D06 một số dạng khác muc do 3

Câu  x  1  y  y  x   xy  x   x   [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình  Lời giải  y 0    x  Điều kiện (1)   x  1  x   y  y  * f f  t  t  4t , t   0;    * Xét hàm số từ ta có f  t  4t  4; f  t  0  t 1   3x 1  f  y Bảng biến thiên t - f'(t) - +∞ + f(t)  0;1 ; đồng biến  1;   Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số nghịch biến  0;1  1;   ta có 3x 1  y  y 3x 1 thay vào + Nếu x  y thuộc   ta có  3x  x    x 1 x  3x  1 4 x   x   x x   x      3x  x    y 4 (thỏa mãn)  0;1  1; +Nếu x  y không thuộc   3x    2 từ  y  0    x  y  1  Vậy hệ có nghiệm 3x y  0  x  y  1 0 3x 1 1 y   x  1  vô lý  x; y   1;   x   x  0  ( x  2)  m  x x   Câu [DS10.C3.2.E06.c]Tìm m để hệ sau có nghiệm:  Lời giải Đkxđ: (1)  x  3 x   x   x  ( x  1) (do   x 1 x  nên hai vế không âm) x   0;1 Hệ có nghiệm  bpt (2) có nghiệm 2 Ta có (2)  x ( x  4)   m  x x   t   0;  x   0;1 Đặt t  x x  , nên 2 t   0;  Ta có bpt: t   m t   t  t  (m  3) (*) với Bpt (2) có nghiệm t   0;  x   0;1  bpt (*) có nghiệm Max f (t )  (m  3)   0;    max f (t ) 5   0;   0;  f ( t )   Lập bảng biến thiên đoạn ta   Khi ta có  Câu  (m  3)  m   [DS10.C3.2.E06.c] (HSG 11 – VĨNH LONG 2013-2014) Giải hệ phương   x   x  y  3 y    x  y  8  y Lời giải   x   x  y  3 y    x  y  8  y Ta có a  x  0, b  x  y  0 y Đặt    a  b 3  a  b 3    2  a  b 5 a  (3  a) 5   Hệ phương trình trở thành    x  1 y    x  y  2      x  2  y    x  y  1    x  y 1    x  y 7     x  4   y    x  y 4     y  y 6    x  y 7     y  0   y    x  y 4   a 1   b 2   a 2    b 1   y  y  0    x  y 7     y  0   x  y 4   (3;1),(5;  1), (4  10;3  10),(4  10;3  10 Hệ phương trình có nghiệm (x; y) trình Câu [DS10.C3.2.E06.c] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Trần Phú – Thanh Hóa – 2012 - 2013) Giải hệ phương trình : Lời giải  x  y  x  y 1  x  3x  y  y 1  x  x 1     2 3 x  y  x  y 3  3( x  x)  2( y  y ) 3  y  y 0 Ta nghiệm hệ :   13    13    13    13  ;0  ;  ;   ;0   ;   2 2    ;  ;   [DS10.C3.2.E06.c] (HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Giải hệ phương trình: Câu 2  x  y  3x  y 1  2 3 x  y  x  y 3 2 2  x  x y  xy  xy  y 1   x  y  xy  x  1 1 Lời giải  x  y   xy  x  y   xy 1   x  x y  xy  xy  y 1   x  y   xy 1  x  y  xy  x  1 1     - Ta có: a x  y a  ab  b 1 a  a  2a 0    2 b  xy a  b 1 b 1  a   - Đặt Hệ trở thành:  a 0   b 1  a 1    b 0   a   b  a 0  x  y 0    b   x  y 1  xy 1  - Với  x  y 1 a 1  x 1; y 0      xy 0  x 0; y 1 - Với b 0 a   x  y   x       xy   y 3 - Với b  x; y     1;1 ,  1;  ,   1;0  ,  0;  1 ,   1;3   Vậy hệ có nghiệm  Câu [DS10.C3.2.E06.c] (HSG10_THPT-PĐP_2017-2018) Giải hệ phương  x  y  1  y  x  x  1 3   2  x  x   y  y  1 Lời giải ( x y  x y  x )  y ( x  1) 3    x( x  1) y ( y  1) 1 Hệ phương trình  a  xy  x  Đặt b  xy  y , 2 ( xy  x )  2( xy  y ) 3  ( xy  x)( xy  y ) 1 trình  2  a  a 3 a  3a  0   a  2b 3   b     b a  ab 1  a Ta có hệ:   a    a 1   b   b    a 1  xy  x 1  1    x y   Với b 1  xy  y 1  a    1 b  Câu  xy  x   xy  x     1   xy  y   x  y  (a  1) (a  2) 0   b  a   x ( x  )  x     y x   Với 2 x  x  0    y x   (vô nghiệm) [DS10.C3.2.E06.c] (HSG11 Bắc Giang cấp trường 2012 - 2013) Giải hệ phương trình:  x y  x    y  x  y  y 2 x 1 Lời giải Câu  x 0  y 0    x  y 0  y  x 0 *Điều kiện:  *Hai vế PT hệ khơng âm,bình phương hai vế ta được:  x 2  17   y  x     12  x  y 2  x 4 x  y  0     y 5   y  x 2 y  4 x  y  0  nghiệm hệ [DS10.C3.2.E06.c] (Đề Ơn thi HSG Tốn 11 – Thanh Hóa năm 1819) Giải hệ phương trình  x  x   y  y   2  x  y  xy 1 Lời giải y 1 (1)  x  y  y   x  ĐK:  x  xy  y  y   x   ( y  1)( x  1)  xy  ( y  1)( x  1)  x y  x y  y  x   x  y   x  y   x  xy 0   2 x  y  xy 1  Kết hợp với (2) ta  x 0  (2)  y 1  y 1  x 0  y 2 x  1 y 2 x  (2)  x 1  x   x   y  3 x ,y 3 thỏa mãn hệ phương trình Thử lại ta có x 0, y 1 Vậy hệ có nghiệm  x y  y  x 4 xy  1 x  x  xy  y 3 Câu [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình  Lời giải Giải hệ phương trình  x y  y  x 4 xy (1)  1 x (2)  x  xy  y 3  Điều kiện x 0, y 0 x   4 x y Chia hai vế (1) cho xy ta có phương trình  1 1 1 x 1 1 1 x        x           4  x x y y x x y x xy y  y x  1    x      4 x  y x    1 1 1    x       4  x  x  y 4 x x y    x  x 2        x      4  x      4   2        x  y x  x  y x   x y  Ta có hệ   x  x 2     2  x y  x  x  0   x 1 1   x  y 2   y 1 Câu [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình: 2  x  y  3x  y 1  2 3 x  y  x  y 3 Lời giải  x  y  x  y 1  x  3x  y  y 1  x  x 1     2 3 x  y  x  y 3  3( x  x)  2( y  y ) 3  y  y 0 Ta nghiệm hệ là:   13    13    13    13  ;0  ;  ;   ;0   ;   2 2    ;  ;    x  x y  xy  xy  y 1  x  y  xy  x  1 1 Câu [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình:  2 2 Lời giải  x  y   xy  x  y   xy 1   x  x y  xy  xy  y 1   2 x  y  xy 1  x  y  xy x         - Ta có:  a x  y a  ab  b 1 a  a  2a 0     2 b  xy a  b 1 b 1  a   - Đặt Hệ trở thành:  a 0   b 1  a 1    b 0   a   b  a 0  x  y 0     x  y 1  xy 1 - Với b 1  x  y 1 a 1  x 1; y 0      xy 0  x 0; y 1 - Với b 0 a    b   - Với  x  y   x     xy   y 3 x; y     1;1 ,  1;  ,   1;0  ,  0;  1 ,   1;3   Vậy hệ có nghiệm   x  13 y  x  1 3 y   x  2  y  1 x   y   x  y  12 y   x  1 3 y  Câu [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình:  Lời giải  y 1  y  1 x  y  y 0    y x Trừ vế với vế (1) (2) ta y 1 thay vào (1) ta x  13  x   x  x 1 Với Với y  x thay vào (1) ta x3  13 x  x  x  1 3 x    x  1   x  x  1  x  1  x  1  x  1   x  x  1 Đặt a 2 x  1, b  3x  ta  a   x  x  1  x  1 b   a  b3   a  b   x  1 0   a b   2 b   x  x  1  x  1 a  a  ab  b  x  0  x 1  y 1 3 a b  x   x   x  15 x  x  0    x   y  64   x  y  1  y  x  x  1 3   2  x  x   y  y  1 Câu [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình  Lời giải ( x y  x y  x )  y ( x  1) 3 ( xy  x )  2( xy  y ) 3   x( x  1) y ( y 1) 1  ( xy  x)( xy  y ) 1 Hệ phương trình  a  xy  x  Đặt b  xy  y ,  2 (a  1) (a  2) 0  a  a 3 a  3a  0    1 a  2b 3   b    b   b a a   ab 1  a Ta có hệ:   a    a 1   b   b    a 1  xy  x 1  1    x y   Với b 1  xy  y 1  a    1 b    xy  x    1 xy  y    xy  x    3 x  y   Với 2 x  x  0    y x   (vô nghiệm)   x( x  )  x    y x   3 2  x  y  3x  y  x  15 y  10  y x    y   x  10  y  x Câu [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình:  Lời giải x    Điều kiện  y    x, y    3  x  1   x  1  y     y    1   2  y x    y   x  10  y  x f  t  t  3t , t  , f  t  3t   t   f t Vậy hàm số đồng biến ¡  x  y  x  y  x  15 y  10    y x    y   x  10  y  x Xét hàm số  1 ta có f  x  1  f  y    x   y   y x   3 Từ  3 vào   ta PT:  x 1 x    x   x  10 x  x 1   Thay     x 1 x     x   x 10  x  x  30     Phương trình   x  1   x  6   x  7   x  6 x 3 3 x  10   x  0     x  x 7  x     x   x  10   5 Từ  x    x    : x  0  x 6   y 7   x; y   6;7  nghiệm hpt  6 Từ : x 1 x 3 x 7 x7    0 2 x 3 3 x  10   7 phương trình 1 1   VT     x  3      x       VP    x 3 3   x  10    x; y   6;7  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x  y  x  y 2    y  x  y  x 1 Câu [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình:  vơ nghiệm Lời giải  x 0  y 0    x  y 0  y  x 0 *Điều kiện:  *Hai vế PT hệ khơng âm,bình phương hai vế ta được:  x 2  17   y  x      12  x  y 2  x 4 x  y  0     y 5   y  x 2 y  4 x  y  0  nghiệm hệ y   y 0 x  1 x  x    x  x   y 3  Câu [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình  y Lời giải Điều kiện y 0 Phương trình thứ hệ tương đương với x  x x   x  x y  y 0   y   x  x 0   x  x    y   * y y   x  x   x    y    y 3 y   y Thay vào phương trình hai ta x  y  y  x  x     y     y   0   x y  y   y  y 3    Thay vào phương trình Câu  * giải ta nghiệm  x; y   0;  1  x  xy  y  y 1  x, y     x x  y  x  y  [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình  Lời giải  x  xy  y  y 1 1   x x  y  x  y 2   Xem phương trình (1) pt bậc hai theo x nên ta có hai nghiệm là: x  y  1; x 1  y  Với x  y   x  y  (loại x  y 0 )  Với x 1  y thay vào (2) ta được: 1  y     y   y 0  y    , đặt t   y ; t 0 thay vào giải ta được:  t 2   y 2  y   x 3 Vậy hệ cho có nghiệm là: x 3; y  Câu  x  y 4  x  y m [DS10.C3.2.E06.c] Tìm giá trị m hệ  có nghiệm Lời giải  x m  x  y 4  y x  m     y  x  m   x  y m  x  x  (m  4) 0  x  x  (m  4) 0  Do hệ có nghiệm khi phương trình:f(x) = x + x – (m + 4) = có nghiệm [m;+) (*)   4m  17 -17 x m  f(x) = có  = 4m + 17 nên f(x) = có nghiệm   4m  17  2m   4m  17 Do đó: (*)   2m  0 17 17 m>  m  hay   m 2 2 4  4m  17 (2m  1)  m 2  m Câu [DS10.C3.2.E06.c] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Giải hệ phương   x 2 y 2    x  xy  y 0 Lời giải   x 2 y 2 (1)    x  xy  y 0 (2) x   y 2   x 3  y  Kết hợp (2) x 0 ; x 0 không thỏa mãn 2   4  2     y     y  x  x Xét f  t  t  t   y  x  y x 2 Thay vào (1) g    0 KL  0;  , chứng minh f (t ) đồng biến  0;  4 2 y 2 g  t     2t  2   ;0  y t Xét nghịch biến nên y  từ x =  x; y   1;   trình Câu 3 x  y  x  y  5  x  y   x 10 y  [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình  Lời giải  x  y 0   x  y  0 Điều kiện Ta có hệ phương trình cho Đặt u  x  y ,  u 0  Suy  x  y u    x  y  v 3 x  y  x  y  5   2 x  y    x  10 y  9 v  x  y  1,  v 0   x  y u   x  y v  2m  n 5   x  10 y m  x  y   n  x  y  Ta có , suy m  2n 10 Vậy x  10 y 4  x  y    x  y  4u   v  1 m 4  n  3u  v 5 v 5  3u   2 2v   4u  3v  3 9 4u  3v  2v  12 0 Vậy ta có hệ phương trình   u 1   v 2    u  73  23   v   u   104  v   23   23u  96u  73 0 u 1 2 x  y 1     v 2  x  y 3 Trường hợp 1:  x 1   y  (thỏa mãn điều kiện) 73  u   23  v  104 23 ( không thỏa mãn điều kiện v 0 ) Trường hợp 2:   x 1  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  y  Câu  x  x y  xy  xy  y 1  x  y  xy  x  1 1 [DS10.C3.2.E06.c] Giải hệ phương trình:  Lời giải  x  y   xy  x  y   xy 1   x  x y  xy  xy  y 1 (1)  *     x  y   xy 1 x  y  xy  x  1 1 (2)   + Ta có: a  x  y  + Đặt b  xy Hệ trở thành  a  ab  b 1  **   a  b 1 a  a  2a 0 a  a  a   0 (**)    2 b   a b 1  a    + Hệ  a; b   { 0; 1 ;  1; 0 ;   2;  3 } Từ ta tìm  x  y 0  x  y 1  a; b   0; 1  xy    Với ta có hệ  x  y 1   x; y   0;  1 ;  1;  ;   1;   a; b   1;   xy    Với ta có hệ  a; b    2;  3 ta có hệ  Với   x  y    xy      y   x   x  x  0    y  x  x  1; y 3  ( x  1)  x  x  3 0   x; y   { 1; 1 ;  0;  1 ;  1;  :   1;  ;   1; 3 } Vậy hệ có nghiệm Câu [DS10.C3.2.E06.c] (HSG Toán 12 – Phú Yên năm 1617)  y  xy 12 x   x y 10 x Giải hệ phương trình:  Lời giải 2  y  xy 12 x (1)   x y 10 x (2) Giải hệ phương trình:  - Trường hợp x = 0: (2) vô nghiệm nên hệ cho vô nghiệm - Trường hợp x 0 : Chia vế phương trình cho x , hệ phương trình là: y1   x  x  y  12    (*)    y   y 10   x x  y  y X Y Đặt : x ;x  y y2  x  x 12     y 10  x 12  12  Y Y  X    XY 12  X   X    X  X   0  X  10 X  24 0 X  Y  10    Hệ (*) viết lại là: 1  y 4 3 x  x  0  x     X 4  y 3x  y 3  X  X   0  Y    Từ ta có hệ  x   x 1    y 3   x      y 1   x 1     x     y 3 x Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) : Câu 1  ;1 3   1;3 ,  [DS10.C3.2.E06.c] (HSG lớp 12 SGD Hà Nam NH 18 – 19) Giải hệ phương trình sau tập số thực:    2019 x  y  x   x y 1  y   18 y  25 x  x x  2  y 1    1  2 Lời giải Điều kiện:  1 x  2019 x   x   x 2019 y    x ln 2019  ln Xét hàm số   y       y    x   x  y ln 2019  ln   f  t  t ln 2019  ln f  t  ln 2019  t 1 Do phương trình 0  t 1  t   y     y     *  , t  , t   Suy hàm số đồng biến   *  x  y   25 x  x x  2  18 x x2 1   Thay x  y vào ta có 18 x x 18 x  x  , x  , suy pt vô nghiệm Nếu   18  25  9    x x x  ** Nếu 18u 25  9  4u 2u  u  0u  ** , Pt u 1 x , Đặt trở thành x         u  2 36  u    18u    12   2u   9  4u  0    u  2  0 u 1  4u   u 1   u 2   2  u  36 0    4u  36   4u    36 28 9u   Vì , u 1 , suy phương trình vơ nghiệm    x  u 2  2   1 x  x  Với 1 x   x   y 2 Vì  1  ;   2  Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu [DS10.C3.2.E06.c] (HSG Tốn 10 Cụm Trường Hà Đơng – Hồi Đức Hà Nội 2018 - 2019) Cho mx  y m   x ;y  hệ phương trình  x  my 2 Khi hệ có nghiệm o o , tìm giá trị nhỏ biểu thức A  xo  yo  Lời giải m m 1 m  Dx  m2  m  Dy  m  1 m m Ta có: , Hệ phương trình có nghiệm  D 0  m 1 (*) D D m2  m  m  m 1 xo  x   yo  y   D m 1 m  D m  m 1 Khi nghiệm hệ là: D m m 1 2   m2  A  xo  yo      6      m 1  m 1  m 1  m 1 Ta có:          2, m 1  m 1   m  1 m   0  m  ( thỏa mãn điều kiện (*)) Dấu " " xảy m  m  Vậy A 2 [DS10.C3.2.E06.c] (SỞ GD-ĐT HẢI PHỊNG) Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ phương trình  x3   y   x  xy m   x  3x  y 1  2m có nghiệm Lời giải  x  x   x  y  m  x3   y   x  xy m      x  x    x  y  1  2m x  3x  y 1  2m Ta có  a x2  x  b  x  y Đặt a  x  x , với điều kiện a.b m  Hệ phương trình cho có dạng a  b 1  2m Câu t    2m  t  m 0  * Suy a , b hai nghiệm phương trình  * có nghiệm t  Hệ ban đầu có nghiệm phương trình    t2  t t    ;    m   g t    *   2t  Ta có ,  2t  2t  g  t    2t  1   1  lo¹i  t     1 (tháa m·n) t  g  t  0   2t  2t  0  Bảng biến thiên: - + Từ bảng biến thiên suy m 2