Bài tập phương pháp toán lí phần 1

X G I YHX C IIIM ! a \G BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOÁN (T a i b a n n t h n h t ) M ù sỏ: III.Oi 07 14 DU 201 ì MỤC LỤC Lời nói đầu A Bài tập tự lu ậ n Chương 1: Giải tích vectơ hệ tọa độ cong 1.1 Giải tích vectơ hệ tọa độ D escartes vng góc 1.2 Giải tích vectơ hệ tọa độ c o n g Chương : Tenxơ giải tích tenxơ 2.1 Khái niệm bàn tenxơ - Đại số ten x 2.2 Tenxơ hạng hai □ Giải tích te n x Chương 3: Lí thuyết hàm biến phức 3.1 Khái niệm s ố p h ứ c 3.2 Hàm số biến phức - Đạo hàm hàm biến p h ứ c 3.3 C ác hàm số sơ c ấ p Chương 4: Tích phân chuỗi hàm biến phức 4.1 Tích phân hàm biến p h ứ c 4.2 Chuỗi hàm biến p h ứ c 4.3 Thặng dư ứng dụng để tính tích phân suy rộ n g Chương 5: Phương trình Hypecbolic 5.1 Phương trình sóng chiều 5.2 Phương trình sóng hai chiều Chương 6: Phương trinh Parabolic 6.1 Phương trình truyền nhiệt chiều 6.2 Phương trình truyền nhiệt hai c h iề u Chương 7: Phương trình Eliptics 7.1 Phương trinh Laplace hai c h iều 7.2 Phương trình Laplace ba chiều 7.3 Phương trinh P o is s o n B Câu hỏi trắc nghiệm Tài liệu tham kh ảo LỜI NÓI ĐẦU H ọ c p h ầ n P h n g p h p to n lí đ ợ c x â y d ự n g n h ằ m tra n g bị c c phưc p h p to n h ọ c d ù n g c h o V ậ t lí h iệ n đ i như: h m b iế n sô' p h ứ c , đ i số g iả i t v ectơ , c ấc h m đ ặ c b iệ t, c c p h é p b iế n đ ổ i tíc h p h â n , đ i số g iả i tíc h ten: p h n g p h p tín h số , c c p h n g trìn h vật lí to n V i k h ố i lư ợ n g k iế n th ứ c t rộ n g c n g k ề n h n h v ậ y n ê n lư ợ n g b i tậ p c ũ n g rấ t p h o n g p h ú , đ a dại H ệ th ố n g g iá o trìn h v tà i liệ u th a m k h ả o đ ã c ó tư n g đ ố i n h iề u n h n g ch a h ệ th ố n g b i tậ p đ ầ y d ủ c ó th ể g iú p sin h viên k h o a V ậ t lí c c trư n g Đ i t Sư p h m tiế p c ậ n v th ự c h n h k iế n thứ c m ô n h ọ c n y m ộ t c c h th u ậ n lợi Đ ể đ p ứng n h u cầu thự c tế cần có m ộ t h ệ th ố n g b ài tậ p g iú p c h o sin h v: n g n h V ậ t lí tự h ọ c n g h iê n cứu m ô n P h n g p h p to án lí, c h ú n g tò i đ ã b soạn lại n h ữ n g b ài tập , m ộ t số cáu hỏi trắc n g h iệ m đ ã đượ c sử d ụ n g n h iề u n; tro n g g iả n g d y đ n h g iá C u ố n B ài t ậ p p h n g p h p to n lí hệ th ố n g 1c ác b ài tập th e o c ác vấn đề: đ i sơ' giải tíc h vectơ, đ i số ten x , h m biến phức, p h n g trìn h V ậ t lí T ốn T ro n g m i c hư ng, n h ữ n g k iế n th ứ c c c ô n g thứ c c b ả n đượ c trìn h b y trước tiê n n h ằ m h ệ th ố n g h ó a lại c c k iế n ứ c ần th iế t đ ể g iải b i tập T iếp th eo hư n g d ẫ n n h ữ n g d n g b i tậ p m ẫu c ụ t c ác p h ng p h p g iả i c b ả n , m ỗ i vấn đề c h ú n g tô i c ò n dư a n h ữ n g c h ỉ d ẫ n c th iế t n h ữ n g lưu ý n h ằ m g iú p b n đ ọ c tiếp cận d ễ d n g hơ n với c ác củ a ch n g C uố i m ỗ i ch n g hệ th ố n g b i tập th am k h ả o c ác h ng c giải vắn tắt C h ú n g tô i x in c h â n th n h cảm ơn n h ữ n g ý kiến đ ó n g g ó p q u ý b u c GS.TS Đ ỗ Đ ìn h T h a n h , PG S.TS L ê V iế t H ò a, TS Đ o T hị L ệ T h ủ y v t bè, đ n g n g h iệp , c c g iá o viên sin h viên K h o a V ậ t lí, T rư n g Đ ại h ọ c Sư ph: H N ội L ần đ ầ u x u ấ t b ả n ch ắc c h ắ n k h ó trán h k h ỏ i nhữ n g th iế u sót, c h ú n g m o n g n h ậ n g ó p ý c ủ a q u ý dộc g iả đ ể c u ố n sách h o n th iệ n tro n g ( lần tái b ả n sau T c g iả A BÀI TẬP Tự LUẬN CHƯƠNG GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 1.1 Giải tích vectơ hệ tọa độ Descartes vng góc 1.1.1 Các kiến thức ban a Đ ại sô vectơ * C ộng hai lìay nhiều vectơ G iả sử c ó hai v e c tơ Ã (A x, A v A z) B (B X Bj Bz) C ộ n s hai v e c tơ Ă thực h iện n h sau: A + B = (A v i + A , j + A z k ) + (B v i + Bv ị + B7 k ) = (A x + Bx) I + (A y + B ,) J + (A ; + B,) k (1 P hép c ộ n g n h iề u v e c tơ tín h từ c ộ n g hai v e ctơ đ ầ u tiê n , lấ y tổ n a c c h ú n g c ộ n a với v e ctơ th ứ ba, lấy k ế t q u c ộ n g với v e ctơ tiế p th eo C ứ n h \ c h o đ ế n v e ctơ c u ố i cù n g P hép trừ v e ctơ v e c tơ A c h o v ectơ B thực h iện b ằ n a c c h c ộ n g v ectơ \ ới v e ctơ đối c ủ a v e c tơ B : Ả - B = ( A , I + A y J + A j k ) —(B , I + B , ] + B ĨC ) = (A , - B J T + (A > - B ,) J + (A , - B,) k (1 P hép c ộ n s v e c tơ c ó tín h c h ấ t a ia o h o án v tín h c h ấ t k ế t hợp * Tích vơ hướng cùa liai vectơ Đ ịn h n sh ĩa : T íc h võ h n a c ù a vectơ A với vectơ B k í h iệu A B n vị h ó n a b ằ n e tíc h m đ u n c ù a h v e ctơ n h àn với c o sin c ủ a a ó c (0 ) eiữ a hưc cù a c h ú n a Ă B = A.B.COS0 = |Ả | Ị ẽ | COS0 = B Ã (1 Tích vó hướng A với B cịn viết toạ độ D escartes sau A B = (A v i + A y j + A ,, k ).(BX i + B, J + B; k ) = A V.B, + A H + \ B Tích vỏ hướng có tính chất giao hốn tính chất phân bó * Tích vecĩơ cùa hai vectơ Đ ịnh nshĩa: Tích vectơ cùa vectơ A với vectơ B , kí hiệu A A B 11 A B m ột vector c vng góc với m ặt phảng chứa A B , cho: A A B = c = A B.sin0 u c \'ớí Các vectơ A B ũ c tạo thành m ột tam diện thuận (lương tự với trụ y z) tuân theo quy tắc bàn tay phải, quy tắc "cái m nút c h a i” Biêu diễn tích vectơ qua toạ độ có dạng sau: Ã A B = í A , ỉ + A j J + A r k ) A (Bv ĩ + B ] + B, k ) = ( A , B z - A , B v) T + ( A z B , - A v B ; ) J + ( A x B J, - A J B J k ( Hay: Ã A B = Ax Bx J k Ay Az — Ay Az — A x A, 1A - A x ■j + Bz By lB Z B x Bx B v Bv Tích vectơ có tính chất phản giao hốn tính chất phán hố * T it'll hỗn họp (hỗn ĩụp) cùa ba vectơ T ích hỏn tạp cua ba vectơ A , B c m ột vỏ hướng: V = c ( A A B ) Biếu diễn qua toạ đõ vectơ tích hỏn hợp Ịa x V = c ( A A B ) = a v a , B, !ì, B7 !c , c" c, +«5 ix f xe a x „ IX — = 2rciiR.es— — — , + 3i] = 2m J X2 _- 2i xv x+ i1n0 m z„22 - z +, 10 6i = — e-3(c o sl —3 s in l) + i —e_3(3 c o s l + s in l) Và 4.3.3 I = Re f xc tíx— = — e '^ c o s l - s in l) — 00 X - x + 10 Một sô tập tham khảo 4.22 T ính thặng dư c ủ a hàm số sau cực đ iểm c ủ a ch ú n g : z +1 e z -2 4) 7) ’ z - i ’ -7 — - —, z - z5 ’ sm z, , (z + ) ’ z2 z 2n )5) — - - , ) — — — ( n e z+ ) ’ , , ,1\\ (z + l ) (Z -1 )n 8) tgz, 9) c o tg 2z (Z + 1)2 4.23 T ính th ặn g d z = c ủ a hàm số sau: I 1) ff> = e z , 2) Cũ = c o s — z 4.24 T ính: I = ấ — c đườ ng trò n X2 + y = 2x + 2y J ( z - l ) (z + l) 4.25 Tính: I = d"——— c đườ ng trò n X2 + y = 2x ị z +1 4.26 T ính tích p h ân thực: X2 + , „ 21 2) x4 + l 3) _ r COS c o s xX , I= , dd x , J ~ X22 +' 9n 4) r == í — — dx J — 00 (x + 1)" (n e ; cr x s in x 1I == — — — d x J x2 + x + J — 00 99 4.27 T ính tích phân thực: x c o sx 1) I= f 3) 1= dx 2) sin x f -.dx x (x + X2 + l ) I= X -5 x + • sin X- I\ J X sinx dx -.dx (x + ).(x - ) H Ư Ớ N G DẪN GIẢI VÀ Đ Á P s ố 4.1 Tính: I = Jlm z d z 1) Với c đoạn thẳng di từ điểm z = đến z = + i fx = t Đặt: < => t = T = y = t ■z(t) = 2y + it; z ’(t) = + i; Im z = t t 1= Jt(2 + i)dt = ( + i )-; 2) Với c đường gấp khúc từ điểm Z, = đến z2 = i đến /,, = + ĩ + Đường từ: Z, = đến Z, = i íx = Đặt: ^ => t = 0; T = [y = t => z(t) = it; => z ’(t) = i; Im z = Im (it) = t ■I, = ịitd t t : 1— _ ị_ " ' +) Đường từ Z2 = i đến Z3 = + i íX = t Đặt: ị " = > t = 0, T = Ịy = l => z(t) = t + i; => z ’ (t) = ; Im z = y : 100 I2 = j d t = = > I= - = 0 +2 = i+4 4.2 T ính: I = J|z|.dLz c c đ o ạn 1) V ới X= t Đ ặt với • [y = th ẳ n g từ đ iểm z = - đ ế n z = t = -l T =1 z(t) = t => |z| = |t| dz = z ’d t = dt 2) V ới c t2 + — -1 nử a đư n g trò n tain đ ế n z = o n ằ m tro n g nử a m ặ t p h ẳn g p h ía O x từ điểm z = - X = COS t Đ ặt t = 71, T = y = s in t z(t) = c o st + i.sin t = e “ => z ’(t) = i.e’1 0I => I = j"i.e11dt = e “ 71 71 4.3 T ính I = j ( z + z z )d z với c c u n g tròn: |z| = < a r g z < 71 c Đ ặt X = COS t t = 0, T = 71 y = sin t => z(t) = c o st + i.sin t = e “; z2 = e i2t; z.z = => z ’(t) = i.e '1 => = J(z + z z )d z = J(ei2,+ l).ie i,.dt = [ - e i3,+ e i' I c J 101 4.4 = fz sin z d z = — e 4.5 T ính I = /3 ) - có z = - — ' z —z x _ IV z = cực điêm câp 1, z z = cực đ iểm c ấ p * [R e s * ,1] = " , z -z * [R e s — z - z.5 * [R e s ', -i± iV k/J ± , - - ,0 ] = z -z z2 5) — —— — CÓ z = ± i cưc điếm cấp hai (z2 + l ) ,2 * [R r Reps c- — ( z + l ) 21 "J ' z 2n 6) —— (n z+) có z = cưc điếm cấp n (z-l)n (2n)! z 2n [R e s — í - ,1] = L (Í7 z.-1 - l )V " 7) ?in ^ J ( n - l ) ! ( n + l)! có z = - cực điểm cấp hai (z + l ) [R e s s in z _ , - l ] = c o s (Z + 1)2 71 8) tgz có zk = — t- kĩi cực điếm đơn [R e s t g z ,z k] = - 109 9) cotg2z c ó z í = k n cực điểm cấp hai [Re s cot g 2z, lot] = 4.23 Tính thặng dư z = hàm số sau: 1) (0 = e z có z = điểm bất thường cốt yếu [R es e z ,0] = ) co = c o s — c ó z = đ iể m b ất thường cố t y ế u z [R es c o s—,0] = z 4.24 Tính: I = í ; c đường tròn X2 + y2 = 2x + 2y ' ( z - l ) (z z + l ) Xét hàm f(z) = -— có điếm bất thường z = z = i nằm ( z - l ) (z2 + l) c =>I = 2rá.[R es f(z), 1] + 27ti.[Res f(z), i ] = —Ì - 4.25 Tính: I = —Ị ~ ~ ; c đường tròn X2 + y2 = 2x c z "I” 1 >/2 Xct hàm f(z) = — -— có điểm bất thường z , , = ——± i — nầm tronp c z4 + l =>I = 271.1.[Res f(z), Z|] + 27t.i.|Res f(z), z-i] = 2 V2 - i n — — 4.26 Tính tích phân thực: 1) 1= í ^ ị d x -i X + z +1 1/2 t/ ỉ _ Hàm f(z) = - -— có cưc điếm đơn Z |, = i —— ± —— năm phía trịn true Ihưc z +1 2 110 = > I = 271.1.[R es f(z), z j + 271.1.[R es f(z), z j - Tt-v/2 +C0 ) = i — !— d x ( n e z +) I ( x + l )n H àm f(z) = ! CÓ z = i cưc đ iểm c ấp n n ằ m p h ía trê n tru e thực ( z2 + l ) n => I = 27t.i.[R es f(z), i] = — —— L i m —- Ị ( z - i ) n f ( z ) j (n -1 )! z—ĩi d z n_l = t.( n - ) ! [ ( n - l) ! ] 2 2n“2 +00 +00 3)1= Ị ^ L d x = D o hàm f(x ) c h ẵn n ê n Jf(x).dx jf ( x ) d x = — Jf(x ).d x M ặt k h c f(z) có cực đ iếm ^ -°c đơn z = ± 3i có z = 3i nằm phía trục thực nên =>I = R eỊ 27ii.[R es — —— —- , i ] Ị = — — z2 +9 6e +C0 4) I= -KO r x sin X — — — - -dx = Im _ i x + 4X + 20 f X c ix — — - dx X + x + 20 Hàm f(z) = có cưc điểm don z = - + 4i nằm phía trục thực z + Z + 20 = >I = Im Ị2 i.i.[R e s z e iz 71(2 COS + sin ) —-— — , - + i ] | = z + z + 20 ’ 2e4 4.27 T ính tíc h phân thực: 1) 1= x.e 2XCc° - - - d x = R e ] - dx -5 x + _„x -5 x + 111 Hàm f(z) = —-— — - có cực điểm đơn Zj = Zj = nằm trục thực z -5 z + zc >1 = R ejrc.i.fR es — —— , 2] + i.i.[R e s — -z -5 z + z -5 z + 37i.s in +1 +c0 sin x 2) = •dx = Im -44 + x 22 +, 1)2 „ -dX x (x + x + l )2 0J 7x (x H àm f(z) c ó c ự c đ iể m đ n Z, = n ằ m tr ê n trụ c thực z (z + z + l ) ì + 1V v c ự c đ iế m c ấ p z 23 = —— s n ằ m n a m ặ t p h a n g p h ía trê n trục thực nên I = Im{7ti.[Res , z,] + 2íri.[Res - ~ - ' ^ z(z + z + 1) z (z + z + l )2 e + 2711 [R es- — -r - Z j ] } = j t - r c e z (z + z + l )2 + 2V ■dx X u = sin X I v => X 1= => Tích phân phần ta có: s in ’ X + r s in x , ——— dx = -.0 x = Im (7t.i.|R es —— , 0]} = — 2z 112 r s in x , — dx x COS4- 1 -T I 'e - sin — 71 Sin X s 4) I = ] s in x - dx = Im J - — dx i ( x 2+ ) ( x - l) _ J (x + ) ( x - l ) X ét h m f(z) = ! c ó cực đ iểm đ n z, = n ằ m trụ c thực, ( z +4).( z -1) Z, = ± 2i tro n g đ ó c h ỉ c ó Z,= 2i nằm p h ía trê n trụ c thực T a có: e iz _ e 'z I = Im { ti.[R e s— -— — - , 1] + 27Ú.[Res — -— , 2i] Ị (z + ) ( z - l ) (z + ) ( z - l ) _ , 7t.i.e‘ = Im——— + — I n ì.ẽ — i.( i- l) , 71.cos 71 = —— -5 5.e 113