậc hai giá trị riêng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham 2.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân thường có chậm Trong phần này, chúng tơi trình bày tính ổn định vững bán kính ổn định hệ phương trình vi phân thường có chậm (Delay Ordinary Differential Equations), [10], có dạng x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − τ ), t≥0 (2.16) với điều kiện đầu x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0] (2.17) Ở A, D ∈ Kn×n , φ(t) hàm liên tục cho trước, τ > độ trễ thời gian Ta xét tốn có trễ đạo hàm x dạng x(t) ˙ + x(t ˙ − τ ) = Ax(t) + Dx(t − τ ) (2.18) Tuy nhiên cách đổi biến, ta đưa (2.18) dạng (2.16) với kích thước tăng gấp đơi Do đó, ta xét (2.16) Trong mục này, ta đề cập đến tính ổn định vững (2.16), tức xem xét tính ổn định tiệm cận, ổn định mũ hệ hệ số chịu tác động nhiễu đưa công thức bán kính ổn định hệ Định nghĩa 2.12 Một hàm x(t, φ) : I → Kn gọi nghiệm toán giá trị đầu (2.16)- (2.17) x ∈ AC(I, Cn) x(t, φ) thỏa mãn (2.16) hầu khắp nơi Hàm điều kiện φ gọi tương thích với (2.16) tốn giá trị đầu (2.16)- (2.17) có nghiệm Hệ (2.16) gọi giải với hàm đầu tương thích φ, tốn giá trị đầu (2.16)- (2.17) có nghiệm Trong định nghĩa trên, AC(I, Cn) kí hiệu không gian hàm liên tục tuyệt đối từ I vào Cn Định nghĩa 2.13 Nghiệm tầm thường (2.16) gọi là: Ổn định với ε > 0, tồn δ > 0, L > cho với φ, kφk∞ < δ nghiệm x(t, φ) thỏa mãn kx(t, φ)k < ε với t ≥ 0; 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Ổn định tiệm cận ổn định tồn δ > cho kφk∞ < δ nghĩa limt→∞ kx(t, φ)k = với t ≥ 0; Ổn định mũ tồn δ > 0, L > γ > cho với kφk∞ < δ nghiệm x(t, φ) thỏa mãn ước lượng kx(t, φ)k < L.e−γt với t ≥ Nếu nghiệm tầm thường (2.16) ổn định/ổn định mũ/ổn định tiệm cận ta nói (2.16) ổn định/ổn định mũ/ổn định tiệm cận Cũng giống trường hợp PTVP ĐS, PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số hai khái niệm ổn định mũ ổn định tiệm cận tương đương Hơn nữa, từ tính ổn định tiệm cận địa phương ta suy tính ổn định tiệm cận tồn cục 2.2.1 Bán kính ổn định PTVP thường có chậm Bây giờ, ta đưa cơng thức tính bán kính ổn định (2.16) Trước tiên, ta kí hiệu H(s) := sI − A − De−τ s , σ(H) := {s ∈ C : det H(s) = 0} Khi đó, (2.16) ổn định mũ σ(H) ⊂ C− Giả sử (2.16) chịu tác động nhiễu có dạng với e e x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − τ) A ❀ Ae := A + B1 ∆1C1 , e := D + B2 ∆2 C2 D❀D (2.19) (2.20) Ở Bi ∈ Kn×li , Ci ∈ Kqi ×n , i = 1, ma trận cấu trúc cho trước, ∆i ∈ Kli ×qi , i = 1, ma trận nhiễu Bằng cách kí hiệu A := [A D], ta biểu diễn lại (2.20) sau A ❀ Ae := A + B∆bC,     ∆ C B := [B1 B2 ] , C := 01 C ∆b := 01 ∆ Ta xác định 2 khơng gian tuyến tính nhiễu dạng chéo khối chuẩn xác định k∆bk := k∆1k + k∆2k Nếu (2.16) ổn định mũ ta xác định 28 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham VK = {∆b : ∆i ∈ Kli ×qi , (2.19) khơng ổn định mũ} Khi đó, bán kính ổn định có cấu trúc (2.16) chịu tác động nhiễu dạng (2.20) xác định sau b rK (A) = inf{k∆bk : ∆b ∈ VK } Tùy vào K = R hay K = C mà ta có bán kính ổn định thực phức Ta kí hiệu Gij (s) := CiH(s)−1Bj , Khi ta có kết sau ≤ i, j ≤ Định lý 2.14 Giả sử (2.16) ổn định mũ chịu tác động nhiễu có cấu trúc dạng (2.20) Khi 1 ≤ rCb (A) ≤ max sup kGij (s)k max sup kGii (s)k 1≤i,j≤2 s∈iR 1≤i≤2 s∈iR Đặc biệt, B1 = B2 C1 = C2 rCb (A) = max  sup kGii(s)k : ≤ i ≤ s∈iR  Tiếp tục, ta xét phương trình (2.19) chịu tác động nhiễu có cấu trúc dạng khối e = A + B∆C, A (2.21) B ∈ Kn×l , C ∈ Kq×2n ma trận cấu trúc cho trước ∆ ∈ Kl×q ma trận nhiễu Ta kí hiệu ∆K := {∆ ∈ Kl×q : (2.19) khơng ổn định mũ} Khi bán kính ổn định có cấu trúc (2.16) nhiễu có cấu trúc (2.21) xác định B,C rK (A) = inf{k∆k : ∆ ∈ ∆K } (2.22) đó, k.k chuẩn tốn tử sinh chuẩn véc-tơ Đặt   In L(s) := e−τ s I , C(s) := CL(s) n 29 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham hàm biến đổi G(s) = C(s)H(s)−1B Kết sau rút tương tự trường hợp PTVP thường tuyến tính hệ số Định lý 2.15 Giả sử (2.16) ổn định mũ chịu tác động nhiễu có cấu trúc dạng (2.21) Khi bán kính ổn định phức (2.16) cho công thức rCB,C (A) = sups∈iR kG(s)k Khơng giống bán kính ổn định phức, khơng có cơng thức tổng qt cho bán kính ổn định thực với chuẩn tùy ý Tuy nhiên, ta xét chuẩn Euclide ta thiết lập cơng thức tính tốn cho trường hợp Với định nghĩa giá trị kì dị suy biến ma trận mục 2.1 ta thu cơng thức cho bán kính ổn định thực (2.16) Định lý 2.16 Giả sử (2.16) ổn định mũ chịu tác động nhiễu có cấu trúc dạng (2.21) Khi đó, bán kính ổn định thực (2.16) (với chuẩn Euclide) cho công thức rRB,C (A) = sup inf σ2 s∈iR γ∈(0,1]   !−1 Re G(s) −γ Im G(s) Re G(s) γ Im G(s) (2.23) Nhận xét rằng, cơng thức bán kính ổn định thực mở rộng cho hệ tuyến tính dạng (2.18) chịu tác động nhiễu có cấu trúc dạng (2.20) Tuy nhiên, cần cẩn thận mà điều kiện phổ σ(H) ∈ C− không điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận (2.20) Như ta thấy [4], cơng thức bán kính ổn định thực chứng minh cho PTVPĐS tuyến tính hệ số Tuy nhiên, trường hợp hệ dương có chậm Positive Delay Systems, phải tìm cận trên C− thay iR tính chất đặc biệt hệ 2.2.2 Hệ dương có chậm Ở phần trước, ta thấy công thức bán kính ổn định thực phức tạp so với bán kính ổn định phức Tuy nhiên, từ định nghĩa, ta thấy rCb (A) ≤ rRb (A) rCB,C (A) ≤ rRB,C (A) 30 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Do đó, câu hỏi tự nhiên bán kính ổn định thực phức Câu trả lời đưa trường hợp hệ dương Bây ta xét hệ với hệ số thực hàm điều kiện đầu thực Định nghĩa 2.17 Phương trình (2.16) gọi dương với hàm điều kiện đầu φ liên tục, không âm tuỳ ý, tức φ(t) ≥ 0, −τ ≤ t ≤ nghiệm tương ứng x(t, φ) thỏa mãn x(t, φ) ≥ với t ≥ Ta biết rằng, xem [10], (2.16) dương A ma trận Metzler D ma trận khơng âm Ta có định lý sau, [10] Định lý 2.18 Giả sử (2.16) dương, ổn định mũ chịu tác động nhiễu có cấu trúc dạng (2.20) với Bi ≥ 0, Ci ≥ 0, i = 1, Khi 1 ≤ rCb (A) = rRb (A) ≤ max kGij (0)k max kGii(0)k 1≤i,j≤2 1≤i≤2 Đặc biệt, B1 = B2 (C1 = C2 ) rCb (A) = rRb (A) = max{kGii(0)k : ≤ i ≤ 2} Như hệ quả, (2.16) dương ma trận cấu trúc Bi , Ci dương bán kính ổn định thực dễ dàng tính tốn Định lý 2.19 Giả sử (2.16) dương, ổn định mũ chịu tác động nhiễu có cấu trúc dạng (2.21) với B ≥ 0, C ≥ Khi đó, bán kính ổn định phức (2.16) cho rCB,C (A) = rRB,C (A) = Xét ví dụ sau kG(0)k (2.24) Ví dụ 2.4 Xét hệ tuyến tính dương có chậm R2 x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − τ ), t ≥     −1 0 A = −1 , D = 0 Khi đó, phương trình đặc trưng hệ   −s −1 − s e det H(s) = det −1 − s = (1 + s) = 31 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Và phương trình ổn định mũ Giả sử hệ chịu tác động nhiễu có cấu trúc dạng     −1 + δ δ + δ 1 e = = [A D ] + B∆C, Ae D δ δ δ với   B= ,   1 0 C= 0 , ∆ = [ δ1 δ2 ] tham số nhiễu δ1 , δ2 ∈ R C Bằng  các thao tác biến đổi đơn −3 giản, ta suy G(0) = C(0)H(0)−1B = −1 Do đó, xét C2 với chuẩn Euclide, từ (2.24), ta có rCB,C (A) = rRB,C (A) = √ 10 Việc nghiên cứu tính ổn định PTVP ĐS PTVP thường có chậm dựa mối quan hệ tập phổ với tập C− Các điều kiện cần đủ tính ổn định mũ đưa Các cơng thức bán kính ổn định thực phức xây dựng Những điều có xây dựng cách tương tự cho trường hợp tổng quát PTVP ĐS có chậm? Ở chương tiếp theo, xin giới thiệu kết vấn đề 32 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Chương Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số có chậm Trong chương này, chúng tơi xin trình bày lại kết tính ổn định PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số hằng, xem [5], dạng (3.1) E x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − τ ) E, A, D ∈ Kn×n , K = R K = C τ > độ trễ thời gian Ta nghiên cứu toán giá trị đầu với điều kiện đầu φ, cho x(t) = φ(t), với − τ ≤ t ≤ (3.2) Chú ý (3.1) trường hợp đặc biệt PTVP ĐS có chậm tổng quát (3.3) E x(t) ˙ + F x (t − τ ) = Ax(t) + Dx(t − τ )   x(t) Tuy nhiên, cách đổi biến z(t) = , (3.3) x(t − τ ) viết lại          E F x(t) ˙ A D x(t) 0 x(t − τ ) = I + −I 0 x(t ˙ − τ) x(t − τ ) x(t − 2τ ) Đặt  E F b= E 0 ,    A D Ab = I ,  0 b= D −I ,  b z(t) b b ta phương trình có chậm E ˙ = Az(t) + Dz(t − τ ) với số chiều tăng gấp đơi Do đó, ta xét (3.1) 33 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Cũng chương này, ta xét (3.1) với D = ∈ Kn×n với E = In ta thấy lại kết đề cập Chương bán kính ổn định PTVP ĐS PTVP thường có chậm 3.1 Các khái niệm mở đầu Các phân tích tính ổn định thường dựa vào giá trị đặc trưng hàm phi tuyến H(s) = sE − A − e−sτ D (3.4) pH (s) := det H(s) (3.5) liên kết với biến đổi Laplace (3.1), tức nghiệm hàm đặc trưng Ta xác định tập phổ σ(H) := {s : pH (s) = 0} hoành phổ α(H) := sup{Re s : pH (s) = 0} Với PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số hằng, tức E = In, tính ổn định mũ tương đương với α(H) < 0, xem [8], tập phổ σ(H) bị chặn từ bên phải Tuy nhiên, với PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số tập phổ σ(H) khơng bị chặn bên phải, xem ví dụ sau Ví dụ 3.1 Xét PTVP ĐS có chậm       1 0 ˙ = −1 x(t) + x(t − 1) 0 x(t) Khi   −1 s H(s) = −e−s , pH (s) = −1 + se−s Do đó, tồn vơ số nghiệm pH (s) = phần thực chúng lớn tùy ý, tức α(H) = ∞ Động lực hệ phân tích sau Viết lại hệ cho, ta có:  x˙ 2(t) = x1(t) = −x2(t) + x1(t − 1) 34 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Thu x2 (t) = x1 (t − 1) từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ ta PTVP thường x˙ (t − 1) = x1 (t) Do đó, x1 (t) = (m) x1 (t − m) với m − ≤ t ≤ m, m ∈ N, tức nghiệm không liên tục thác triển lên [0, ∞) trừ hàm điều điện đầu khả vi đến cấp vô hạn Trong vài trường hợp đặc biệt, xem Định lý 12, [11], chứng minh tính ổn định mũ PTVP ĐS tương đương với điều kiện phổ (spectral condition) α(H) < Tuy nhiên, trường hợp tổng quát, điều kiện phổ điều kiện cần không đủ Ta xem ví dụ sau Ví dụ 3.2 Xét phương trình (3.1) với       0 1 0 −1 0 0 0  0 0  0 E = 0 0 1 , A =  0 0 , D =  0 0 0 0 0 − 12 0 Khi đó:   + s −e−sτ −e−sτ −1 s   H(s) = sE − A − e−sτ D =  0 −1 s  −sτ e 0 −1 ) giá trị đặc trưng s = −1 s = ∈ Z Tức tất giá trị đặc trưng nằm nửa trái mặt phẳng phức, điều dự báo tính ổn định mũ hệ, tức tất nghiệm không tầm thường giảm nhanh tốc độ mũ Tuy nhiên, ta thấy dáng điệu tiệm cận (và chí tồn tại) nghiệm phụ thuộc vào độ trơn trạng thái hàm điều kiện đầu φ Đặt x = [x1 , x2, x3 , x4 ]T , hệ viết lại Do đó, pH (s) = det H(s) = −(1 + s)(1 − e −2sτ − ln 2+2kπi ,k 2τ x˙ 1(t) = −x1(t) + x3 (t − τ ) + x4 (t − τ ) x˙ 3(t) = x2(t), x˙ 4(t) = x3(t), = x4(t) − x1 (t − τ ) Rút x4 x3 từ phương trình thứ tư thứ ba theo x1 (t − τ ) vào 35 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham phương trình đầu ta x˙ 1(t) = −x1(t) + x˙ 1(t − 2τ ) x1(t − 2τ ) + 2 Đây PTVP thường có chậm có hàm đặc trưng −pH (s), tập phổ giống hệ ban đầu Điều kiện phổ bảo đảm tính ổn định mũ phương trình cho x1 , xem [8] Tuy nhiên, x2 x3 đạo hàm cấp cấp hai x4 (t) = x1 (t−τ ) Do đó, thành phần thứ φ không khả vi (−τ, 0) khả vi (hầu khắp nơi) đạo hàm khơng bị chặn nghiệm khơng tồn khơng bị chặn Chẳng hạn, φ1 (t) = t sin 1t liên tục [−τ, 0], khả vi trên(−τ, 0) rõ ràng đạo hàm khơng bị chặn Ví dụ 3.2 PTVP ĐS có chậm tuyến tính bất biến theo thời gian khơng ổn định mũ tất nghiệm hàm đặc trưng nằm nửa trái mặt phẳng phức Ở đây, ta đưa điều kiện cần đủ để PTVP ĐS có chậm tuyến tính bất biến theo thời gian ổn định mũ tương đương với việc tất giá trị đặc trưng H có phần thực âm mở rộng kết gần [11] Chúng ta kí hiệu In ∈ Cn×n ma trận đơn vị ∈ Cn×n ma trận k không, AC(I, Cn) không gian hàm liên tục tuyệt đối, Cpw (I, Cn ) không gian hàm khả vi liên tục khúc, cấp k từ I ⊂ [0, ∞) vào Cn Khi ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.1 Một hàm x(., φ) : [0, ∞) → Cn gọi nghiệm toán giá trị đầu (3.1) - (3.2) x ∈ AC([0, ∞), Cn) x(., φ) thỏa mãn (3.1) hầu khắp nơi Hàm đầu φ gọi tương thích với (3.1) tốn giá trị đầu liên kết với (3.1) có nghiệm Hệ (3.1) gọi giải với hàm đầu tương thích φ, tốn giá trị đầu tương ứng (3.1)-(3.2) có nghiệm (3.1) gọi quy giải nghiệm Chú ý rằng, thay tìm nghiệm AC([0, ∞), Cn), ta thường xét không gian Cpw (I, Cn) Thực tế, phương trình (3.1) không thỏa 36 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham mãn nhiều điểm (đếm được), điều thường xảy điểm bội τ Định nghĩa 3.2 Hệ (3.1)-(3.2) gọi ổn định mũ tồn số K > 0, ω > cho kx(t, φ)k ≤ Ke−ωtkφk∞ (3.6) với t ≥ hàm đầu tương thích φ, kφk∞ = sup−τ ≤t≤0 kφ(t)k Chú ý rằng, ta biến đổi (3.1) để nhận nghiệm x(t, φ) nghiệm tầm thường Cho hệ (3.1) với cặp (E, A) quy, tồn nghiệm nghiên cứu [7] Từ Hệ 4.12 [7] (3.1)- (3.2) có nghiệm điều kiện đầu φ tương thích pH (s) = det H(s) 6≡ Cho ba ma trận (E, A, D) ∈ Cn×n × Cn×n Cn×n, ln tồn ma trận khơng suy biến W ∈ Cn×n cho " # " # " # E1 A1 D1 W −1E = , W −1A = A2 , W −1D = D2 (3.7) 0 D3 Ở E1 , A1 , D1 ∈ Cd×n , A2 , D2 ∈ Ca×n , D3 ∈ Ch×n với d + a + h = n, rank E1 = rank E = d rank A2 = a Khi đó, hệ (3.1) viết lại E1 x(t) ˙ = A1x(t) + D1 x(t − τ ), = A2x(t) + D2 x(t − τ ), (3.8) = D3 x(t − τ ) Thực tế, ma trận W ma trận hệ số biến đổi xây dựng sau: Gọi U ma trận bên trái khai triển SVD E , tức U bao gồm véc-tơ kì dị trái E Giả sử rank E = d, ta viết U = [U1 , U2 ] Khi e = [U e2 , U e3 ] ma trận bên trái khai triển SVD U ∗ A đó, gọi U 37 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham e Từ (3.7), với rank U2∗ A = a Khi đó, ta xác định W = U diag(Id, U) e ∗ )U ∗ ta cách nhân W −1 = diag(Id, U e ∗ U ∗ A, D2 = U e ∗ U ∗ D, D3 = U e ∗ U ∗ D E1 = U1∗E, A1 = U1∗ A, D1 = U1∗ D, A2 = U 2 2 Ta thấy rằng, để có tính giải phương trình, hàm đầu phải thuộc tập S := {φ : φ ∈ AC([−τ, 0], Cn), A2φ(0) + D2 φ(−τ ) = 0, D3φ(t) = với t ∈ [−τ, 0]} Dịch chuyển thời gian phương trình cuối (3.8) ta thu E1x(t) ˙ = A1 x(t) + D1 x(t − τ ), A2x(t) = −D2 x(t − τ ), (3.9) = D3 x(t) Lấy đạo hàm hai vế phương trình thứ hai thứ ba (3.9) ta E1 x(t) ˙ = A1x(t) + D1x(t − τ ), A2 x(t) ˙ = −D2 x(t ˙ − τ ), (3.10) D3 x(t) ˙ = Từ khái niệm số lạ [9] ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.3 Phương trình (3.1) gọi khơng có tính chất lạ (strangeness-free) tồn ma trận khơng suy biến W ∈ Cn×n làm biến đổi ba (E, A, D) dạng (3.7) " # E1 rank A2 = n D3 Dễ thấy tính khơng có tính chất lạ bất biến việc lựa chọn W Nếu (3.1) khơng có tính chất lạ, đặt " # # " # " # " E1 A1 D1 b = A2 , A b = ,D b = , Fb = −D2 E 0 D3 38 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham Khi đó, hệ ẩn (3.10) tương đương với PTVP thường có chậm b −1Ax(t) b b −1 Dx(t b b −1 Fb x(t x(t) ˙ =E +E − τ) + E ˙ − τ) (3.11) có nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu tương thích (3.2) Trong phần tiếp theo, chúng tơi giới thiệu điều kiện cần đủ để tính ổn định mũ PTVP ĐS có chậm tuyến tính bất biến theo thời gian đặc trưng điều kiện phổ 3.2 Tính ổn định mũ phương trình vi phân đại số có chậm Trong phần này, ta hệ khơng có tính chất lạ điều kiện phổ đặc trưng cho tính ổn định mũ Định lý 3.4 Giả sử phương trình (3.1) khơng có tính chất lạ Khi (3.1) ổn định mũ α(H) < Chứng minh: Điều kiện cần Giả sử (3.1) ổn định mũ, tức tồn số K > 0, ω > để có bất đẳng thức (3.6), α(H) ≥ Khi đó, tồn giá trị riêng λ ∈ σ(H) với Reλ > −ω Gọi v 6= véc-tơ riêng liên kết với λ, tức (λE − A − e−λτ D)v = 0, đó, rõ ràng x(t) = eλt v nghiệm (3.1) không thỏa mãn (3.6) Điều mâu thuẫn với giả thiết (3.1) ổn định mũ, α(H) < Điều kiện đủ Giả sử α(H) < x nghiệm (3.1) Như có phần trước, x thỏa mãn PTVP có chậm dạng trung tính (3.11), có hàm phổ b b −1 A b − e−sτ E b −1 D b − se−sτ E b −1 Fb H(s) = sI − E b − se−sτ Fb ) b −1 (sE b−A b − e−sτ D =E b = σ(H) ∪ {0} Ta có α(H) b = 0, α(H) < Dễ thấy σ(H) nên giá trị riêng lập Như có Chương 12, [8], nghiệm (3.11) viết lại dạng b∗ (t), x(t) = vb + x (3.12) 39 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham b∗ (t) thỏa mãn (3.6) vb = vb véc-tơ riêng liên x b kết với giá trị riêng λ = H(λ) Do đó, ta có A1 vb + D1vb = (3.13) A2vb + D2 vb = D3 vb = (3.14) b∗ (t) = 0, từ phương trình thứ hai thứ ba (3.9) Hơn nữa, limt→∞ x ta có Từ (3.13) (3.14), suy H(0)vb = Nhưng 6∈ σ(H) nên vb = b∗ (t) Vậy (3.1) ổn định mũ x(t) = x b Nhận xét Trong chứng minh Định lý 3.4, ta có α(H) ≤ α(H) Do đó, (3.1) khơng có tính chất lạ tập phổ σ(H) bị chặn bên phải, tương đương hoành phổ thỏa mãn α(H) < ∞ Bây ta xét trường hợp cặp (E, A) quy biến đổi dạng (1.1) Đặt       D11 D12 x1(t) φ1 (t) −1 −1 −1 W DT = D D , T x(t) = , T φ(t) = (3.15) x2(t) φ2 (t) 21 22 với D11 ∈ Cr×r , D12 ∈ Cr×(n−r) , D21 ∈ C(n−r)×r , D22 ∈ C(n−r)×(n−r) x1, x2, φ1, φ2 thành phần tương ứng Khi (3.1) tương đương với hệ x˙ 1(t) = Jx1(t) + D11 x1(t − τ ) + D12x2(t − τ ), (3.16) N x˙ 2(t) = x2(t) + D21x1(t − τ ) + D22x2(t − τ ) với điều kiện đầu xi (t) = φi (t), với t ∈ [−τ, 0], i = 1, (3.17) Từ công thức nghiệm PTVP ĐS tuyến tính bất biến theo thời gian, xem [9], từ phương trình thứ hai (3.16) ta có ν−1   X (i) (i) i i x2(t) = −D21x1(t−τ )−D22x2(t−τ )− N D21x1 (t−τ )+N D22x2 (t−τ ) , i=1 (3.18) 40 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham với t ∈ [0, τ ), ta có x2(t) = −D21φ1 (t)−D22φ2 (t)− ν−1  X i=1  (i) (i) N i D21φ1 (t)+N iD22 φ2 (t) (3.19) Do đó, φ cần phải khả vi đến cấp ν hệ số D21 D22 không thỏa mãn thêm điều kiện khác Mở rộng điều tới t ∈ [τ, 2τ ), [2τ, 3τ ), , nghiệm khơng thể mở rộng lên tồn nửa phải trục thực trừ hàm đầu φ khả vi đến vô hạn lần hệ số liên kết với độ trễ cấu trúc cao Hệ 3.5 Xét toán (3.1)- (3.2) với cặp (E, A) quy, có số ind(E, A) ≤ hàm phổ liên kết H Khi đó, (3.1) ổn định mũ α(H) < Chứng minh Nếu ind(E, A) ≤ 1, theo Định nghĩa 2.5, rõ ràng hệ tính chất lạ, với d + a = n h = Do đó, theo Định lý 3.4, hệ ổn định mũ α(H) < Bây ta xét tính ổn định mũ cho trường hợp ind(E, A) > trường hợp (E, A) suy biến Như (3.19), để tránh việc đòi hỏi φ phải khả vi nhiều lần, ta giả sử thêm hệ dạng (1.1) với ma trận biến đổi (3.15) thỏa mãn điều kiện cấu trúc chậm chấp nhận N D2i = 0, i = 1, Chú ý rằng, điều kiện hiển nhiên trường hợp số 1, N = Với hệ số ban đầu (3.1) (E, A) quy có số tùy ý, điều kiện độ trễ chấp nhận được mơ tả sau Chọn sb ∈ C (cố định) cho det(sbE − A) 6= đặt b = (sbE − A)−1 E, D b = (sbE − A)−1 E (3.20) Mệnh đề 3.6 Xét PTVP ĐS có chậm dạng (3.1) với (E, A) quy có số tùy ý, gọi sb ∈ C cho det(sbE − A) 6= xét hệ sau biến đổi dạng Weierstrass-Kronecker (1.1) Khi đó, điều kiện cấu trúc chậm chấp nhận N D2i = 0, i = 1, đồng thời thỏa mãn b E bD b = 0, b D E) (I − E (3.21) 41 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham(LUAN.van.THAC.si).ban.kinh.on.dinh.cua.he.phuong.trinh.vi.phan.dai.so.co.cham