1 bộ 48 đề và giải chi tiết hsg toán 12 ( bộ số 01 )

CHƯƠNG TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỪ NĂM 2010-2015 ĐỀ SỐ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH HÀ TĨNH Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MƠN: TỐN 12 a) Giải phương trình: ( x − ) = x − − x + b) Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + 2b + 5c = Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm Câu 2   x − xy + x + y = Giải hệ phương trình:  2   x − x y + 3x + y = Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A (1;3) , B ( −5; −3) Xác định tọa độ điểm M đường thẳng d : x − y + = cho 2MA + MB đạt giá trị nhỏ Câu Tam giác ABC có góc thỏa mãn hệ thức: cot A + cot C =  cot B a) Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 & CC1 tam giác ABC  = b) Tìm giá trị lớn góc B  = Câu 1 + + = Tìm giá trị lớn biểu thức: a b2 c2 1 P= + + 2 2 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a Ba số dương a, b, c thỏa mãn HẾT ĐỀ SỐ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH THANH HÓA Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MƠN: TỐN 12 (4,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x − ( − m ) x − − 2m ( Cm ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị m = −1 b) Tìm giá trị m để ( Cm ) có hai tiếp tuyến vng góc với Câu (6,0 điểm) a) Giải phương trình cos2x+cos3x-sinx − cos4x=sin6x ( x − 3x + 1) + x + x +  b) Giải bất phương trình: c) Tìm số thực a để phương trình x + = a3x cos ( x ) có nghiệm thực  Câu (2,0 điểm)Tính tích phân:  Câu s inx ( s inx + 3cosx ) dx (6,0 điểm) a) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M , N hai điểm thuộc cạnh AB, AC cho mặt phẳng ( DMN ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Đặt AM = x, AN = y Tìm x, y để diện tích tồn phần tứ diện DAMN nhỏ b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : x− y+5 = hai elip x2 y x2 y + = 1, ( E2 ) : + = ( a  b  ) có tiêu điểm Biết ( E2 ) qua M   Tìm 25 16 a b M cho ( E2 ) có độ dài trục lớn nhỏ ( E1 ) : c) Trong không gian Oxyz  x = + 2t  x = + 2s   1 :  y = − 2t ;  :  y = −1 − 2s  z = −1 + t z = s   cho điểm M ( 0; 2;0 ) hai ( t , s  ) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đường thẳng qua M song song với trục Ox , cho ( P ) cắt 1; 2 A, B : AB = Câu (2,0 điểm) a + b + c = Cho số thực a, b, c thỏa mãn  Tìm giá trị lớn P = a + b6 + c ab + bc + ca = ĐỀ SỐ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010-2011 MƠN: TỐN 12 Câu (3,0 điểm)Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = sin x + cos4 x + cos3 x − sin3 x Câu (4,0 điểm)Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn ( O; R ) cho AB = CD = EF = R Gọi I , J , K theo thứ tự trung điểm BC , DE , FA; P, Q trung điểm DC , AD a) Xác định phép biến hình biến AC thành BD tính góc AC & BD Chứng minh tam giác IPQ b) Chứng minh tam giác IJK Câu (4,0 điểm) a) Biện luận theo m số nghiệm phương trình cos x + ( − 2m ) cos x + m = cos2 x +   sin x + 12 2 +2 b) Giải phương trình:   = 32 − 49 + 56 x − 16 x   Câu (4,0 điểm) a) Biển số xe dãy kí tự gồm hai chữ đứng trước bốn chữ số dứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ A,B,C,…Z; chữ số chọn từ 10 chữ số 0,1, 2, ,9 Hỏi có biến số xe có hai chữ số đầu (sau hai chữ cái) khác nhau, đồng thời có hai chữ số chẵn hai chữ số chẵn giống nhau? b) Cho biểu thức f ( x) = a0 + a1 x + a2 x + Câu f ( x) = (1 + x + x ) 15 Khai triển thành f ( x) + a29 x 29 + a30 x30 Tính A = a0 − a1 + a2 − a3 + đa thức − a29 + a30 a10 (4,0 điểm)Cho tứ diện SABC có cặp cạnh đối đôi Cho BC = a, CA = b, AB = c a) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC theo a, b, c b) Tính thể tích tứ diện SABC theo a, b, c Câu (1,0 điểm)An, Bình Tâm người có hai nghề nghiệp khác khác với hai người lại Các nghề họ nhà văn, kiến trúc sư, giáo viên, bác sĩ, luật sư họa sĩ Mỗi nhân vật câu người riêng biệt: Người giáo viên nhà văn chơi tennis với An Người bác sĩ đặt họa sĩ vẽ họa Người bác sĩ có hẹn với người giáo viên Người họa sĩ có họ với người kiến trúc sư Tâm thắng bình người họa sĩ chơi cờ Bình sống bên cạnh nhà nhà văn Hãy tìm nghề nghiệp người? ĐỀ SỐ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TỐN 12 Câu a) Giải phương trình x − + x + + − x = x + b) Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình ( m + 2) x − m  x + có nghiệm thuộc đoạn  −2; 2 Câu  y + y = x3 + 3x + x + Giải hệ phương trình:   − x − y = − y − Câu a) Cho x, y số thực thỏa mãn log ( x + y ) + log ( x − y ) = Chứng minh rằng: x − y  15 ( ) b) Cho a, b, c ba số thực không đồng thời , thỏa mãn ( a + b + c ) = a + b2 + c Tìm GTLN, GTNN biểu thức P = Câu a + b3 + c ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G (1; ) Gọi H trực tâm tam giác ABC Biết đường tròn qua ba trung điểm ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình x + y − x + y + = Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Câu a) Cho tứ diện ABCD , gọi  góc hai mặt phẳng ( ABC ) & ( ABD ) Gọi SC , SD theo thứ tự diện tích tam giác ABC , ABD Chứng minh: V = 2SC S D sin  (V = VABCD ) AB b) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua trọng tâm tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC A, B, C  (  S ) Tìm GTLN của: P= 1 + + SA.SB SB.SC  SC .SA HẾT ĐỀ SỐ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MƠN: TỐN 12 (Ngày thứ nhất) Câu (4,0 điểm)  2  x + y = Giải hệ phương trình sau tập số thực:  4 x + 3x − 57 = − y ( 3x + 1)  25 Câu (4,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) với x1 = a, xn+1 = xn ( xn − 1) , n  * Tìm điều kiện cần đủ a để dãy có giới hạn hữu hạn Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn có phân giác AD ( D  BC ) Gọi E , F hình chiếu D AB, AC Gọi H giao điểm BF & CE Chứng minh AH vng góc với BC Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S , BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: ( b + c − a ) a + ( c + a − b ) b2 + ( a + b − c ) c  b+c c+a a+b 3S Câu (4,0 điểm) Câu Cho số nguyên dương n  tập M = 1; 2;3; ; n Với tập A khác rỗng M , ta kí hiệu A số phần tử tập A , A max A tương ứng phần tử nhỏ lớn tập A Tính  ( A + maxA − A ) theo n A M , A HẾT ĐỀ SỐ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MƠN: TỐN 12 (Ngày thứ hai) Câu (4,0 điểm) Cho P, Q số nguyên dương thỏa mãn P, Q P.Q khơng số phương Chứng minh ( a; b ) nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình x2 − PQy = ( c, d ) nghiệm nguyên c + PQd = a dương nhỏ phương trình x − PQy = −1 ta có:  2cd = b (Lưu ý: Nghiệm nguyên dương ( ;  ) gọi lớn ngiệm nguyên dương ( ;  )      0,      ) Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm số f : → thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i) f ( x + y + f ( xy ) ) = f ( x + y ) , x, y  ii) x, y  ( 2010; + ) : x  y f ( x)  f ( y ) Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC M , N hai điểm di động đường thẳng BC cho MN = BC Đường thẳng d1 qua M vng góc với AC , đường thẳng d qua N vng góc với AB Gọi K giao điểm d1 & d2 Chứng minh trung điểm I đoạn AK nằm đường thẳng cố định Câu (4,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: ( a + b + c ) − 25 ( a + b + c ) + 48 = Tính giá trị nhỏ biểu thức: F = Câu a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Ta chia tam giác ABC thành n tam giác nhọn Hỏi giá trị nhỏ n bao nhiêu? HẾT ĐỀ SỐ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MƠN: TỐN 12 Câu (3,0 điểm) Giải phương trình: ( ( 6sin x − 2) sin 3x + 1) = 162sin x − 27 Câu (3,0 điểm)  x2 ( x + 2) = ( y − x ) +   Giải hệ phương trình  y ( y + ) = ( z − y ) +  2  z ( z + ) = ( x − z ) + Câu (4,0 điểm) Cho dãy số ( un ) u1 =  xác định  un +1 = ( un + un + ) , n = 1, a) Chứng minh dãy ( un ) tăng không bị chặn n , n = 1, k =1 uk + b) Đặt =  Câu , tính lim (5,0 điểm) Hình chóp n giác có góc tạo mặt bên mặt đáy  , góc tạo cạnh bên mặt đáy   Chứng minh sin  − sin   tan 2n Câu (3,0 điểm) Xét x, y  thỏa mãn điều kiện: 3x − x + = y + 18 − y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = Câu x y + −1 (2,0 điểm) Cho đa thức f ( x) có bậc 2010 thỏa mãn f (n) = , n = 1, 2011 Tính f (2012) n HẾT ĐỀ SỐ SỞ GD VÀ ĐT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MƠN: TỐN 12 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: 2sin x − cos2x = 7sinx + 2cosx − Câu (6,0 điểm) a) Chứng minh ad + bc  a + b2 c + d với a, b, c, d số thực b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = a+b+c  c) Cho x, y, z  1 + + Chứng minh rằng: a b c + a + b + c abc thỏa x + y + z = Tìm giá trị lớn A = x + y + z − xyz Câu (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho n + n3 + số phương Câu (2,0 điểm)  x3 + 3xy = −49 Giải hệ phương trình:   x − xy + y = y − 17 x Câu (2,0 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm: − x − x + m x − x = Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với ( ABCD ) , SA = a Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AC & SD Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x2 − xy + y với x, y số thực thỏa mãn x − xy + y = HẾT ĐỀ SỐ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH BẮC NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MƠN: TỐN 12 Câu (5,0 điểm) a) Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị ( T ) Gải sử A, B, C ba điểm thẳng hàng ( T ) , tiếp tuyến ( T ) điểm A, B, C cắt ( T ) điểm A, B, C  (tương ứng khác A, B, C ) Chứng minh A, B, C  thẳng hàng b) Cho hàm số y = x n+1 + 2011x + 2012 (1) , chứng minh với số nguyên dương n đồ thị hàm số (1) ln cắt trục hồnh điểm Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: log x + log x + log x = log3 x + log5 x + log x b) Giải phương trình: ( x − ) − 1 = x2 − 5x − x −1 (x ) (x ) Câu (3,0 điểm) Kí hiệu Cnk tổ hợp chập k n phần tử (  k  n; k , n  S = C2010 + 2C2010 + 3C2010 + Câu ) , tính tổng sau: 2009 2010 + 2010C2010 + 2011C2010 (5,0 điểm) a) Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành, AD = 4a ( a  ) , cạnh bên hình chóp a Tìm cosin góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) thể tích khối chóp S ABCD lớn ˆ = 600 , CAD ˆ = 1200 Gọi E chân đường phân giác góc A b) Cho tứ diện ABCD có BAC tam giác ABD Chứng minh tam giác ACE vuông Câu (2,0 điểm) Cho hai số thực x, y : x + y   Chứng minh cos x + cosy  + cos ( xy ) HẾT 10  AOT = AMT  EOD = AMC Kết hợp với BDA = ACB  AMC ∽ EOD Mà M trung điểm BC, O trung điểm AD  ABC ∽ EAD  ABC = EAD Mà ABC = ADC  EAD = ADC  AE∥CD (ĐPCM) b) Từ phần a) ta có: FAE = DAC  FGE = DBC = FBT A  Tứ giác FGBT nội tiếp Từ TGB = TFB = EGA Do GO phân giác AGB O Mặt khác OA = OB suy O giao điểm F T G E I B phân giác góc AGB trung trực C M D AB Do tứ giác AGBO nội tiếp Gọi I giao điểm đoạn GO với (O) Do OA = OB = OI suy I tâm nội tiếp AGB  ĐPCM Câu a) Với k = ta cách phân hoạch tập + thành tập A1 , A2 , A3 thỏa mãn sau: A1 = 1;2;3  3m∣m  4; A2 = 4;5;6  3m − 1∣m  4; A3 = 7;8;9  3m − 2∣m  4 Vậy k = đẹp b) Xét k  Giả sử tồn cách chia Khi phân hoạch + + thành k tập A1 , A2 , , Ak thỏa mãn đề thành tập A1 , A2 , A3 ( A4  A5  Ak ) thỏa mãn đề Do cần xét với k = đủ Đặt Bi = Ai  1;2;3; ;23 với i = 1;2;3; Ta thấy số thuộc tập 15;16;17; ;24 (gồm 10 số) viết thành tổng hai số thuộc tập Bi (với i = 1;2;3; ) Như Bi = m tổng Cm2  10  m  Vậy tập Bi có phần tử Mà B1 + B2 + B3 + B4 = 23 nên xảy Bi  6, i = 1;2;3; Do phải tồn tập Bi cho Bi = Giả sử Bi = a1; a2 ; a3 ; a4 ; a5  Khi ai + a j ;1  i  j  5 = 15;16;17; ;24 Suy  1i  j  (ai + a j ) = 15 + 16 + 17 + + 24 hay 4(a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ) = 195, vô lý Vậy k  đề không đẹp ĐỀ SỐ 45 3x − − x + = x2 − x − (1) Câu a) Ta có: Điều kiện: x  (*) (2) 2 x − = 2x −  Khi (1)  = (2 x − 3)( x + 1)   = x + (3) 3x − + x +  x − + x + Từ (2)  x = Vì x  nên 3 (thỏa (*))  x +   (3) vô nghiệm 3x − + x + Vậy phương trình cho có nghiệm x = 8   x + x − 13 x − 15 = − y y (1) b) Ta có:   y + = y ( x + x + 2)  Điều kiện: y  (*)   2 ( x + 1)( x + x − 15) =  −  y y   Khi (1)   1 + = ( x + 1)2 + 1    y Đặt a = x + 1, b = (b  0) , hệ trở thành: y 2 3   a(a − 16) = b(b − 4) a − b = 16a − 4b   a − b3 = (b2 − 5a )(4a − b)   2 2   1 + b = 5(a + 1) b − 5a = (2) b 4b  21a3 − 5a 2b − 4ab2 =  a = a = − a = Thay a = vào (2) b2 = tìm hai nghiệm (−1; −1),(−1;1) Thay a = − b vào (2) b2 = tìm hai nghiệm 2  2   −2;  ,  0; −      31 4b vào (2) − b2 = (vô nghiệm) 49 Kết luận Thay a = Câu a) u1 = Với k  2014 ,2un +1 = un2 + 2un , n  2013 * * , ta có: uk 1 2 1 1 = = − = − = −  Sn = − ; (u1  1) uk + uk (uk + 2) uk uk (uk + 2) uk 2uk +1 uk uk +1 u1 uk +1 Chứng minh: un+1 = Ta có: un+1 − un = un2 + 2un  1, n  un2  0, n  * *  un  1, n  *  (un ) tăng Giả sử (un ) bị chặn (un ) tồn giới hạn hữu hạn: lim un = a (a  1)    2a = a + 2a  a = Mâu thuẫn với a   lim un = +  lim   = u  n+1  2013 Vậy: lim Sn = = u1 2014 b) f (3x − y + ) = f ( x) − f ( y ), x, y  (1) x '− y '  3x '− y '  ta f (3x '− y '+ ) = f   , x ', y '     3x − y  (2)  f (3x − y + ) = f   , x, y    Trong (1) thay x = y =  3 Từ (1) (2) suy ra: f  x − y  = f ( x) − f ( y ), x, y  (3)  2 2 Thay x = 0, y = vào (3) ta được: f (0) = f (0) − f (0)  f (0) = b , b tùy ý 2  3 (3)  f  x − y  − f (0) =  f ( x) − f (0) −  f ( y) − f (0) , x, y   2 2 Đặt g ( x) = f ( x) − f (0), ta có: g (0) = và:  3 3     g  x − y  = g  x  + g  − y  , x, y   2 2    Vì g liên tục g ( x) = ax, x   g ( x + y ) = g ( x ) + g ( y ), x, y  nên: , với g (1) = a (a tùy ý)  f ( x) = ax + b, x  (4) (với a, b tùy ý) Thay (4) vào (1) ta được: b = a Vậy f ( x) = ax + a, với a tùy ý Câu a) T = MA.ha + MB.hb + MC.hc Ta có: = 2S 2S 2S = , hb = = = , hc = a b b c a c  MA.GA MB.GB MA.GC   MA.GA MB.GB MA.GC   T = 2 + + = 3 + +   b.GB c.GC  b.mc c.mc   a.GA  a.ma a.ma = 1 a + b2 + c a 2b2 + 2c − a = 3a (2b2 + 2c − a )  a.ma  2 3 Tương tự: b.mb  T a + b2 + c a + b2 + c , c.mc  3 ( MA.GA + MB.GB + MC.GC ) (1) a + b2 + c 2 Đẳng thức xảy  a = b = c MA.GA + MB.GB + MC.GC  MA.GA + MB.GB + MC GC ( ) ( ) ( ) = MG + GA GA + MG + GB GB + MG + GC GC a + b2 + c 2 = GA + GB + GC = (ma + mb + mc ) = 2 (2) Đẳng thức xảy  MA, GA hướng, MB, GB hướng, MC, GC hướng M trùng G Từ (1) (2) suy ra: T  T =  ABC M trùng G b) Xây dựng hệ tọa độ hình vẽ y C H A G O x E B Đặt BC = 2b (b  0), ta có: B(0; −b), C (0; b) x y  Giả sử A( x0 ; y0 ) ( x0  0) Ta có: G  ;   3  Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình:  y = y0  b2 − y02  H ; y0    x0 x + ( y0 − b)( y + b) =  x0  E điểm đối xứng với H qua G khi:  x0 b2 − y02 −  xE = xG − xH =  x0   y = y − y = − y0 G H  E E  BC  xE =  x0 b2 − y02 x2 y2 − =  x02 + y02 = 3b2  02 + 02 = 3b x0 b  Tập hợp điểm A mặt phẳng Oxy elip: x02 y02 + = loại trừ điểm B, C 3b2 b2 Vậy tập hợp điểm A elip có trục nhỏ BC; trục lớn có độ dài Câu a) a Từ (2) c(1) , a 2b 2b a a a2 a có nghiệm ' a +) a +) a a2 4b 2ab 3a 3a a 4b 2b a a2 1b a 0(4) (vì a * ) 6a 6a 1;1;3 a, b,c b) Giả sử: f (x) anxn a n 1x n Ta có: f (a f (a) an a b) anb a b an b a c2 (3) 3a a 1hoặc a b 1,c b 1,c Vậy a, b,c c2 (2) 4b2 2ab Từ (1) (3) suy ra: (2) ' 8b3 BC ; loại trừ B, C n an a a b 2;1;4 n a1x b n an an a0 an a b a b an n an a n 1b a b a 1b n a a a1b b) f (a) chia hết cho b Mà f (a b) chia hết cho b nên f (a) chia hết cho b Tương tự, f (b) chia hết cho a Câu Đặt P vế trái bất đẳng thức cho và: Suy ra: f (a b n b2 Q b a2 a a c2 Ta có: P P a c2 k c b2 b b2 c b k c2 k k b c b a2 k a2 c a k b2 k b2 b a k b2 k c b2 b k c2 Ta có: a b2 a a4 a2 b2 k a2 k b … a2 k b2 k a2 k a2 Suy a b a b2 k k b2 k a b a 2k b 2k Tương tự với số hạng khác P 2P a b b k c c k a k P b k Q , suy ra: b c 3 abc 2k 2k b c a Dấu đẳng thức xảy a 2k ĐỀ SỐ 46 Câu a)Điều kiện: cos x sin x Phương trình π x sin x cos x sin 2x cos 2x Giải ta có x sin x 2cos x cos 2x x cos 2x 4cos x 2cos x 2cos x k2π k sin x 2cos x x 2sin x π k2π k 2π k2π 2π sin 2x k2π π sin x(1) k c b k a c b4 b2 a2 Q a c2 k b a c k k k a c Q 2P c2 b a a2 c k k c2 k 2π Đối chiếu với điều kiện ta có: x 15 x nên log 15 log log Ta thấy x Với x Đặt x x x x x x ;9 log log 1 log x 30x 30x 2 x 34 2t t 1 x x x ta t2 34 x x Câu Tập xác định D 4x 4mx x x 2t t2 2t 23 x2 23 21 23x 30x Khi y ' 4x x y x y' m x x x x2 m m2 m; x m4 AC Trường hợp BAC x m 30 35 t t x 23 21 2 m có nghiệm phân biệt m m;BC y m m ;B m; m ; C AB2 m m; m m A, B,C không thẳng hàng nên 300 m4 m m Áp dụng định lý sin ta có: BC m4 x x Vậy đồ thị hàm số có điểm cực trị: A 0;m Ta có AB Để hàm số có cực trị phương trình y ' 4m 2x Đối chiếu với điều kiện ta có x Với x x Phương trình (2) trở thành: t t Đối chiếu với điều kiện chọn t y' 2x 30x 2x 2 không thỏa mãn x Ta có 2x , chia vế cho 2t 2 2π ;k 221 Ta thấy k 221 b) Điều kiện: x 2π k2π; x AC2 2AB.AC.cos300 m4 m ABC cân A m3 ( m 0) m 3 (thỏa mãn) Trường hợp ABC 300 ACB 300 BAC 1200 AB2 AC2 2AB.AC.cos1200 Áp dụng định lý cô sin ta có: BC 4m m4 m3 ( m m4 m 0) m 3 ; Câu 3.a) Điều kiện: m x Đặt x 16x 12 x x 29 x x x x x 2; t x 2m 15 x m x t , trở thành 2t x Xem t hàm số x , ta có t ' Vì t m (thỏa mãn) 3 m m Vậy 3m m nên t m t x x 2 x 1;1 t 2;3 có 2;3 t 2;3 nên 4t t Xét hàm số f (t) 2t 2 t Do f (x) f (t) t m 2t t 2t 2 8t t 2;3 m f (t) Do x, y +) Nếu x 3y y7 3x x , y7 x, y +) Nếu x +) Nếu x y thỏa mãn * y ta có x x y 3x y ta có VT(*) y ta có VT(*) Với x x7 Từ hệ cho ta có: x t 2;3 2;3 31 2 m ;3 b) Hệ cho t 31 2 f (3 2) ;3 m Do tốn tương đương tìm m để bất phương trình nghiệm Do t y7 3y VP(*) x, y VP(*) x, y 3x x7 * 0 3x (do x 0) Chứng minh phương trình có nghiệm x Đặt t7 x , phương trình trở thành f (t) t t Ta có hàm số f (t) liên tục Lại có f (1).f (2) f '(t) 7t nên phương trình f (t) 6t 3t t có nghiệm thuộc 1;2 Do phương trình có nghiệm x Vậy hệ có nghiệm Chú ý : Ta giải sau : x t7 Xét hàm f (t) 6t 9t 1, t 9x x 6x x x 0 ta có ĐPCM Câu Gọi I K hình chiếu H MC SI Vì MC SHI nên MC HK HK SMC HK Ta có : SMHC SABCD d H; SMC SAHM SBHC S 3a SCMD a nên 3a 2SHMC 5a HI MC 10 a 1 Xét tam giác vng, ta có : 2 HK HI HS2 Mặt khác CM HS HI.HK HI2 HK K G B C T H P I A D M 3a 15 20 3a 15 20 5a SBCMH SABCD SAHM SCMD Gọi P trung điểm CD T hình chiếu vng góc G lên ABCD Theo giả thiết ta có HK Vì SHP Vậy VG.BCMH ABCD nên T HP , GT a 15 5a 10 GT.SBCMH Câu Từ giả thiết ta có : x y y x x SH a 15 10 a 15 (đvtt) 48 y x y 2 x y x y x y y x x y y x x y x y x y Đẳng thức xảy x y P Đặt x x y 2xy y x Đặt f (t) 4t f '(t) Do f (t) y y x x2 y4 t4 2t 6t f y2 x4 3t 6t 10 3 xy 3t t4 10 x x 10 10 P t , ta có t y x 3; y 1; y x4 y4 y4 x4 x3 y 2t 3t 3t 3 với t y3 x3 x2 y2 y2 x2 x y y x 10 6, t 2t t 2t t 2596 , dấu xảy t 81 Vậy giá trị nhỏ biểu thức x 10 hay x 10 3, y 1, y 2596 81 ĐÊ SỐ 47 Câu a) Đồ thị Cm tiếp xúc với trục hoành hệ phương trình sau có nghiệm x4 2m x 2m 4x 2m 0 (1) (2) Phương trình tương đương x x +) Với x x m 0 thay vào hệ ta 2m Vậy với m đồ thị Cm tiếp xúc với trục hồnh điểm (khơng thỏa mãn) +) Với x 2m thay vào ta tìm m vào hệ ta tìm x Với m đồ thị Cm tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt 2a 2b , N b; , a 1, b 1,a b thuộc đồ thị C b) Lây hai điểm phân biệt M a; a b Thay m OM OMN vuông cân O a b Từ suy ab a ON OM.ON 4a 2 a b 4b 2 b 4ab a b ab Nếu ab suy M N trùng với O ( không thỏa mãn) Biến đổi phương trình thành a b 2ab Ta hê: a b a b 5 a ; b 5 Vậy ta tìm cặp điểm M1 ;5 ; N1 5; M 3 a b 2ab 5 ; N ;5 3 5; Câu a) Phương trình cho tương đương với: sin π 4x π sin 2sin 2x cos x sin 3x cos sin x 2x x b) Phương trình cho tương đương với: 2.4 21 2x 2x 2 log3 x 4x 22 x log3 x 2x 4x log3 x 4x Suy f t đồng biến 2; Khi * x2 4x f x2 4x 2x log3 x 22 x 2 4x f 2x x 2 k2π 2 Giải phương trình tập nghiệm phương trình cho 0;2;4 Câu 3: a) Điều kiện x x y y 0 x 4x log3 x 2 * 2t.ln 2.log t 2 log3 x 2x 2 ta có f ' t 2sin 2x.cos x π log3 x log3 x 2t.log t 2; Xét hàm số f t x 2x sin 2x k2π ;x x 4x 4x 4x kπ π 18 x π π 2cos t t.ln 0, t 2 u Đặt v x x y u, v y u v u v u2 v2 2 uv uv v u 2uv 3 uv 2 Thế vào ta +) Với u +) Với v π π 2uv v ( loại) u x uv dx uv (thỏa mãn) y π dx cos x sin 2x b) I uv cos x tan x tan x d tan x tan x Đặt tan x Đổi cận x π π tan u, u ; ;d tan x 2 π π π u ;x u 3 tan u du Khi I π π tan u du tan u 2 π π 1 sin u π 1 sin u ln 2 sin u π π tan u 1du π π π du cos u d sin u sin u B A ln H O C D Câu 4.1 a) Chứng minh tam giác A'BD cạnh a Suy tứ diện A'ABD tứ diện cạnh a A' D' B' C' a3 Chỉ thể tích khối hộp sáu lần VA'ABD Do thể tích 12 Tính thể tích VA 'ABD a3 b) Gọi H trọng tâm ΔABD khối hộp Theo chứng minh ta có tứ diện A'ABD tứ diện suy A ' H vng góc với mặt phẳng ABD ' Góc A C mặt phẳng ABCD A 'CA a ;CH Xét ΔA'HC ta có A 'H 2a ;A 'C a Tính cosA 'CA a) Tâm I 1;1; , bán R , d I; P R nên P cắt S theo đường tròn C bán kính Tâm H C hình chiếu I lên P , P có VTPTn r 1; 2; , viết phương trình đường thẳng IH từ tìm H 2; 1;0 VTCP Δ;u1 b) Gọi u a;b;c Ta có u u1 nên a Góc Δ; P 2b (1) 300 nên Δ;IH Từ (1) 16c2 5b2 7c c2 5b 14, b Từ ** chọn a a Câu : a c a d b Vậy T f' d 16 14, b d a c d a d 1 3d 49 2d 150 3d a x 14 d 2d x 14 ; 3d 25 2d 2d d 2 3136 b2 c 12 * 35 Viết Δ1 : 7,c a2 2b 5b ** 35 Viết Δ1 : 7,c a 600 hay cos n, u 7c Từ * chọn a 1; 2;0 VTCP d f d 0, d ; y z 35 y z 35 2c 2 22 Suy f d đồng biến, từ f d 544 Kết luận max T a f ;c b 544 d ĐỀ SỐ 48 Câu a) 2sin 3x 4sin x 2sin 3x 4cos x 1 π thay vào (1) không thỏa mãn kπ, k π +) Xét cos x x kπ, k Nhân hai vế với cos x ta : +) Xét cos x 2sin 3x.cos3x Kết hợp x π 14 x cos x sin 6x π kπ, k 2π π k ;x 10 sin x π x x π 14 π 10 2π ;k 2π k k ta tập nghiệm 2π , k 7n 5;k 5n 1;k, n 2a 2b b) Lấy hai điểm phân biệt M a; , N b; , a 1, b 1,a a b x k ΔOMN vuông cân O a ab 4a a b 4b 2 4ab a b Từ (4) suy b ON OM.ON a b ab OM b thuộc đồ thị C Nếu ab suy M N trùng với O ( không thỏa mãn) Biến đổi phương trình thành a b 2b Ta hệ a b a b a Giải hệ b 5 ; 2ab a b Vậy ta tìm cặp điểm : M1 5 ;5 ; N1 5; M 5; 5 ; N ;5 3