(Luận văn thạc sĩ) sự hội tụ nghiệm của hệ gradient bậc hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Ngọc Quang Tạo SỰ HỘI TỤ NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Ngọc Quang Tạo SỰ HỘI TỤ NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT BẬC HAI Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ thực hiện, hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng năm 2017 Học viên thực Trần Ngọc Quang Tạo LỜI CẢM ƠN Trong trình thực hồn thành luận văn này, tơi nhận quan tâm giúp đỡ lớn từ thầy cơ, gia đình bạn bè Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến: Thầy TS Nguyễn Thành Nhân, người hướng dẫn khoa học, tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Q Thầy Cơ Hội đồng chấm luận văn đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Q Thầy Cơ khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu học trường Ban giám hiệu quý Thầy Cô Phòng sau đại học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian qua Trong q trình thực luận văn, khó tránh khỏi sai sót hạn chế Vì thế, tơi mong nhận đóng góp q Thầy Cơ bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Học viên thực Trần Ngọc Quang Tạo MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Hệ gradient bậc hai Chương Kết hội tụ nghiệm số 10 2.1 Sự tồn tại, tính ổn định Lyapunov 13 2.2 Sự hội tụ nghiệm số 20 2.2.1 Trường hợp 20 2.2.2 Trường hợp bậc 29 > = Chương Một số ứng dụng 36 3.1 Dạng rời rạc phương trình truyền sóng 36 3.2 Dạng rời rạc phương trình Swift-Hohenberg 40 Kết luận… ……………………………………………………………………………42 Tài liệu tham khảo 43 ℝ ℝ ℝ+ (ℝ+, ℝ ) (ℝ ,ℝ) , (ℝ , ℝ) (ℝ+,ℝ ) (ℝ+, ℝ ) (Ω) ∞ (ℝ+, ℝ ) 2,1 (ℝ+, ℝ ) (Ω) (Ω) với chuẩn Euclide Tập hợp số thực CÁ C KÝ HIỆ U không âm Không gian hàm liên tục ℝ+ ⟶ ℝ Không gian hàm khả vi cấp liên tục ℝ ⟶ℝ Không gian hàm ℝ ⟶ ℝ khả vi cấp liên tục Holder với số mũ tập compact ℝ Không gian hàm ℝ+ ⟶ ℝ đo khả tích tập compact ℝ Không gian hàm ∶ ℝ+ ⟶ ℝ đo thỏa mãn ∫ℝ+‖ ( )‖ d < ∞ Không gian hàm đo thỏa mãn ∫Ω‖ ( )‖ dμ < ∞ Không gian hàm ℝ+ ⟶ ℝ đo bị chặn hầu khắp nơi ℝ+ Khơng gian hàm ℝ+ ⟶ ℝ có đạo hàm riêng suy rộng đến cấp khả tích tập compact ℝ+ Không gian hàm thuộc thuộc (Ω) có đạo hàm riêng suy rộng cấp (Ω) 2 Không gian hàm thuộc (Ω) biên Ω có đạo hàm riêng suy rộng cấp thuộc (Ω) Tập hợp số thực K h ô n g g i a n t h ự c c h i ề u MỞ ĐẦU Ngày nay, lĩnh vực phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu tính ứng dụng rộng rãi Các phương trình thường xây dựng từ mơ hình thực tế nên đơi phức tạp chưa tìm nghiệm giải tích Thay cho việc tìm nghiệm phương trình này, đánh giá định tính tồn cấu trúc nghiệm tính chất dáng điệu tiệm cận, ổn định nghiệm trở nên hữu ích Hiện tại, với phát triển khoa học máy tính, phần lớn phương trình giải cách hiệu phương pháp số Tuy nhiên, áp dụng phương pháp số, nghiệm số phương trình khơng cịn mang đầy đủ tính chất nghiệm giải tích Do đó, việc nghiên cứu tính chất lời giải số trở nên cần thiết Thuật toán áp dụng thuật tốn backward Euler Việc khảo sát nghiệm số thuật toán tin giúp thu tính chất cần thiết cho thuật tốn phức tạp Mặt khác, hệ phương trình dạng gradient mang đặc trưng phương trình tiến hóa tiêu tán hàm lượng giảm dần theo thời gian Đặc trưng giúp ta biểu diễn nhiều phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng dạng hệ phương trình có dạng gradient tựa gradient Từ đó, việc khảo sát nghiệm số phương trình dạng gradient gần nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết thú vị Các kết hội tụ nghiệm giải tích nghiệm số cho hệ tựa gradient bậc tìm hiểu vài luận văn thạc sĩ khóa trước Tiếp nối chủ đề này, luận văn tập trung khảo sát kết sụ hội tụ nghiệm cho hệ gradient bậc hai Nội dung luận văn tập trung khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm số hệ gradient bậc hai dạng rời rạc, với số ứng dụng Các kết hội tụ toán liên tục tham khảo báo [1], [4], [8] Kết hội tụ cho toán rời rạc ứng dụng tham khảo [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15] Luận văn trình bày theo ba chương Chương Hệ gradient bậc hai Giới thiệu khái niệm hệ gradient bậc hai kết hội tụ nghiệm giải tích Chương Kết hội tụ nghiệm số Trình bày số kết tồn tại, tính hội tụ nghiệm số cho hệ gradient dạng rời rạc Chương Một số ứng dụng Trình bày ứng dụng kết hội tụ cho hệ gradient dạng rời rạc phương trình truyền sóng phương trình SwiftHohenberg Chương Hệ gradient bậc hai ′′ ′ Chúng ta gọi hệ gradient bậc hai ℝ hệ có dạng ( )+ ( )+∇ ( ( ))= ( ), ≥0, với ≥ 0, ∈ (ℝ+, ℝ ), = ( 1, 2, … , ), ∈ 1,1 (ℝ , ℝ), (1.1) ∇ =( , ,…, Ta viết lại (1.1) thành hệ gradient bậc nhất: ′ ()= (), { ′ ( ) = − ( ) − ∇ ( ( )) + ( ), Nếu hàm giải tích thỏa mãn: tồn ≥ (1.2) > cho ∞ sup ( 1+ ∫ ‖ ( )‖ ds) < ∞, ∈ℝ+ (1.3) Ta nghiệm bị chặn (1.1) hội tụ điểm tới hạn tiến tới ∞ Nội dung chương chủ yếu tham khảo [1], [4], [8] Trước vào chứng minh, ta cần công cụ quan trọng bất đẳng thức Lojasiewicz mà phát biểu sau đây: Định nghĩa 1.0.1 Ta nói ∈ 1(ℝ , ℝ) thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz điểm ≥ > cho ∀ ∈ℝ ,‖ − ∗ ∗ 1− ‖< ⇒| ( )− ( )| ∗ ∈ ℝ tồn số ∈ (0, 2] , (1 ≤ ‖∇ ( )‖ ∗ Số xuất định nghĩa gọi số mũ Lojasiewicz Nếu thỏa mãn (1.4) với số mũ ∈ (0, ′ cần, ta thấy thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz với số mũ ∈ (0, ] 2] cách thay đổi số Kết Lojasiewicz cịn nói Ta định nghĩa tập : ℝ ⟶ ℝ hàm giải tích thực lân cận ∈ − limit ()={ (1) đặt Định lý 1.0.2 Cho ∈ (2) 0(ℝ+, ∗ ∈ ℝ thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz ℝ ): ∈ ℝ : ∃ ⟶ ∞ cho ∗ } = ⋂ ⋃{ ( )}, ( )⟶ ≥0 ≥ ≔{ ∗∈ℝ ∶∇ ( ∗)=0} 2,1 ∈ (ℝ+, ℝ ) nghiệm (1.1) với ≥ 0, giả sử (ℝ , ℝ), tập hợp { ( ): ≥ 0} bị chặn ℝ , (3) (4) ∗ ∗ tồn ∗ ∈ ( ) cho thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz ∗ theo định nghĩa (1.4), với số mũ Lojasiewicz , ∈ Khi lim (ℝ+, ℝ ) thỏa mãn (1.3) với > ∗ ()= Hơn nữa, tồn số > cho với ⟶∞ ∗ ‖()− ‖ ≤ (1 + )− , ≥ 0, ta có: = {1 − , 2} Chứng minh Ta chứng minh hội tụ > cách tương tự chứng minh [10] Đặt ′ = ∈ (ℝ , ℝ ), ( , ) thỏa mãn (1.2) Đặt: + ∞ Φ() = ‖ ( )‖ + ( ( )) + ∫ ‖ ( )‖ d , ∈ (0,1) Khi ta có > ′ = = −Φ 0( ) = − 〈 ( ), ′ ( )〉 − 〈∇′ ( ( )), ′ ‖ ( )‖2 ( )〉 + − ⟨ ( ), ( )⟩−⟨ ( )− ′( )− ( ), ( )⟩+ ‖ ( )‖2 ‖ ()‖ −〈 (), ()〉+ ‖ ()‖ ≥(1− )‖ ( )‖2+( − )‖ ( )‖2 ≥