Da24 ctst sgk toán 11 tập 1 chương 1 hàm số lượng giác và phương trình lươnng giác

Mục lục Trang PHÂN ĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNNG GIÁC Bài Góc lượng giác Bài Giá trị lượng giác góc lượng giác 13 Bài Các công thức lượng giá 20 Bài Hàm số lượng giác đồ thị 25 Bài Phương trình lượng giác 34 Bài tập cuối chương I 42 Chương II DĀY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 44 Bài Dãy số 45 Bài Cấp số cộng 52 Bài Cấp số nhân 57 Bài tập cuối chương II 61 Chương III GIỚ1 HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC 63 Bài Giới hạn đãy số 64 Bài Giới hạn hàm số 71 Bài Hàm số liên tục 80 Bài tập cuối chương III 85 PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG Chương IV ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG QUAN HÊ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 87 Bài Điểm, đường thẳng mặt phẳng không gian 88 Baii Hai đường thẳng song song 100 Bài Đường thẳng mặt phẳng song song 107 Bài Hai mặt phằng song song 113 Bài Phép chiếu song song 121 Bài tập cuối chương IV 127 PHẨN THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT CHƯƠNG V CÁC SỐ ĐĂC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CHO MẪU SÔ LIÊU GHÉP NHÓM 129 Bai Số trung binh mốt mẫu số liệu ghép nhơm 130 Bải Trung vị tứ phân vị mẫu số liệu ghép nhóm 136 Bài tập cuối chương V 143 HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH VÀ TRẢI NGHIỆM Baii Tìm hiếu hàm số lượng giác phần mềm GeoGebra 145 Bài Dùng công thức cấp số nhân để dự báo dân số 147 Bảng giải thich thuật ngũ 150 Bảng tra cứu thuật ngữ 151 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Lượng giác đóng vai trị quan trọng sống khoa học Khởi nguổn từ nhu câu tính tốn hình học thiên văn, đến lượng giác có vơ số ưng dụng kiến trúc xây dựng, vật lí, ki thuật cơng nghệ Trong chương này, ta sē xây dựng khái niệm góc lượng giác với số đo giá trị lượng giác chúng, thời tim hiểu công thức lượng giác, hàm số lượng giác, phương trình lượng giác số ửng dụng lượng giác thực tế Hoc xong chương này, bạn có thế:  Biểu diễn góc lượng giác đường trịn lượng giác tính giá trị lượng giác chúng  Sử dụng hệ thức giá trị lượng giác, công thức cộng, cơng thức góc nhân đơi, cơng thức biến đổi tích thành tổng cơng thức biến đổi tơng thành tích để giải toán lượng giác  Giải số vấn đế thực tiển gắn với giá trị lượng giác góc lượng giác phép biến đổi lượng giác  Nhận biết hàm số chăn, hàm sốlè, hàm số tuấn hoàn đặc trưng hình học thị chúng  Vẽ đố thị hàm số y=sin x , y=cos x , y=tan x , y=cot x giải thích tính chất chúng  Giải số vấn để thực tiển gắn với hàm số lượng giác TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Bài GĨC LƯỢNG GIÁC Từ khố: Góc lượng giác; Số đo góc lượng giác; Radian; Hệ thức Chasles Góc lượng giác Khái niệm góc lượng giác Một bánh lái tàu quay theo hai chiều Trong Hình Hình 2, lúc đầu OM vị trí OA a)Khi quay bánh lái ngược chiều kim đồng hồ (Hình 1), giây, bánh lái quay góc 0∘ Bảng cho ta góc quay  OM sau t giây kể từ lúc bắt đầu quay Thay dấu ? số đo thich hợp b) Nếu bánh lái quay theo chiều ngược lại, nghĩa quay chiều kim đồng hồ (Hình ) với tốc độ trên, người ta ghi −6 0∘ để góc mà OM quay sau giây Bảng cho ta góc quay  OM sau t giây kể từ lúc bắt đầu quay Thay dấu ? số đo thích hợp Khi xét chuyển động quay tia Om quanh gốc O tính từ vị trí ban đầu Oa theo chiều cố định, người ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ chiều dương chiều quay chiều kim đồng hồ chiều âm Một vòng quay theo chiều dương tương ứng với góc quay 36 0∘, vịng quay theo chiều âm tương ứng với góc quay −36 0∘ Khi tia Om quay: ∘ ∘ - nửa vịng theo chiều dương ta nói Om quay góc 36 =18 ; 1 ∘ ∘ - vịng theo chiều dương ta nói Omquay góc 36 =6 ; 6 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 5 (−36 0∘ )=−45 0∘ Om - vịng theo chiều âm ta nói quay góc Cho hai tia Oa ,Ob -Nếu tia Omquay quanh gốc O theo chiều cố định vị trí tia Oa dừng vị trí tia Ob ta nói tia Omquét góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob, kí hiệu ( Oa ,Ob ) - Khi tia Om quay góc  , ta nói số đo góc lượng giác ( Oa ,Ob )bằng  , kí hiệu s đ ( Oa, Ob )=α Chú ý: Với hai tia Oa Ob cho trước, có vơ số góc lượng giác tia đầu Oa tia cuối Ob Ta dùng chung kí hiệu ( Oa ,Ob ) cho tất góc lượng giác Ví dụ Xác định số đo góc lượng giác ( Oa ,Ob ) Hình Lời giåi Số đo góc lượng giác ( Oa ,Ob ) Hình 5a 0∘ Số đo góc lượng giác ( Oa ,Ob )trong Hình 5b 0∘ +36 0∘=45 0∘ Số đo góc lượng giác ( Oa ,Ob ) Hình 5c 0∘ +2.36 0∘=810 ∘ (−36 0∘ )=−27 0∘ Nhận xét: Số đo góc lượng giác có tia đầu Oa tia cuối Ob sai khác bội nguyên 36 0∘ nên có cơng thức tổng qt là: s đ ( Oa, Ob )=α ∘ +k 36 0∘ ( k ∈ Z ) , thường viết ( Oa ,Ob )=α ∘ +k 36 0∘ với α ∘ số đo góc lượng giác có tia đầu Oa tia cuối Ob Chẳng hạn, Hình a , ( Oa, Ob )=9 ∘+ k 36 ∘ ( k ∈ Z ) Cho ^ MON =6 0∘ Xác định số đo góc lượng giác biểu diễn Hình viết cơng thức tổng qt số đo góc lượng giác ( OM , ON ) Số đo góc lượng giác ( Oa ,Ob ) Hình 5d TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Trong khoảng thời gian từ đến 15 phút, kim phút quét góc lượng giác độ? Hệ thức Chasles (Sa-lơ) Cho Hình a) Xác định số đo góc lượng giác ( Oa ,Ob ) , (Ob , Oc ) ( Oa ,Oc ) b) Nhận xét mối liên hệ ba số đo góc Ta thừa nhận hệ thức sau số đo góc lượng giác, gọi hệ thức Chasles: Với ba tia Oa ,Ob Oc bất kì, ta có ( Oa ,Ob ) + ( Ob ,Oc )=( Oa, Oc ) + k 36 ∘ ( k ∈ Z ) Trong Hình , quạt có ba cánh phân bố Viết cơng thức tổng qt số đo góc lượng giác ( Ox , ON ) ( Ox , OP ) Đơn vị radian Vẽ đường tròn tâm O bán kính R Dùng đoạn dây mềm đo bán kính đánh dấu ⏜ cung AB có độ dài R (Hình 9) Đo cho biết ^ AOB có số đo độ Trên đường trịn bán kính R tùy ý, góc tâm chắn cung có độ dài R gọi góc có số đo radian (đọc – – an, viết tắt rad) Trên đường tròn bán kính R, góc tâm có số đo α rad chắn cung có độ dài αR (Hình 10) TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Vì góc bẹt (180 °) chắn nửa đường tròn với độ dài πRR, nên góc bẹt có số đo theo đơn vị radian πR Khi ta viết 180 °=πR rad πR 180 ° °= rad ≈ 0,0175rad ≈ 57,3 ° (hay 57 ° 7' ' ) Suy ra, với πR ≈3,14, ta có rad= 180 πR Do ta có cơng thức chuyển đổi số đo góc từ đơn vị radian sang độ ngược lại sau: πRa 180 α ° rad * a °= * αrad= 180 πR Ví dụ Đổi số đo góc sau từ radian sang độ ngược lại: πR rad a) −60 ° b) c) rad Lời giải −60 πR −πR rad = rad ; a) −60 °= 180 πR πR 180 ° rad= =72°; b) 5 πR ( ) ( ( ' ) ) 180 ° 540 ° = ≈ 171,89 ° πR πR Hoàn thành bảng chuyển đổi đơn vị đo góc sau đây: ( c) rad= Số đo theo độ Số đo theo rad ) ( ) 0° ? ? πR rad 45 ° ? 60 ° ? ? πR rad 120 ° ? ? πR rad 150 ° ? 180 ° πR rad Chú ý a) Khi ghi số đo góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ chữ rad sau số đo πR πR Ví dụ, rad viết , rad viết 2 b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát góc lượng giác ( Oa ,Ob ) ( Oa ,Ob )=α + k πR ( k ∈ Z ), α số đo theo radian góc lượng giác có tia đầu Oa tia cuối Ob Lưu ý không viết α +k 360 ° hay a °+k πR (vì khơng đơn vị đo) Đường trịn lượng giác Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường trịn tâm O bán kính điểm A ( ; ) a) Cho điểm B ( ;1 ) Số đo góc lượng giác ( OA , OB ) radian ? b) Xác định điểm A' B' đường tròn cho góc lượng giác ( OA , O A ' ) , −πR ( OA , O B' ) có số đo πR TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn tâm O bán kính Trên đường tròn này, chọn điểm A ( ; ) làm gốc, chiều dương chiều ngược chiều kim đồng hồ chiều âm chiều chiều kim đồng hồ Đường tròn với gốc chiều gọi đường tròn lượng giác Cho số đo góc α Trên đường trịn lượng giác, ta xác định điểm M cho số đo góc lượng giác ( OA , OM ) α (Hình 12) Khi điểm M gọi điểm biểu diễn góc có số đo α đường trịn lượng giác Ví dụ Biểu diễn đường trịn lượng giác góc lượng giác có số đo là: −7 πR a) 865 °; b) Lời giải a) Ta có 865 °=145 ° +2.360 ° Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo 865 ° điểm M phần đường trịn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II cho ^ AOM=145 ° (Hình 13a) −7 πR −πR −7 πR = + (−1 ) πR Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo b) Ta có điểm N 3 πR AON= (Hình 13b) phần đường trịn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV cho ^ Biểu điễn đường trịn lượng giác góc lượng giác có số đo là: 19 πR a) −1485 °; b) BÀI TẬP Đổi số đo góc sau sang radian: a) 38 °; b) −115°; c) ° πR () Đổi số đo góc sau sang độ: πR 13 πR a) ; b) −5; c) 12 Biểu diễn góc lượng giác sau đường trịn lượng giác: TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang a) −17 πR ; b) 13 πR ; c) −765 ° 31 πR có điểm biểu diễn đường trịn lượng giác với góc lượng giác Góc lượng giác sau đây? πR 10 πR −25 πR ; ; 7 Viết công thức số đo tổng quát góc lượng giác ( OA , OM ) ( OA , ON ) Hình 14 Trong Hình 15, mâm bánh xe ô tô chia thành năm phần Viết cơng thức số đo tổng qt góc lượng giác ( Ox , ON ) Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo có dạng là: πR a) +kπR ( k ∈ Z ) ; πR b) k ( k ∈ Z ) Vị trí điểm B ,C , D cánh quạt động máy bay Hình 16 biểu diễn cho góc lượng giác sau đây? πR πR −πR πR πR πR +k (k ∈ Z ) ; +k ( k ∈ Z ) ; +k ( k ∈ Z )   3 Hinh 16 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Hải lí đơn vị chiều dài hàng hải, tính độ dài cung chắn góc α = ° 60 ( ) đường kinh tuyến (Hình 17) Đổi số đo α sang radian cho biết hải lí kilơmét, biết bán kính trung bình Trái Đất 6371 km làm tròn kết đến hàng phần trăm Hinh 17 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Bài GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC LƯỢNG GIÁC Từ khố: Giá trị lượng giác; Góc đối nhau; Góc πR; Góc bù nhau; Góc phụ Hinh bên biểu diễn xích đu IA có độ dài   m dao động quanh trục 10 vng góc với trục x mặt đất A' hình chiếu A lên x Toạ độ s A' trục Ox gọi li độ A ( I , IA )=α gọi li độ góc A Làm cách để tính li độ dựa vào li độ góc? Giá trị lượng giác góc lượng giác Trong Hình , M N điểm biểu diễn góc lượng giác πR −πR đường tròn lượng giác Xác định tọa độ M N hệ trục toạ độ Oxy Hinh M α Trên đường trịn lượng giác, gọi điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo Khi đó:  Tung độ y M M gọi sin α, kí hiệu sin α  Hồnh độ x M M gọi cơsin α, kí hiệu cos α y M sin α =  Nếu x M ≠ ti số gọi tang α, kí hiệu tan α x M cos α x M cos α =  Nếu y M ≠ tỉ sơ gọi cơtang α, kí hiệu cot α y M sin α Các giá trị sin α ,cos α , tan α cot α gọi giá trị luợng giác cuia góc lương giác α Hình Chú ý: a) Ta gọi trục hồnh trục cơsin, cịn trục tung trục sin Trục As có gốc điểm A ( ; ) song song với trục sin (Hình 3a) gọi trục tang Nếu đường thẳng OM cắt trục tang tung độ giao điểm tan α TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10