SỞ GD & ĐT BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT TAM QUAN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2015- 2016 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (1,5 điểm) So sánh số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng) Câu II: (3,0 điểm) Cho A x2 x 2x x x x 10 x a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Câu III: (5,0 điểm) 1) Mỗi học sinh lớp 10A1 chơi bóng đá bóng chuyền Biết có 25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền 10 bạn chơi hai mơn thể thao Hỏi lớp 10A1 có học sinh 2) Cho khoảng A (a; a 1], B [b; b 2) Đặt C A B Với điều kiện số thực a b C đoạn? Tính độ dài đoạn C 3) Tìm tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp sau: 1 1 1 2 a) A , , , , b) B , , , , 12 20 30 15 24 35 Câu IV: (3,0 điểm) 1) Tìm m để phương trình x m m có bốn nghiệm phân biệt 2) Giải hệ phơng trình: x 4 y y 4 x Câu V: (4,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK AC Chứng minh ba điểm B, I ,K thẳng hàng 2) Cho tứ giác ABCD Các điểm M, N, P Q trung điểm AB, BC, CD DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Câu VI: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB CD vng góc với Trong đoạn AB lấy điểm M khác Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) N điểm P Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P nằm đường tròn b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) CM.CN = 2R2 -HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: CÂU I (1,5đ) NỘI DUNG ĐÁP ÁN Giả sử > 2 2 3 2 18 12 (BĐT đúng) a) (1,5 đ) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa x ≠5và x ≠2 x2 x 2x x2 x 2x A x x x 10 x x ( x 5)( x 2) x x x x (2 x 4)( x 2) ( x 5)( x 2) II (3,0 đ) x x 15 ( x 5)( x 3) x ( x 5)( x 2) ( x 5)( x 2) x ( x 2) 1 b) (1,5 đ) A , với x nguyên, A nguyên x x nguyên, x-2=1 x-2 =-1 nghĩa x=3, x=1 x 1)(2 đ) Gọi A tập hợp học sinh lớp 10A1 chơi bóng đá B tập hợp học sinh lớp 10A1 chơi bóng chuyền Vì bạn lớp 10A1 chơi bong đá bóng chuyền nên A B tập học sinh lớp Để đếm số phần tử A B Số phần tử A 25 Hs B 20 hs Nhưng phần tử thuộc A B đếm hai lần( 10 lần) III Vậy số phần tử A B 25+20 -10 = 35 Lớp 10A1 có 35 hs 2) (2 đ) C [b; b 2) (a; a 1] đoạn b a b a b a b (*) (5,0đ) Khi đó, C [b; b 2) (a; a 1] [b; a 1] đoạn có độ dài a b / n N ,1 n 5 n(n 1) 3) (1 đ) a) A n / n N , n 6 n 1) b) A ) IV 1) (1,5 đ)2 Ta 4có: 2m m x m m (1) (3,0đ) PT 2 2 x m m m (1 m ) (2) (1) có nghiệm phân biệt với m m m2 (2) có nghiệm phân biệt m 0 m2 m ( 1; 1) \{0} PT có nghiệm phân biệt m ( 1;1) \{0} m m2 m2 m m ( 1;1) \{0} m m2 0 m ( 1;1) \{0} , kết luận x 3 2) (1,5 đ) Điều kiện để hệ có nghiệm là: (*) y x 4 y x 4 y (a ) Víi ®iỊu kiƯn (*), ta cã: 4 y 4 x x y 4( x y ) 0 (b) (b) x y x y x y 0 x y 0 x y (vì x, y nên x y x y ) Thay vµo (a): x 4 y x x 0 x x 1 0 x 1 x x x 0 x 1 x x 0 x 1 v× x x x 1 So víi ®iỊu kiƯn (*), ta cã: x y 1 x 1 y Vậy hệ phơng trình có nghiệm nhÊt : 1) (2,0 đ) Đặt u BA ;v BC Ta có BK BA AK u AC u ( BC BA) u v (1) 3 3 1 1 BI ( BA BM ) u v (2) 2 4 Từ (1) (2) suy 2u v 3BK , 2u v 4 BI 3BK 4 BI hay BK BI V (4,0đ) Do ba điểm B, I, K thẳng hàng 2) (2,0 đ) Gọi G trọng tâm tam giác ANP Khi GA GN GP 0 Ta có GC GM GQ GA AC GN NM GP PQ GA GN GP AC ( NM PQ ) AC CA 0 Vậy GC GM GQ 0 Suy G trọng tâm tam giác CMQ VI (3,5đ) C M O A E a) (1,5 đ) kính OP B N F P D * Tam giác OMP vuông M nên O, M, P thuộc đường trịn đường * Tam giác ONP vng N nên O, N, P thuộc đường trịn đường kính OP * Vậy O, M, N, P thuộc đường tròn đường kính OP b) (1,0 đ) MP//OC (vì vng góc với AB) (hai góc đồng vị) NMP NCD (hai góc đáy tam giác cân ONC) ONC OCN NMP NOP (hai góc nội tiếp chắn cung NP) Suy MNO ; đó, OP//MC NOP Vậy tứ giác MCOP hình bình hành CND COM ( g g ) OC CM Nên hay CM.CN = OC.CD = 2R2 CN CD c) (1,0 đ)