PHỊNG GD&ĐT THỊ XÃ PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP THỊ NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn lớp (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài 1: (4,0 điểm) x 1 4032 x Tìm x để biểu thức : x 2x x 2x x 4x x 1) Cho biểu thức: R xác định, rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình sau: x x 1 x 1 x 4 Bài 2: ( 5,0 điểm) Cho a, b dương a2013 + b2013 = a2014 + b2014 = a2015 + b2015 Tính: S= a2016 + b2017 2 Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 x x x x 2x x 2x Bài 3: (5 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM Cùng qua điểm c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1 la lb lc a b c Bài 5: (3,0 điểm) Cho hai số không âm a b thoả mãn a b2 a b Tìm giá trị lớn biểu thức: S a b a 1 b 1 Hết UBND THỊ XÃ PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI NĂNG KHIẾU MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN : TỐN Nội dung Điểm Bài 1: (4,0 điểm) x x 1 4032 3) Cho biểu thức: R Tìm x để biểu : x 2x x 2x x 4x x thức xác định, rút gọn biểu thức 4) Giải phương trình sau: x x 1 x 1 x 4 x x x 1 Ta có R x x x x x x 4032 x 0 ĐK: x x 0 x 2 0.5 Khi đó: x x 1 4032 x x x x 1 x x 1 x 4032 x2 2 x 4 4032 x 2016 x 0 Vậy R xác định R 2016 x 2 + Nếu x 2 , phương trình cho trở thành x x 1 x 1 x 4 R x 1 x 4 0.5 0.5 x x 0 x x 0 x 0 l x tm x l Nếu x 2 , phương trình cho trở thành x x 1 x 1 x 4 x x 1 x 1 x x 1 x x x 0 5 x 0 vô nghiệm 2 KL: Phương trình có nghiệm x Bài 2: ( 5,0 điểm) 1.Cho a, b dương a2013 + b2013 = a2014 + b2014 = a2015 + b2015 Tinh: S= a2016 + b2017 (a2014 + b2014).(a+ b) - (a2013 + b2013).ab = a2015 + b2015 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = b = Vì a = => b2013 = b2014 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2013 = a2014 => a = 1; a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2016 + b2017 = 2 2 Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 x x x x 2x Đặt y = x2 + 2x + (y (1) y1 y y y y 1 (lo¹i) ; x 2x Z) 5y2 - 7y - = y2 = (tho¶ m·n) x1 = 0; x2 = -2 1 Bài 3: (5 điểm).Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM Cùng qua điểm c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn A F D E B M C AE FM DF a Chứng minh: AED DFC đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi ME MF a không đổi S AEMF ME.MF lớn ME MF (AEMF hình vng) M trung điểm BD Bài (3,0 điểm) 2 Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1 la lb lc a b c 0.5 M A B C D + Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M Ta có BAD AMC (hai góc vị trí đồng vị) DAC ACM (hai góc vị trí so le trong) Mà BAD nên AMC ACM hay tam giác ACM cân A, suy DAC AM AC b + Do AD//CM nên 0.5 AD BA c CM BM b c + Mà CM AM AC 2b c AD 1 1 (1) b c 2b la b c 1 + Tương tự ta có 11 1 1 1 (2); (3) lb c a la b c Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm Bài (3,0 điểm) Cho hai số không âm a b thoả mãn a b2 a b Tìm giá trị lớn biểu thức: a b a 1 b 1 2 2 + Ta có a 2a; b 2b a b 2a 2b a b 2 S 1 + Chứng minh với hai số dương x, y x y x y 1 + Do S 2 2 a 1 b 1 a 1 b 1 + Kết luận: GTLN S 1, đạt a b 1 Trong trình chấm tổ chấn chia nhỏ điểm theo ý tương ứng với phần - Điểm toàn tổng điểm thành phần 1