Thông tin tài liệu
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ MN ận Lu n vă ạc th V PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V ÙNG DƯNG sĩ án To c họ THI NGUYN, 5/2017 I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ MN ận Lu n vă V PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V ÙNG DƯNG c th s Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp án To M¢ sè: 60 46 01 13 c họ LUN VN THC S TON HC GIO VIN HìẻNG DN TS TRN XU
N Q THI NGUYN, 5/2017 Mưc lưc M Ưu Lu Chữỡng Phữỡng trẳnh hm Cauchy n 1.1 Phữỡng trẳnh hm Cauchy mởt bián 1.1.1 Và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh 1.1.2 Phữỡng trẳnh hm cởng tẵnh trản khổng gian phực 1.1.3 Phữỡng trẳnh hm Cauchy mụ 1.1.4 Phữỡng trẳnh hm Cauchy Logarit 1.1.5 Phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh 1.2 Phữỡng trẳnh Cauchy nhiÃu bián 1.2.1 Phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh nhiÃu bián 1.2.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh nhiÃu bián 1.2.3 Hai phữỡng trẳnh hm Cauchy nhiÃu bián khĂc 1.3 M rởng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.4 Mët sè b i to¡n ¡p döng n vă ạc th sĩ án To c họ 6 11 14 17 18 23 23 27 28 29 35 Ch÷ìng Mët sè ùng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy 37 2.1 Tờng cĂc lơy thøa cõa sè nguy¶n 2.1.1 Têng cõa n số tỹ nhiản Ưu tiản 2.1.2 Tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản 2.1.3 Tờng lụy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản 2.2 Tờng lụy thứa cừa cĂc số dÂy cĐp số cởng 2.3 Sè c°p câ thº rót tø n ph¦n tû 2.4 Tờng cừa chuội hỳu hÔn 37 38 39 39 42 43 44 Kát luên 47 T i li»u tham kh£o 48 Mð ¦u ận Lu Phữỡng trẳnh hm l mởt nhĂnh cừa toĂn hồc hiằn Ôi, tứ nôm 1747 án 1750 nh toĂn hồc J D'Alembert  cổng bố bi bĂo liản quan và phữỡng trẳnh hm, Ơy ữủc xem l cĂc kát quÊ Ưu tiản và phữỡng trẳnh hm Mc dũ phữỡng trẳnh hm  ữủc nghiản cựu trản 260 nôm, nõ thỹc sỹ ữủc nghiản cựu mÔnh cĂc lắnh vỹc lỵ thuyát v ựng dửng cừa toĂn hồc ch khoÊng 100 nôm tr lÔi Ơy Ưu thá k 20, ká ti¸p nhúng âng gâp quan trång cõa D Hilbert lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn,  lm cho lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm tr nản rĐt quan trồng v thu ữủc nhiÃu kát quÊ thú v, chng hÔn nhữ S Pincherle (1906, 1912); E Picard (1928); G Hardy, J.E Littlewood and G Polya (1934); M Ghermanescu (1960); J.Aczel (1966); and M Kuczma (1968) GƯn Ơy, phữỡng trẳnh hm ữủc rĐt nhiÃu nh ToĂn hồc nời tiáng cừa thá giợi nghiản cựu, v cõ nhỳng õng gõp lợn lao cho cÊ toĂn lỵ thuyát v toĂn ựng dửng, chng hÔn nh÷ qua c¡c cuèn s¡ch cõa A.N Sarkovskii and G.P.Reljuch (1974); J Aczel and Z Daroczy (1975); J Dhombres (1979) Chẵnh sỹ phĂt trin mÔnh m cừa lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm m cĂc kát quÊ cừa nõ  ữủc xem xt nghiản cựu cho ối tữủng hồc sinh trung håc phê thæng Thº hi»n qua c¡c ký thi håc sinh giọi quốc gia, cĂc bi ton và phữỡng trẳnh h m ln thu hót BTC quan t¥m v lüa chån Vẳ vêy, à ti luên vôn thÔc sắ phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp s têp trung vo lợp phữỡng trẳnh hm cỡ bÊn, õ l: Và phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng Luên vôn ữủc trẳnh by hai ch÷ìng n vă ạc th sĩ án To c họ n Lu Chữỡng 1: Phữỡng trẳnh hm Cauchy Chữỡng ny trẳnh by cĂc nh nghắa, nh lỵ, chựng minh và phữỡng trẳnh hm Cauchy v cĂc dÔng cừa nõ Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy mụ v phữỡng trẳnh hm Cauchy Logarit Trẳnh by m rởng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy ữa mởt số bi toĂn vên dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh gi£i quy¸t Mët sè b i to¡n l · thi håc sinh giọi cĂc nữợc, ữủc trẵch tứ ti liằu [9] cõa t¡c gi£ Titu Andreescu v Iurie Boreico Ch÷ìng 2: Mởt số ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy Chữỡng ny trẳnh by ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy tẵnh tờng lụy thứa cừa số nguyản (tờng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản, tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ơu tiản, tờng lụy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản), tẵnh tờng lụy thứa cừa cĂc số dÂy cĐp số cởng, tẳm sè c°p câ thº rót tø n ph¦n tû, lỹc lữủng cừa mởt têp hủp v tờng cừa chuội hỳu hÔn hon thiằn luên vôn trữợc hát tổi xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi TS TrƯn XuƠn Quỵ  dnh thới gian hữợng dăn, Ănh giĂ, ch bÊo, tên tẳnh giúp ù quĂ trẳnh xƠy dỹng à ti v hon thiằn luên vôn Qua Ơy tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi tĐt cÊ cĂc thƯy cổ, Ban giĂm hiằu, Khoa ToĂn - Tin - Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn, giúp ù suốt quĂ trẳnh hon thnh khõa hồc Tổi mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa thƯy, cổ v cĂc bÔn n vă ạc th sĩ án To họ c Th¡i Nguyản, ngy 05 thĂng nôm 2017 TĂc giÊ luên vôn Hồc viản Nguyạn Th Mên Chữỡng n Lu Phữỡng trẳnh hm Cauchy v n Viằc nghiản cựu v· h m cëng t½nh câ tø thíi A.M Legendre l ngữới Ưu tiản cố gưng tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy ạc th f (x + y) = f (x) + f (y) sĩ án To vỵi måi x, y R Viằc nghiản cựu hằ thống phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh  ữủc xữợng bi A.L Cauchy cn s¡ch cõa ỉng "Coursd d'Analyse" n«m 1821 Mởt phữỡng trẳnh bao gỗm mởt hm chữa biát v mởt hoc nhiÃu Ôo hm cừa nõ ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn Vẵ dử nhữ v 00 c họ f (x) + mx = f (x) + f (x) + sin(x) = C¡c ph÷ìng trẳnh gỗm tẵch phƠn cừa hm số chữa biát ữủc gồi l phữỡng trẳnh tẵch phƠn Mởt vi vẵ dử và phữỡng trẳnh tẵch phƠn f (x) = ex Zx ex−t f (t) dt, Z1 [1 − xcos(xt)]f (t)dt, f (x) = sin(x) + v Zx f (x) = [tf (t) − 1]dt Ph÷ìng trẳnh hm l phữỡng trẳnh õ cĂc ân l cĂc hm số Vẵ dử và phữỡng trẳnh hm l f (x + y) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)f (y), f (xy) = f (x)f (y), Lu f (xy) = f (x) + f (y), ận f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y), n vă f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), th f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y), ạc f (x + y) = g(xy) + h(x − y), sĩ To f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), án f (pr, qs) + f (ps, qr) = 2f (p, q) + 2f (r, s), g(f (x)) = g(x) + β, họ g(f (x)) = αg(x), α 6= c v f (t) = f (2t) + f (2t 1) PhÔm vi cừa phữỡng trẳnh hm bao gỗm cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn, phữỡng trẳnh sai phƠn, phữỡng trẳnh tẵch phƠn CĂc phữỡng trẳnh hm l mởt lắnh vỹc cừa toĂn hồc trản 200 nôm tuời Hỡn 5000 bi bĂo  ữủc cổng bố lắnh vỹc ny Tuy nhiản ối vợi luên vôn thÔc sắ tổi ch têp trung nghiản cựu và phữỡng trẳnh h m Cauchy v mët sè ùng dưng cõa nâ N«m 1747 v 1750, d'Alambert ¢ cỉng bè b i b¡o õ bi thự nhĐt l phữỡng trẳnh hm (xem Aczl (1966)) Phữỡng trẳnh hm ữủc nghiản cựu bi d'Alambert (1747), Euler (1768), Poisson (1804), Cauchy (1821), Darboux (1875) v nhi·u nh to¡n håc kh¡c Hilbert ận Lu (1902) à xuĐt sỹ nối tiáp vợi vĐn à cừa l nh lỵ hm vi phƠn cung cĐp phữỡng phĂp àp v mÔnh giÊi phữỡng trẳnh hm, â gi£ thi¸t kh£ vi l i·u ki»n khỉng th thiáu Nhớ à xuĐt cừa Hilbert nhiÃu nghiản cựu và phữỡng trẳnh hm  xem xt vợi cĂc phữỡng trẳnh hm khĂc khổng cõ mởt vi hoc ẵt cĂc giÊ thiát Ãu Sỹ nộ lỹc ny  gõp phƯn phĂt trin nh lỵ hiằn Ôi và phữỡng trẳnh hm Lỵ thuyát cĂc dÔng quy tưc toĂn hồc hiằn Ôi cừa phữỡng trẳnh hm ngy cng phĂt trin nhanh chõng cuối thêp k GiÊi phữỡng trẳnh hm nghắa l tẳm tĐt cÊ cĂc hm số thọa mÂn phữỡng trẳnh hm thu ữủc mởt nghiằm, cĂc hm số phÊi b giợi hÔn bi mởt t trững riảng (nhữ l giÊi tẵch, b chn, liản tửc, lỗi, khÊ vi, o ữủc hay ỡn iằu) Và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh n 1.1.1 v 1.1 Phữỡng trẳnh hm Cauchy mởt bián th c PhƯn ny giợi thiằu và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh v xĂc nh nghiằm cừa nõ ( ữủc trẵch tứ ti liằu[7]) Cho f : R → R â R l tªp sè thüc, f l hm số thọa mÂn phữỡng trẳnh hm f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) sĩ án To c họ vỵi måi x, y ∈ R Phữỡng trẳnh hm ny  ữủc biát l phữỡng trẳnh hm Cauchy Phữỡng trẳnh hm (1.1) ữủc nghiản cựu Ưu tiản bi A.M Legendre (1791) v C.F Gauss (1809) A.L Cauchy (1821) l ngữới Ưu tiản tẳm nghiằm lợp hm liản tửc Phữỡng trẳnh (1.1) cõ v trẵ quan trồng toĂn hồc nõ ữủc à cêp tợi hƯu hát cĂc khẵa cÔnh cừa toĂn håc ành ngh¾a 1.1 H m sè f : R → R ữủc gồi l hm cởng tẵnh náu nõ thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) vỵi måi x, y ∈ R ành ngh¾a 1.2 H m sè f : R → R ữủc gồi l hm tuyán tẵnh v ch nõ cõ dÔng f (x) = cx (x R), â c l mët h¬ng sè tịy ỵ ỗ th cừa hm tuyán tẵnh f (x) = cx l mët ÷íng khỉng th¯ng, i qua gèc õ nõ ữủc gồi l tuyán tẵnh Hm số tuyán tẵnh thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy CĂc cƠu họi ữủc ữa l cõ hm no khĂc thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy hay khổng? Ta thĐy rơng ch cõ nghiằm liản tửc cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy l tuyán tẵnh Ơy l kát quÊ ữủc chựng minh bi Cauchy vo nôm 1821 nh lỵ 1.1 Cho f : R R l liản tửc v thọa mÂn phữỡng trẳnh hm n Lu Cauchy cởng tẵnh (1.1) Khi õ f tuyán tẵnh, nghắa l f (x) = cx õ c l mởt hơng số tũy ỵ Chựng minh Trữợc tiản ta cố nh x rỗi lĐy tẵch phƠn hai v¸ cõa f (x) = th Z1 n vă phữỡng trẳnh (1.1) theo bián y ta ữủc f (x)dy ạc sĩ Z1 Z1+x Z1 f (u)du − x f (y)dy, u = x + y Vẳ hm số f liản tửc nản suy f (x) = f (1 + x) − f (x) c họ = án To [f (x + y) − f (y)]dy = (1.2) Tø t½nh cëng t½nh cõa f ta câ f (1 + x) = f (1) + f (x) (1.3) Thay (1.3) v o (1.2) ta câ f (x) = f (1) = c Suy f (x) = cx + d thay v o (1.1) suy d = Trong nh lỵ 1.1 ta sỷ dửng tẵnh liản tửc cừa f kát luên rơng f khÊ tẵch Tẵnh tẵch phƠn cừa f bưt buởc nghiằm f cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh l tuyán tẵnh Do õ mội nghiằm khÊ tẵch cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh cụng tuyán tẵnh nh nghắa 1.3 Mởt h m f : R → R ÷đc gåi l kh£ tẵch a phữỡng v ch nõ l tẵch phƠn trản mồi khoÊng hỳu hÔn Theo trản mội nghiằm khÊ tẵch a phữỡng cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh cụng l tuyán tẵnh Ta ữa mởt cĂch chựng minh ÷đc ÷a bði Shapiro 1973 Gi£ sû f l mởt nghiằm khÊ tẵch a phữỡng cừa phữỡng trẳnh Cauchy cëng t½nh Do â f (x + y) = f (x) + f (y) óng vỵi måi x, y ∈ R Tø â sû dưng t½nh kh£ t½ch àa ph÷ìng cõa f ta ÷đc Lu Zy f (x)dz yf (x) = ận vă Zy [f (x + z) − f (z)]dz = n th Zx+y Zy To f (u)du − f (u)du án Zy Zx f (u)du − = f (z)dz sĩ x Zx+y ạc f (u)du − = c họ V¸ ph£i cừa ng thực trản bĐt bián ta thay ời vai trá cõa x v y tø â suy yf (x) = xf (y) vỵi måi x, y ∈ R Do õ vợi x 6= ta ữủc f (x) = c, x vợi c l mởt hơng bĐt ký i·u n y suy f (x) = cx vỵi måi x ∈ R \ {0} Cho x = v y = ð (1.1) ta ÷đc f (0) = Nhữ vêy f l mởt hm tuyán tẵnh trản R Mc dũ chựng minh cừa nh lỵ 1.1 ngưn gồn v ch gỗm cĂc php tẵnh vi phƠn, tẵch phƠn nõ lÔi khổng hiằu quÊ cao v cõ nhiÃu kián thực Giớ ta s trẳnh by mởt c¡ch chùng minh kh¡c s³ gióp ta hiºu hìn v· nghiằm cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh Ta xt nh nghắa sau 34 Trữớng hủp GiÊ sû s0 + t0 thuëc [0, ) x²t m n A(s + t) = A +s + +t 2 = A (m + n) + s0 + t0 = (m + n)f + f (s0 + t0 ) 1 + nf + f (s0 ) + f (t0 ) = mf 2 1 = mf + f (s0 ) + nf + f (t0 ) 2 = A(s) + A(t) ận Lu n vă Tr÷íng hñp Gi£ sû s0 + t0 thuëc [ , 1) th¼ n A + s0 + + t0 = A (m + n) + s0 + t0 2 1 0 A (m + n) + + z = A (m + n + 1) + z 2 1 (m + n + 1)f + f (z ) = (m + n)f +f + f (z ) 2 1 +f + z = (m + n)f + f (s0 + t0 ) (m + n)f 2 (m + n)f + f (s0 ) + f (t0 ) 1 + f (s ) + nf + f (t0 ) mf 2 m n A + s0 + A + t0 2 A(s) + A(t) m án c họ = To A(s + t) = s tÔi â z ∈ 0, Do vªy + z0 ạc th s + t0 = = = = = = = Vªy A l cëng tẵnh trản R 35 1.4 Mởt số bi toĂn ¡p dưng Trong mưc n y ta ÷a mët sè bi toĂn vên dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh º gi£i quy¸t Mët sè b i to¡n l · thi hồc sinh giọi cĂc nữợc, ữủc trẵch tứ ti liằu [9] cõa t¡c gi£ Titu Andreescu v Iurie Boreico B i toĂn 1.1 (AMM 2001) Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f : R → R thäa m¢n f (x2 + y + f (y)) = 2y + f (x) vỵi måi sè thüc x, y ∈ R Lu B i toĂn 1.2 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f, g, h : R → R cho ận f (x + y) = f (x)g(y) + h(y) vă n vỵi måi sè thüc x, y ∈ R th B i to¡n 1.3 Chựng minh rơng mồi hm cởng tẵnh f trản R+ b chn c dữợi (trản) trản mởt khoÊng R+ cõ dÔng f (x) = f (1)x vợi mồi x ∈ R+ sĩ B i to¡n 1.4 (Tuymaada 2003) T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : R+ → R To thäa m¢n án 1 1 f (x + ) + f (y + ) = f (x + ) + f (y + ) x y y x họ vỵi måi x, y ∈ R+ c B i to¡n 1.5 (Sankt-Petersburg) T¼m måi h m sè f : R → R thäa m¢n f (f (x + y)) = f (x) + f (y) vỵi måi sè thüc x, y R Bi toĂn 1.6 Tẳm tĐt cÊ c¡c c°p cõa h m sè f, g : R → R thäa m¢n f (x) + f (y) = g(x + y) Bi toĂn 1.7 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm sè f : N → N thäa m¢n f (m2 + f (n)) = f (m)2 + n vỵi måi sè thüc m, n ∈ N 36 B i to¡n 1.8 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm sốf : R R thäa m¢n f (f (x) + yz) = x + f (y)f (z) vỵi måi sè thüc x, y, z R Bi toĂn 1.9 Tẳm tĐt cÊ cĂc h m sè f : R → R cho f (f (x)2 + y) = x2 + f (y) B i toĂn 1.10 (Bulgaria 2004) Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f : R → R thäa m¢n = f (x) + f (y) ận Lu (f (x) − f (y))f x+y x−y vỵi måi sè thüc x, y ∈ R v x 6= y vă B i to¡n 1.11 (India 2003) Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f : R → R thäa n m¢n th f (x + y) + f (x)f (y) = f (x) + f (y) + f (xy) ạc vỵi måi sè thüc x, y ∈ R sĩ án To c họ 37 Ch÷ìng ận Lu Mët sè ùng dưng cõa ph÷ìng trẳnh hm Cauchy n v c th s Trong phƯn ny, ta trẳnh by mởt vi ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy ữủc trẵch tứ ti liằu [7] Sỷ dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh xĂc nh tờng lụy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản vợi k = 1, 2, Ta chựng minh rơng sè c°p câ thº sè n ph¦n tû câ th ữủc xĂc nh sỷ dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh Hỡn nỳa, ta sỷ dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh tẳm tờng cừa chuội hỳu hÔn án To c họ 2.1 Têng c¡c lôy thøa cõa sè nguy¶n °t fk (n) = 1k + 2k + + nk (2.1) vợi n l số nguyản dữỡng v k l số nguyản khổng Ơm fk (n) l kỵ hiằu cừa tờng lụy thứa thự k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản Tẳm cổng thực cừa fk (n)  thu hút sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc khoÊng thới gian hỡn 300 nôm, bưt Ưu tø thíi cõa James Bernoulli (1655-1705) Câ nhi·u ph÷ìng ph¡p khĂc  ữủc sỷ dửng tẳm tờng fk (n) (chng hÔn Vakil (1996)) Trong luên vôn ny, ta s vên dửng phữỡng 38 trẳnh hm Cauchy tẵnh têng fk (n) vỵi k = 1, 2, v vợi k tũy ỵ Chú ỵ rơng fk : N → N l h m sè â k = 0, 1, 2, 2.1.1 Têng cõa n sè tỹ nhiản Ưu tiản Cho hm f1 thọa mÂn f1 (m + n) = + + + + m + (m + 1) + + (m + n) = f1 (m) + (m + 1) + (m + 2) + + (m + n) (2.2) = f1 (m) + f1 (n) + mn vỵi måi m, n ∈ N X²t h m sè g1 : N → R x¡c ành bði Lu ận g1 (x) = f1 (x) − x2 vỵi x ∈ N (2.3) n vă Khi â, tø (2.2) ta câ th g1 (m + n) = g1 (m) + g1 (n), vỵi m, n ∈ N (2.4) ạc Nghi»m cõa phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh (2.4) trản N ữủc cho bði g1 (n) = cn, (2.5) sĩ To â c l mët h¬ng sè Tø (2.5) v (2.3) ta câ án c Do f1 (1) = ta câ 1=c+ â c=1− â l họ f1 (n) = cn + n2 2 1 = 2 n n2 f1 (n) = + 2 n(n + 1) = Vªy f1 (n) = + + + + n = n(n + 1) (2.6) 39 2.1.2 Tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản X²t h m f2 thäa m¢n f2 (m + n) = 12 + 22 + + m2 + (m + 1)2 + + (m + n)2 = f2 (m) + [12 + 22 + + n2 ] + 2m[1 + + + n] + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + 2mf1 (n) + m2 n (2.7) = f2 (m) + f2 (n) + mn2 + m2 n + mn vỵi måi m, n ∈ N ành ngh¾a g2 : N → R bði ận Lu n2 n3 g2 (n) = f2 (n) − , vợi n N Tứ phữỡng tr¼nh (2.7) ta câ vă n g2 (m + n) = g2 (m) + g2 (n) ạc th vỵi måi m, n ∈ N Suy g2 (n) = cn hay n2 n3 + f2 (n) = cn + s (2.8) To Kát hủp vợi iÃu kiằn f2 (1) = ta câ 1 − =⇒ c = c họ Suy ta cõ tờng cƯn tẳm l ỏn 1=c+ n n2 n3 n + 3n2 + 2n3 n(n + 1)(2n + 1) f2 (n) = + + = = 6 2.1.3 Têng lôy thøa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản Vợi k tũy þ Ta sû döng khai triºn nhà thùc Newton x¡c nh hm, thiát lêp quan hằ truy hỗi 40 X²t h m fk nh÷ sau fk (n + m) = 1k + 2k + + nk + (n + 1)k + + (n + m)k k X = fk (n) + i=0 k X = fk (n) + i=0 k X = fk (n) + Cki ni 1k−i + + k X Cki ni mk−i i=0 Cki ni [1k−i + + mk−i ] Cki ni fk−i (m) i=0 Lu = fk (n) + fk (m) + ận Cki ni fk−i (m) vỵi m, n, k ∈ N i=1 n vă Do â, ta câ k X th fk (m + n) − fk (m) − fk (n) = k X Cki ni fk−i (m) vỵi m, n, k ∈ N (2.9) ạc i=1 sĩ Ta thu ữủc cổng thực truy hỗi (2.9) Ta s xt mởt vi trữớng hủp cử th ối vợi k Chú ỵ rơng fk (1) = vợi mồi k N v f0 (m) = m án To (A) Tø cæng thùc (2.9), x²t n = Ta câ họ Cki fk−i (m), i=1 c fk (m + 1) − fk (m) − fk (1) = k X ngh¾a l k (m + 1) − = k X Cki fk−i (m) vỵi m ∈ N, i=1 Vỵi k = ta ÷đc m2 + 2m = 2f1 (m) + f0 (m) = 2f1 (m) + m hay f1 (m) = m(m + 1) 41 Vỵi k = ta ÷đc m3 + 3m2 + 3m = 3f2 (m) + 3f1 (m) + f0 (m) 3m(m + 1) = 3f2 (m) + +m hay f2 (m) = m(m + 1)(2m + 1) (B) Trữớng hủp tờng quĂt Vá phÊi cừa (2.9) l ối xựng vợi tữỡng ựng cừa m v n Do õ ta thu ÷đc Lu k X ận Cki ni fk−i (m) = i=1 k X Cki mi fk−i (n) vỵi m, n N i=1 v Thay thá vợi m = v sû döng fk (1) = ta câ n th k X i=1 = ạc Cki ni fk−i (1) k X Cki ni fk−i (n), i=1 sĩ ngh¾a l To k X án Cki fk−i (n) = (1 + n)k − i=1 kfk−1 (n) = (1 + n) − − k X c k họ Tø â ta câ Cki fk−i (n) vỵi n ∈ N i=2 hay fk−1 (n) = (1 + n)k − − Pk i i i=2 Ck n fk−i (n) k vỵi k, n ∈ N Sû dưng f0 (n) = n ta câ thº x¡c ành ÷đc fk n Chng hÔn vợi k = (2.10) ta cõ n2 + 2n − f0 (n) n(n + 1) f1 (n) = = 2 (2.10) 42 T÷ìng tü k = (2.10) cho n3 + 3n2 + 3n − 3f1 (n) − f0 (n) f2 (n) = 3 n = n + n + 2 = n(n + 1)(2n + 1) 2.2 Têng lôy thøa cõa c¡c số dÂy cĐp số cởng Lu Vợi số nguyản d÷ìng n, k ∈ N v h ∈ R ành ngh¾a ận sk (n, h) = 1k + (1 + h)k + + (1 + (n − 1)h)k ), (2.11) n v tờng cừa cĂc số tỹ nhiản bêc k cĐp số cởng Giống nhữ trữợc õ ta l§y mët quan h» truy to¡n th sk (m + n; h) = 1k + (1 + h)k + · · · + (1 + (n − 1)h)k ạc +(1 + nh)k + · · · + (1 + (m + n − 1)h)k sĩ = sk (n; h) + (1 + nh)k + (1 + h + nh)k + · · · án To +(1 + (m − 1)h + nh)k k X = sk (n; h) + sk (m; h) + Cki sk−i (m; h)(nh)i ; i=1 c h nghắa l sk (n, h) thọa mÂn phữỡng trẳnh h m sk (m + 1; h) − sk (n; h) + sk (m; h) + k X Cki sk−i (m; h)(nh)i ; (2.12) i=1 vỵi k ∈ N, h ∈ R, m, n = 1, 2, Chú ỵ r¬ng s0 (n, h) = n, sk (1, h) = ta x¡c ành s1 (n, h) v s2 (n, h) Ưu tiản cho n = (2.12) ta thu ÷đc sk (m + 1; h) − sk (m; h) = sk (1; h) + k X Cki sk−i (m; h)(h)i i=1 â k (1 + mh) = + k X i=1 Cki sk−i (m; h)(h)i (2.13) 43 vỵi m = 1, 2, , h ∈ R, k ∈ N T÷ìng tü k = (2.13) cho m2 h2 + 2mh = 2s1 (m; h)h + s0 (m; h)h2 ; â s1 (m; h) = h h 1− m + m2 2 Cho k = (2.13) ta câ m3 h3 + 3m2 h2 + 3mh = 3s2 (m; h)h + 3s1 (m; h)h2 + s0 (m; h)h3 ; â Lu ận s2 (m; h) = h2 1−h+ h h2 m+h 1− m + m n vă 2.3 Sè c°p câ thº rót tø n ph¦n tû th ạc Cho f2 (n) l k½ hi»u sè c°p câ thº rút tứ n phƯn tỷ Xt hai têp vợi n v m t÷ìng ùng Khi â sè c°p câ th rút m + n phƯn tỷ bơng số cp têp A cởng vợi số cp têp B cởng vợi mởt im tứ mội têp Do õ ta câ sĩ To án f2 (m + n) = f2 (m) + f2 (n) + mn g2 (m + n) = g2 (m) + g2 (n), â Do â n2 g2 (n) = f2 (n) − n2 f2 (n) = cn + V¼ f2 (2) = 1, ta câ = 2c + c h TÔi õ giÊm xuống 44 hoc c= Do â n(n − 1) = Cn2 Náu f3 (n) l kẵ hiằu số bở câ thº rót tø n ph¦n tû â ta s³ chùng minh r¬ng f3 (n) = Cn3 BƠy giớ, ta xem xt hai têp vợi n v m t÷ìng ùng f3 (m + n) s³ l sè bở ba cừa têp A, cởng vợi số bở ba cừa têp B cởng vợi mởt số hÔng kát hủp cừa số bở ba vợi vi phƯn tỷ cừa mội tªp vªy f2 (n) = Lu ận f3 (m + n) = f3 (m) + f3 (n) + mf2 (n) + nf2 (m) = f3 (m) + f3 (n) + (mn2 + nm2 ) − mn vă n ành ngh¾a g3 : N → R bði th ạc n3 n g3 (n) = f3 (n) − + vỵi n ∈ N, sĩ ta câ Do â n2 n3 + c V¼ họ f3 (n) = cn − án To g3 (m + n) = g3 (m) + g3 (n) f3 (3) = 1, ta câ c= v f3 (n) = n(n − 1)(n − 2) = Cn3 2.4 Têng cừa chuội hỳu hÔn (i) Cho S(n) = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) vỵi n ∈ N, (2.14) 45 â S : N → N â S(m + n) = S(n) + S(m) + mn2 + nm2 + 2mn Do â f (m + n) = f (m) + f (n), â n3 f (n) = S(n) − n − vỵi n ∈ N v f : N → R Do â f l cởng tẵnh v f (n) = cn Vêy n3 ận Lu S(n) = cn + n2 + Do â S(1) = 2, ta câ vă n S(n) = n(n + 1)(n + 2) (2.15) th ạc (ii) Cho (2.16) sĩ t(n) = 1.3 + 2.5 + + n(n + 2) vỵi n ∈ N, To â t : N → N Chú ỵ rơng t(1) = BƠy giớ ỏn t(m + n) = t(n) + t(m) + mn2 + nm2 + 3nm vợi m, n N h nh nghắa f : N → R bði c f (n) = t(n) − n3 − n2 vỵi n ∈ N Quan h» truy to¡n tr¶n trð th nh f (m + n) = f (m) + f (n) vỵi m, n ∈ N â l f l cëng tẵnh v f (n) = cn vợi n N Do t(1) = ta câ t(n) = n(n + 1)(2n + 1) vỵi n ∈ N (2.17) (iii) Tờng cừa tẵch hộn tÔp s(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2), vỵi n ∈ N, (2.18) 46 Vỵi s : N → N ỵ rơng s(1) = Xt m, n ta câ s(n + m − 1) = s(n − 1) + n(n + 1)(n + 2) + {(n + 1)(n + 2)(n + 3) + · · · + (n + m − 1)(n + m)(n + m + 1)} = s(n − 1) + (n3 + 3n2 + 2n) + (m − 1)n3 +n2 (6 + · · · + 3m) + · · · + n{[1 · + · · · + (m − 1)m] +[1 · + · · · + (m − 1)(m + 1)] +[2 · + m(m + 1)]} + s(m − 1) = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 (1 + + · · · + m) Lu +n{[1 · + · · · + (m − 1)m] ận +[1 · + · · · + (m − 1)(m + 1)][1 · + · · · + m(m + 1)]} m(m + 1) = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 (m − 1)m(m + 1) m(m − 1)(2m + 5) +n +n + m(m − 1)(2m + 5) (m − 1)m(m + 1) +n n m(m + 1)(m + 2) +n (sû döng ¯ng thùc (2.15), (2.16)) 3 = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + m2 n2 + m3 n 3 + n m + nm2 − mn 2 n vă ạc th sĩ án To c họ Nhữ nh nghắa trữợc f : N R xĂc ành nh÷ sau f (n) = s(n − 1) − n4 − n + n vỵi n ∈ N 4 Cho f (m+n) = f (m)+f (n) (cëng t½nh) v f (n) = cn Sû döng s(1) = 6, ta câ s(n − 1) = [n4 + 2n3 − n2 − 2n]; ngh¾a l s(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) vợi n N (2.19) 47 Kát luên n Lu Phữỡng trẳnh hm l mởt chừ à liản quan tợi hĐu hát cĂc khẵa cÔnh cừa ToĂn hồc Tuy nhiản vợi phÔm vi cừa luên vôn ThÔc sắ chuyản ngnh phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp tổi têp trung trẳnh by vÃ: "Phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng" Luên vôn cõ nhỳng nởi dung sau: - Trẳnh by cĂc kián thực và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy mụ, phữỡng trẳnh hm Cauchy logarit, phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy nhiÃu bián v m rởng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy - Trẳnh by và phữỡng trẳnh hm Cauchy Tẳm nghiằm cừa nõ trản têp số thỹc v số phực, ch nghiằm liản tửc cừa nõ l tuyán tẵnh, x¡c ành nghi»m têng qu¡t cõa h m sè mô Cauchy m khổng cƯn iÃu kiằn chẵnh quy nhữ liản tửc, bà ch°n hay kh£ vi Nghi¶n cùu nghi»m cõa c¡c dÔng phữỡng trẳnh hm Cauchy nhiÃu bián - Trẳnh by ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy tẵnh tờng lơy thøa cõa sè nguy¶n (têng cõa n sè tü nhiản Ưu tiản, tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ơu tiản, tờng lụy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản), tẵnh tờng lụy thứa cừa cĂc số dÂy cĐp số cởng, tẳm số cp cõ th rút tứ n phƯn tỷ, lỹc lữủng cừa mởt têp hủp v tờng cừa chuội hỳu hÔn n vă ạc th sĩ án To c họ 48 T i liằu tham khÊo A Tiáng Viằt n Lu [1] TrƯn ực Long, Hong Quốc Ton, Nguyạn ẳnh Sang (2005), GiĂo trẳnh GiÊi tẵch, têp 1, NXB Ôi hồc Quốc gia HN v [2] Nguyạn Vôn Mêu (1997), Phữỡng trẳnh hm, NXB GiĂo dửc n [3] Nguyạn Vôn Nho, Lả Hong Phỏ (2013), Tuyn têp Olympic toĂn hồc tÔi cĂc nữợc ChƠu - ThĂi Bẳnh Dữỡng, NXB Ôi hồc Quốc gia HN ạc th sĩ B Ti¸ng Anh To án [4] J Ac²l (1966), Lectures on Functional Equations and Their applications c họ [5] Christopher G Small (2007), Functional Equations and How to Solve Them, Springer [6] P Kannappan (2001), "Application of Cauchy's Equation in Combinatorics and Genetics", Mathware & Soft Computing, (8), PP 61-64 [7] P K Sahoo, P Kannappan (2011), Introduction to Functional Equations, Chapman & Hall/CRC [8] Soon-Mo Jung (2010), HyersUlamRassias Stability of Functional Equations in Nonlinear Analysis, Springer [9] Titu Andreescu, Iurie Boreico (2007), Functional Equations, Electronic Edition
Ngày đăng: 06/11/2023, 08:10
Xem thêm:
