Bài 1 một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết cạnh góc vng, cạnh huyền, đường cao hình chiếu hai cạnh góc vng lên cạnh huyền + Nêu hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông  Kĩ + Vận dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông để giải tập Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Xét ABC vng A, cạnh huyền BC a , cạnh góc vng AC b AB c Gọi AH h đường cao ứng với cạnh huyền CH b, BH c hình chiếu AC, AB cạnh huyền BC Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền Định lí 1: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền b a.b; c a.c Hệ (Định lí Py-ta-go): a b  c Một số hệ thức liên quan tới đường cao Định lí 2: Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền h b.c Định lí 3: Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng bc ah Định lí 4: Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng 1  2 2 h b c Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trong tam giác vng, bình Hệ thức cạnh góc vng hình chiều cạnh huyền phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông cạnh huyền HỆ THỨC LƯỢNG Một số hệ thức Trong tam giác vuông, liên quan tới đường cao tích hai cạnh góc vng TRONG tích cạnh huyền đường cao TAM GIÁC tương ứng VUÔNG Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Chú ý Trong ví dụ tập tính tốn số chương này, số đo độ dài không ghi đơn vị, ta quy ước đơn vị đo II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1:Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vuông Phương pháp giải Bước 1: Xác định xem đề yêu cầu tính yếu tố Ví dụ: Cho ABC vng A, đường cao tam giác vuông, yếu tố cho AH Tính độ dài AC, BH, CH, AH Biết AB 6 cm, BC 10 cm Trang Hướng dẫn giải Bước 2: Sử dụng hệ thức cạnh đường cao +) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: tam giác vng để tính độ dài AC  BC  AB 8  cm  Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: 62 +) AB BH BC  BH  3,  cm  10 +) CH BC  BH 6,  cm  +) AH BH CH  AH  3, 6.6, 4,8  cm  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho ABC vuông A đường cao AH Biết BC 15 cm, AC 12 cm Tính AB, AH, CH Hướng dẫn giải Áp dụng định lí Py-ta-go ta có BC  AB  AC  AB  152  122 9  cm  Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: +) 1  2 AH AB AC  1 1 25  2 2   AH 7,  cm  2 AH 12 AH 1296 122 +) AC CH BC  CH  9,  cm  15 Ví dụ 2: Cho ABC vng A, có đường cao AH Kẻ HE  AB , biết HE 2, cm, BH 3 cm Tính BE, AE, AH Hướng dẫn giải Trang Áp dụng định lí Py-ta-go cho BEH vng H ta có: BH BE  EH  BE  32  2, 42 1,8  cm  Áp dụng hệ thức lượng cho ABH vng H có đường cao HE, ta có: 2, 42 HE BE AE  AE  3,  cm  1,8 Áp dụng định lí Py-ta-go cho AEH vng E, ta có: AH  AE  EH  AH  2, 42  3, 22 4  cm   90 , B  60 , CD 30 cm, CA  CB Tính diện tích hình Ví dụ Cho hình thang ABCD có A D thang ABCD Hướng dẫn giải   Ta có CAD )  ABC 60 (cùng phụ với CAB  Xét ADC vng D có DAC 60 nên ADC tam giác nửa Suy AC 2 AD Theo định lí Py-ta-go ta có: AC  AD  DC   AD   AD  302  AD 900  AD 300  AD 10  cm   H  90 nên tứ giác AHCD hình chữ nhật Kẻ CH  AB Ta có A D Do AH CD 30 cm; CH  AD 10  cm  Trong tam giác ACB vng C ta có: CH HA.HB Suy ra: HB  CH HA  10   30  300 10  cm  30  AB  AH  HB 30  10 40  cm  S ABCD  CH  AB  CD   10  40  30  350  cm  Trang Vậy S ABCD 350  cm  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho ABC vuông A, đường cao AH Tính độ dài BH, CH, AC, biết AB 20 cm, BC 25 cm Câu 2: Cho ABC vuông A, đường cao AH Tính độ dài BH, CH, AH, BC biết AB 12 cm, AC 9 cm Câu 3: Cho DEF vng D, đường cao DI Tính độ dài DI, biết DE 15 cm, DF 20 cm Bài tập nâng cao Câu 4: Cho ABC có AB 12 cm, AC 5 cm, BC 13 cm, đường cao AH Tính AH Câu 5: Cho ABC vng A, đường cao AH Tỉ số AB  , BC 125 cm Tính BH, CH AC Dạng 2: Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông Phương pháp giải Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng biết Ví dụ: Cho ABC có đường cao AH Gọi M, để chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác N hình chiếu H AB, AC Chứng vuông minh AB AM  AC AN Hướng dẫn giải Áp dụng hệ thức lượng ABH vng H, có HM đường cao, ta có AH  AB AM Áp dụng hệ thức lượng ACH vuông H, đường cao HN có AH  AC AN Suy AB AM  AC AN Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC vng A, đường cao AH Chứng minh rằng: BC 2 AH  BH  CH Hướng dẫn giải Trang Cách 1: Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác ABH vng H, ta có: AB  AH  BH (1) Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác ACH vng H, ta có: AC  AH  CH (2) Từ (1) (2), suy ra: AB  AC 2 AH  BH  CH (3) Ta lại có ABC vng A nên theo định lí Py-ta-go: BC  AB  AC (4) Từ (3) (4) suy BC 2 AH  BH  CH Cách 2: Ta có: BC  BH  CH  BH  2.BH CH  CH Mà BH CH  AH nên BC 2 AH  BH  CH Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD O 2 2 2 2 Chứng minh rằng: AB  BC  CD  DA 2  OA  OB  OC  OD  Hướng dẫn giải Áp dụng định lí Py-ta-go cho OAB , OBC , OCD, ODA vng O Ta có OA2  OB  AB ; OB  OC BC ; OC  OD CD ; OD  OA2  AD Cộng hai vế đẳng thức suy AB  BC  CD  DA2 2  OA2  OB  OC  OD  Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD điểm M thuộc cạnh BC Kéo dài AM cắt tia DC N Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt tia CB E Chứng minh: a) AE  AN b) 1   2 AB AM AN Hướng dẫn giải Trang    a) Ta có: EAB DAN 90  MAB xét AND AEB có:  AD  AB    EAB  ADN  ABE 90 ; DAN Suy AND AEB  AN  AE b) Áp dụng hệ thức lượng AEM vuông A, đường cao AB, ta có: 1   2 AB AM AE Mà AE  AN (theo chứng minh trên) nên 1   2 AB AM AN Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi HD, HE đường cao tam giác AHB AHC Chứng minh rằng: a) AB HB  AC HC b) AB BD  AC EC Câu 2: Cho ABC cân A có đường cao AH BK Qua B kẻ đường thẳng vng góc với BC, cắt tia đối tia AC D Chứng minh rằng: a) BD 2 AH b) 1  2 BK BC AH Bài tập nâng cao Câu 3: Cho hình thoi ABCD với A 120 Tia Ax tạo với tia AB góc 15 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng CD N Chứng minh 1   2 AM AN AB Câu 4: Cho đoạn thẳng AB 4 cm Gọi C điểm di động cho BC 3 cm Vẽ tam giác AMN vuông A, có AC đường cao Xác định vị trí điểm C để 1  đạt giá trị lớn AM AN Câu 5: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B, C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng a, b, c a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c b) Chứng minh: a  b2  c 4 3S Hướng dẫn giải tập tự luyện Dạng Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vuông Bài tập Câu Trang Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vng A, đường cao AH, ta có: AB BH BC  BH  202 16  cm  25 Mà BH  CH BC nên CH 25  16 9  cm  Ta có: AC CH BC  AC  9.25 15  cm  Câu Theo định lí Py-ta-go, ta có BC  AB  AC  BC  122  92 15  cm  Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vng A, đường cao AH, ta có: 122 AB BH BC  BH  9,  cm  15 Ta lại có BC BH  CH  CH 15  9, 5,  cm  Mặt khác AH BC.CH  AH  9, 6.5, 7,  cm  Câu Áp dụng hệ thức lượng tam giác DEF vng D, đường cao DI, ta có: 1   2 DI DE DF  DI  DE DF 152.202  12  cm  DE  DF 152  202 Bài tập nâng cao Câu Ta có AB  AC 122  52 169 BC 132 169 Khi đó, ABC có AB  AC BC nên theo định lí đảo Py-tago, ta có tam giác ABC vng A Mà AH đường cao tam giác ABC nên theo hệ thức liên quan đến đường cao, ta có: 12.5 60 AH BC  AB AC  AH    cm  13 13 Câu Trang Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có:  AB BH BC BH AB    CH AC  AC CH BC Do BH   BH CH BH  CH 125        5 CH   16 16  16 25 Vậy BH 9.5 45  cm  , CH 16.5 80  cm  Dạng Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông Bài tập Câu a) Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có: BH AB  AB BH BC    CH AC  AC CH BC AB BH AB BH b) Do nên (1)   AC CH AC CH Áp dụng hệ thức lượng tam AHB vng H, đường cao HD, ta có BH BD.BA (2) Tương tự AHC , ta có: CH CE.CA (3) Từ (1), (2) (3), suy ra: AB BD  AC CE Câu a) Xét ABC cân A có đường cao AH, suy AH đường trung tuyến ứng với cạnh BC  BH HC , H  BC Xét BDC có  , suy AH đường trung bình BDC Do BD 2 AH  AH // BD, A  DC b) Áp dụng hệ thức lượng BDC vng B, có BK đường cao, ta có 1  2 BK BC BD Thay BD 2 AH ta có 1  2 BK BC AH Bài tập nâng cao Câu Trang 10 Kẻ AE  AN  E  DC  , AH  DC  H  DC        DAB  EAN  BAx 15 Ta có: DAE Xét ABM ADE , ta có: ABM  ADE , AB  AD,   BAM DAE  15  Do đó: ABM ADE  g c.g   AM  AE  ADH vng H, có ADH 180  BAD 60 1 Suy ra: DH  AD  AB 2  90 , ta có: Áp dụng định lí Py-ta-go ADH có H 1  AH  DH  AD  AH  AB   AB   AB 2   2 2  AH AB AEN có A 90 , AH  DN , theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có: 1 1      2 2 AE AN AH AM AN AB Câu Xét AMN vuông A, AC đường cao Theo hệ thức liên quan đường cao tam giác vng, ta có 1   2 AM AN AC Xét ba điểm A, B, C ta có: AC  AB  BC  AC 1 cm  Do vậy: 1 1  1 AC AC Dấu " " xảy C nằm A B Vậy C nằm A B cho BC 3 cm 1  AM AN lớn Câu Trang 11 a) Giả sử góc A góc lớn tam giác ABC Thế B, C góc nhọn Suy chân đường cao hạ từ A lên BC điểm H thuộc cạnh BC Ta có BC BH  HC Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng AHB, AHC ta có: AB  AH  HB (1) AC  AH  HC (2) Lấy  1    ta c  b HB  HC  HB  HC   HB  HC  a  HB  HC   HB  HC  c  b2 a a2  c2  b2 Mà HB  HC a  HB  2a Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng AHB vng H ta có:  a  c2  b2   a  c2  b2   a  c  b2  AH c     c  c  2a 2a 2a      2 16 p  p  a   p  b   p  c  Đặt p a  b  C AH   AH 2 4a p  p  a  p  b  p  c  a Từ tính S  BC AH  p  p  a   p  b   p  c  b) Ta có S  p  p  a   p  b   p  c  Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:  p  a   a  b  c p3 p3 p3  p a p b p c p  b   p  c     S    S  p 27 27 3 12   2 2 2 Mặt khác ta có: a  b  c ab  bc  ac   a  b  c  3  a  b  c  Suy S   a2  b2  c2  12  a  b  c 4 3S Dấu xảy a b c Khi tam giác ABC Trang 12