Cđ7 số chính phương

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN CHUN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ A LÝ THUYẾT: Định nghĩa: Số phương bình phương số tự nhiên Tính chất: Số phương có chữ số tận là: 0; 1; 4; 5; 6; Khi phân tích thừa số nguyên tố , số phương chứa thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn - Số phương chia hết cho chia cho dư - Số phương chia hết cho chia cho dư - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 25 - Số phương chia hết cho chia hết cho 16 - Số phương tận hoặc chữ số hàng chục số chẵn - Số phương tận chữ số hàng chục - Số phương tận chữ số hàng chục số lẻ B LUYỆN TẬP : Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho số A 11 11122 2225 ( 2005 chữ số 2006 chữ số 2) Chứng minh A số phương HD:       25 100 00     100 00     25 Ta có: A 100 00100 00 2004 2005 4012 2 2006 A 100 00     2.5.100 00      10  2006  2006 2007  , số phương Bài 2: Chứng minh số C 44 4488 89 có n số n-1 số 8, viết dạng bình phương số tự nhiên HD: n    a  10 9a  Đặt 111 11 n 444 44888            4 a.10 n  8a  Ta có: 444 4488 89 n n n n 4a  9a  1  8a  36a  12 a   6a  1 File word: Zalo_0946 513 000    666    7  n  -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  44  số phương   Bài : Chứng minh số A 11 2n n HD :  10 n   Biến đổi A   A số phương    11  66  số phương    Bài : Chứng minh số B 11 2n n 1 n HD :  10 n   Biến đổi tổng B     B số phương  22  88  số phương    Bài : Chứng minh số C 44 2n n 1 n HD :  2.10 n   Biến đổi C     C số phương số phương   Bài : Chứng minh A 224 99 9100 n n HD : A 224.102 n  99 9.10 n2  10 n1  224.10 n  10 n   10 n 2  10 n1    A 224.10 n  10 n  10 n2  10 n1  225.10 n  90.10 n   15.10 n    Vậy A số phương   Bài : Chứng minh B 11 155 56 số phương HD : n n n B 11 155  11 1.10  5.11  B 10  10 n  10       n n n n 9 102 n  10 n  5.10 n    10 n   B   , Vậy B số phương   Bài : Cho a 11 (2008 chữ số 1) b 100 05 ( 2007 chữ số 0) Chứng minh rằng: ab  số tự nhiên HD: 102008   , b 10 2008  Ta có: a 11  2008  10  ab   Vậy 2008  102008   1008     10   4.10 2008   9 ab  số tự nhiên File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000  102008       TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN    n 444    , Chứng minh m  n  số phương Bài : Cho m 111 1, 2k k HD: 10 k  10 k  10 k  10 k  10 k   4.10 k   ,n   m  n    1  9 9 Ta có: m   10 k     , Vậy m  n  số phương      B 888    Bài 10: Cho số nguyên dương n số A 444 2n n Chứng minh rằng: A  B  số phương HD: n    444    000     444    444     10  1  888    Ta có: A 444 2n n n n n n    4.111 1.999        B 4.111 1.9.111        B  6.111     B n n n n n   2 3  3    888   B  B   B     4  n 4  2 3  3  3   A  B   B   B  B   B   B.2   B   4  4  4  2 2 3        888    3.222    666 68  Vậy A  B  số phương             n n 4     n  Bài 11: Cho: A 111 ( 2m chữ số 1); B 111 (m + chữ số 1); C 666 (m chữ số 6) Chứng minh A  B  C  số phương HD: 10 m  102 m  10 m1  B 111  C 666  9  Ta có: A 111   m 102 m  10 m1  10  10 m  16.10 m  64  10 m     8  Khi : A  B  C    9 9   Mà 10 m  83  10 m   Z Vậy A  B  C  số phương   Bài 12: Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; … Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số số đứng trước nó, Chứng minh tất số dãy số phương HD : Xét số tổng quát : n 44 488 89 44 488  44 4.10  88 1       n n n n File word: Zalo_0946 513 000 n n -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN n 4.11 1.10  8.11  4   n n 10 n  n 10 n  10  1 9 4.102 n  4.10 n  8.10 n   4.10 n  4.10 n   2.10 n       9   Mà 2.10 n  có tổng chữ số nên chia hết cho 3, số có dạng số phương Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a2  a 3b  b Chứng minh a  2b  số phương HD: 2 Ta có: 2a  a 3b  b   a  b   2a  2b  1 b (*) Gọi d UC  a  b;2a  2b  1 với d  N * , Thì:  a  bd   a  b   2a  2b  1 d  b d  b d ,  a  b   d  Mà :  a  b  d  ad   2a  2b  d , mà  2a  2b  1 d  1d  d 1 Do :  a  b,2a  2b  1 1 , Từ (*) ta : a  b,2a  2b  số phương Vậy a  2b  số phương Bài 14: Cho x, y số nguyên thỏa mãn : x  x 3y  y Chứng minh : x  y;2 x  y  1;3x  3y  số phương Bài 15: Cho n số nguyên dương m ước nguyên dương 2n2 CMR : n2  m khơng số phương HD: 2 Giả sử: n2  m số phương Đặt: n  m k  k  N  Theo ta có: 2n2 mp  p  N   m  n2  n2 p (1) Thay vào (1) ta : 2n k  n2 p  pn2  p k  n2 p  p  pk  p Do n2 ,  pk    số phương, nên p  p số phương Mặt khác: p  p  p   p  1  p  p khơng số phương (Mâu thuẫn với giả sử) Vậy n2  m không số phương Bài 16: Chứng minh: A 13  23   100 số phương Bài 17: Chứng minh : S 1.2.3  2.3.4  3.4.5   k  k  1  k   4S  số phương HD : File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Ta có : 4S 1.2.3     2.3.4   1   k  k  1  k     k  3   k  1  4S  1.2.3.4  0.1.2.3   2.3.4.5  1.2.3.4     k  k  1  k    k     k  1 k  k  1  k    4S k  k  1  k    k  3  4S  k  k  1  k    k  3  tích số tự nhiên liên tiếp cộng với nên 4S  số phương Bài 18 : Chứng minh tích số nguyên dương liên tiếp số phương HD: Giả sử có số ngun dương liên tiếp là: n, n  1, n  2, n  Xét tích: P n  n  1  n    n  3  n    n2  3n   n2  3n    n  3n    n2  3n  Dễ dàng nhận thấy:  n2  3n   P   n  3n  1 Vậy P khơng thể số phương Bài 19 : Chứng minh với số nguyên x, y : A  x  y   x  y   x  3y   x  y   y số phương HD : 2 2 Ta có : A  x  y   x  y   x  3y   x  y   y  x  5xy  y   x  5xy  y   y 2 Đặt x  5xy  5y t  t  Z  Khi : A  t  y t  y  y t  y  y t  x  5xy  y      Vậy A số phương Bài 20 : Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng với ln số phương HD : Gọi số tự nhiên liên tiếp : n, n  1, n  2, n   n  N  Ta có : A n  n  1  n    n  3  n  n  3  n    n  1  A  n2  3n n  3n   , Đặt n2  3n t  t  N   A t  t     t  1    Vậy tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương Bài 21 : Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số phương HD : Gọi số tự nhiên liên tiếp n  2; n  1; n; n  1; n   n  N , n 2  2 2 Xét A  n     n  1  n2   n  1   n   5  n   Nhận thấy A5 không chia hết cho 25 n2 khơng có tận Bài 22: Chứng minh rằng: n  N , n  A n6  n4  2n3  2n2 khơng thể số phương HD: 2 Giả sử: n  n  2n  n k ,  k  Z  File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 2  n n2   2n2  n  1 k   n  1 n2 n3  n2  k   n  1 n2   n  1  1 k         n  1  phải số phương 2 Ta lại có:  n  1   n  1  n2    n   n , Do n    n  1  khơng phải số phương Vậy A n6  n  2n3  2n số phương Bài 23 : Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương HD : Gọi a 2k  1, b 2m   k , m  N  2 Xét a2  b2  2k  1   2m  1 4k  4k   4m  m  4 k  k  m  m   t   t  N    Như a2  b2 chia cho dư 2, mà ta biết số phương chia khơng có số dư 2, Vậy a2  b2 khơng số phương Bài 24 : Chứng minh rằng: A n4  2n3  2n2  2n  , số phương HD: Ta có: A n2  n2  n  1   n2  2n  1  n2  1  n  1 Vì n2  khơng phải số phương nên A khơng thể số phương Bài 25 : Chứng minh p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng thể số phương HD : Vì p tích n số ngun tố nên p2 p không chia hết cho (1) Giả sử p  số phương Đặt p  m  m  N  Vì p chẵn nên p+1 lẻ=> m2 lẻ => m lẻ 2 Đặt m 2k   k  N   m 4k  4k   p  4k  4k   p 4k  k 4 k  k  1 4 mâu thuẫn với ( 1) Vậy p+1 khơng thể số phương Lại có : p 2.3.5.7 số chia hết cho => p  3k   k  N  ( Vơ lý) Vì khơng có số phương chia dư => p-1 không số phương Vậy p tích n số ngun tố p-1 p+1 khơng thể số phương Bài 26 : Cho N 1.3.5.7 2019 Chứng minh ba số nguyên liên tiếp N  1;2 N ;2 N  khơng có số số phương HD : File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ta có : N  2.1.3.5.7 2019  Thấy N 3  2n  3k   k  N  => N  khơng số phương Và N 2.1.3.5.7 2019 số chia hết cho không chia hết 2N khơng số phương Và N  2.1.3.5 2019  lẻ nên không chia hết cho   N  không chia cho dư 1=> 2N+1 không số phương 2N  Bài 27 : Chứng minh ba số nguyên liên tiếp N  1,2 N ,2 N  khơng có số số phương, : N 1.3.5 1999 HD :   N không số phương Ta thấy : N 2,2 N  N 3  N  2  mod 3  N  không số phương Giả sử : N  k  k lẻ  N k   k  1  k  1 4  N 2 Vơ lý Vậy ta có đpcm Bài 28 : Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị 6, Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương HD : Theo tính chất : ‘ Một số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ, chữ số hàng chục số phương cho : ;3 ;5 ;7 ;9 tổng chúng : 1+3+5+7+9=25 số phương Bài 29 : Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn : ab  bc  ca 1 2 Chứng minh rằng: A   a    b    c  số phương HD: Ta có: ab  bc  ca 1   a2 ab  bc  ca  a2 a  a  b   c  a  b   a  b   a  c  2 Tương tự :  b  a  b   b  c   c  a  c   b  c  Khi :   a2    b2    c2    a  b   b  c   c  a   , Vì a, b, c số nguyên nên số phương Bài 30 : Cho a, b, c số hữu tỉ khác thỏa mãn: a  b  c 0 , Chứng minh M 1   bình phương số hữu tỉ a b c HD: Ta có: 2  a  b  c       1 1  1 1 1   1 1                 a b c abc a b c  a b c  ab bc ac   a b c    Bài 31: Cho đa thức bậc ba f  x  với hệ số x số nguyên dương f  5  f  3 2010 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chứng minh rằng: f  7  f  1 hợp số HD: Ta có: f  x  a.x  bx  cx  d  a  Z   , Theo đề ta có: 2010  f  5  f  3  53  33 a  52  32 b    3 c 98a  16b  2c  16b  2c 2010  98a  Và :    f  7  f  1   1 a    1 b    1 c 342 a   16b  2c  342 a   2010  98a  48a  6030 3  16 a  2010  3 Vì a nguyên dương nên: 16a  2010  , Vậy f  7  f  1 hợp số Bài 32 : Chứng minh : Các số a b tổng hai số phương tích a.b tổng hai số phương HD : 2 Giả sử: a m  n2 b  p  q ,  m, n, p, q  Z  Ta có: a.b  m  n2   p  q m p  m 2q  n2 p2  n2q m p  n 2q  2mnpq  m 2q  n2 p  2mnpq   mp  nq    mq  np  , ĐPCM Bài 33: Chứng minh với số nguyên x, y A ( x  y )( x  y )( x  y )( x  y )  y Là số phương HD : Cách 1: A ( x  xy  y )( x  xy  y )  y x  10 x3 y  35 x y  50 xy  25 y ( x  xy )  2.( x  xy ).5 y  (5 y ) ( x 5 xy  y ) Vì x, y , z  Z  x ,5 xy ,5 y  Z  x  xy  y  Z  A số phương Cách 2: Đặt x  xy  y t (t  Z )  A (t  y )(t  y )  y t ( x  xy  y ) ( dpcm) Bài 34: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng them số phương HD : Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + ( n  Z ) Ta có: n(n  1)(n  2)( n  3)  ( n  3n  1) ( dpcm) Bài 35: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp SCP HD : File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n  2, n  1, n, n  1, n  2(n  N , n 2) Ta có: (n  2)  (n  1)2  n  (n  1)  ( n  2) 5n  10 5( n  2) Vì n2 số phương nên n khơng thể có chữ số tận nên n + không chia hết cho 5, hay 5( n  2) khơng phải số phương Bài 36: Cho hai số phương liên tiếp CMR tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ HD : Gọi hai số phương liên tiếp là: a2 ( a  1) ( a  Z ) Theo ta có: a  (a  1) a (a  1)2 a  2a  3a  2a  (a  2a  3a )  ( a  2a  1) (a  a)  2(a  a)  (a a  1) SCP lẻ a a a (a  1) số chẵn  a  a  số lẻ Bài 37: Chứng minh số n2 + 2014 với n nguyên dương số phương HD : Giả sử n2 + 2014 số phương Đặt n  2014 k  k  n 2014  (k  n)(k  n) 2014 Ta có (k  n)  (k  n) 2n chẵn  k  n; k  n tính chất chẵn lẻ  k ; n tính chẵn lẻ Mặt khác ta lại có : (k  n)(k  n) 2014  k  n; k  n chia hết cho hay ( k  n)(k  n)4 Mà 20144  (k  n)( k  n) 2014  khơng có số ngun dương n để SCP Bài 38: Chứng minh số có dạng n  n  2n3  2n , n  N , n  SCP HD : Ta có : n6  n  2n3  2n n (n  n  2n  1) n  n (n  1)(n  1)  2(n  1)  n (n  1)(n3  n  2) n (n  1)  (n3  1)  (n  1)  n (n  1)  ( n  1)( n  n  1)  (n  1)( n  1)  n (n  1) (n  2n  2) Ta chứng minh n  2n  khơng phải số phương ( dựa vào n  A  (n  1) ) File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ta có : n  2n  (n  1)2   ( n  1) ; n  2n  n  2( n  1) 2  ( n  1)  n  2n   n  n  2n  Khơng phải số phương Bài 39: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải SCP HD : Vì a, b hai số lẻ, ta đặt a 2k  (k , m  N )  a  b 4( k  k  m2  m)  4t  2(t  N )  b 2m  Khơng có số phương dạng 4t  2(t  N )  a  b khơng phải số phương Bài 40: Cho số phương có chữ số hàng chục khác cịn chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số CP HD : Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho : 1, 3, 5, 7, Khi tổng chúng : 25 = 52 số phương Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a nên a 2  a 4 Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 Do ta có : + + + + = 25 = 52 số phương Bài 41: Cho A 22  23  24   220 CMR : A + khơng số phương HD : A 22  23  24   220  A 23  24   221  A  A  A 221  22  A  221 2.(210 ) Khơng phải số phương Bài 42: Cho B 31  32   3100 CMR : 2B + khơng số phương HD : B 31  32   3100  3B 32  33   3100  B  3101 3.(350 )  dpcm File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000