Ũ lổng Chủ biên kiêm Chủ biên) Ế ĐỖĐUCTHÁI(Tổng Chủ biên kiêm Chủ bi
PHAM XUAN CHUNG -NGUYỄN SƠN HÀ ~ NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LOAN
anh Diéu PHAM SY NAM - PHAM MINH PHUGNG
Trang 2
HỘI ĐỒNG QUỐC GIA THẤM ĐỊNH SÁCH GIÁO KHOA
Mơn Tốn - Lớp 12
(Theo Quijét dinh số !882JÖÐ'8GDPT ngày 29 thang Sram 2023
của Bộ trưởng! ¡ Bộ Giáp dục và Đảo tạo)
Lẻ Mậu Hải (Chủtjch), Cao Thị Hà (Phổ Chủ tịch), Phạm Đức Ti (Ủy viên, Thư kD
Các Ủy viên: Phạm Khắc Ban, Nguyễn Hắc Hải, Nguyễn Doãn Phú, Nguyễn Chiến Thắng,
Nguyễn Thi Vinh Thuyén, Định Cao Thượng, Pham Dinh Tang, Vũ Thị Như Trang
Trang 3
ĐỖ ĐỨC THÁI (Tổng Chủ biên kiêm Chủ biên) PHAM XUAN CHUNG ~ NGUYEN SON HA
NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LOAN - PHẠM SŸ NAM - PHẠM MINH PHƯƠNG
® CƠNG TY CỔ PHẦN ĐẦU TƯ
XUẤT BẢN - THIẾT BỊ GIÁO DỤC VIỆT NAM
Trang 4
> CHUGNG IV NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
§L Nguyên hàm
Š2 Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp 8
$3 Tich phin 7
§4 Ứng dụng hình học của ích phân 28
Bài tập cuối chương IV 42
HOAT DONG THUC HANH VA TRAI NGHIỆM “Chủ đề 2 Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời Ce 45
` CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG, DUONG THANG,
MAT CAU TRONG KHONG GIAN
§1 Phương trình mặt phẳng
§2 Phương trình đường thắng 66
$5 Phương trình mặt câu at
Bài tập cuối chương V'
'CHƯƠNG VI MỘT SỐ YẾU TỐ XÁC SUẤT
§I Xác suất có điều kiện
'§2 Cơng thức xác suất toan phan Cong thite Bayes 9
Bài tập cuối chương VI 103
'THỰC HANH PHAN MEM GEOGEBRA 104
BANG GIAI THICH THUAT NGU 110
BANG TRA CỨU TỪ NGỮ 11
2
Trang 5§1 - NGUYÊN HÀM
Một hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m
so với mặt đất theo phương thẳng đứng Biết
tốc độ rơi của hòn đá (tính theo đơn vị m/s) tại thời điểm z (tính theo giây) được cho bởi công thức v() = 9,81
Quang đường rơi được Š của
hon đá tại thời điểm t được cho bởi
(Ngudn: htips://chutterstock.com) công thuc nào? Sau bao nhiêu giây
thì hịn đá chạm đến mặt đất?
OR
CBD cho nam 6 Fe Nhận xét: Cho hàm s6 f(x)
nên hàm số F(x) được gọi
x € (~20; +) Tinh F" (x)
3x? x € (— 20; +) Do F"(x) =f(x) vi mgi x € (~ 20; +00) nguyên hàm của hàm số ƒ(1) trên khoảng (~ œ ; + œ),
Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực Ït, ta có định nghĩa sau:
i
Cho hàm số ƒ(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số ƒ(x) trên K néu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K,
3
Trang 6
Lí dụ 1 È Hãy giải thích vì sao ta có các kết luận Ce
s Ham s6 F(x) = cot.x 1a
a) Ham s6 F(x) = 1a nguyén ham cia ham sO f(x) =x* —nguyén him cia ham so
trên R; 5 nào? Vì sao?
b) Hàm số F(x) = sin x là nguyên hàm của hàm số F(x) = cos x trên R
Giải vế - sy
a) Ham s6 Fox) = ^— là nguyên hàm của hàm số /(4) = x wen vì (4) = x1 vdi mọi
xeR,
b) Hàm số F(x) = sin x là nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trén R vi (sin x)’ = cos + với mọi x e
@ZD cto ham s6 Fọ)< +) — l,x 6 R và Gọ) =x)+ 5, xe TRE,
a) Ca hai ham s6 F(x) va G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số ƒ (x) = 3 trên ï* hay không?
b) Hiệu F(x) = G(x) có phải là một hằng số C (không phụ thuộc vào x) hay không?
Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau:
Ƒ Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực IR
Giả sử hàm số F(+) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(x) trên K Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + € cũng là một nguyên hàm của hàm
số f(x) én K
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm #7(x) của hàm số ƒ(+) trên K thì tổn tại hằng số
€ sao cho H(x) = F(x) + C voi mọi x thuộc K
Sx‘ trén R
1 dụ 2 ¿ Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số ƒ(x) =
Giải
'x* nên x' là một nguyên hàm của hàm số ——
»xf trên ÏR Tìm tất cả các nguyên
hàm của hàm số
ƒ@)=eœsxtrenR |
'Vậy mọi nguyên hàm của hàm số ƒ(x) = Sa? đều có dạng
xŸ + €, với € là một hằng số
4
Trang 7P 'Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số ƒ() trên K được kí hiệu là
[Z@&
Nhận xét
+ Nếu F(v) là một nguyên hàm của hàm số ƒ (+) trên K È==—
Ta có:
thì mọi ngun hàm của hàm số ƒ(x) trên K đều có dạng
F(x) + C với C là một hằng số Vì vậy, jrtœax =F(x)+C
Jroode = Fey +e
* Moi ham s6 lién tue trén K déu c6 nguyén ham tén K
Chú ý: Biểu thức ƒ (x)dy gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kf higu a dF) Vậy đF() = F'()dy =ƒG9dx
Lĩ dụ 3 Ở Chứng tỏ rằng:
l - toring
a) [kde = kx +C voi k là hằng số thực;
k Ê + € với k là hằng số thực khác không fica 3# +€ #0), j
b) [krdx
Giải
a) Do (k+)'=& nên kx là một nguyên hàm của hàm số (x)= ktren R Vay J kdx = ke +C =kx nên Se là một nguyên hàm của hàm số ƒ() = kx trên R
Vậy [bdr=Ÿ +c +0),
Nhận xé: [0dx =€ và [dx= x+C
II TINH CHAT CUA NGUYEN HAM
Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực Ï3,
Cho /0) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác không
a) Giả sử F(+) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(x) trên K Hỏi kF(x) có phải là nguyên
hàm của hàm số kƒ(x) trên K hay không?
5
Trang 8b) Giả sử (1) là một nguyên hàm của hàm số kƒ( trên K Đặt G(x) = &HQ) trên Hỏi HQ) có phải là nguyên hàm của hàm số ƒ(x) trên K hay không?
e) Nêu nhận xét về [/@Odx và af f(x)dx
Từ Hoạt động 3, ta có:
chất 1
Jif cnde =k] fo) de với k là hằng số khác 0
Vidu 4 } Chon la số nguyên đương
a) Chiing td ring fx"dv=~—+C ntl
b) Cho k là hằng số thực khác khơng Tính [k:”d+ Giải
nasty “
a)Do (: j =x" fen ˆ—` Ñlệnguyên bầm của hầm số /Q) = x" trên R "
n+l +1 itl Vậy [x'dt=”——+€ ni kx! n+l b) Ta c6: fkx"de = kf x"de = +0
Z> Cho / (0) g(x) 1a hai ham s6 lién tue trén K,
a) Gid sit F(x), GQ) lẫn lượt 1a nguyén ham cia ham s6//(x), #Q) trên K, Hồi F(x) + Ga) có phải là nguyên hàm của hàm số ƒ(x) + g(x) trên K hay khong?
b) Gia sit H(x), F(x) lan lượt là nguyên hàm của hàm số ƒ(x) + ø@), ƒ (x) trên Đặt GG) = H(x) ~ F(a) trén K, Hoi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay khơng? ©) Nêu nhận xét về [[ƒ(x)+ g(+)]dx và [ /(œ)dš + [s(+)dk 'Từ Hoạt động 4, ta có: chất 2 + [C+ geod = [ ƒ)dx+ f (nae * [ƯCG)~e@9ldx = [ 70x [ ea0áx 6
Trang 9Vidus } Tim [@x+5)&
oe : Jor’ -3r+5)ar
Tac: f(2x+S)dx=[2xdx+ [Sdv=x7 +5x+C
17 dự 6 Ý Một quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m với vận tốc được tính bởi công thức vự) = — 9,8ï + 19,6 (m/s)
a) Viết cơng thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian 1 b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất? Giải
a) Goi hự) là độ cao của quả bóng tại thời điểm ứ (h(/) tính theo mét, tính theo giây) Khi đó, ta có:
I(t)= | (-9,8¢+19,6)dr = -4,97? +19,67+C
Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m tức là tại thời điểm 1 = 0 thi h = 24,5 hay h(0) = 24,5 Suy ra C= 24,5
'Vậy cơng thức tính độ cao ở (7) của quả bóng theo thời gian ¿ là:
hữ)==4,912 +19,6t +24,5
b) Khi quả bóng cham đất thì hứ) = 0 Ta có: — 4,9 + 19,6/ + 24.5 = 0 Giải phương
trình ta được £=— l; r= 5 Mà r > 0 nên ¿ = 5
Vay sau 5 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất
i TAP
1 Ham s6 F(x) =2° + 5 là nguyên hàm của hàm số: 4
A fx) = 3x7, B.flx) = ‘ +5x+C
4
C.fis) = 45x D fx) = 3x? + 5x,
2 Tìm nguyên hàm của các hầm số sau:
a) f(x)=3x7 4x; b) ƒ(+)=9x”~2x+7; ce)f&)= jt4@x-3@° +3)dv
3 Tim nguyén ham F(x) của hàm số ƒ(x)=6x” +2x~3, biết F(~ 1) =~ 5
7
Trang 104 Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng Tốc độ tăng trường trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức ñ' /) = 1,5: + 5, trong đó 1) (cm) là chiều cao của cây khi kết thúc £ (năm) (Nguồn: & Larson and B Edwards, Calculus 10e Cengage 2014) Cay con khi được trồng cao 12 cm
a) Tìm cơng thức chỉ chiều cao của cây sau r năm b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?
5 Tai một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
B'(1) = 208 -3001° +1 000r,
trong đó tinh bling gid (0 < ¢ < 15), 8! () tính bằng khách/giờ
(Nguồn: A Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)
Sau một giờ, 500 người đã có mit tai 18 hi
a) Viết công thức của hàm số 8(/) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0<r<15
b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội? ©) Số lượng khách tham dự lễ hội lôn nhất là bao nhiêu?
đ) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
6 Đối với các dự án xây dựng, chỉ phí nhân cơng lao động được tính theo số ngày công Gọi m() là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ í (kể từ khi khởi công dự án) Gọi A4) là số ngày cơng được tính đến hết ngày thứ í (kể từ khi khởi công dự án) Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng Ä' () = m7)
Một cơng trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số
m() = 800 ~ 21,
trong đó r tính theo ngày (0 < r < 400), m(/) tính theo người (Neudn: A Bigalke et al Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016) Bon giá cho một ngày công lao động 400 000 đồng Tính chỉ phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hồn thành)
8
Trang 11
Đọc bản mới nhất trên hoc10.vn
S2 _ NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP
Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang
trên mặt phẳng không ma sát nhu Hinh /, có vận tốc tức
thời cho bởi vứ) = 4cos r, trong đó r tính bằng giây và vứ) tính bằng centiméưgiây Tại thời điểm r = 0, con lắc đó ở vị trí cân bằng vị tí cân bằng, Ị PEPLILAS oO xứ) # Hình 1
Phương trình chuyển động của con lắc đó được xác định
bằng cách nào?
1 NGUYEN HAM CUA HAM S6 LUỸ THỪA
1 Hàm số luỹ thừa
Cho số thực ø Hàm số y = x“ được gọi là hàm số luỹ thừa
1
“7 là những hàm số luỹ thừa
“Chẳng hạn, các hàm số y
“Tập xác định của hàm số luỹ thừa
* Với ø nguyên dương, tập xác định là IR;
* Với ø nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \ {0}; * Với ø không nguyên, tập xác định là (0 ; +20)
xZ tuỷ thuộc vào giá trị của œ Cụ thể như sau:
'Ta thừa nhận định lí sau:
ƒ Hi làm số luỹ thừa y = xZ (or € 8) có đạo hàm với mọi z > 0 và (xZŸ =øx# =1, 2 Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
có là nguyên hàm của hàm số f(x) =x hay khong?
Trang 12
II NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ /(x)= :
24 a) Tinh dao ham cita ham s6 y = In| x| trên khoảng (0 ; + 20)
b) Tinh dao ham cia ham s6 y= In| x| trén khoding (~ 2 ; 0)
— SSS frar=tn]x|+c £ Vidu3 j Tìm frac Giải 6: [S&=3[2á„= Tacó: [ d+=3ƒ dx =31n| x|+C, 10
Trang 13
NGUYEN HAM CUA HAM S6 LUONG GIAC
eB
a) Hàm số y
b) Hàm số y = sinx có là nguyên hàm của hàm số y = cosx hay không? ©) Voix kx (k © Z), ham soy
cosx có là nguyên hàm của hàm số y = sinx hay khơng?
cotx có là nguyên hàm của hàm số y
1
tan x có là nguyên hàm của hàm số y=
đ) Với xed the (ke Z), hàm số y
cos*x
hay khơng?
Ƒ ® [Sinxdx=—cosx+C h *ƒ 1 cotx+€,
® [eosxdx =sinx+C *Í[—-wr=unx+C cos*x
Vidut J Tim:
a) [3cos.xdx; b) [ Ginx +eosx)dx
Gidi
a) [3cosxdx = 3] cos de =3sinx+C
b) J(sinx +cosx)dx = [sinxdx + [eos xdy
cosx+sinx+C ViduS } Tim: 1 4) [1+ eotx)dy; 1 Da 1
Trang 14Vidu 6 } Gidi bài toán trong phẩn mở đầu Giải
Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: s = s(/) Suy ra s' (0) = v), do đó s(/) là
một nguyên hàm của w() Ta có:
Jue )dr = j4eoxrdr Suy ra sứ) = 4sin/ +,
Tại thời điểm ¿ = 0, ta có s(0) = 0, tức là 4sin0 + € = 0, hay C= 0
'Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: sự) = 4sin/
IV NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
E> Tinh đạo hàm của hàm số F(+) TẾ (a >0, a #1), Từ đó, nêu một nguyên na ham cia ham s6 f(x) =a’
Với a>0,a#l, ta Nhận xét: Áp dụng công thức trên, ta c‹ Vidu 7 ) Tim: a) [3%dx; by ferax; ©) f2* tax Gidi a) 3dr T+ E1 (ey, In(e) ©) 2" lde = [2.2%dx=2)2'ar a) fa" tax; b) fis? ede by fetar=f(e)'ar =
Vidu 8 } MOt xe 6 16 dang chay v6i te 46 72 km/h thi người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 80 m Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng, cách đạp phanh khẩn cấp Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dân đều với tốc độ
12
Trang 15vớ) 10r + 30 (m/s), trong 46 1 1a thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh Gọi s(/) là quãng đường xe ô tô đi được trong í (giây) kể từ lúc đạp phanh
a) Lập công thức biểu điễn hàm số s(/)
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe 6 t6 dừng hẳn là bao nhiêu giây?
©) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là bao nhiêu mét? Xe ô tơ liệu có gặp tai nạn do va chạm
với chướng ngại vật trên đường hay không? Giải
a) Ta da biết, cơng thức tính qng đường s(/) xe ô tô di được trong ¿ (giây) là một nguyên hàm của hàm vự) Do,
Í(C10+300ár =—5” +30r+C
nên ta có: s() =— 5” + 30 + C với € là hằng số nào đó Do s(0) = 0 nên C =0 Suy
ra s(t) = — 5Ÿ + 301
b) Xe ô tô dừng hẳn khi vự) = 0, tức là ~ 10 + 30 = 0 hay t = 3
'Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 3 giây
©) Ta có: tốc độ 72 kn/h cũng là tốc độ 20 mis
'Do đó, qng đường xe ơ tơ cịn đi chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn
là: s(3) =~ 5 37 + 30 3 = 45 (m)
'Vậy quãng đường xe Ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 20 + 45 = 65 (m)
Do 65 < 80 nên xe 6 tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường Vì thế, tai nạn đã không xảy ra đối với xe ơ tơ đó
L7 dự 9 Ý Mực nước trong hỗ ý Máy
Shia cha nhà máy điện thuỷ eae
triều thay đổi trong suốt một
ngày do nước chảy ra (khi
thuỷ triểu xuống) và nước
chảy vào (khi thuy triéu lên) Turbine
(Hình 2) Tốc độ thay đổi của mực nước trong hỗ chứa được
cho bởi hàm số
nO = agor- 120r + 480), Hình 2
trong đó / tính bằng giờ (0 < r < 24), /() tính bằng mé/giờ Tại thời điểm r = 0, mực nước
trong hỗ chứa là 6 m (Nguồn: A Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)
13
Trang 16a) Viét công thức xác định hàm số ñ(/)
b) Mực nước trong hỗ chứa cao nhất và thấp nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến
hàng phần mười của mét)?
e) Mực nước trong hỗ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào? Tốc độ thay đổi của mực nước
trong hỗ chứa khi đó là bao nhiêu? Giải a) Ta có: [ tự)di "(51° —1201+480)ar =! J(5? - 1201-4480) dr 216 216 ¬ 5, 52,20 216 648 18 9 § Suy ra h(t) uy ra h(t) =F =
"Tại thời điểm r = 0, mực nước trong hỗ chứa là 6 m nén ñ(0) = 6, suy ra C = 6 'Vậy mực nước trong hỗ chứa được cho bởi hàm số:
5
hQ) =P = (t) 3 b) Ta tim min ’(¢) va max h(0) 0i 10:4)
+2146 (0<152) * A(t) =0 < SP = 1201+ 480=0 © È~24i +96=0@ r=12—443 hoặc t=12+43 * Bảng biến thiên: t 12-443 nas 24 no + 0 = 0 a 12-43) = 11,1 `
AQ) | 6<“ Sie, Pa gee 6
(12+ 4V3) 0,9
Do đó, ta c6: min (1) = min{h(0); h(12 10:24] + 4V3)} = h12+4V3) = 0,9;
max f(t) = max{h(24); h(12—4V3)) = h(12—4V3) = 111
(0:24)
'Vậy mực nước trong hỗ chứa cao nhất khoảng 11,1 m và thấp nhất khoảng 0.9 m 14
Trang 17©) Ta lìm may '0) 10:24]
1
ean 1*0)= 212 (0 120); ( b #@) =0 khi r= 12
* Bảng biến thiên của hàm số h'():
r 0 12 24 no - 0 + an an 9 9 HO ey 9 Do 46, ta c6: max ht(t) = max{h"(0); h'(24)} = n'(24) =22, 10:24] 9
mực nước trong hỗ chứa thay đổi nhanh nhất khi r = 0 và r = 24 Tốc độ thay đổi của mực nước trong hỗ chứa khi đó là mm
mã Ẩ fF | 1 [(2sinx~3cosx)dv bằng: A 2cosx - 3sinx + C C — 2cosx + 3sinx + C 2 f 7*dx bằng: A.7*, R7 + ” € In7 +C 3 Nguyên hàm của hầm số ƒ(x) A.2Ú°+C, € 3W +,
Đọc bản mới nhất trên hoc10.vn
B 2cosx + 3sinx + C D.~2eosx ~ 3sinx + C
15
Trang 18
4 Nguyên hàm của hàm số f(x) = | — tan?x bằng:
A.2-tanx+C B 2x—tanx+C, tan 3 x + Cx & D - 2tanx + C 5 Tìm: 4) [Œa°=4x`+3x2 1 6 Tìm: a) [(5sinx+6cosx)dhy b) [(2+ co x)dv; ©) [2 4x, d) [(2.3* ear
7 Cây cà chua khi trồng có chiễu cao 5 cm Tốc độ tăng chiều cao của câ)
khi trồng được cho bởi hàm số y cà chua sau
vứ)==0,l +,
trong đó / tính theo tuân, v(7) tính bằng centimét/tuần Gọi đ) (tính bằng centimét)
là độ cao của cây cà chua ở tuân thứ f (Nguồn: A Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1,
Comelsen 2016)
4) Viết công thức xác định hàm số ñ(/) (r > 0)
b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu? ©) Chiêu cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu?
d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua sẽ cao
bao nhiêu?
8 Mot quan thể vi khuẩn ban đâu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng Gọi
P() là số lượng vi khuẩn của quân thể đó tại thời điểm ¿, trong đó / tính theo ngày
(0<z< 10) Tốc độ tăng trưởng của quan thé vi khuẩn đó cho bởi hàm số P'(r) = kr, trong đó & là hằng số Sau I ngày, số lượng vi khuẩn của quân thể đó đã tăng lên
thành 600 vỉ khuẩn (Ngudn: R Larson and B Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014) Tinh số lượng vì khuẩn của quân thể đó sau 7 ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
16
Trang 19
S3 TÍCH PHÂN
Hoạ sĩ thiết kế logo hình con cá cho một yh
doanh nghiệp kinh doanh hải sản Logo là = ˆ
hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các << 2dm
kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị aI 1
trên mỗi trục toạ độ là decimét)
3dm Làm thế nào để tính diện tích celslogge: ldm - 4dm 4dm Hình 3 &
1 ĐỊNH NGHĨA TICH PHAN
1 Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân 'Có nhiễu bài tốn thực tiễn dẫn tới khái niệm tích phân Một trong những bài toán quan
trọng nhất là tính diện tích của những “hình thang cong”,
GD co hàm số y= ƒ()= + (Hình 4)
Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả diém M(x ; y) trên mặt phẳng toạ độ sao cho 1 <x<2 và0 <y < + Hình phẳng đó được
gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đỗ
thị của hàm số ƒ(x) = xÝ, trục Øx và hai đường thẳng x= l,x=2
Chia doan [1 ; 2] thành ø phẫn bằng nhau bởi các điểm chia:
17
Trang 20a) Tính diện tích T, của hình chữ nhật dựng trên đoạn _ *
xạ; x,] với chiều cao la f(x,) in
‘Tinh diện tích 7, của hình chữ nhật dựng trên đoạn Ix,:x;] với chiều cao là /(x,)
“Tính diện tích 7, của hình chữ nhật dựng trên đoạn
[x, ;x;] với chiều cao là /(x,)
Tính diện tích 7, _, của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x,_, ;x,Ì với chiều cao là /(x,_,)
b) Đặt S, = Tụ + T, + T,+ + T„,_ , Chứng minh rằng:
5,-2.1 05) +F5) +1094 4/65, D
Tong S, goi la 16ng tich phan cdp n cia ham s6 O Xy= 1 Ay Iye f(x) = 27 trén doan [1 ; 2]
Hinh 5
Nhận xéi: Ngudi ta c6 thé chitng minh được rằng lim S, =F2)-F=2 với F(x) 1a một nguyên hàm của hàm số ƒ(x) = + trên đoạn [I ; 2] Số thực i được gọi là diện tích hình thang cong AMNB (Hình 3)
VAY Shinn thang cong ame = F (2) — F (1) với F (+) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(x) = xÈ
trên đoạn [I ; 2]
Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y = / (x) liên tục, không âm trên đoạn [ø ; ở]
Hình phẳng gồm các điểm có
toa d6 (x ; y) sao cho ø < x < b và 0 <y <ƒ () được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi
đồ thị của hàm số y = ƒ (x), trục
Oxva hai đường thẳng x = a,
x= b (Hình 6) Bằng cách chia doan [a ; b] thành ø phân bing nhau ta lập được tổng tích phân cấp n của hàm số y = ƒ (x) trên
18
Trang 21đoạn [a ; b] là:
Hae, (&) [fi +£) +f Oy) + +£,_ I]
hận xét: Người ta có thể chứng minh được rằng lim 8, = F(b)-F(a) v6i F(x) 1a một nguyên hàm của hàm số ta) trên doan [a ; b] Higu F(b) — F(a) được gọi là điện rích hình thang cong AMNB gidi hạn bởi đồ thị của him sé y = f(x), true Ox va hai đường thing x =a, x= b Cy thé, 6 Hình 6, ta có: §, ia hang cong N= = F(b) ~ Fla) vi F(x) a mot
nguyên hàm của hàm số fix) trén doan [a ; bl
Vidu 1} Choddthihams6y=/(x)=x+ 1 (ve [05 1) š “Xét hình thang vuông OMNB gidi hạn bởi đồ thị
của hàm số ƒ (x) = x + I, trục Øx và hai đường
thẳng (Hình 7)
a) Tinh diện tích hình thang vng OMNB b) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số
+ 1 trên đoạn [0 ; 1] Tinh F(1) = #0) ty chứng tỏ rằng
Syn thang wong oun = (1) ~ FO)
Giải ° : a) Ta c6: 1 Hình 7
Shion nang vtng ounp =5 (OM + BN) ỚB
1 3
=< (42).1=5 (142) 155
HITSES: [@ầ+Ddx=[xdx +[Idy=T—+x+€ 2 t Cho đồ thị hàm số y = fo) =2x | (x € [0 ; 2) Xé tam gide vuông
2 OAB gidi hạn bởi đỗ thị của hàm số
f(x) = 2x, truc Ox va dung thing
Nhữ vậy F(x)= —+x là một nguyên hàm - y=2,
cia ham sO fx) =x + 1 trên đoạn [0; 1] a) Tính diện tích tam giác vuông OAB
T806: b) Giả sử Z (+) là một nguyên hàm
F0)-F(0= = cca f(x) = 2x trên đoạn (0 ; 2] Tinh F (2) — F (0) Tit dé hay chitng tỏ
So =F@)~F (0)
Vay Shinn ang ng ours = FL) ~ FO) ASS Spare
19
Trang 222 Định nghĩa tích phân
@D cto ham 6 fo) = 3 a) Chiing 18 F(x) = G0)
AP +E Reefc nguyén him cia him s6 f(x) =+Ỷ
b) Chứng minh ring F (b) - F (a) = G (b) - G (a), tức là hiệu số F (b) — F (a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm
Paola elciarabecenauac| F() là một nguyên hàm
f(x) trén đoạn [a ; b]
Hiệu số F() ~ F (4) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ƒ() kí hiệu là h
[rooar
Chú ý
+ Kihigu Foo)! = F(0) ~ F (4) và đọc là Fá) thế cận từ a đến b
P
Vay [fear = Fool, = FO) - Fa
»
Goi: J là dấu tích phân: a là cận dưới, ở là cận trên; /(x) dv là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) Ia hàm số dưới dấu tích phân
5 h fi
+ Ta quy we: [fade =0; [fende =-[ fond
2 »
ery rine rr
3 1 Tính ij dứ
a) foxdx; b) Íe dt, " ies |
2 ° Gidi 3(3? ~ 2?) = 3(9 — 4) = 15 3 a) [6xdv=3x 2 b) ka a 20
Trang 23Cđú ý: Tích phân của hàm số ƒ từ ø đến b chỉ phụ thuộc vào ƒ và các cận a, b mà không » ,
phụ thuộc vào biến số x hay nghĩa là [ /(+)dx = Í /0)dt
II TINH CHẤT CUA TÍCH PHÂN
@$Ð-sosm fora va 2frae
° °
Tinh chat 1
j Cho hàm số, (x) tục trên đoạn [4 ; ta
4 b
Íf/G)0d+=k[ƒG)dx (là hằng số)
z 3
Vidu3 } Cho [cosxdx=1 Tinh [2cosxdx
a ọ Giải [besxe = 2fcosxae 2.1=2, 0 a CB 80 sinh: A 1 4) [@x+3)dr và [2xdv+ [3d 0 1 ị ' m b) [@x~3)dx và [2xdx=[3dx 0 0 ọ Tinh chat 2
f Cho ede ham số y = ƒ(x), y = g(x) liên tục trên doan [a ; b] Khi đó, ta
i i »
JUC+ e@olde = [ƒ(x)dx + [s()dx: ; , ,
[ƯG0~=s@9Jdy = [ƒG)dx~ [s(x)dx
2
Trang 241 Vidu4 } Tinh [(x? +x)dx 0 Giải
Tinh foo — spas ;
Ta có: Je2+ow=[ee+[se ó 0 ọ @BD sánh [oxac+focae va frac ° 1 0 ‘Tinh chat 3
ƒ 'Cho hàm số y = ƒ(x) liên tục trên đoạn [a ; ø] Giả sit c là số thực tuỳ ý thuộc đoạn
la; b] Khi đó, ta có: » ¢ , Í#@œ0dx= [ƒ@0áx+ [ƒ(x)ár 1 ViduS } Tinh II “1 Giải 0 1 Ta có [Ixlw=[Ixl«+[Ixlex =[Cod@x+[xẻ a “1 0 A 0 Ì ( # cad) g(a 2 2
III TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP
1 Tích phân của hàm số luỹ thừa
» 2410 yest gatl
Nhận xét: Vối ø # =1, ta có: [x”dx = : a+i|, — asl
Vidu6 ¿ Tính: 1 3 a) fd 43x? -2)dx; © [x#& ọ ỉ 2
Trang 25oe
a) lạc +3x”~2)dy = Jelesjaeae- fou
"`" 2x Tự meee (2.1-2.0)=0 3 Aisi 3.11 yt ) fxPar= = fr 2+ll 2+1 2 Tích phân của hàm số ƒ(x) =t
Nhận xét: Với hàm số ƒ(x) -t liên tục trên đoạn [ø ; b], ta có:
5
Jwr=hlx|Ÿ =n|ø|-l4|
3
Vidu7 J Tinh fav
Giải :
J?=zm|x|[" =2In|~I|~2h|
s
3, Tích phân của hàm số lượng giác
Nhận xét
,
® [sin xúx = =cosa[” = =cosb~(~cosa) =cosa =cosb,
® [sosxdy =sina[) =sinb-sina,
Đọc bản mới nhất trên hoc10.vn <
Trang 26+ Với hàm số ƒ()=— _— liên tụe trên đoạn [ø : b], ta có: sin? x
»
J I dr =—cot x{! =-cotb— (cota) = cota—cotb
{)sin? x ie
* Với hàm số ƒ(x) = liên tục trên đoạn [a ; b], ta có:
cos’ Vidu8 } Tinh: a) [isin reospaxi 0 Giải + = x
sina fom = cosa sina
oem 4) [(Sinx+eosx)dx = ọ 1+/3~ Meee 2+ đố, 4 Tích phân của hàm số mũ , Nhận xét: Với a >0, a # 1, ta có: [a*dv ,
ý: Ap dụng công thức trên, ta cố; ['dy = ef,
Ba $
Trang 27Vidu 9 } Tinh: 1 1 1 a) fetar; b) [2d ©)[@.2'=e°)dr ọ 0 0 Giải 1 a) Je‘dx 0 1 x 2 ĐịP te a) [de ° ' 9 b) [@ 3` 5e")dx, o
1í dụ I9Ï Năng lượng gió trên đất liền là một trong những công nghệ năng lượng tái tạo đang được phát triển ở quy mô tồn câu Năng lượng gió khơng trực tiếp phát thải khí nhà kính, khơng thải ra môi trường các chất ô nhiễm khác, cũng như không tiêu thụ nước để làm mát cho các nhà máy Các turbine gió thường có ba cánh quay
trên một trục ngang, lấy động năng từ quá trình di
chuyển dịng khơng khf (gió) để chuyển đổi thành
điện năng thông qua một máy phát điện được kết
nối với lưới điện Hình thang cong (tô màu vàng) trong Hình 8 mơ tả một phẩn mặt cắt đứng của
cánh turbine, được giới hạn bở đường thẳng
, = 25, true Ox và đồ thị hàm số
Uk aye
y= f@) =n gay ~33x! #1202400)
(Nguân: A Bigalke et al, Mathematick, Grundkurs ma-1 Comelsen 2016)
(Nguồn: hups//shutterstock.com)
Hay tính diện tích hình thang cong đó
y(m) ye)
2 5 10 15 2 25x(m
Hình 8
25
Trang 28Giải
Diện tích của hình thang cong được tơ màu vàng là:
25
1=f-Lw 5 800 3x? +120 -400) dx
fe de -afe det 10) rae ~anjas]
2 2 2
19 648"
2 Tích phân Í sinxdv có giá trị bằng:
7
` a) B sin&—sin=, 7
C cos cos 37 D cos —cos™ 7
Lge
3 Tich phan / = Lar có giá trị bằng:
a
1
B — €.-1 D.I
A.-— In3 In3 # 3
4 Cho f f(x)dx=—10, F(x) la một nguyên hầm của hàm số f(x) ten doan [- 2; 3], F(3)=-8 Tinh F(— 2)
26
Trang 294 4 3 5 Cho [ƒ(x)dx=4, [ƒ(x)dy =6 Tính Í ƒ(x)d ° 3 a 6 Tinh: 1 a) [oS 4x9 +3x7)dx; | © la
4)[(4sinx+3eosx)dr: e) [co xúy, e) Ían xúc
0 4 = °
ụ 4 !
hy fe*ax; i) fev? k) JG 4° -5e)ax
1 3 0
7 a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = w() (m/s) Cho 0 < ø < b và vự) > 0
»
với moi r e [a ; b] Hãy giải thích vì sao [v()dr biểu thị quãng đường ma vat di được trong khoảng thời gian từ ø đến ö (4, b tính theo giây)
b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với van t6c v(t) = 2 — sin (m/s) Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời
gian từ thời điểm ¿ = 0 (s) đến thời điểm ¢ = =* (9) 8 Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị
ở Hình 9
a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên
ø 1 216)
b) Tính quãng đường mà vật đi chuyển được trong
2 giây đầu tiên Hình 9
9 Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A —> B Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L7 ')
tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x > 0, thoả mãn hệ thức: y'(9) = ~ 7 10 3y) với x >0 Biết rằng tại x = 0, nỗng độ (đầu) của A là 0.05 mol L~ '
a) Xét hàm số ƒ(x) = In y(x) với x > 0 Hãy tính ƒ'(+) từ đó hãy tìm hàm số ƒ (+)
b) Giả sử ta tính nỗng độ trung bình chất A (đơn vị mol L) từ thời điểm a (giây) A
Jr@de Xác định nơng
độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây
đến thời điểm ð (giây) với 0 < 4 < b theo công thức 7 b=a
a
Trang 30
S41 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Gốm Bát Tràng là tên gọi chung của các loại
đổ gốm Việt Nam được sản xuất tại làng Bát Tràng, thuộc xã Bát Tràng, huyện Gia Lâm, Hà Nội Với hơn 700 năm tuổi, gốm Bát Tràng i tiếng ở trong và ngoài nước về chất lượng gốm và độ tinh xảo của các sản phẩm Những chến trong bộ ấm chén uống trà ở Hình 10
có dạng khối tròn xoay Bộ ấm chén Bát Tràng
(Ngudn: haaps://shutterstock.com)
Hinh 10
2 Thể tích của các khối tròn xoay được tính nhưc
x) thế nào?
1 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đỗ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = &, x = ð
QD cio ham 6 y= f(xy = 4° 2x7 =x 4206 dv thi»
được minh hoạ ở Hình 11 ỗ 2
4) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phing H,, H,, H, lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị ham si lào
b) Tinh diện tích 5, Sy,, Sy, của các hình phẳng đó
©) Gọi # là hợp của các hình phing H,, H,, H,.Hinh phẳng #7 được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đổ thị |A
hàm số y = ƒ (9), trục hoành và các đường thẳng x = 0,
x= 3 Chứng tỏ rằng diện tích S„ của hình phẳng #7
bằng Š, 3
„ tấu, +8y, = [|feo|de
ó
Hình 11
“Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí 28
Trang 31Ế Cho ham số y = f(x) lign tục trên doan [a ; 6] Khi tích S của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:
5 $=[|7@Jdx LÝ dự 1 Ï Cho hàm số y= xˆ có đồ thị như Hình J2 Hinh 12 Hinh 13
‘Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đô thị của hàm số y = +Ÿ, true Ox va hai đường
thẳng x=~ 1, x= l
Giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y=", trục Øx và hai đường thẳng x=~ I, x= 1 là:
1 D Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng jw= i lela flelae 4 si 0 0 1 40 ¬ A 0 P+
Đọc bản mới nhất trên hoc10.vn
giới hạn bởi đổ thị của ham s6 y = x2 ~ 2x, trục Oy và hai đường thẳng
bi
29
Trang 322 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đỏ thị của các hàm số y = fox), y = gO) và hai đường thẳng x = ø, x =
Cho các hàm số y =2"
Gọi , là điện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Øx, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y
tích hình phẳng giới hạn bởi trục Øx, hai
x= 2 và đồ thị hàm số
Gọi S, là dig
đường thẳng x=
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
hầm số y = 2*, y = x và hai đường thẳng x = I, x = 2
(Hình 14)
a) Biểu diễn Š theo S,, S„
b) So sánh S và j@*=xek
1
Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau:
f “Cho các hàm số s(x) liên tục trên đoạn [ø ; b] Khi đó, diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(a), y = g(x) và hai đường thẳng
x=ax=blà: »
$=[l7œ)~gG)|dx
7 dụ 2 _Ÿ Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y xŠ + + + 3 và hai đường thẳng + = 1, x Giải Diện tích hình phẳng đã cho 3 3 3
8 =[lo8 +2041)-G? 1 +.x43)dx = fle—2lde = fle -2lde+ [|x~2ldx 1 1 2
ẽ
⁄(§->] a
Đọc bản mới nhất trên hoc10.vn Bản mẫu góp ý
Trang 33Vidu3_} Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đô thị các hàm số y=T E12 +3 yada? -ã„- và hai đường thẳng x = I, = 4
» Giải Tacé: Ly? 42x >x (7 42x) 2 Vidu 4 } Trén cita s6 c6 dang hinh chi nhat,
hoa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh
nghiệp kinh doanh hải sản Logo là hình phẳng
giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 16 (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét)
a) Lập phương trình các parabol y = ƒ(x)
và y= g0)
b) Tính diện tích của logo
31
Trang 34©) Logo chỉ cho phép 50 lượng ánh sáng đi qua Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ
sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Giải
a) « Giả sử parabol y = f(x) cho bởi f(x) = ax? + br + ¢ (a # 0) Do parabol y = f(x) di qua điểm Ð (O ; 2) nên e = 2, suy ra f(x) = ax’ + bx + 2 (a # 0) Vì parabol y=/(2) di qua cde điểm €(- 4 ; 0), E (4 ; 0) nên ta có:
16a~4b+2=0 16a+4b+2=0,
Hệ phương trình trên có nghiệm là
Vay f(x) =e +2
« Giả sử parabol y = g(x) cho bdi g(x) = a,x° + b,x + ¢, (a, #0) Do parabol y = g(x)
di qua diém G (0; ~3) nén c, =-3, suy ra g(x) = a,x" +b,x—3 (a, #0) Vi parabol
y= g(x) di qua các điểm € (- 4; 0), E (4 ; 0) nên ta có:
16a, =4bi~3=0 16a, +4b, ~3 =0
Hệ phương trình trên có nghigm Ia a,
3
Vậy g(x) =~—x - 3 ay =e
b) Diện tích của logo là: S = 5, + S,, trong đó S, là điện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol ƒ(x) 242, soya Zar =3và hai đường thẳng x = -5, 3 =-4;
5, là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol ƒ(+)
và hai đường thẳng x = -4, x= 4 2 «=
Do đó, tạ có:
- 4
$= [I/@œ)~g@|dx+ [| /G)~g@)|dx Sỹ “4
32
Trang 35- 4 Jle@-fepide+ f F)-s@)Idx oa “4 2055 640, 4g _ 1345 — 48 48 Vy Đ= ae (dm?)
â) Gi r là lượng ánh sáng đi qua mỗi dmẺ của logo Suy ra lượng ánh sáng đi qua logo al 2 + Mặt khác, diện tích của cửa sổ là (8 + 1) (2 + 3) = 45 (dm?) và lượng ánh
sáng đi qua mỗi dmẺ của phân cửa sổ nằm ngoài logo là 2 Suy ra, lượng ánh sáng đi
qua cửa sổ trước khi làm logo là 45 2 = 90 và lượng ánh sáng đi qua phân cửa sổ
(45-138 )2 815
Do đó, tổng lượng ánh sáng đi qua cử:
1345, 815, _ 2975 48.724 48 nằm ngoài logo là:
sổ sau khi làm logo
"Tỉ số phân trăm của lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo so với lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trước khi làm logo là:
(2 48 : s) 100% = 297 50, 4320 6 = 68,9%
'Vậy lượng ánh sáng khi đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm đi xấp xỉ là: 100% ~ 68,9% = 31,1%,
33
Trang 36II TÍNH THỂ TÍCH CỦA HÌNH KHỐI
1 Thể tích của vật thé
QB cit ksi tap phương có cạnh bằng 1 bai một mặt ~ a
phẳng tuỳ ý vng góc với trục Ox tai x, vai 0 <x <1 ta
nhận được hình phẳng có diện tích là (x) (Hinh 17) 1
a) Tinh S(x) ' |
b) So sánh thể tích khối lập phương đó với [seœ)dx 0 L =
a
Trong trường hợp tổng quát (Hình 18), ta có định lí sau:
Hình 17
Hình 18
'Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Øx' a (a<b) Một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với Øx tại x (4 < x < b) cắt vật thể đó theo hình
phẳng có diện tích là S(x) Giả sử hàm số S(+) liên tục trên [a ; b] Khi đó, thể
tích V của phân vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi cơng thức
»
V=[S()&
Chú ý: Nếu S(x) = § khơng đổi với mỗi x € [a ; b] thì V= (b 4)8
34
Trang 37Vidu 5 } Tinh thé tich kh6i lăng trụ, biết diện tích đáy bằng Ø và chiều cao bằng ñ:
Giải
“Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt
phẳng vng góc với Ox tai x = 0 và x = h (Hình 19) Khi đó, một mặt phẳng vng góc với trục Øx, cắt lăng trụ theo hình phẳng có diện tích S(x) = 8 khơng đổi với mỗi
x [0;h] Ap dung cha y trên, ta có: V= Bh
: Ệ 'Cất một vật thể bởi
hai mặt phẳng vng sóc voi truc Ox tai x= 1 va.x= 2, Mot mit phing
tuy ¥ vudng g6e voi Ox
i x (1 SxS 2) ct vat đó theo hình phẳng ign tích là S (x)= 2+ _ Tính thể tích V của phan Ơ vật dể được gái hạn bi jg tren,
Vidu 6 } Cho khdi chép c6 chiéu cao bằng h va
diện tích đáy bằng B Chon truc Øx vng góc với
mặt phẳng đáy tại điểm / sao cho gốc Ø trùng với
đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ
OF (minh hoa & Hinh 20) Khi dé OF = h Mot mat
phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x (0< x< #), cắt
khối chóp theo hình phẳng có diện tích S(x) Người đinh 20
2
ta chứng minh được rằng S(x) = aS Tinh thé tich
khối chóp đó Giải 'Thể tích khối chóp đó h hoo a 2 V=[sc)de= [8% axr= 8, 3 re 3M An Bh 3MỀ 3 $5
Trang 38Nhận xét
+ Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng và diện tích đáy bằng 8 Thể tích V của khối lăng trụ đó được tính bởi cơng thức
Y=Bh
« Cho khối chóp có chiều cao bằng h va diện tích đáy bằng Ø Thể tích V của khối
chớp đó được tính bởi công thức J“ =
1í dự 7 Ở Cơ Hạnh đổ bê tông một đường
đi trong vườn (phân được tơ màu) với kích
thước được cho trong Hình 22 Biết rằng
đường cong A được cho bởi đồ thị của một Z
hàm số liên tục và dung cong DC nhận 6m
được từ đường cong A bằng cách tịnh tiến i
theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m i
ữ í “————nR—”
Ngồi ra, cơ Hạnh quyết định đổ lớp bê ome
tông đầy 15 cm và giá tiền I mẺ bê tông là
1 080 000 đồng Tính số tiễn cơ Hạnh cẩn
dùng để đổ bê tơng con đường đó
Be
Trang 39Giải
Xt he true toa độ Oxy như Hình 23 (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét)
Trong hệ trục toạ độ đó, đường cong AB được cho bởi đổ thị của hàm số liên tục y=/@),0 <x < 10 Suy ra, đường cong ĐC được cho bởi đồ thị của hàm số liên tục
y=ƒf() +2, 0<x < 10 Áp dụng cơng thức
tính diện tích, ta có: Tình 23
=20 (m°)
Šagex sseemaapcp= UPC) +2)— Slax = J 2dr =2xh) 3 3
Do đó, thể tích khối bê tông dùng để đổ con đường là: 20 0,15 = 3 (m`) 'Vậy số tiễn cô Hạnh cân dùng để đổ bê tông con đường đó là:
1 080 000 3 = 3 240 000 (đồng) 2 Thể tích của khối trịn xoay
GD Xét nữa hình tròn tam O, ban kinh r (Hinh 24), Nita hinh tron đó là hình phẳng
giới hạn bởi truc Ox va đổ thị hàm số y = f(x)
a) Tìm hàm số y = f(x)
b) Quay nữa hình trịn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình câu tâm Ø bán kính r (Hình 25) Xét diém M(x; fo) (- r < x < r) nằm trên nửa đường tròn tâm Ø bán kính r Gọi /⁄œ ; 0) là hình chiếu của điểm A trên trục Øx Khi quay nửa hình trịn quanh trục hoành, đoạn thing HM tạo nên một hình trịn tâm #ƒ bán kính ƒ(x)
“Tính diện tích S(x) của hình trịn đó theo ƒ(x)
'Từ đó, sử dụng cơng thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tim O
bán kính z M ya v9 + + 0O r x Hinh 24 Hinh 25 37
Trang 40Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y = / (x) liên tục, không âm trên đoạn [z ; b] Hình phẳng giới hạn bởi đỗ thị hàm số y = / (x) trục hoành Øx và hai đường thẳng x= a,x =b khi quay quanh true Ox tạo thành một hình khối gọi là khối tròn xoay Khi
cắt khối trịn xoay đó bởi một mặt phẳng vng góc với trục Ø+, ta được một hình trịn
có bán kính là 1)
Ta có định lí sau (Hình 26):
Cho hàm số y = ƒ(+) liên tục, không âm trên
doan [a ; b] Hinh phẳng (//) giới hạn bởi đồ thị
ham s6 y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng
+=a,x= b quay quanh trục Øx tạo thành một khối Hồn xoay có thể tích bằng
v= xf} dx
J Hinh 26
Iĩdw8 ¿ Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sé f(x) =.x, trục hoành và hai
đường thẳng x = 1, x= 2 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó
quay quanh truc Ox,
Giải b 'ho hình phẳng
'Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình hạn bởi đổ thị hàm số
phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số ƒ(x) = x, trục ƒ() =sinŠ, trục hoành hoành và hai đường thẳng x = I, x = 2, quay JỄ Hi ky tông cau,
quanh trục Øx là: += Tính thể tích khối
2
trịn xoay tạo thành khi
cho hình phẳng đó quay
quanh trục Øx |
Vidu9 } Xét chiée chén trong b> ấm chén uống tra 6 phan mé đầu, bạn
Dương ước lượng được rằng chiếc
chén được tạo thành khi cho hình
phẳng giới hạn bởi đỗ thị hàm số
Hinh 27 38