Chuyên đề bất đẳng thức gtlngtnn ôn hsg m

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC I – LÝ THUYẾT BỔ TRỢ Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 1.1 Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định miền D  M  f ( x), x  D M m ax f ( x)   D x0  D : M  f ( x0 ) m  f ( x), x  D m min f ( x )   D x0  D : m  f ( x0 ) 1.2 Định lí Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn hàm số  a; b ln tìm giá trị lớn nhất, nhỏ  a; b Sử dụng khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 2.1 Bài tốn Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số y= f(x) với x  D  R 2.2 Phương pháp: 2.2.1.Quy tắc Trường hợp tổng quát (khi D không đoạn) tiến hành theo bước: - Tính đạo hàm hàm số - Lập bảng biến thiên hàm số tập D - Căn vào bảng biền thiên để kết luận giá trị lớn , nhỏ 2.2.2 Quy tắc Trường hợp đặc biệt: D  a; b  , tiến hành theo bước: - Tính đạo hàm hàm số - Tìm điểm tới hạn hàm số thuộc  a; b ( điểm thuộc tập xác định mà đó, đạo hàm triệt tiêu khơng xác định) - Tính giá trị hàm số điểm tới hạn điểm a,b - So sánh giá trị tìm để kết luận Định lí Nếu hàm số f(x) có đạo hàm (a;b) đạt cực trị  x o   a; b  f '  xo  0 Các bất đẳng thức bổ trợ cho phương pháp 4.1 Bất đẳng thức Cô-si: Tên quốc tế Arithmetic Means-Geometric Means ( AMGM) Cho n số thực không âm a1, a2, a3, , an Ta có: a1 + a2 +a + .+ an n n ≥√ a1 a a3 an a1 +a +a + .+an a1 a2 a3 an ≤ n hay ( n ) Dấu đẳng thức xảy  a1 = a2 = a3 = = an 4.2 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (tên quốc tế Cauchy-Schwarz) Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn số thực Khi đó, ta có: ( a1 b +a b2 + + an bn )2 ≤( a + a + + a )( b +b + +b ) n n Dấu đẳng thức xảy  = k.bi , i = , , 3, , n Bất đẳng thức Hàm số f ( x1 , x2 , , xn ) biến số thực bậc k với số thực t ta có Bất đẳng thức dạng ( x1 , x2 , , xn ) hàm f (tx1 , tx2 , , txn ) t k f ( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 , x2 , , xn ) 0 f hàm gọi bất đẳng thức bậc k Kết rút từ tính lồi, lõm điểm uốn đường cong Cho hàm số y = f(x) xác định có đạo hàm khoảng K Đồ thị đường cong (C) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm độ điểm uốn (C)) có phương trình: x0  K ( xo khơng hồnh y  f '( xo )( x  xo )  f ( xo ) Ta chứng minh bất đẳng thức sau: 6.1 Nếu đường cong (C) lồi K f  x   f '( xo )( x  xo )  f ( xo ) f  x   f '( xo )( x  xo )  f ( xo ) 6.2 Nếu đường cong (C) lõm K II – CÁC VÍ DỤ Biểu thức hai biến 2 Ví dụ 1: Cho hai số không âm x, y thỏa mãn điều kiện: x  y  xy 3 Tìm giá trị lớn 2 nhất, nhỏ biểu thức F ( x  y )  ( x  y ) Giải: S x  y ( S , P 0)  P  xy  Đặt , điều kiện S 4 P 2 Theo giả thiết, ta có: S  P 3  P S  Ta tìm điều kiện S   3;  3 S   3;  Xét F S  ( S  P ) S  S  với Ta có: F ' 3S  2S  với S   3;  F F ( 3) 3  S   P 0  ( x; y ) ( 3;0), (0; 3) maxF F (2) 6 S 2  P 1  ( x; y ) (1;1) 2 Ví dụ 2: Cho x > 0, y > thỏa mãn x y  xy  x  y  3xy Tìm giá trị nhỏ P x2  y  biểu thức: (1  xy )  xy Giải: Ta có: x y  xy  x  y  3xy  xy ( x  y )  x  y  3xy    (1) (do x >0 , y > nên x + y > 0) 1 x  y   3    x  y   3( x  y )  0 x y xy Từ (1), ta có:   x  y   1  ( x  y )  4 0  x  y 4 Suy ra:  1 3  1   1  xy x  y x  y xy nên Mà P = (x + y)2 + - xy , lại có (1) P = (x + y)2 +1 + x  y 3 2t  P t    f (t )   0,   t>4 t t Đặt x + y = t ( t 4) Ta có f '(t ) = 2t - t  4; nên f (t ) đồng biến nửa khoảng Do đó, f (t ) liên tục nửa khoảng  4; Suy P  f (t )  f (4)  71 71 Vậy giá trị nhỏ P x = y = 2 Ví dụ 3: Cho a, b hai số thực dương thoả mãn: 2( a  b )  ab (a  b)( ab  2) Tìm giá  a b3   a b  T 4        a  b a  b trị nhỏ biểu thức: (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 – 2018) Giải: Ta có với a, b  a b 1 1 2( a  b )  ab (a  b)( ab  2)  2(a  b )  ab a 2b  ab  2(a  b)      (a  b)     b a a b  1  1 b a  ( a  b)     2 (a  b)2    2     a b a b a b  Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: a b a b b a  a b     2         0 b a a b b a    Suy ra:  (do b a )   a b 3  a b    a b3   a b  a b T 4        4               18 a   b a   b a b a  b   b a  Và ta có: Xét hàm số: f (t ) 4t  9t  12t  18,   t   f '(t ) 12t  18t  12  t   f '(t ) 0    t 2 Ta có bảng biến thiên: 23  5 minT  f    (a; b)  {  1;  ,  2;1 }   Vậy Ví dụ 4: Cho số thực x, y thỏa mãn : x  y 2 x   y 1 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ F = 2(1  xy x  y ) x y ( x  y )  ( y  x)  2 x y Giải: Từ giả thiết, ta có điều kiện: x 2; y   Vì x   y  nên từ x  y 2 x   y   suy x  y  5( x  y  1)  Đặt t = x + y , ta có:   2  12   x   y 1  x   y   5( x  y  1) t   5(t  1)  t 6 2 ( x  y)2   t2  x y t Khi đó: F = f (t )  t  f ' (t ) t  0; t   1;6 t , với t   1;6 , có t t Xét f (t )  f (1)  t 1;6 max f (t )  f (6) 18  ; t 1;6  x 2 t 1   18   y  , giá trị lớn F Vậy giá trị nhỏ F  x 6  t=  y 0 Biểu thức ba biến a) Trường hợp ba biến dương Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a3  8b3  16c3  a  2b  c  Giải: (a  2b)3 a  8b  Ta có Dấu xảy a = 2b a +2b = (loại) Suy ra: 3 (a  2b)3  16c3 (a  b)3  64c P  P  3  a  2b  c   a  2b  c  4P  Đặt u = a + 2b + c, ta có: Xét hàm số f  t    t   64t   t  1 , ta có: f  t     t   192t   t 9 f  t  0    t   Bảng biến thiên: t f'(t) f(t) (u  c )3  64c3  c  c c     64    f (t ) t       t  1 u  u u u -∞ - + + ∞ , c  u   u 9c   a 2b 4c  a 2b  a  2b  c u   64 16 f  t   f     t  P    81 hay 81  Vậy Ví dụ 6: Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 24 13a + 12 ab + 16 bc - a+b+c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 13a  12 ab  16 bc 13a  a.4b  b.4c 13a  Suy ra:  b  4c 16(a  b  c) 13a  12 ab  16 bc 16(a  b  c) Đẳng thức xảy P a 4b 16c Suy ra: 2 a  b  c Đặt t a  b  c, t  , f ' t   ta có: a  4b 2t t Bảng biến thiên:  P 2t   a bc t Xét hàm số f  t  2t , lim f (t)  x  0 , lim f (t) 0 x   2t  t khoảng (0; ) ,  16 a  21  a  b  c 1   b   21 a 4b 16c   c  P   21 đẳng thức xảy Ta có  Vậy giá trị nhỏ P 16  a; b;c   ; ;   21 21 21  Ví dụ 7: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a  3b3  2c3  3b 2c (a  b  c)3 Giải: 3 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: b c≤2b +c b3 +c ≥ Ta chứng minh: ( b +c ) (*) Dấu xảy b=c (**), với ∀ b ,c>0 Thật vậy, (**) ⇔ ( b3 + c ) ≥b3 +c +3 b c+ bc ⇔b +c −b c−bc ≥0⇔ ( b+c ) ( b−c )2≥0 , (luôn ∀ b ,c >0 ) Dấu xảy b=c ( b+ c )3 P≥ =4 t + ( 1−t )3 ( a+b+ c ) a3 + Áp dụng (*) (**), ta được: t∈ ( ;1 ) t f’(t) t= , với a a+b+ c 1/5 - f’(t) 4/25 + , f (t ) 4t  Xét f '(t ) 12t    t  , f '(t ) 0  t  f (t )≥ Suy ra, ⇒ P≥ 1 t  với t∈ ( ;1 ) t= 25 Dấu xảy { b=c ¿ ¿¿¿ 25 Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ P 25 a=b=c Ví dụ 8: Cho a, b, c ba số dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P a  b2  c2    a  1  b  1  c  1 (Đề thi HSG tỉnh Bình Phước năm học 2013 – 2014) Giải: 2 a b c  a  b 1  Ta có:  c  1  1 2    a  b    c  1    a  b  c  1   3 a 1  b 1  c 1   a  b  c    a  1  b  1  c  1     3     54 54 P    f (t ) a  b  c   a  b  c  3 t  t  2 Do đó: = t a  b  c  f / (t )  (t  1) 162  ; f / (t ) 0  t  t  2  t 4  t 1(loai )  với