Chương II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Trong chương II, tìm hiểu bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn, ta học cách nhận biết nghiệm biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn mặt phẳng toạ độ ứng dụng kiến thức học vào giải tốn thực tiễn Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F = ax + by miền đa giác giúp tối ưu hố sản xuất Học xong chương này, bạn có thể: Nhận biết bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn mặt phẳng toạ độ Vận dụng kiến thức bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn vào giải tốn thực tiễn (ví dụ: tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức F = ax + by miền đa giác, ) Bài Bất phương trình bậc hai ẩn Từ khố: Bất phương trình bậc hai ẩn; Nghiệm; Miền nghiệm Đường thẳng d: y = x + chia mặt phẳng toạ độ thành hai miền (khơng tính đường thẳng d) hình bên Dùng nhãn đặt vào miền phù hợp để đặt tên cho miền y>x+1 y 0; ax + by + c 0; ax + by + c 0, a, b, c số cho trước; a, b không đồng thời x, ẩn Ví dụ Tìm bất phương trình bậc hai ẩn bất phương trình sau đây: a) b) c) d) x - 5y + 0; 9x2 + 8y -7 0; 3x - > 0; 4y + 11 Giải Các bất phương trình a), c), d) bất phương trình bậc hai ẩn Bất phương trình b) khơng bất phương trình bậc hai ẩn có chứa x2 Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? a) b) c) d) 2x - 3y + 0; x - 3y + 0; y - > 0; x - y2 + > Nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Trường hợp sau thoả mãn tình nêu ? Trường hợp 1: Nam ủng hộ tờ tiền loại 20 nghìn đồng tờ tiền loại 50 nghìn đồng Trường hợp 2: Nam ủng hộ 15 tờ tiền loại 20 nghìn đồng 10 tờ tiền loại 50 nghìn đồng Xét bất phương trình ax + by + c < Mỗi cập số (x0; y0) thoả mãn ax0 + by0 + c < gọi nghiệm bất phương trình cho Ví dụ Cặp số sau nghiệm bất phương trình 20x + 50y - 700 0? a) (5; 6) b) (9; 11) Giải a) Vì 20 + 50 - 700 = - 300 < nên (5; 6) nghiệm bất phương trình 20x + 50y 700 b) Vì 20 + 50 11 - 700 = 30 > nên (9; 11) khơng phải nghiệm bất phương trình 20x + 50y - 700 Cặp số sau nghiệm bất phương trình 4x - 7y - 28 0? a) (9; 1); b) (2; 6); c) (0; - 4) Cho biết 100 g thịt bò chứa khoảng 26,1 g protein, trứng nặng 44 g chứa khoảng 5,7 g protein (nguồn: http://www.vinmec.com) Giả sử có người ngày cần khơng q 60 g protein Gọi số gam thịt bò số trứng mà người ăn ngày x y a) Lập bất phương trình theo x, y diễn tả giới hạn lượng protein phần ăn ngày người b) Dùng bất phương trình câu a) để trả lời hai câu hỏi sau: Nếu người ăn 150 g thịt bò trứng (mỗi 44 g) ngày có phù hợp khơng? Nếu người ăn 200 g thịt bị trứng (mỗi 44 g) ngày có phù hợp không? Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Cho bất phương trình 2x - y + < a) Vẽ đường thẳng y = 2x + b) Các cặp số (-2; 0), (0; 0), (1; 1) có nghiệm bất phương trình cho khơng? Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp điểm (x 0, y0) cho ax0 + by0 + c < gọi miền nghiệm bất phương trình ax + by + c < Người ta chứng minh được: Mỗi phương trình ax + by + c = (a, b không đồng thời 0) xác định đường thẳng Đường thẳng chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng, nửa (khơng kể bờ ) tập hợp điểm (x, y) thoả mãn ax + by + c > 0, nửa lại (không kể bờ ) tập hợp điểm (x; y) thoả mãn ax + by + c < Ta biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn ax + by +c < sau: Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng : ax + by + c = Bước 2: Lấy điểm (x0; y0) không thuộc Tính ax0 + by0 + c Bước 3: Kết luận Chú ý: Đối với bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax + by + c (hoặc ax + by + c 0) miền nghiệm miền nghiệm bất phương trình ax + by + c < (hoặc ax + by + c > 0) kể bờ Ví dụ Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau: a) x - 2y - > 0; b) x + y - Giải a) Vẽ đường thẳng : x - 2y - = qua hai điểm −1 A(1; 0) B(0; ) Xét gốc toạ độ O(0; 0) Ta thấy O - - < Do đó, miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng không kể bờ , không chứa gốc toạ độ O (miền khơng gạch chéo Hình 1) b) Vẽ đường thẳng : x + y - = qua hai điểm A(1; 0) B(0; 1) Xét gốc toạ độ O(0; 0) Ta thấy O + - < Do đó, miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng kể bờ , chứa gốc toạ độ O(miền khơng gạch chéo Hình 2) Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau: a) 2x + y - 0; b) x - y - Biểu diễn miền nghiệm hai bất phương trình sau mặt phẳng toạ độ Oxy a) y 2; b) x BÀI TẬP a) b) c) Cho bất phương trình bậc hai ẩn x - 2y + > (0; 0) có phải nghiệm bất phương trình cho không? Chỉ ba cặp số (x; y) nghiệm bất phương trình cho Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình cho mặt phẳng Oxy a) b) c) Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau mặt phẳng toạ độ Oxy - x + y + > 0; y + 0; - x + Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau mặt phẳng toạ độ Oxy a) - x + + 2(y - 2) < 2(1 - x); b) 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - Bạn Cúc muốn pha hai loại nước cam Để pha lít nước cam loại I cần 30 g bột cam, cịn lít nước cam loại II cần 20 g bột cam Gọi x y số lít nước cam loại I II pha chế được, Biết Cúc dùng không 100 g bột cam Hãy lập bất phương trình mơ tả số lít nước cam loại I II mà bạn Cúc pha chế biểu diễn miền nghiệm bất phương trình mặt phẳng toạ độ Oxy Miền không gạch chéo (không kể bờ d) hình miền nghiệm bất phương trình nào?