TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2022- 2023 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Ngày thi: tháng năm 2023 (Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang * Câu (4 điểm) Cho dãy số (un ) xác định u1 3, un 1 un 2n 2, n u a) Chứng minh dãy số n2 có giới hạn hữu hạn tính giới hạn n b) Với số nguyên dương n , đặt un w n v1v3 v2 n Tìm tất số thực cho v2 v4 v2 n dãy số (n w n ) có giới hạn hữu hạn khác Câu (4 điểm) Tìm hàm số thỏa mãn f : thỏa mãn xf x y yf x 2023 2023 Câu (4 điểm) Cho đường trịn (O) dây AB, P điểm cung nhỏ AB ( sd AB 600 ) Tiếp tuyến B (O) cắt AP C Gọi Q điểm đối xứng với P qua BC Đường OP cắt đường thẳng qua C vuông BC D Chứng minh điểm A, D, C, Q thuộc đường tròn Câu (4 điểm) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn với số nguyên dương n mà na na lập phương số nguyên dương nb lập phương số nguyên dương Chứng minh 4b số phương Câu (4 điểm) Cho số thực x lớn thỏa mãn với số nguyên dương n x n số vô tỉ Với số tự nhiên t , xét quân gồm loại có giá trị xt Hỏi có xảy trường hợp với số ngun dương m chọn số quân có tổng giá trị m loại chọn không quân hay không? Người soạn: Nguyễn Bá Tuấn 0986427986 ……………………… HẾT …………………… ĐÁP ÁN * Câu Cho dãy số (un ) xác định u1 3, un 1 un 2n 2, n u a) Chứng minh dãy số n2 có giới hạn hữu hạn tính giới hạn n b) Với số nguyên dương n , đặt un w n v1v3 v2 n Tìm tất số thực cho v2 v4 v2 n dãy số (n w n ) có giới hạn hữu hạn khác Lời giải * a) Với số nguyên dương n , đặt tn un n n , ta có 1 vn v1 1, n * Lúc ta có un n n 1, n Vì lim un n2 n 1 lim 1 n2 n2 2 2 * b) Ta có (n n 1) (n 1)[(n 1) 1], n nên wn v1v3 v2 n (12 1)(22 1)(32 1)(42 1) [(2n 1) 1][(2 n) 1] , n * 2 2 2 v2 v4 v2 n (2 1)(3 1)(4 1)(5 1) [(2n) 1][(2n 1) 1] (2n 1) 2n 2n 1 Vì ta có lim n w n Nếu rõ ràng lim n w n , cịn lim n w n 0 Vì tất số thực cần tìm 2 , lim n w n Câu Tìm hàm số thỏa mãn f : thỏa mãn xf x y yf x 2023 2023 HD: Đổi chỗ x y ta yf x y xf y 2023 2023 xf x y yf x 2023 Mà f(x+y)>0 nên y xf y 2023 x yf x 2023 suy xyf y 2023 y xyf x 2023x Thay y=1 biến đổi ta f x 2023 C với C f 1 2023 x Biện luận ta không tồn C Vậy không tồn hàm thỏa mãn đề Câu Cho đường tròn (O) dây AB, P điểm cung nhỏ AB có sđ>60 độ Tiếp tuyến B (O) cắt AP C Gọi Q điểm đối xứng với P qua BC Đường OP cắt đường thẳng qua C vuông BC D Chứng minh điểm A, D, C, Q thuộc đường tròn HD:+ OP cắt QB, AB E, F + Cm tg QCDE, QDAE nội tiếp Câu Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn với số nguyên dương n mà na na lập phương số nguyên dương nb lập phương số nguyên dương a) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n để na na lập phương số nguyên dương b) Chứng minh 4b số phương Lời giải 2 2 * 2 a) Đặt nk k (a a ) 3(a a )k 3k , k , nk a nk a [k (a a) 1] lập phương số ngun dương Vì tồn vơ số số nguyên dương n để na na lập phương số nguyên dương b) Đầu tiên, ta có bổ đề sau: Bổ đề: Cho đa thức P ( x) hệ số nguyên có bậc thỏa mãn với số nguyên dương n ta có P (n) lập phương Khi tồn đa thức hệ số nguyên Q( x) cho P ( x) Q( x)3 Chứng minh bổ đề: Viết P( x) ax bx cx d với a, b, c, d số nguyên, a 0 Với số nguyên dương n , tồn số nguyên xn để xn P(n) Ta có với số nguyên dương n xn 1 xn a (n 1)3 b( n 1) c( n 1) d ax bx cx d a (3n 3n 1) b(2n 1) c P (n 1) P (n) P (n 1) P (n) c a (3 ) b( ) n n n n n P (n 1) P (n) P (n 1) P (n) n6 n3 n3 n6 Vì lim( xn 1 xn ) a , ta lại có giới hạn dãy số nguyên số nguyên nên a số nguyên tồn n0 để xn 1 xn a , n n0 Khi tồn số nguyên A để A3 a xn 1 xn A, n n0 Ta có xn0 n A.n xn0 A(n n0 ) xn0 A.n0 , n n0 nên xn A.n B, n n0 , B xn0 A.n0 3 Vì ( A.n B ) xn P (n), n n0 nên P ( x) ( A.x B)3 , lúc ta chọn Q( x) A.x B bổ đề chứng minh Trở lại toán: Với nk chọn phía trên, ta có nk b lập phương Xét đa thức P ( x) b(a a) x 3b(a a ) x 3bx , ta có nk b lập phương nên P (k ) lập phương với số nguyên dương k Áp dụng bổ đề tồn só nguyên A, B để P ( x) ( Ax B )3 Vì sau đồng hệ số ta có B 1, b A nên b a a Lúc ta có 4b (2a 1) số phương, từ ta có điều phải chứng minh Câu Cho số thực x lớn thỏa mãn với số ngun dương n x n số vơ tỉ Với số tự nhiên t , xét quân gồm loại có giá trị xt Hỏi có xảy trường hợp với số ngun dương m chọn số quân có tổng giá trị m loại chọn không qn hay khơng? Lời giải Câu trả lời xảy trường hợp Giả sử tồn số thực x thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn số quân có tổng loại khơng quân Trong quân chọn, quân có dạng xt với t 3 , có x t , vơ lý, ta có nhận xét khơng thể có quân x Rõ ràng phải có qn x , khơng x khơng phải số vơ tỉ Vì r x kx 7 , với r , k {0,1, 2, , 6} Vì x nên ta chọn x số thực thỏa mãn x x 7 Lúc này, chọn x 29 , ta chứng minh với số nguyên dương m chọn số quân có tổng giá trị m loại chọn không quân Thật vậy, ta chứng minh với số nguyên dương m tồn số thực a0 , a1 , , as để P(t ) (t t 7)(as t s a0 ) m có hệ số thuộc {0,1, 2, , 6} Nếu có điều rõ ràng P ( x) m thỏa mãn yêu cầu đề Ta có hệ số t , t1 , , t s 2 P (t ) m 7a , a0 7a1 , a0 a1 7a , , as as 7a s , as as , as a a a a a m Lúc ta cần chọn a0 , a1 , a2 , a3 , ta có hệ 7 7 số P (t ) thuộc {0,1, 2, , 6} Từ ta có khẳng định cho tốn