ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề ( Đề thi số 05) 3x x Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P < Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 6 x 30 x 1 x 2 x x1 1 4 a b a b b) Cho hai số dương a b Chứng minh Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương 2 b) Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC' a) Chứng minh ΔAC'CΔAB'BAC'C ΔAC'CΔAB'BAB'B b) Trên BB' lấy M, CC' lấy N cho AMC ANB 90 Chứng minh AM = AN c) Gọi S, S' diện tích tam giác ABC tam giác A'B'C' Chứng minh cos A cos B cos C 1 Bài 5: (2,0 điểm) trị nhỏ biểu thức: S' S Cho x, y số dương thỏa mãn A 3x y 5x y - Hết - xy 34 35 Tìm giá Bài ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Nội dung cần đạt Câu a: (2,0 điểm) - Tìm ĐKXĐ: x 0, x 1 - Ta có 3x x x x x 1 x 2 x x1 0,5 0,5 3x x ( x 1)( x 1) ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) 3x x x x ( x 2)( x 1) x 3 x 2 ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) x 1 ( x 2)( x 1) x1 Điểm 0,5 0,5 Câu b: (2,0 điểm) - Ta có: P < 0,5 x 1 0 x1 x 0(do x 0) 1,0 0,5 x 1 x 1 - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với x P < Câu a: (2,0 điểm) Giải phương trình: x x 6 x 30 - ĐKXĐ x - Ta có x x 6 x 30 x x 16 x x 0 x 4 - Vì 1,0 0,5 x 0 x 0; 0,25 0,25 x 0 nên x 0 x 0 x 0 x 0 x 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) Nghiệm phương trình cho x = Câu b: (2,0 điểm) Cho hai số dương a b Chứng minh 1 4 a b a b 1 a b 2 b a a b a b - Ta có - Vì a, b > nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương 1 a b a b 2 2 a b 4 b a b a a b Do 0,75 Câu a: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương - Để A số phương A = n + n + = a2 (a N ) - Ta có: n + n + =a2 x 5 - Vì a, n số tự nhiên nên (2a +2n +1) số tự nhiên 2a + 2n + > 2a – 2n -1 Do 2a 2n 23 2a 2n 1 4a 24 4n 20 a 6 n 5 - Vậy n = Câu b: (2,0 điểm) 2 Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 - Xét phép chia xy cho Nếu xy khơng chia hết cho 0,75 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 1,0 x 1(mod 3) y 1(mod 3) x 1(mod 3) y 1(mod 3) z x y 2(mod 3) 0,5 (Vơ lí) Vậy xy chia hết cho (1) - Xét phép chia xy cho Nếu xy không chia hết cho x 1(mod 4) y 1(mod 4) x 1(mod 4) y 1(mod 4) z x y 2(mod 4) TH1: (vơ lí ) TH2: Trong hai số x,y số chia dư 2, số chia dư Khơng tính tổng qt giả sử x 1(mod 4) y 2(mod 4) x 1(mod 8) y 4(mod 8) z x y 5(mod 8) ( vơ lí) - Vậy xy chia hết cho (2) - Từ (1) (2): Vậy xy chia hết cho 12 0,5 A B' C N M B C A' Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'CΔAB'BAC'C ΔAC'CΔAB'BAB'B - Xét ΔAC'CΔAB'BAC'C; ΔAC'CΔAB'BAB'B có Góc A chung 2,0 ' C ' 900 B Suy ra: ΔAC'CΔAB'BAC'C ΔAC'CΔAB'BAB'B Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN - Xét AMC vuông M đường cao MB' 0,5 0,5 0,5 0,5 AM AB ' AC - Xét ANB vuông N đường cao NC' AN AC ' AB - Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB - Do đó: AM = AN Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos A cos B cos C 1 S' S 0,5 S AB ' C ' AB ' cos A - Chỉ S ABC AB S BA 'C ' cos B - Tương tự S ABC SCA ' B ' cos C S ABC 0,5 0,5 - Do đó: cos A cos B cos C S ABC S A ' B 'C ' S ABC 1 S' S S AB 'C ' S BA 'C ' SCA ' B ' S ABC 0,5 Cho x, y số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: - Ta có: x y 34 35 A 3x y 5x y 5x y 1 5x y x y 2 5x y 0,5 A 3 x y 0,5 - Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta 0,25 5x 2.5 x 2 2 5x x.2 7x 8.7 x 2 4 7x x.2 34 34 17 x y A 6 35 nên 35 35 - Vì 5x 5x 7y 7 y 34 x y 35 - Dấu "=" xảy x y 4 x 17 y 4 - A đạt giá trị nhỏ 35 0,5 0,25