Đề tài phép nghịch đảo và một số ứng dụng trong các bài toán hình học phẳng

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình Hình học lớp Trung học phổ thơng có giới thiệu phương tích điểm đường trịn phép biến hình mặt phẳng, phép biến hình sử dụng phương tích (phép NGHỊCH ĐẢO) cơng cụ hữu hiệu giải tốn Nhiều tốn hay giải tốt cơng cụ Để tìm hiểu thêm “phép nghịch đảo” tơi chọn đề tài: “Phép nghịch đảo số ứng dụng tốn hình học phẳng” II NỘI DUNG § ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO Định nghĩa Cho điểm O cố định số k  Nếu ứng với điểm M mặt phẳng khác với điểm O ta tìm điểm M’ đường thẳng OM cho OM OM' = k phép biến hình f(M) = M’ gọi phép nghịch đảo cực O, phương tích k Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo f(O, k) Phép nghịch đảo f hoàn toàn xác định biết cực O phương tích k Các tính chất a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp OM OM' = OM' OM = k nghĩa M’ = f(M) ta có M = f(M’) Do f o f(M) = M hay f2 phép đồng b) Nếu k > hai điểm M M’ = f(M) nằm phía điểm O Khi tập hợp điểm kép phép nghịch đảo f(O, k) đường trịn tâm O có bán kính k k Ta gọi đường trònO nàyMlà đường tròn M’ nghịch đảo phép nghịch đảo f(O, k) Hình Ta có OM OM' = ( k ) = k (H1) A Cần lưu ý điểm M nằm miền đường tròn nghịch đảo M' N' O B Hình M N điểm M’ = f(M) nằm ngồi đường trịn nghịch đảo ngược lại c) Nếu k < hai điểm M M’ = f(M) nằm hai phía điểm O Khi ta khơng có điểm kép khơng có đường trịn nghịch đảo k < Vì OM OM' = k không đổi nên điểm M tiến lại gần điểm O điểm M’ xa điểm O) Ta vẽ đường trịn đường kính MM’ từ O vẽ đường thẳng vng góc với MM’ cắt đường trịn A B Ta có OA OB = OM OM' = k Nếu N’ = f(N) qua phép nghịch đảo với k < cho ta có OA OB = ON ON' = OM OM' (H2) Khi ta có bốn điểm N, N’, A, B nằm đường trịn Các định lí Định lý Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > đường trịn qua hai điểm tương ứng M M’ = f(M) trực giao với đường trịn nghịch đảo phép nghịch đảo Chứng minh k Theo giả thiết ta có OM OM' = k O C M M' Hình Giả sử (C) đường trịn qua M M’ = f(M) (H3) Khi P (O/(C) = OM OM' = ( k )2 (1) Nếu đường trịn nghịch đảo tâm O có bán kính R = k hệ thức (1) chứng tỏ đường tròn (C) trực giao với đường tròn (O) Ta suy đường tròn qua M M’ (tạo nên chùm đường tròn) trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O bán kính R = k Hệ Qua phép nghịch đảo với phương tích k > Mọi đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo biến thành Định lí Cho phép nghịch đảo f(O, k) với k > Nếu có hai đường trịnn trực giao với đường trịn nghịch đảo tâm O cắt M, M’ hai điểm hai điểm tương ứng phép nghịch đảo f(O, k) cho Chứng minh Giả sử hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với đường tròn nghịch đảo (O) chúng cắt M M’ (H4) Trục đẳng phương MM’ hai đường tròn (C1) (C2) qua tâm O đường tròn nghịch đảo điểm O nằm ngồi đoạn MM’ O phải nằm ngồi hai đường trịn (C1) (C2) Đường tròn (O) C1 O M M' C2 trực giao với (C1) (C2) nên ta có: Hình P (O/(C ) = P (O/(C ) = ( k )2 Do OM OM' = k đpcm Định lí Đối với phép nghịch đảo f(O, k) bất kì, hai điểm A, B khơng thẳng hàng với cực nghịch đảo, với ảnh chúng A' A’ = f(A), B’ = f(B) nằm đường tròn A o Chứng minh O Vì OA OA' = OB OB' = k nên B B' Hình bốn điểm A, A’, B’, B nằm đường trịn (H5) Định lí Tích hai phép nghịch đảo có cực O f(O, k) f’(O, k’) phép vị tự tâm O tỉ số k' k Chứng minh Nếu phép nghịch đảo f(O, k) biến M thành M’ phép nghịch đảo f’(O, k’) biến M’ thành M thì: OM OM' = k, OM' OM'' = k’ Do ta suy OM' ' k ' = k OM' Vậy tích hai phép nghịch đảo phép vị tự tâm O tỉ số k' k Nói chung tích hai phép nói khơng giao hốn trừ trường hợp | k | = | k’| Hệ Hình dạng ảnh hình H phép nghịch đảo khơng phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà phụ thuộc vào vị trí cực nghịch đảo Thật vậy, giả sử H1 ảnh hình H phép nghịch đảo f1(O, k1) H2 ảnh hình H phép nghịch đảo f2(O, k2), đó: H1 = f1(H), H2 = f2(H)  H = f2-1(H2) = f2(H2) Do đó: H1 = f1[f2 (H2)] = f1 o f2(H2) = V(H2) Với V phép vị tự Do H1 H2 hai hình đồng dạng Định lí Cho hai điểm A B ảnh A’, B’ chúng phép nghịch đảo cực O, phương tích k Độ dài đoạn thẳng AB A’B’ liên hệ với hệ thức: A’B’ = | k || AB OA.OB Chứng minh: Ta xét hai trường hợp: a) Ba điểm O, A, B không thẳng hàng (H6) A' Ta có OA.OA’ = OB.OB’ hay A O B Hình B' OA OB'  OB OA' Vậy hai tam giác OAB OB’A’ đồng dạng nên: A' B' OA' OA'.OA |k|    AB OB OA.OB OA.OB Do đó: A’B’ = | k | AB OA.OB b) Ba điểm O, A, B thẳng hàng Khi ta có A' B' OB'  OA'  A' B' k k k  OB OA ( OA  OB)  AB k OA.OB OA.OB Lấy trị số tuyệt đối hai vế ta có: A’B’ = | k | AB OA.OB 10 § SỰ BẢO TỒN GÓC QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO Định nghĩa Cho hai đường cong (C1) (C2) cắt điểm A tạiđó chúng có tiếp tuyến Ta gọi góc hai tiếp tuyến góc hai đường cong cho điểm A Bổ đề Cho phép nghịch đảo f(O, k) biến đường cong (C ) thành đường cong (C’) Nếu A, A' hai điểm tương ứng (C ), (C ') chúng có tiếp tuyến tiếp tuyến đối xứng với qua đường trung trực đoàn thẳng AA' Định lí Phép nghịch đảo bảo tồn góc Chứng minh: Giả sử qua phép nghịch đảo f, hai đường cong (C) (D) cắt điểm A biến thành đường cong (C') (D') cắt điểm A' = f(A) (H8) Theo bổ đề tiếp tuyến At A't' (C) (C') A đối xứng với d qua đường trung trực d đoạn (C) AA' Tương tự tiếp tuyến Au A'u' A (D) (D') A A' đối xứng với qua d Vậy hai góc (At, (D) t' t (C') A' u u' Hình (D') 11 Au) (A't', Au') đối xứng với qua d nên chúng có độ lớn hình học ngược hướng Ta có (A't', A'u') = - (At, Au) 12 §3 ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO Từ định nghĩa, ta suy phép nghịch đảo biến đường thẳng qua cực nghịch đảo thành đường trịn Cịn đường thẳng không qua cực nghịch đảo ảnh xác định định lí sau Định lí Phép nghịch đảo biến đường thẳng không qua cực nghịch đảo O thành đường tròn qua cực nghịch đảo trừ điểm O Ngược lại đường tròn qua cực nghịch đảo O (trừ điểm O) có ảnh đường thẳng khơng qua cực nghịch đảo Hệ Nếu đường tròn tâm I biến thàng đường thẳng d tâm I biến thành điểm đối xứng I' cực nghịch đảo O qua d (H9) Định lí Một đường thẳng đường trịn coi ảnh hai phép nghịch đảo, đường thẳng không tiếp xúc với đường trịn 3.Định lí Qua phép nghịch đảo, đường trịn khơng qua cực nghịch đảo O biến thành đường trịn khơng qua diểm O 13 §4 PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỐI VỚI HAI ĐƯỜNG TRÒN Ta biết phép nghịch đảo f(O, k) đường trịn khơng qua cực nghịch đảo O có ảnh đường trịn cực nghịch đảo tâm vị tự hai đường tròn Ngược lại cho trước hai đường trịn C(I, R) C'(I',R'), ta xét xem chúng ảnh qua phép nghịch đảo hay khơng Ta xét trường hợp sau: Trường hợp tổng quát Trường hợp hai đường tròn (C) (C') không không tiếp R' R' xúc nhau, có hai phép vị tự VOR V'OR' biến đường tròn (C) thành đường tròn (C') Các tâm vị tự O O' không nằm hai đường trịn Khi có hai d phép nghịch đảo biến (C) thành (C') (H13) R' R O I O' H I' B (C') Hình a) Phép nghịch đảo tâm O với phương tích k = lp = R' p p R phương tích điểm O đường tròn (C) 14 b) Phép nghịch đảo tâm O' với phương tích k'= R' p' p' R phương tích điểm O' đường tròn (C) Các trường hợp đặc biệt a) Nếu hai đường tròn (C) (C') khơng tiếp xúc có phép vị tự O' biến(C) đường tròn thành đường trịn (C') I O' I' Do ta có phép nghịch đảo cực O' với phương tích k' = - R' p', R Hình p' phương tích điểm O' đường trịn (C) (bằng phương tích O' đường tròn (C')) (H14) b) Nếu hai đường tròn (C) (C') tiếp xúc với điểm A không tiếp điểm tâm vị tự khơng phải cực nghịch đảo có tâm vị tự lại cực O phép nghịch đảo (H15) O I' I A A O (C) (C) (C') (C') Hình 10 c) Nếu hai đường trịn (C) (C') tiếp xúc với khơng có I I' (C) (C') Hình 11 15 phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường tròn (H16) Chú ý: Giả sử phép nghịch đảo f(O, k) biến đường trịn (C) thành đường trịn (C') tâm I đường trịn (C) khơng biến thành tâm I' đường tròn (C') Gọi J = f(I), muốn tìm J ta vẽ qua I đường thẳng d d vng góc với (C) Vì d khơng qua cực O nên d' = f(d) đường tròn qua O trực giao với đường trịn (C') = f(C) Đường kính AB đường tròn (C') qua O cắt đường tròn d' J O Ta có A, B, J, O hàng điểm điều hồ d' trực giao với đường trịn (C') Vậy ta có (ABJO) = -1 O, J hai điểm liên hợp đường trịn (C') (xem H12) 16 §5 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI TỐN Do phép nghịch đảo có khả biến đường tròn thành đường thẳng nên người ta khai thác khả phép nghịch đảo để giải toán Muốn vậy, toán người ta thường chọn cực nghịch đảo giao điểm số đường trịn tính chất đề cập đến phải bất biến phép nghịch đảo độ lớn góc, tính trực giao đường, tiếp xúc đường Bài tốn Cho hai đường trịn (O1) (O2) trực giao với cắt A B Ta lấy điểm C D hai đường trịn cho đường thẳng CD khơng qua A B Chứng minh đường trịn (ACD) (BCD) lúc trực giao với (H17a) Giải a) Cách giải thứ 1: Dùng phép nghịch đảo f cực A biến đường tròn trực giao (O1) (O2) thành đường thẳng (O'1), (O'2) vuông góc với điểm B' = f(B) Ta có C' = f(C), D' = f(D) điểm (O' 1) (O'2) (H17b) Khi đường trịn (BCD) biến thành đường tròn (B'C'D') B' A C O O21 D 11 D' C' B (O1) (O'2) (O'1) Hình 12a Hình 12b 17 Do B'C' vng góc với B'D' nên C'D' đường kính đường trịn (B'C'D'), có nghĩa C'D' trực giao với đường trịn (B'C'D') Vì C'D' ảnh đường tròn (ACD) nên ta suy đường tròn trực giao với đường tròn (BCD) phép nghịch đảo bảo tồn góc Nếu chọn B làm cực nghịch đảo ta có cách giải tương tự b) Cách giải thứ hai: Dùng phép nghịch đảo j cực C biến đường tròn (O1) thành đường thẳng (O'1) biến đường tròn (O2) thành đường tròn (O'2), trực giao với đường thẳng (O'1) A' = j(A) B' = j(B) Còn điểm D biến thành điểm D' thuộc đường tròn (O'2) (H18) D' Vì A'B' đường kính đường trịn (O'2) nên A'D' vng góc B' A' với B'D' D' Từ ta suy trực giao đường trịn(ACD) (BCD) (O'1) (O2) Hình 13 Nếu chọn B làm cực nghịch đảo ta có cách giải tương tự 18 Bài toán Cho tam giác ABC đường cao BH, CK Chứng minh đường thẳng HK song song với tiếp tuyến A đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Giải Vì BHC = BKC = 900 nên điểm H K nằm đường trịn đường kính BC Do ta có: AB.AK AC.AH Với phép nghịch đảo f tâm A phương tích k = AB.AK AC.AH , A điểm B biến thành điểm K, điểm C H K biến thành điểm H Khi đường trịn B C ngoại tiếp tam giác ABC biến thành đường thẳng KH qua cực Hình 14 nghịch đảo A Mặt khác qua phép nghịch đảo f tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua cực nghịch đảo A nên biến thành Do tiếp tuyến song song với KH phép nghịch đảo bảo tồn góc Bài tốn Cho đường tròn cố định tâm O dây cung cố định AB đường trịn Một điểm M di động đường tròn (O) Gọi M' giao điểm thứ hai đường tròn qua M, tiếp xúc với đường thẳng AB A B Hãy tìm tập hợp điểm M' 19 Giải Gọi (C) (C') hai đường tròn qua M tiếp xúc với AB A B Đờng thẳng MM' trục đẳng phương (C) (C') phải qua trung điểm I đoạn AB Ta có (C) M IM IM' = IA2 = IB2 (H20) Điểm M' ảnh M phép nghịch đảo cực I phương tích k= IA2 = IB2 O A (C') M' I B O' H Điểm M vạch nên đường trịn (O) Hình 15 nên điểm M' vạch nên đường tròn (O') ảnh (O) phép nghịch đảo Đờng tròn (O) qua hai điểm A, B hai điểm bất biến phép nghịch đảo Vậy (O') đường tròn qua ba điểm A, B, M' Vẽ tam giác vuông OAH Ta có: IO.IH = IA.IB hay IA2 = IO'.IH với O' điểm đối xứng O qua AB ta có IO'   IO Vậy: Tập hợp điểm M' đường tròn (O') đối xứng với đường tròn tâm O qua đường thẳng AB 20 Bài tốn Định lí Ptolémée Điều kiện cần đủ để tứ giác lồi nội tiếp đợc tích hai đường A' chéo tích cạnh đối diện A Chứng minh B Cho tứ giác lồi ABCD Gọi B' D f phép nghịch đảo cực D C phương tích k biến A, B, C lần lợt thành A', B', C' Ta biết điều kiện Hình 16 C' cần đủ để bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn ba điểm A', B', C' thẳng hàng Điều kiện thẳng hàng ba điểm A', B', C' là: A'C' = A'B' + B'C' (H21) hay |k| AC AB BC = |k| + |k| DA.DC DA.DB DB.DC Nhân hai vế với DA.DB.DC | k | ta đợc: AC DB = AB CD + AD.BC đpcm Bài toán Hệ thức Euler Cho điểm A, B, C, D tuỳ ý nằm đường thẳng m Gọi ảnh A, B, C phép nghịch đảo cực D, phương tích k A', B', C' Ta ln ln có: B' C' + C' A ' + A' B' = Do A' B' = k  AB  BC  CA , B' C' = k , C' A ' = k DC.DA DB.DC' DC.DA 21 Ta có: - BC k k k - CA -  AB =0 DB.DC DC.DA DA.DB Nhân vế với - DA.DB.DC k ta được: DA.BC  DB.CA  DC.AC = ta hệ thức Euler đpcm 22 Bài toán Chứng minh phép nghịch đảo bảo tồn hàng điểm điều hoà với cực nghịch đảo đường thẳng chứa hàng điểm A Chứng minh I C D B Gọi I trung điểm AB Theo hệ thức Newton ta có Hình 17 (ABCD) = -1  IA = IC.ID  IB2 = IC.ID Chọn I làm cực nghịch đảo với phương tích k= IA = IB2 ta có đường trịn nghịch đảo đường trịn đường kính AB Qua phép nghịch đảo ta có: A  A, B  B, C  D, D  C (ABCD) = -1  (ABCD) = -1 Bài toán Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng d đường trung trực AB Một đường tròn (O) thay đổi qua A, B cắt d D E Các đường thẳng CD CE cắt đường trịn (O) D' E' Tìm tập hợp điểm D'D'và E' D' Giải Ta có CD.CD' CE.CE ' CA.CB = k (k không đổi) I A B C O E' E Hình 18  D', E' lần lợt ảnh D, E phép nghịch đảo cực C, phương tích k 23