Phan 5

Dạng – Biết hình chiếu đỉnh xuống mặt phẳng đáy Lưu ý: H hình chiếu đỉnh S xuống mặt phẳng đáy đường cao SH Câu 1: Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông B , BC a , AC 2a , tam giác SAB tam giác Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm M AC Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  3a Lời giải S B A 2a a M C Tam giác ABC vuông B : AB  AC  BC a Tam giác SAB nên SA  AB a Tam giác SAM vuông M nên: SM  SA2  AM a a3 V  S SM  d Vậy ABC Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD Cạnh SD tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD A a3 15 B a3 15 27 C Lời giải a3 15 D a3 S M A B H D C a a 2 a a Ta có : DM  AD  AM  a      DH  DM   3  2 2 a a 15   SH DH tan SDH  tan 60  3 VS ABCD SH S ABCD Câu 3: a 15 a 15  a  3 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A B , AB BC a , AD 2a Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với trung điểm cạnh AB Biết SC a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD A V  a3 B V  a 15 C V  a 15 D V  LỜI GIẢI S D A M B C Gọi M trung điểm AB Ta có: MC  BC  MB  Nên VS ABCD  a 15  a  2a  a a3 15  2 a a 15 suy SM  2 2a Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB a , AD a Hình chiếu S lên đáy trung điểm H cạnh AB ; góc tạo SD đáy 60 Thể tích khối chóp S ABCD là: A Đáp án kháC B a3 C a 13 D a3 Lời giải SH  60  tan 60   Ta có SDH HD a a 13 a 39 Cạnh HD  3a      SH  2  2 a 39 a 13 V a 3 2 Câu 5: Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng cân B , AB a Gọi I trung điểm   AC Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  điểm H thỏa mãn BI 3IH Góc hai mặt phẳng  SAB   SBC  60o Thể tích khối chóp S ABC là: A V  a3 B V  a3 a3 C V  18 Lời giải D V  a3 Cách 1: Dễ thấy hai tam giác SAB SAC nhau, gọi K chân đường cao hạ từ A tam giác SAB suy   SAB  ,  SBC    AKC  TH1: AKC 60 kết hợp I trung điểm AC suy IKC 30 Ta có IB IC  AC a 2a , BH  BI   2 3 Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân B ta AC  BI  IC  IK  Trong tam giác ICK vng I có tan IKC  IC IC a  IK   IK tan 30 Như IK  IB IC IC a  TH2: AKC 120 tương tự phần ta có tan IKC   IK   IK tan 60 a Do SB   AKC   SB  IK nên tam giác BIK vuông K BK  IB  IK  Như tam giác BKI đồng dạng với tam giác BHS suy ra: SH  Vậy thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  Cách 2: dùng phương pháp tọa độ hó Câu 6: IK BH 2a  BK a 2a a  3 A Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB a , AC a Hình chiếu điểm S mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết góc mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  ASC  60 Thể tích khối chóp S ABC A 5a 12 B 5a 10 12 C Lời giải a 210 24 D a 30 12 Gọi H trung điểm BC , đặt SH  x,  x   Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với A  0;0;0  ,  a a  a a  H  ; ;0  , S  ; ; x  hình vẽ     Ta có: a  VTCP đường thẳng AB i  1;0;0  ,  VTCP đường thẳng AC j  0;1;0   a a  AS  ; ; x    S I E G B C H M P A   a 5   AS , i  0; x ;  mp SAB    VTPT  n1       a 2  VTPT mp  ASC   AS , j    x; 0;  n2    B a 2;0;0 ,   C 0; a 5;0 ,  n1.n2 Có cos 60     n1 n2 a 10  2 5a 2a x2  x2  4  16 x  28 x a  30a 0  x  a x  1 a a 30 VS ABC  SH S ABS  a 2.a  3 2 12 Cách 2: ( SAB)   SAC  SA , kẻ BE  SA GH  BE , suy  60   SAC  ,  SAB    GH ,  SAC   HGI Đặt SH  h , ta tính SA  h  BE  S SAB  SA 7a 5a SP  h  Vậy 4 a 5a h SH HM BE  HG  HI   , SM a2 7a 2 h2  h  a h  Tam giác GIH vuông I có a 5a a h2  h IH   h  a h  15a 0  h  2a sin 60   HG 7a a2 h2  h2  a 30 Vậy VSABC  AB AC.SH  12 Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy trùng với trọng tâm G tam giác ABD Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SDG  SG 1 Thể tích khối chóp cho A 25 12 B C D 12 25 Lời giải Chọn đáp án A Ta có: CG 2 AG  d  C ,  SDG   2d  A,  SDG   Suy d  A,  SDG    Dựng AH  DG Mặt khác AH  SG  AH   SDG   AH  Đặt AB  x  AH  AD AM AD  AM  x 5   x 2 25 Vậy VS ABCD  SG.S ABCD  12 Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B Hình chiếu vng góc S mặt đáy  ABCD  trùng với trung điểm AB Biết AB 1, BC 2, BD  10 Góc hai mặt phẳng  SBD  mặt phẳng đáy 60 Tính thể tích V khối chóp S BCD A V  30 B V  30 12 C V  Lời giải 30 20 D V  30 Gọi I trung điểm AB , G chân đường kẻ từ A xuống BD , trung điểm BG Khi cao H  IH  BD  BD   SHI  Vậy góc mặt phẳng  SBD  mặt phẳng đáy góc SHI Ta có AD  BD  AB 3 1 10 10 30  2  AG   IH   SI IH tan 60  2 AG AB AD 10 20 20 1 30 S BCD  d  D, BC  BC  AB.BC 1 Vậy VS BCD  SI S BCD  2 20 Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  trung điểm cạnh OC Góc mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  ABCD  60 Tính theo a thể tích V hình chóp S ABCD A V  a3 B V  a3 C V  3a 3 D V  3a 3 Lời giải Gọi H trung điểm cạnh OC  SH   ABCD   AB  HP  AB   SHP   AB  SP Kẻ HP  AB  P  AB  , ta có   AB  SH SH   600  tan 600    SH HP Do   SAB  ;  ABCD   SPH HP Trên  ABCD  , ta có  HP  AB HP AH 3 3a 3a  HP / / BC     HP  BC   SH   BC AC 4 4  BC  AB 1 3a a 3  V  SH S ABCD  a  3 4 Câu 10: Cho hình chóp S ABC , có đáy  SAB  ,  SAC  ,  SBC  ABC tam giác cạnh a Các mặt bên tạo với đáy góc 30 , 45 , 60 Tính thể tích V khối chóp S ABC Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  nằm bên tam giác ABC A V  a3  4 B V   a3  4  C V  a3  4 D V   a3   3 Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  Kẻ HD  AB  D  AB  , HE  AC  E  AC  , HF  BC  E  BC  Khi ta có HD  Ta có S ABC SH SH SH SH SH 3, HE  SH , HF   0 tan 30 tan 45 tan 60 1  a2 3a  a2    SH  suy SH     3 4    3a a2 a3 V   Vậy 4 4     Câu 11: Cho hình chóp S ABC có AB 3, BC 4, AC 5 Các mặt bên  SAB  ,  SAC  ,  SBC  hợp với mặt đáy  ABC  góc 60 hình chiếu H S lên  ABC  nằm khác phía với A đường thẳng BC Thể tích khối chóp S ABC A VS ABC 6 B VS ABC 12 C VS ABC 2 Lời giải D VS ABC 4 S A P C M I B H N Gọi M , N , P hình chiếu H lên CB, BA, AC Ta có SHM SHN SHP  HM HN HP Theo ta có H tâm đường trịn bàng tiếp ABC Ta có ABC vng B  BMHN hình vng Gọi I  AH  BC BI 3   BI  BC  IC Ta có BI NH    B trung điểm AN  HN  AB 3 AB AN  SH HN tan 60 3 1 S ABC  BA.BC 6  VS ABC  S ABC SH 6  Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh x , BAD = 60° , gọi I giao điểm AC BD Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD) H cho H trung điểm BI Góc SC ( ABCD) 45° Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V = 39 x3 12 B V = 39 x 36 C V = Lời giải 39 x 24 D V = 39 x 48 Tam giác ABD cạnh x Þ BD = x Þ IH = x Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC : AC = x + x - x.x.cos120° = x Þ IC = Xét tam giác IHC vuông I : HC = IH + IC = x x 3x x 13 + = 16 4  Do tam giác SHC vuông H , có SCH = ( SC , ( ABCD ) ) = 45° nên tam giác SHC vuông cân H Suy ra: HC = SH = x 13 1 x 13 x 39 Vậy thể tích khối chóp S ABCD : VS ABCD = AC.BD.SH = x 3.x = 24