Luận văn tốt nghiệp cực trị hàm nhiều biến và hàm vectơ

NỘI DUNG

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

Hàm f(x, y) = x + y có giá trị nhỏ nhất là 0 tại điểm gốc (0,0), trong khi hàm f(x, y) = 1 - x - y đạt giá trị lớn nhất là 1 cũng tại điểm gốc (0,0).

Luận văn tốt nghiệp Đại học GVHD: TS Phạm Thị Vui

SVTH: Nguyễn Thanh Trí 9 MSSV: B1900380

Để xác định giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm nhiều biến mà không có thông tin cụ thể về đồ thị, ta cần áp dụng các phương pháp tối ưu hóa Khác với cực trị của hàm một biến, việc tìm kiếm cực trị trong hàm nhiều biến trở nên phức tạp hơn do sự tương tác giữa các biến.

Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá phương pháp tìm cực trị của hàm hai biến Phương pháp này cũng có hiệu quả khi áp dụng cho hàm nhiều biến, cụ thể là hàm n biến (với n = 3, …).

Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) được xem là có cực tiểu (hoặc cực đại) địa phương tại điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) lớn hơn hoặc bằng (hay nhỏ hơn hoặc bằng) giá trị của hàm tại mọi điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) trong lân cận của 𝑀 Điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) vì thế được gọi là điểm cực tiểu (hoặc cực đại) địa phương của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) Cả cực tiểu và cực đại địa phương đều được gọi chung là cực trị địa phương, thường được gọi tắt là cực trị.

1.1.2 Điều kiện cần để có cực trị Định nghĩa 2 Điểm (𝑥 , 𝑦 ) được gọi là điểm dừng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) nếu

𝑓 (𝑥 , 𝑦 ) = 𝑓 (𝑥 , 𝑦 ) = 0 Điểm (𝑥 , 𝑦 ) được gọi là điểm kỳ dị của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) nếu 𝑓 (𝑥 , 𝑦 ) hoặc

Điểm dừng và điểm kỳ dị trong hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) được gọi là điểm tới hạn Theo Định lý 1, nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực trị địa phương tại điểm (𝑥, 𝑦) và các đạo hàm riêng 𝑓(𝑥, 𝑦) tồn tại, thì điều kiện cần thiết là 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.

Chứng minh Theo giả thiết ta thấy ∇𝑓(𝑥 , 𝑦 ) phải tồn tại

Nếu ngược lại ∇𝑓(𝑥 , 𝑦 ) ≠ 0 Dẫn đến 𝑓 có đạo hàm theo hướng dương của

Hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) có đạo hàm theo hướng âm của −∇𝑓(𝑥, 𝑦), cho thấy 𝑓 tăng khi di chuyển theo một hướng và giảm khi di chuyển theo hướng ngược lại, dẫn đến kết luận rằng 𝑓 không thể đạt cực trị tại điểm (𝑥, 𝑦) Định lý 1 cho phép giới hạn việc xét cực trị tại các điểm dừng, trong khi hàm số cũng có thể đạt cực trị tại các điểm kỳ dị, được gọi là điểm tới hạn Nếu miền 𝒟 mở và 𝑓(𝑥, 𝑦) không có điểm kỳ dị, thì điều kiện cần được xem xét.

𝑓 (𝑥 , 𝑦 ) = 𝑓 (𝑥 , 𝑦 ) = 0 là điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (𝑥 , 𝑦 ) Tuy nhiên nó không đủ để quyết định hàm đạt cực trị tại điểm này

Hàm 𝑧 = 𝑥𝑦 có điểm dừng tại (0,0) vì tại đây 𝑧 = 𝑦 = 0 và 𝑧 = 𝑥 = 0 Tuy nhiên, hàm này không đạt cực trị tại điểm (0,0) do với các điểm (𝑥, 𝑦) gần (0,0) mà 𝑥 > 0 và 𝑦 < 0, giá trị 𝑧(𝑥, 𝑦) nhỏ hơn 𝑧(0,0) = 0, trong khi với các điểm (𝑥, 𝑦) gần (0,0) mà 𝑥 > 0 và 𝑦 > 0, giá trị 𝑧(𝑥, 𝑦) lớn hơn 𝑧(0,0) = 0.

1.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị Định lý 2 Giả sử hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong lân cận của điểm (𝑥 , 𝑦 ), với (𝑥 , 𝑦 ) là điểm dừng của 𝑓(𝑥, 𝑦), và 𝐴 = 𝑓 (𝑥 , 𝑦 ), 𝐵 𝑓 (𝑥 , 𝑦 ), 𝐶 = 𝑓 (𝑥 , 𝑦 ), ∆ = 𝐴𝐶 − 𝐵 Khi đó a) Nếu ∆> 0 và 𝐴 > 0 thì 𝑓 đạt cực tiểu địa phương tại (𝑥 , 𝑦 ) b) Nếu ∆> 0 và 𝐴 < 0 thì 𝑓 đạt cực đại địa phương tại (𝑥 , 𝑦 ) c) Nếu ∆< 0 thì 𝑓 không đạt cực trị địa phương tại (𝑥 , 𝑦 ) d) Nếu ∆ = 0 thì ta không thể khẳng định gì về sự tồn tại của cực trị, trường hợp này cần khảo sát thêm

Bảng 1.1 Bảng tóm tắt các trường hợp của ∆

Chứng minh Đặt ℎ = ∆𝑥, 𝑘 = ∆𝑦 Ta viết công thức Taylor cho 𝑓(𝑥, 𝑦) trong trường hợp 𝑛 2

Vì các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số 𝑓 liên tục tại điểm (𝑥, 𝑦), nên khi 𝑄(ℎ, 𝑘) khác 0, dấu của 𝑄(ℎ, 𝑘) sẽ đồng nhất với dấu của vế trái trong công thức (1.1) khi ℎ và 𝑘 đủ nhỏ Để chứng minh rằng hàm số 𝑓 có cực tiểu hoặc cực đại địa phương tại điểm (𝑥, 𝑦), ta cần chỉ ra rằng 𝑄(ℎ, 𝑘) lớn hơn hoặc bằng 0 (hoặc nhỏ hơn hoặc bằng 0) với mọi cặp (ℎ, 𝑘) trong lân cận của (0, 0) Đặt 𝐴 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝐵 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝐶 = 𝑓(𝑥, 𝑦) và ∆ = 𝐴𝐶 − 𝐵.

Nếu ∆= AC − B > 0 thì với mọi (ℎ, 𝑘) ≠ (0,0) ta thấy 𝑄(ℎ, 𝑘) sẽ cùng dấu với

A Nếu 𝐴 > 0 thì 𝑄(ℎ, 𝑘) > 0, do đó 𝑓 đạt cực tiểu tại (𝑥 , 𝑦 ) Nếu 𝐴 < 0 thì 𝑄(ℎ, 𝑘) < 0 dẫn đến 𝑓 đạt cực đại tại (𝑥 , 𝑦 )

Nếu ∆< 0 thì 𝑄(ℎ, 𝑘) không giữ nguyên dấu trong lân cận của (𝑥 , 𝑦 ) Chẳng hạn, 𝑄(ℎ, 𝑘) > 0 tại (ℎ, 0) và 𝑄(ℎ, 𝑘) < 0 tại , 𝑘 Do đó 𝑓 không thể đạt cực trị tại (𝑥 , 𝑦 )

Khi 𝐴 = 0 và ∆ ≠ 0, điều này dẫn đến 𝐵 ≠ 0 và 𝑄(ℎ, 𝑘) = 𝑘.(2𝐵ℎ + 𝐶𝑘) Trong góc cung phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ, 𝑄(ℎ, 𝑘) có thể nhận cả giá trị dương và âm, nằm giữa hai đường thẳng 𝑘 = 0 và 2𝐵ℎ + 𝐶𝑘 = 0 Do đó, trong trường hợp này, hàm số 𝑓 không đạt cực trị tại điểm (𝑥, 𝑦).

Khi ∆= 0 thì 𝑓 có thể có cực tiểu, cực đại hoặc không có cực trị

Ta có thể thấy cụ thể ở các hàm a) g (x, y) = x + y

Hay 𝑀(0; 0) là điểm nghi ngờ

Do đó tại 𝑀(0; 0) ta có

Ta không thể kết luận được 𝑀(0; 0) có phải là điểm cực trị hay không

Nên 𝑀(0; 0) là điểm cực tiểu của hàm b) g (x, y) = −x − y

𝑦 = 0 Hay 𝑀(0; 0) là điểm nghi ngờ

Nên 𝑀(0; 0) là điểm cực đại của hàm c) g (x, y) = x − y

𝑦 = 0 Hay 𝑀(0; 0) là điểm nghi ngờ

Nhưng 𝑀(0; 0) không là điểm cực trị của hàm vì g (x, y) = x − y < 0 ∀(0, 𝑦) mà g (x, y) = x − y > 0 ∀(𝑥, 0)

Vậy 𝑀(0; 0) không là điểm cực trị của hàm

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm 𝑧 = 4(𝑥 − 𝑦) − 𝑥 − 𝑦

Ta thấy ∆> 0 và 𝐴 < 0 nên 𝑀 là điểm cực đại, và 𝑧 Đ = 4 2 − (−2) − 2 − (−2) = 8

Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦

Ta thấy ∆< 0 nên 𝑀 không là điểm cực trị

Ta thấy ∆> 0 và 𝐴 > 0 nên 𝑀 là điểm cực tiểu, và 𝑧 = 1 + 1 − 3.1.1 = −1

Hình 1.4 Đồ thị hàm z = x + y − 3xy

Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm 𝑧 = 𝑥 + 𝑦

Ví dụ 4 Tìm cực trị của hàm 𝑧 = 𝑥𝑦 + + (𝑥, 𝑦 > 0)

Ta thấy ∆> 0 và 𝐴 > 0 nên 𝑀(5; 2) là điểm cực tiểu và 𝑧 = 5.2 + + = 30

Hình 1.6 Đồ thị hàm z = xy + + (x, y > 0)

Ví dụ 5 Tìm cực trị của hàm 𝑧 = 1 − 𝑥 + 𝑦

Hình 1.7 Đồ thị hàm z = 1 − x + y 1.2 Tìm cực trị của hàm nhiều biến

1.2.1 Cực trị không có điều kiện của hàm nhiều biến

Chúng ta đã tìm hiểu cách xác định cực đại và cực tiểu cho hàm một biến, và giờ đây, chúng ta sẽ mở rộng nghiên cứu này sang các hàm nhiều biến.

Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) là một hàm hai biến, chúng ta nói rằng 𝑓(𝑥, 𝑦) có cực đại địa phương tại 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏 nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) lớn hơn hoặc bằng 𝑓(𝑎, 𝑏) bất cứ khi nào 𝑥 lân cận 𝑎 và

𝑦 lân cận b Về mặt hình học, đồ thị của 𝑓(𝑥, 𝑦) có đỉnh tại

Hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) được coi là có cực tiểu địa phương tại điểm (𝑎, 𝑏) nếu giá trị của nó tại điểm này nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của hàm số tại các điểm lân cận (𝑥, 𝑦) Điều này có nghĩa là trong vùng lân cận của 𝑎 và 𝑏, 𝑓(𝑥, 𝑦) luôn đạt giá trị không lớn hơn 𝑓(𝑎, 𝑏) Hình học cho thấy đồ thị của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) có dạng như một đáy tại điểm (𝑎, 𝑏).

1.2.1.1 Tìm cực trị có sử dụng đạo hàm cấp 1

Giả sử hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) có cực tiểu địa phương tại điểm (𝑎, 𝑏) Khi 𝑦 giữ cố định tại 𝑏, hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) trở thành một hàm chỉ phụ thuộc vào 𝑥 với cực tiểu địa phương tại 𝑥 = 𝑎 Điều này dẫn đến việc đường tiếp tuyến của đường cong 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) nằm ngang tại 𝑥 = 𝑎, có nghĩa là độ dốc tại điểm này bằng 0.

Khi 𝑥 giữ nguyên tại 𝑎, hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) trở thành một hàm chỉ phụ thuộc vào 𝑦 và có cực tiểu địa phương tại 𝑦 = 𝑏 Điều này dẫn đến việc đạo hàm của hàm này đối với 𝑦 bằng 0 tại điểm 𝑦 = 𝑏.

Hình 1.10 Các đường tiếp tuyến nằm ngang ở cực tiểu địa phương

Ta áp dụng tương tự khi 𝑓(𝑥, 𝑦) có cực đại địa phương tại (𝑥, 𝑦) = (𝑎, 𝑏) Phép lấy đạo hàm riêng của hàm hai biến

Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) có cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại (𝑥, 𝑦) = (𝑎, 𝑏), thì

Cực trị (cực tiểu) địa phương có thể hoặc không phải là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất)

Ví dụ 6 Tìm cực tiểu của 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 2𝑥𝑦 + 5𝑦 − 6𝑥 + 5 trong hình 1.11

Hình 1.11 Đồ thị hàm f(x, y) = 2x − 2xy + 5y − 6x + 5

Ta giải hệ phương trình đạo hàm riêng

𝑥 = 5𝑦 từ phương trình thứ hai trong hệ phương trình, ta có 𝑥 = 5𝑦 Thay 𝑥 = 5𝑦 vào 4𝑥 − 2𝑦 = 6, ta được

Do đó, 𝑦 = nên ta suy ra 𝑥 = 5𝑦 = Vì 𝑓(𝑥, 𝑦) có cực tiểu, nên nó xảy ra khi

Chúng ta đã giải hệ phương trình các đạo hàm riêng bằng 0 và tìm được nghiệm 𝑥 = và 𝑦 = Theo hình 1.11, hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) có cực tiểu tại điểm (𝑥, 𝑦) = ( , ).

Ví dụ 7 (Hàm lợi nhuận hai biến)

HÀM VECTƠ MỘT BIẾN

Cho tập hợp 𝑋 ⊆ ℝ và hàm 𝑓 là một phép ứng đơn trị từ 𝑋 vào ℝ, ta nói rằng 𝑓 là hàm vectơ từ 𝑋 vào ℝ Điều này có nghĩa là với mỗi số 𝑡 ∈ 𝑋, giá trị 𝑓(𝑡) sẽ là một vectơ có 𝑛 chiều.

𝑛 tọa độ 𝑓 (𝑡), 𝑓 (𝑡), … , 𝑓 (𝑡) Kí hiệu 𝑒 là vectơ trục đơn vị trong ℝ (tức là có tọa độ thứ 𝑖 bằng 1 và các tọa độ khác bằng 0) thì

Hàm số 𝑓(𝑡) được biểu diễn dưới dạng tổng các thành phần 𝑓(𝑡)𝑒, với các hệ số 𝑓(𝑡) phụ thuộc vào 𝑡 và là đơn ứng từ 𝑋 vào ℝ Điều này cho thấy rằng 𝑓, … , 𝑓 là những hàm số thực trên 𝑋 Mỗi hàm vectơ 𝑓 cung cấp 𝑛 hàm số tọa độ 𝑓, … , 𝑓 Ngược lại, nếu 𝑓, … , 𝑓 là những hàm số trên 𝑋, thì phép ứng 𝑓 được xác định bởi công thức (1) sẽ trở thành một hàm vectơ từ 𝑋 vào ℝ.

Khi hệ vectơ tọa độ 𝑒 , … , 𝑒 ∈ ℝ đã được xác định, ta viết

𝑓(𝑡) = (𝑓 (𝑡), 𝑓 (𝑡), … , 𝑓 (𝑡)) có nghĩa là hàm vectơ 𝑓 của biến 𝑡 được cho bởi công thức (2.1), trong đó 𝑓 , … , 𝑓 là những hàm số trên 𝑋 ⊆ ℝ

1) Trong không gian ℝ , ký hiệu 𝑖 = 𝑒 , 𝑗 = 𝑒 , 𝑘 = 𝑒 trong hệ tọa độ trực chuẩn Hàm vectơ một biến 𝑓(𝑡) = (𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑏𝑡) với 𝑎 và 𝑏 là những hằng số cho ta phép ứng

𝑡 ⟼ (𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑖 + (𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡)𝑗 + (𝑏𝑡)𝑘, với mỗi 𝑡 ∈ ℝ Điểm cuối của vectơ 𝑓(𝑡) tạo thành hình lò xo

2) Trong thí dụ trên nếu bỏ tọa độ thứ 3 thì ta sẽ có hàm vectơ biến 𝑡 với giá trị trong mặt phẳng (không gian ℝ )

𝑓(𝑡) = (𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡) = (𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑖 + (𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡)𝑗 Điểm cuối của vectơ 𝑓(𝑡) tạo thành đường tròn tâm 𝑂, bán kính |𝑎|

2.1.2 Giới hạn và tính liên tục

Cho hàm vectơ 𝑓(𝑥) là một hàm biến 𝑡 ∈ ℝ với giá trị trong ℝ (𝑛 ≥ 2) Vectơ 𝑣 = (𝑣₁, … , 𝑣ₙ) ∈ ℝ được gọi là giới hạn của 𝑓(𝑡) khi 𝑡 tiến tới 𝑡₀, ký hiệu là lim→ 𝑓(𝑡) = 𝑣, nếu với mọi 𝜀 > 0, tồn tại 𝛿 > 0 sao cho ‖𝑓(𝑡) − 𝑣‖ < 𝜀 khi 0 < |𝑡 − 𝑡₀| < 𝛿.

Mệnh đề Cho 𝑓(𝑡) = (𝑓 (𝑡), 𝑓 (𝑡), … , 𝑓 (𝑡)) là hàm vectơ biến 𝑡 ∈ ℝ Khi ấy lim→ 𝑓(𝑡) = (𝑣 , … , 𝑣 ) khi và chỉ khi lim

→ 𝑓(𝑡) = 𝑣 thì với mọi 𝜀 > 0 đều tồn tại 𝛿 > 0 để (𝑓 (𝑡) − 𝑣 ) + ⋯ + (𝑓 (𝑡) − 𝑣 ) < 𝜀 với mọi 𝑡 thỏa mãn 0 < |𝑡 − 𝑡 | < 𝛿 Chứng tỏ |𝑓 (𝑡) − 𝑣 | < 𝜀 xảy ra mỗi khi 0 < |𝑡 − 𝑡 | < 𝛿 Vậy lim

Trái lại, nếu (2.2) đúng thì với 𝜀 > 0 cho trước, ta lấy 𝜀 = , ta sẽ tìm được 𝛿 để

|𝑓 (𝑡) − 𝑣 | < 𝜀 mỗi khi 0 < |𝑡 − 𝑡 | < 𝛿 Chọn 𝛿 = min {𝛿 , … , 𝛿 }, ta có

𝑛 = 𝜀 mỗi khi 0 < |𝑡 − 𝑡 | < 𝛿 Chứng tỏ lim

Hàm vectơ một biến có thể được khảo sát giới hạn bằng cách áp dụng các kiến thức đã học trong chương trình Giải tích một biến Các tính chất về giới hạn của hàm vectơ có thể được chứng minh tương tự như đối với hàm số Ví dụ, lim f(t) = v cho thấy sự tương đồng trong việc phân tích giới hạn giữa hai loại hàm này.

→ 𝑓(𝑡) = 𝑣 khi và chỉ khi lim

→ (𝑓(𝑡) − 𝑣) = 0 (ở đây 0 là vectơ có các tọa độ bằng 0) b) lim

→ 𝑓(𝑡) = 𝑣 khi và chỉ khi 𝑓(𝑡) = 𝑣 + 𝛼(𝑡), trong đó 𝛼(𝑡) là vectơ vô cùng bé khi 𝑡 → 𝑡 theo nghĩa lim

→ 𝛼(𝑡) = 0 c) Nếu 𝑓(𝑡) và 𝑔(𝑡) là hai hàm vectơ và lim

→ 𝑔(𝑡) = 𝑢 thì lim→ 𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡) = 𝑣 + 𝑢 d) Nếu 𝑐 là hằng số và lim

→ 𝑐𝑓(𝑡) = 𝑐𝑣 e) Nếu 𝑐(𝑡) là một hàm số và lim

→ 𝑓(𝑡) = 𝑣 thì lim→ 𝑐(𝑡)𝑓(𝑡) = 𝑐𝑣 f) Nếu 𝑓(𝑡) và 𝑔(𝑡) là hai hàm vectơ và lim

→ 𝑔(𝑡) = 𝑢 thì lim→ < 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) >=< 𝑣, 𝑢 > (tích vô hướng),

SVTH: Nguyễn Thanh Trí 40 MSSV: B1900380 Tích vectơ trong không gian ba chiều được định nghĩa là lim→ 𝑓(𝑡) × 𝑔(𝑡) = 𝑣 × 𝑢 Tích vectơ của hai vectơ 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) và 𝑦 = (𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃) là vectơ (𝑥₂𝑦₃ − 𝑥₃𝑦₂, 𝑥₃𝑦₁ − 𝑥₁𝑦₃, 𝑥₁𝑦₂ − 𝑥₂𝑦₁) Hàm vectơ được coi là liên tục tại 𝑡 nếu lim.

𝜀 > 0 sẽ tồn tại 𝛿 > 0 sao cho

Hệ quả Hàm vectơ 𝑓(𝑡) = (𝑓 (𝑡), 𝑓 (𝑡), … , 𝑓 (𝑡)) liên tục tại 𝑡 khi và chỉ khi các hàm tọa độ 𝑓 (𝑡), 𝑓 (𝑡), … , 𝑓 (𝑡) liên tục tại 𝑡

Chứng minh Suy ra ngay từ mệnh đề trên

Từ kết quả này ta thấy rằng những tính chất về tính liên tục của hàm vectơ tương tự như trường hợp hàm số

2.1.3 Đạo hàm Định nghĩa Cho 𝑓(𝑡) là hàm vectơ Khi ấy nếu lim

∆ tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của 𝑓 tại 𝑡 và được ký hiệu là 𝑓 (𝑡) hay ( )

( ) hay 𝑓̇(𝑡) Mệnh đề sau cho phép tính đạo hàm của 𝑓 qua các hàm số thành phần

Mệnh đề Hàm vectơ 𝑓(𝑡) = (𝑓 (𝑡), 𝑓 (𝑡), … , 𝑓 (𝑡)) có đạo hàm tại 𝑡 khi và chỉ khi 𝑓 (𝑡), 𝑓 (𝑡), … , 𝑓 (𝑡) khả vi tại 𝑡 và khi ấy ta có công thức

Chứng minh Áp dụng công thức tính giới hạn hàm vectơ ta có

∆ = 𝑣, với 𝑣 = (𝑣 , … , 𝑣 ), khi và chỉ khi

∆ = 𝑣 , với mọi 𝑖 = 1, … , 𝑛 và suy ra ngay kết quả

Sau đây là một số công thức tính đạo hàm

Mệnh đề Cho 𝑓(𝑡) và 𝑔(𝑡) là hai hàm vectơ có đạo hàm và 𝑐 là một hằng số Khi ấy i) (𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)) = 𝑓 (𝑡) + 𝑔 (𝑡); ii) (𝑐𝑓 (𝑡)) = 𝑐𝑓 (𝑡); iii) (< 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) >) =< 𝑓(𝑡), 𝑔 (𝑡) > +< 𝑓 (𝑡), 𝑔(𝑡) >;

SVTH: Nguyễn Thanh Trí 41 MSSV: B1900380 iv) (𝑓(𝑡) × 𝑔(𝑡)) = 𝑓(𝑡) × 𝑔 (𝑡) + 𝑓 (𝑡) × 𝑔(𝑡) (trong trường hợp 3 chiều)

Ta sẽ chứng minh công thức (iii) còn các công thức khác chứng minh tương tự

Dùng công thức đạo hàm của tổng và tích của các hàm số ta thu được

Mệnh đề được chứng minh xong

Ví dụ a) Cho hàm vectơ 𝑓(𝑡) sao cho độ dài vectơ ‖𝑓(𝑡)‖ là hằng số Chứng minh rằng 𝑓 (𝑡) vuông góc với 𝑓(𝑡) với mọi 𝑡

Ta có < 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) >= ‖𝑓(𝑡)‖ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 Áp dụng công thức tính đạo hàm

Để chứng minh rằng 𝑓(𝑡) vuông góc với 𝑓(𝑡), ta suy ra < 𝑓 (𝑡), 𝑓(𝑡) > = 0 Nếu hàm vectơ 𝑓(𝑡) có hướng hằng, tức là tồn tại một hướng cố định 𝑣 và hàm 𝛼(𝑡) sao cho 𝑓(𝑡) = 𝛼(𝑡)𝑣, thì 𝑓 (𝑡) = 𝛼 (𝑡)𝑣 cũng là hàm vectơ có hướng trùng với hướng của 𝑓(𝑡).

Hàm vectơ 𝑓(𝑡) có đạo hàm thì đạo hàm 𝑓 (𝑡) cũng là một hàm vectơ Đạo hàm của hàm vectơ 𝑓(𝑡) được ký hiệu là 𝑓 (𝑡) và được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm 𝑓(𝑡) Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp 𝑚 của 𝑓(𝑡) và ký hiệu là 𝑓 ( ) (𝑡).

2.2 Ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm của hàm vectơ một biến

Cho hàm vectơ 𝑓(𝑡) từ ℝ vào không gian ℝ, các điểm cuối của vectơ này tạo thành một đường cong trong ℝ Gọi 𝐴 là điểm cuối của vectơ 𝑓(𝑡) và 𝐵 là điểm cuối của vectơ 𝑓(𝑡 + ∆𝑡) Khi đó, vectơ ∆𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡) là vectơ dây cung 𝐴𝐵⃗ Khi ∆𝑡 tiến tới 0, điểm 𝐵 tiến gần đến 𝐴, và vectơ này sẽ tiến dần tới vectơ tiếp tuyến với đường cong tại điểm 𝐴.

Để hiểu rõ hơn về đường cong trong không gian ba chiều, người ta định nghĩa vectơ tiếp tuyến của đường cong tại điểm 𝐴 là vectơ có phương giống với 𝑓(𝑡) Điều này tương tự như khái niệm về đường cong trong mặt phẳng.

Hàm vectơ 𝑓(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑖𝑛𝑡, 0) ánh xạ từ ℝ vào ℝ, với tập ảnh là đường tròn đơn vị trên mặt phẳng 𝑥𝑦 Khi đó, 𝑓(𝑡) = (−𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡, 0) thể hiện hướng tiếp tuyến với đường tròn tại mọi điểm (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑖𝑛𝑡, 0) với 𝑡 ∈ ℝ.

Điểm vật chất chuyển động trong không gian theo thời gian 𝑡 được mô tả bởi công thức 𝑓(𝑡) = (𝑓 (𝑡), 𝑓 (𝑡), 𝑓 (𝑡)) Tại thời điểm 𝑡, vị trí của điểm vật chất tương ứng với điểm cuối của vectơ 𝑓(𝑡) Tốc độ chuyển động trung bình trong khoảng thời gian từ 𝑡 đến 𝑡 + ∆𝑡 được biểu thị qua 𝑓 (𝑡), trong khi 𝑓 (𝑡) đại diện cho vectơ vận tốc tại thời điểm 𝑡 Tương tự, 𝑓 (𝑡) cũng là vectơ gia tốc của chuyển động tại thời điểm 𝑡.

HÀM VECTƠ NHIỀU BIẾN

Cho tập hợp 𝑋 ⊆ ℝ và phép ứng đơn trị 𝑓 từ 𝑋 vào ℝ, nếu 𝑚 = 1 thì 𝑓 là hàm vectơ một biến Nếu 𝑚 > 1 và 𝑛 = 1, 𝑓 là hàm số nhiều biến Khi 𝑚 > 1 và 𝑛 > 1, 𝑓 được gọi là hàm vectơ nhiều biến Để dễ phân biệt, chúng ta sử dụng thuật ngữ “ánh xạ” cho hàm vectơ nhiều biến (đơn trị) Khi cố định hệ tọa độ của ℝ, với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, giá trị 𝑓(𝑥) là một vectơ trong ℝ với 𝑛 tọa độ: 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥), … , 𝑓(𝑥) Những tọa độ này là hàm số biến 𝑥, xác định trên 𝑋 và được gọi là hàm tọa độ (hay hàm thành phần) của 𝑓.

Trong không gian ℝ có n hàm tọa độ f1, f2, …, fn, nếu cho n hàm số f1, f2, …, fn xác định trên tập X, sẽ tồn tại một ánh xạ duy nhất f từ X vào ℝ Ánh xạ này nhận các hàm tọa độ f1, f2, …, fn theo đúng thứ tự và được xác định bởi một công thức cụ thể.

Từ mối liên hệ giữa ánh xạ và các hàm tọa độ, chúng ta có thể nghiên cứu ánh xạ thông qua tính chất của các hàm nhiều biến, tương tự như khi khảo sát hàm vectơ một biến Cụ thể, 𝑦 = (𝑦₁, …, 𝑦ₙ) ∈ ℝ là giới hạn của 𝑓(𝑥) khi 𝑥 tiến tới 𝑥 nếu và chỉ nếu với mọi 𝑖 = 1, …, 𝑛, 𝑦 là giới hạn của 𝑓(𝑥) khi 𝑥 tiến tới 𝑥 Hàm 𝑓 được coi là liên tục tại 𝑥 nếu và chỉ nếu các hàm 𝑓₁, 𝑓₂, …, 𝑓ₙ cũng liên tục tại điểm này Dưới đây là một số ví dụ về hàm vectơ nhiều biến.

Ví dụ a) Lấy 𝑋 = ℝ , 𝐴 là ma trận cỡ (𝑛 × 𝑚) và 𝑏 là một vectơ trong ℝ Khi ấy 𝑓(𝑥) = 𝑏 với mọi 𝑥 ∈ ℝ là một ánh xạ hằng;

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 với mọi 𝑥 ∈ ℝ là một ánh xạ tuyến tính;

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝑏 với mọi 𝑥 ∈ ℝ là một ánh xạ affine b) Cho 𝑋 = {(𝑥 , 𝑥 ) ∈ ℝ : 𝑥 + 𝑥 ≤ 1} là hình tròn đơn vị trong ℝ Khi ấy

𝑓(𝑥 , 𝑥 ) = (−𝑥 , 𝑥 , 1 − (𝑥 + 𝑥 )) với mọi (𝑥 , 𝑥 ) ∈ 𝑋 là một ánh xạ từ 𝑋 vào ℝ Các hàm thành phần của 𝑓 là

𝑓 (𝑥 , 𝑥 ) = 1 − (𝑥 + 𝑥 ) c) Lấy 𝑋 = ℝ và ℝ được trang bị hệ tọa độ trụ (𝑟, 𝜃, 𝑧) Xét các hàm

𝑓 (𝑥 , 𝑥 ) = 0 Khi ấy 𝑓 = (𝑓 , 𝑓 , 𝑓 ) là ánh xạ đồng nhất từ ℝ vào mặt phẳng 𝑧 = 0 trong ℝ 3.1.2 Ma trận Jacobi

Cho 𝑓 là ánh xạ từ ℝ vào ℝ với các hàm tọa độ 𝑓 , … , 𝑓 Giả thiết rằng các hàm tọa độ 𝑓 có đạo hàm riêng Khi ấy ma trận

⎞ được gọi là ma trận Jacobi của 𝑓 tại 𝑥 và ký hiệu là 𝐽 (𝑥)

Nhận xét rằng hàng của ma trận Jacobi chính là gradient của các hàm 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓

Do vậy ta có thể viết ma trận Jacobi như sau

Ví dụ a) Xét ánh xạ affine 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝑏, ta có ngay 𝐽 (𝑥) = 𝐴 với mọi 𝑥 ∈ ℝ b) Ma trận Jacobi của ánh xạ 𝑓 trong Ví dụ 2 sẽ là

1 − (𝑥 + 𝑥 ) với mọi (𝑥 , 𝑥 ) thỏa mãn 𝑥 + 𝑥 < 1 c) Xét ánh xạ 𝑓 từ ℝ vào ℝ cho bởi công thức sau trong hệ tọa độ cực

Khi ấy ma trận Jacobi của 𝑓 tại (𝑟, 𝜃, 𝜑) sẽ là

Giả sử 𝑓 là một ánh xạ từ tập mở 𝑋 ⊆ ℝ vào ℝ Ta nói 𝑓 là khả vi tại điểm

𝑥 ∈ 𝑋 nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính 𝐴 từ ℝ vào ℝ sao cho với mọi

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝐴ℎ + 𝛼(ℎ) (3.1) trong đó 𝛼(ℎ) thỏa mãn điều kiện

‖ ‖ = 0 (3.2) Ánh xạ tuyến tính 𝐴 trong biểu thức (3.1) được gọi là đạo hàm của 𝑓 tại 𝑥 và thường được ký hiệu là 𝑓 (𝑥)

Khi ℎ = ∆𝑥 đủ nhỏ, đại lượng 𝐴∆𝑥 được gọi là vi phân của ánh xạ 𝑓 tại 𝑥 ứng với số gia ∆𝑥, ký hiệu là 𝑑𝑓(𝑥) Đối với ánh xạ đồng nhất 𝑓(𝑥) = 𝑥, ma trận 𝐴 là ma trận đơn vị, dẫn đến 𝑑𝑥 = ∆𝑥 Do đó, trong trường hợp chung, ta có mối quan hệ giữa vi phân và số gia.

Nếu hàm 𝑓 khả vi tại điểm 𝑥, thì có thể xấp xỉ hàm này bằng ánh xạ affine 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) + 𝐴(𝑥 − 𝑥) Độ sai khác giữa giá trị thực và giá trị xấp xỉ là 𝛼(𝑥 − 𝑥), một đại lượng rất nhỏ so với ‖𝑥 − 𝑥‖ khi 𝑥 gần với 𝑥.

Xét ánh xạ affine 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝑏, với ánh xạ tuyến tính 𝐴 và ánh xạ 𝛼 đồng nhất bằng 0, ta thấy rằng (1) và (2) đều thỏa mãn Do đó, 𝑓 khả vi tại mọi điểm 𝑥 và đạo hàm của 𝑓 tại 𝑥 là 𝐴 Ánh xạ 𝑓 từ ℝ vào ℝ được xác định bởi công thức này.

Chúng ta tiến hành khảo sát tính khả vi của hàm số 𝑓 tại điểm 𝑥 = (0,0) Nếu 𝑓 khả vi tại điểm này, điều kiện cần thiết là phải xác định được ánh xạ tuyến tính thông qua ma trận cấp hai với các thành phần 𝑎 và 𝑏.

𝑐 𝑑 và ánh xạ 𝛼(𝑥 , 𝑥 ) = (𝛼 (𝑥 , 𝑥 ), 𝛼 (𝑥 , 𝑥 )) sao cho

‖ ‖ dần tới 0 khi ‖ℎ‖ dần tới 0 Từ đẳng thức trên lấy ℎ = 0 ta có 𝑎 = 1, 𝑐 = 0 Nếu lấy ℎ = 0 thì 𝑏 = 0 và 𝑑 = 1 khi

Ánh xạ tuyến tính 𝐴 trong (3.1) không phụ thuộc vào ℎ, dẫn đến việc không thể có giá trị d = -1 khi ℎ < 0, từ đó chứng tỏ rằng hàm 𝑓 không khả vi tại điểm (0,0) Định lý tiếp theo cho phép chúng ta xem xét tính khả vi và cách tính đạo hàm của ánh xạ thông qua các hàm tọa độ Cụ thể, nếu 𝑓 = (𝑓₁, … , 𝑓ₖ) là một ánh xạ từ tập mở 𝑋 ⊆ ℝ vào ℝ, thì 𝑓 khả vi tại 𝑥 ∈ 𝑋 nếu và chỉ nếu các hàm tọa độ 𝑓₁, … , 𝑓ₖ khả vi tại 𝑥.

Chứng minh Nếu 𝑓 khả vi tại 𝑥 thì ta có (3.1) Ký hiệu 𝐴 , … , 𝐴 và 𝛼 , … , 𝛼 là những hàm tọa độ của 𝐴 và 𝛼 Khi ấy với mọi 𝑖 ta có

𝑓 (𝑥 + ℎ) = 𝑓 (𝑥) + 𝐴 (ℎ) + 𝛼 (ℎ) (3.4) với mọi ℎ ∈ ℝ Ngoài ra (3.2) cũng kéo theo

‖ ‖ = 0 (3.5) nó chứng tỏ 𝑓 khả vi tại 𝑥 với đạo hàm 𝑓 (𝑥) = 𝐴 Công thức (3.3) là hiển nhiên vì

Giả thiết rằng hàm 𝑓 khả vi tại điểm 𝑥, ta có thể xác định rằng các phương trình (3.4) và (3.5) đều đúng, với 𝐴 là đạo hàm của 𝑓 tại 𝑥 Xem xét ánh xạ tuyến tính 𝐴 cùng với các hàm tọa độ 𝐴 , … , 𝐴 và ánh xạ 𝛼 với các hàm tọa độ 𝛼 , … , 𝛼, từ đó ta dễ dàng suy ra (3.1) từ (3.4) và (3.2) từ (3.5) Qua đó, ta chứng minh rằng 𝑓 khả vi tại 𝑥 và đạo hàm của nó được tính theo công thức (3.3) Định lý đã được chứng minh hoàn tất Khi áp dụng định lý này cho ánh xạ trong Thí dụ 8, ta nhận thấy ánh xạ không khả vi tại 𝑥 = 0 do hàm tọa độ thứ hai không khả vi tại điểm đó.

Hệ quả sau đây cho ta một số tính chất quan trọng của đạo hàm tương tự như trường hợp hàm số

Khi hàm 𝑓 = (𝑓₁, … , 𝑓ₖ) khả vi tại điểm 𝑥, có một số hệ quả quan trọng Đầu tiên, hàm 𝑓 phải liên tục tại 𝑥 Thứ hai, đạo hàm 𝑓'(𝑥) là duy nhất Thứ ba, các hàm tọa độ 𝑓₁, … , 𝑓ₖ đều có đạo hàm riêng tại 𝑥, và ma trận Jacobi của 𝑓 trùng với ma trận của đạo hàm 𝑓'(𝑥) Cuối cùng, với mỗi số thực 𝜆 và mọi ánh xạ 𝑔: 𝑋 → ℝ khả vi tại 𝑥, các ánh xạ 𝜆𝑓, 𝑓.𝑔 và 𝑓 + 𝑔 cũng đều khả vi tại 𝑥.

(𝑓 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) [𝑔(𝑥)] + 𝑓(𝑥) [𝑔 (𝑥)] , trong đó 𝐴 là ký hiệu ma trận chuyển vị của ma trận 𝐴

Chứng minh Suy trực tiếp từ định lý và từ các tính chất tương ứng của hàm nhiều biến khả vi

Cần lưu ý rằng, tương tự như hàm nhiều biến, một ánh xạ liên tục không nhất thiết phải khả vi, và sự tồn tại của ma trận Jacobi không đảm bảo tính khả vi của ánh xạ Ví dụ đơn giản dưới đây sẽ minh họa cho điều này.

Nếu ánh xạ 𝑓 khả vi tại mọi điểm trong tập mở 𝑋, thì 𝑓 được coi là khả vi trên 𝑋 Hơn nữa, nếu đạo hàm của các hàm thành phần 𝑓(.) là những ánh xạ liên tục trên 𝑋, thì 𝑓 được gọi là ánh xạ khả vi liên tục trên 𝑋.

Xét ánh xạ 𝑓 từ ℝ vào ℝ cho bởi công thức

Rõ ràng 𝑓 và 𝑓 có đạo hàm riêng tại 0 và ma trận Jacobi của 𝑓 tại điểm này là ma trận đồng nhất bằng 0 Thế nhưng 𝑓 không khả vi tại 0

Ngoài hai công thức tính đạo hàm của ánh xạ, quy tắc dây xích là công cụ quan trọng để tính đạo hàm của ánh xạ hợp Định lý giả thiết cho rằng 𝑓 là ánh xạ từ tập mở 𝑋 ⊆ ℝ vào tập mở 𝑌 ⊆ ℝ và khả vi tại điểm đó.

𝑥 ∈ 𝑋 và 𝑔 là ánh xạ từ 𝑌 vào ℝ , khả vi tại 𝑦 = 𝑓(𝑥) Khi ấy ánh xạ hợp 𝑔 ∘ 𝑓 từ 𝑋 vào ℝ khả vi tại 𝑥 và đạo hàm của nó được tính theo công thức

Vì 𝑓 và 𝑔 khả vi nên tồn tại các ánh xạ 𝛼 (từ ℝ 𝑣à𝑜 ℝ ) và 𝛽 (từ ℝ 𝑣à𝑜 ℝ) sao cho

SVTH: Nguyễn Thanh Trí 48 MSSV: B1900380 Đặt 𝑢 = 𝑓 (𝑥)(ℎ) + 𝛼(ℎ), 𝛾(ℎ) = 𝑔 (𝑦) 𝛼(ℎ) + 𝛽(𝑢 ) ,

Khi ấy ta có những nhận xét sau

Từ những nhận xét này và (3.6) suy ra, với mọi ℎ ∈ ℝ ,

Ánh xạ hợp \( g \circ f \) khả vi tại \( x \) với đạo hàm bằng \( A \) chứng tỏ định lý đã được chứng minh Định lý này cung cấp một điều kiện đủ để xác định tính khả vi của ánh xạ hợp, nhưng không phải là điều kiện cần Ví dụ, ánh xạ hằng \( g(y) = 0 \) cho thấy rằng với mọi \( f \), ánh xạ hợp \( g \circ f \) đều khả vi.

Cho 𝑓 từ ℝ vào ℝ và 𝑔 từ ℝ vào ℝ xác định theo công thức

𝑓(𝑥 , 𝑥 ) = (𝑥 + 1, 𝑥 , 𝑥 + 𝑥 ), 𝑔(𝑦 , 𝑦 , 𝑦 ) = 𝑦 , 𝑦 + 𝑦 Tính đạo hàm của hàm hợp 𝑔 ∘ 𝑓 tại (0,0)

Lời giải cho bài toán cho thấy rằng 𝑓(0,0) = (1,0,0) và ánh xạ 𝑓 khả vi tại mọi điểm Đồng thời, 𝑔 cũng khả vi tại mọi điểm với 𝑦 > 0, đặc biệt là tại 𝑦 = 𝑓(0,0) Do đó, 𝑔 ∘ 𝑓 khả vi tại (0,0) và đạo hàm của (𝑔 ∘ 𝑓) tại (0,0) được xác định.

1 1 3.1.4 Định lý ánh xạ ngược

Tiêu đề	Cực Trị Hàm Nhiều Biến Và Hàm Vectơ
Tác giả	Nguyễn Thanh Trí
Người hướng dẫn	TS. Phạm Thị Vui
Trường học	Trường Đại Học Cần Thơ
Chuyên ngành	Sư Phạm Toán Học
Thể loại	luận văn tốt nghiệp
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Cần Thơ

Định dạng
Số trang	64
Dung lượng	1,51 MB