ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề 3x x 1 A 2 : x1 x 2 x x x Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức: với a > 0, a a) Chứng minh M b) Với giá trị a biểu thức Bài (4,0 điểm) N M nhận giá trị nguyên? x x x x 21x 11 a) Giải phương trình: b) Tìm giá trị nhỏ xy yz zx A = z x y với x, y, z số dương x2 + y2 + z2 = Bài (4 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 1 6 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn x y y z z x 1 Chứng minh rằng: 3x y z 3x y 3z x y 3z Bài (6 điểm) a Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm đường trung trực O, trung điểm BC M IO OM 2 Tính giá trị biểu thức: IH HA xOy b Cho góc Một đường thẳng d thay đổi cắt tia Ox; Oy 1 M N Biết giá trị biểu thức OM ON không thay đổi đường thẳng d thay đổi Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định Bài (1 điểm) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM THI BÀI ĐIỂ M ĐỀ -ĐÁP ÁN a 1 a a a a a a a a a aa a Cho biểu thức: với a > 0, a a) Chứng minh M N M nhận giá trị nguyên b) Với giá trị a biểu thức M Bài Do a > 0, a nên: a a ( a 1)(a a 1) a a a a a ( a 1) a a a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a aa a a (1 a) a (1 a) a a 1 M 2 a Do a 0; a 1 nên: ( a 1) a a M Ta có b Bài Mà a 4 a 0N M N nhận giá trị nguyên a 1 N = a 1 a a a 0 ( a 2) 3 a 2 hay a 2 (phù hợp) Vậy, N nguyên a (2 3) a) ĐK: x 4 x = 0,5 Biến đổi: x x x x 21x 11 x 4 x 1 x 4 x 1 x 1( x x 0(1) 2x 2x x 11 x 1 x 11 x 1 0 x 11) 0 Hoặc x x 11 0 (2) Giải (1) x = 0,5 (thỏa mãn), giải (2) x = (thỏa mãn) xy yz zx b) A = z x y x2 y2 y2z2 z2 x2 2 2 z x y Nên A = ( x2+y2+z2 =1) = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2z2 2 y 2 2 z x z x 2 y z z2x2 2z 2 x y Tương tự x2 y2 z2x2 2x 2 z y Cộng vế với vế ta 2B B 1 Do A2 = B +2 3 nên A Vậy Min A = 3 x=y=z= Bài Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2 = 320 => (x3)2 £ 320 a b mà x nguyên nên x £ Nếu x=1 x=-1 y khơng ngun (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2); (2;6); (-2;-6); (-2;2) Từ 2x + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 1 Áp dụng BĐT a b a b (với a, b > 0) 1 1 a b a b 1 1 1 3x y z x y z x y z x y z x y z Ta có: 11 1 1 1 x y x z x y y z x y x z x y y z 1 1 16 x y x z y z 1 1 x y z 16 x z x y y z Tương tự: 1 1 x y z 16 y z x y x z Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 3x y z x y z x y z 16 x y x z y z 4 1 16 x y x z y z Bài a) Ta có MO // HA (cùng vng góc với BC) OK // BH (cùng vng góc với AC) KOM = BHA (góc có cạnh tương ứng song song) MK // AB (M, K trung điểm BC AC) HAB = OMK (góc có cạnh tương ứng song song) ABH đồng dạng với MKO A K H I B a O C M MO MK AH AB MO MI Xét AIH MIO có AH AI OMI = HAI (so le trong) IO IO OM AIH đồng dạng với MIO IH IH HA IO2 OM IO2 OM 2 IH HA IH HA IO OM IH OA2 d x M I E O b D N y 1 Giả sử OM ON a (1) ( a số dương cho trước) Lấy điểm D Oy cho OD = a OD < ON Vẽ DI song song với Ox ( I đoạn MN ) Lấy E Ox cho OE = ID Khi OEID hình bình hành OE OD NI EI NI MI OE 1 1 Ta có OM ON NM ON NM MN => ON OD.OM OD a (2) OE OE 1 Từ (1) (2) => OM OD.OM => OD => OE = OD = a không đổi, mà D Oy; E Ox nên D; E cố định Mặt khác O cố định OEID hình Bài bình hành nên I cố định Vậy d qua I cố định (ĐPCM) Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 xy x y 167 (2 x 1)(2 y 1) 167 Do x,y nguyên dương (2 x 1);(2 y 1) Z (2 x 1);(2 y 1) Ư(167) Lập bảng tìm (x,y)=(0;83);(83;0) Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 xy x y 167 (2 x 1)(2 y 1) 167