BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CHỦ ĐỀ CÂU 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( ; 1; ) B ( ;5 ; ) Xét khối nón ( N ) có đỉnh A, đường trịn đáy nằm mặt cầu đường kính AB Khi ( N ) tích lớn mặt phẳng chứa đường trịn đáy ( N ) có phương trình dạng x+ by+ cz+ d=0 Giá trị b+ c+ d A −21 B −12 C −18 D −15 Lời giải Chọn C A I M C B Ta có ⃗ AB= ( ; ; ) , AB=6 Gọi M điểm thuộc đoạn IB (M khác B) cho ℑ=x ,0 ≤ x Do bán kính hình trụ r =√ R 2−h2= √ 9−h2 Thể tích khối trụ V =π r 2 h=π ( 9−h2 ) h=π √2 √ ( 9−h2 ) ( 9−h2 ) 2h V ≤ π √ √( 9−h2 +9−h2 +2 h2 =π √ √ 6=12 π √ ) Dấu đẳng thức xảy ⇔ 9−h 2=2 h2 ⇔ h= √3 Khi hình trụ tích lớn 12 π √ Vậy hai mặt đáy trụ có phương trình tương ứng y= √ ; y=−√3 Câu 50.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có đường kính AB , I (3; 2; 2) trung điểm AB Gọi ( P) mặt phẳng vng góc với đoạn AB H cho khối nón đỉnh A đáy đường tròn (C ) ( (C ) giao ( S ) ( P) ) tích lớn 10 r ( C ) , viết phương trình mặt cầu ( S ) Biết có bán kính 2 2 2 A ( x 3) ( y 2) ( z 2) 40 B ( x 3) ( y 2) ( z 2) 5 2 C ( x 3) ( y 2) ( z 2) 5 2 D ( x 3) ( y 2) ( z 2) Lời giải BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Chọn B Mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R , (C ) có tâm H , bán kính r Đặt AH x (0 x R) , ta có 1 V( N ) AH S( C ) AH r 3 Do AB đường kính nên ta có r AH HB x(2 R x) Khi V( N ) x (2 R x) ( x Rx ) f ( x ) 3 x 0 f ( x) 0 x R 2 Xét hàm số f ( x) x Rx (0;2 R ) , f ( x) x Rx , Bảng biến thiên f ( x ) : Dựa vào bảng biến thiên, ta có AH HB r V( N ) x R AH AB hay lớn Mà 40 Suy 40 AB AB AB 2 R 3 2 Suy ( S ) : ( x 3) ( y 2) ( z 2) 5 Câu 50.3 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; ; 3) mặt cầu ( S ) : ( x−1 ) + ( x−2 ) + ( x−3 ) =12 Xét khối trụ ( T ) nội tiếp mặt cầu ( S ) có trục qua điểm A 2 BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Khi khối trụ ( T )có thể tích lớn hai đường trịn đáy ( T )nằm hai mặt phẳng có phương trình dạng x +ay +bz +c=0 x +ay +bz +d=0 Giá trị a+ b+c +d A −4+ √ B −5 C −4 D −5+ √ Lời giải Chọn B Gọi r , hlần lượt bán kính đường trịn đáy chiều cao mặt trụ ( T )và Rlà bán kính mặt cầu ( S ) , ta có: R=2 √ 3, h=2 √ R2−r Thể tích khối trụ ( T ) V =π r h=2 π r √ R2−r =π √ √r r ( R2−2r ) Mà theo Cơ-si ta có: √ r r ( R2−2 r ) ≤ 2 2 Suy ra: r r ( R −2 r ) ≤ r +r +2 R 2−2 r 2 = R 3 π √3 R R ⇒V≤ R Dấu “=” xẩy r = √ 27 √ Vậy khối trụ ( T ) đạt thể tích lớn chiều cao h=2 R2− R √6 = √ R =4 ( Có thể 3 dùng phương pháp hàm số) ( ) Mặt khác tâm khối trụ ( T ) tâm I ( ; 2; ) mặt cầu ( S ) nên trục khối trụ ( T ) ¿ x=1+t IA : ¿ y=2+ t Vậy hai đáy khối trụ nằm mặt phẳng vng góc nằm đường thẳng ¿ z =3 với đường thẳng AI cách tâm Imột khoảng Gọi M (1+t ; 2+ t ; ) ∈ IAlà tâm { ¿ t=√ ⇒ M ( 1+ √ ; 2+ √2 ; ) đường trịn đáy hình trụ, ta có ℑ=2 ⇔ √ t 2+t 2=2 ⇔2 t 2=4 ⇔ ¿ t=−√ 2⇒ M ( 1−√ ; 2−√ 2; ) [ Vậy mặt phẳng chứa đường trịn đáy mặt trụ có phương trình là: ( x−1−√ ) + ( y−2− √2 ) =0 ⇔ x + y−3−2 √ 2=0 Và ( x−1+ √ ) + ( y −2+ √2 ) =0 ⇔ x + y−3+ √ 2=0 Vậy: a+ b+c +d=−5 Câu 50.4 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; ; 0) , B(−3 ; ; 4) đường thẳng x−2 y +1 z−2 = = Xét khối nón ( N ) có đỉnh có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng Δ −1 ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB Khi ( N ) tích nhỏ mặt phẳng chứa đường trịn đáy ( N ) có phương trình dạng ax +by +cz +1=0 Giá trị a+ b+c A B C D −6 Δ: BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Lời giải Chọn A Mặt cầu đường kính AB có tâm I (−1 ; 2; 2), bán kính Gọi H , r tâm bán kính đường trịn đáy ( N ), C đỉnh ( N ) Khi C , I , H thẳng hàng (I nằm C , H ), IH =IK =3 Đặt CI =x IK CK IK CH (x+ 3) = ⇒ r=HM = = MH CH CK √ x −9 ΔCIK đồng dạng ΔCMH nên ( x +3 )2 ( x +3 ) V (N )= π r CH = π ( x +3)=3 π 3 √ x2 −9 x −3 ( ) 2 V (N ) nhỏ ⇔ f ( x )= ( x+3 ) = x + x +9 nhỏ ( x >3) x−3 x−3 f ' (x)= x 2−6 x−27 x−3 f ' (x)=0 ⇔ ¿ x=−3 ¿ x=9 [ V (N ) nhỏ ⇔ x=9, IC=9 nên C ∈( S): ¿ Mặt khác C ∈ Δ nên C (−1 ; ; 11) C ( 4311 ;− 3211 ;− 4111 ) Vì Ccó tọa độ ngun nên C (−1 ; ; 11 ) −1 ⃗ ⃗ IH = IC nên H (−1 ; ;−1) IH =( 0; 0; 3) làm vectơ pháp tuyến Mặt phẳng chứa đường tròn đáy ( N ) qua H nhận ⃗ nên phương trình mặt phẳng z +1=0 Do a=0 , b=0 , c=1 nên a+ b+c=1 BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN Câu 50.5 Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A (−2 ; 1; ) B ( 2; ; ) Xét khối nón ( N ) có đỉnh A đường trịn đáy nằm mặt cầu đường kính AB Khi ( N ) tích lớn mặt phẳng ( P ) chứa đường tròn đáy ( N ) cách điểm E ( ;1 ; ) khoảng bao nhiêu? A d= B d=2 C d= D d=3 3 Lời giải Chọn A Ta có: ⃗ AB= ( ; ; ) nên ( P ) có vtpt ( ; ; ) AB=4 ⇒ R=2 Đặt x hình vẽ Khối nón ( N ) có h=x+ r 2=H C 2=4−x 1 ⇒ V = π r h= π ( 4−x ) ( x+ ) với ≤ x ≤ 3 Khảo sát hàm số y=( 4−x ) ( x +2 ) với ≤ x ≤ 2 IH =⃗ IB với I ( ; ; ) Đạt max x= ⇒ IH = ⇒ ⃗ 3 ⇒H ( 23 ;1 ; )⇒ ( x− 23 )+0 ( y−1) +0 ( z−1 ) =0 ⇒ x− =0 Khoảng cách từ điểm E ( ;1 ; ) tới mặt phẳng ( P ) d ( E , ( P ) )= |1− 23| 2 √ +0 + = Câu 50.6 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2+ y + z 2−2 x−4 y +6 z−13=0 đường x +1 y+ z−1 = = Biết điểm M ( a ; b ; c ) ; a