PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THỦY P x ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang x2 x x ( x 1)( x x ) x x Câu Cho biểu thức: a Rút gọn P b Tính P x 3 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu Giải phương trình: a x 10 x 27 x x b x x x x x 0 Câu a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy 3x 0 x 1 2x x 1 3 ( x 1) y y x y x 1; y b Cho , chứng minh: 2012 2002 n A n n 1 c Tìm số tự nhiên để: số ngun tố Câu Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vuông góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1 2 a Chứng minh: AE AF không đổi cos AKE sin EKF cos EFK sin EFK cos EKF b Chứng minh: c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Câu Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn Hết./ PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY Câ u HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Nội dung cần đạt Ý P x x2 x ( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) x ( x 2) 2( x 1) x x x x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) a x x 2x x x x ( x 1)( x 2) ( x 1) x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) ( x 1) x 3 2 b P x 2 ( 1) ( x 1) 1 1 2 1 ( x 1) 1 ĐK: x 0; x 1 : P c ( x 1) x 1 2 1 ( x 1) x1 x1 Học sinh lập luận để tìm x 4 x 9 Điểm 0,2 0,2 0.5 0.2 2,25 0.2 0.2 0.2 0.2 a ĐK: x 6 : VT x 10 x 27 ( x 5) 2 , dấu “=” xẩy x 5 VP x x (12 12 )(( x ) ( x 4) ) VP 2 , dấu “=” xẩy 1 x x x 5 6 x x VT VP x 5 (TMĐK), Vậy nghiệm phương trình: x 5 0.2 0.2 0.2 1,75 0.2 ĐK: x 0 Nhận thấy: x 0 nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta có: x x x x x 0 x b Đặt x x 0.7 25 4 0 ( x ) ( x ) 0 x x x x 4 t t x x t x x x , thay vào ta có: t 3 (t 4) t 0 t t 0 (t 3)(t 2) 0 t Đối chiếu ĐK t x 4 3 x x 0 ( x 2)( x 1) 0 x x 1 2 2 y xy x 0 x xy y x x ( x y ) ( x 1)( x 2) t 3 x 2.0 (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số a 0.5 nguyên liên tiếp nên phải có số x 0 x 0 x y 1 x y 2 Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) ( 1;1) ( x; y ) ( 2; 2) b x 1; y x 0; y x 1 0; 0; ( x 1) y y Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 3 1.1 2 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) x 3 (1) x 1 x 1 x 3( x 1) 2 3 1.1 y y y y 1 3 3 1.1 y y y y Từ (1); (2); (3): (3) (2) 0.7 x 1 1 3( x 1) 6 3 ( x 1) y y x y y x 1 1 x 3x 2x x 3( ) 3 ( x 1) y y x y x y Xét n 0 A = khơng phải nguyên tố; n 1 A = nguyên tố 0.2 Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) c Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho 0.5 n2 + n + Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên ần tìm n = B A M M' 0.2 N N' K P D E Q H a b C F Học sinh c/m: ABF = ADK (g.c.g) suy AF = AK Trong tam giác vng: KAE có AD đường cao nên: 1 1 1 2 2 2 AK AE AD hay AF AE AD a (không đổi) 1 S KEF KE.EF sin AEK KE.EF cos AKE 2 HS c/m 1 S KEF EH KF EH ( KH HF ) 2 Mặt khác: Suy ra: : EH KH EH HF KE.EF cos AKE EH ( KH HF ) cos AKE KE.EF EH KH EH HF K cos EKF K cos AKE sin EF sin EKF cosEF EF EK KE EF 0.5 0,5 0,2 0,2 0,5 Giả sử dựng điểm N thỏa mãn NP + NQ = MN Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy tam giác ' NN’M cân N MN’ phân giác DMM Cách dựng điểm N: c 0.2 - Dựng M’ đối xứng M qua AD ' - Dựng phân giác DMM cắt DM’ N’ d - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh khơng trình bày phân tích mà trình bày H 0.2 0.2 cách dựng cho điểm tối đa I A P B K 0.2 O D C Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc d P HS lập luận BH + CI + DK = 4OP 0.2 0.2 Mà OP AO nên BH + CI + DK 4AO Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO Đạt P A hay d vng góc AC 0.2 Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa