KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - LẦN THỨ 24 NĂM HỌC 2018 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN - LỚP: 10 Số Phách Số Phách PHẦN 1: ĐỀ THI Câu hỏi (4 điểm): Giải hệ phương trình sau: x x xy y y ; x, y 3 x y 3x x 15 x y 3 x y y x y x x Câu hỏi (4 điểm): Cho tam giác ABC có đường cao AD E , F hình chiếu B, C lên phân giác góc A Gọi M trung điểm BC Chứng minh D, E , F , M thuộc đường trịn có tâm nằm đường trịn Euler tam giác Câu hỏi (3 điểm): Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1 1 1 15 10 2018 a b c ab bc ca Tìm giá trị lớn biểu thức : P 5a 2ab 2b2 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a 1 Câu hỏi (3 điểm): Giải phương trình nghiệm nguyên dương 2 x y z Câu hỏi (3 điểm): Cho hình chữ nhật có kích thước 2018 2017 chia thành vng có cạnh đơn vị Gọi s (2018, 2017) số bị đường chéo cắt hình chữ nhật có kích thước 2018 2017 nói Chứng minh s (2018, 2017) 4034 Câu hỏi (3 điểm): Tìm tất f : * * cho f x y f x 2y f x , x, y * 2x f y f x y f y PHẦN 2: ĐÁP ÁN CHI TIẾT VÀ THANG ĐIỂM Câu hỏi 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau: x x xy y y 3 x y 3x x 15 x y 3 x y y x y x x ; x, y Đáp án câu hỏi Điều kiện: x 0, y 0 Đặt a x , b y ( a 0, b 0 ) Hệ phương trình cho trở thành: (0,5 điểm) a 2a 3b b5 6 3 4a b 3a 15a b 3a b a b 4a 1 2 (0,5 điểm) Nhận xét: a 0 b 0 ; b 0 a 0 Do a, b 0, nghiệm hệ (0,5 điểm) Bây ta xét a 0, b Đặt b ka k Với cách đặt phương trình (1) trở thành: 2k 2k ak a (3) k (0,5 điểm) Phương trình (2) trở thành: 4a a k 3a5 15a k a 3a k 3a a3k 4a3 3k 2k (4) k k (5) Thay (3) vào (4) ta được: k 5 2k 3k Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái (5) ta được: 3k 2k 3k 2k 6 k k 2k 3k 2k 3k 2 12 k k k k Đẳng thức xảy k 1 Khi a b 3 hay x y 9 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 0;0 , 9;9 (0,5 điểm) (1,0 điểm) (0,5 điểm) Câu hỏi 2: (4 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao AD E , F hình chiếu B, C lên phân giác góc A Gọi M trung điểm BC Chứng minh D, E , F , M thuộc đường trịn có tâm nằm đường trịn Euler tam giác ABC Đáp án câu hỏi J A T P N I G E B D M K C F Gọi N , P trung điểm AB, AC dễ thấy gọi B1 giao điểm BE , AC ABB1 cân A nên E trung điểm BB1 , suy E MN Tương tự F MP (0,5 điểm) Khi DEF B CMP DMF nên D, E , M , F thuộc đường tròn Bằng biến đổi góc, ta có ME MF (1,0 điểm) Gọi T điểm thuộc (O ) cho AT BC J trung điểm cung lớn BC , ta có JA JT (0,5 điểm) A M , T D (dễ chứng minh) (O) biến thành đường tròn Euler (O) Khi đó, J K K (O) K trung điểm cung DM Xét phép vị tự tâm G (trọng tâm tam giác ABC ), tỷ số (1,0 điểm) Ngồi ra, ta có AJ EF nên KM EF nên KE KF , mà KM KD nên K tâm đường tròn qua D, E , F , M Bài toán chứng minh (1,0 điểm) 1 1 1 10 2018 a b c ab bc ca Câu hỏi (3 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: 15 Tìm giá trị lớn biểu thức : P 5a 2ab 2b2 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a Đáp án câu hỏi 1 Đặt x , y , z Ta có x, y, z số dương theo giả thiết ta có : a b c 15 x y z 5 xy yz zx 2018 5 x y y z z x | 2018 x y z 2018 x y z (1,0 điểm) 2018 Do : x y z x y z xy yz zx x y z x y y z z x 2018 3 x y z 3 p , q , r Với số thực dương bất kì, ta có : (0,5 điểm) 1 1 1 9 p q r a b c p q r p q r Ta có : 5a 2ab 2b 1 1 2x y 2a b a b (0,5 điểm) Tương tự ta có : 5b 2bc 2c 2 5c 2ca 2a 1 1 2y z 2b c b c 1 1 2z x 2c a c a Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta : P x yz 2018 x2 y z 2x y y z 2z x 3 15 Đẳng thức xảy a b c 15 Vậy giá trị lớn P 2018 2018 15 (0,5 điểm) (0,5 điểm) Câu hỏi (3 điểm) 1 Giải phương trình nghiệm nguyên dương 2 x y z Đáp án câu hỏi Không giảm tổng quát, ta giả sử x y z 1 1 Khi đó, ta có: 2 nên suy z 3 Do đó, ta xét trường hợp sau: z 1 Nếu z 1 phương trình trở thành 1 khơng có nghiệm nguyên dương x y (0,5 điểm) Nếu z 2 phương trình trở thành 1 1 1 y x y y |Mặt khác, nên y Do đó, y nên y 4,5, x - Nếu y 4 ta có x 15 Vậy phương trình có nghiệm 15, 4, - Nếu y 5 ta có x 9 Vậy phương trình có nghiệm 9,5, - Nếu y 6 ta có x 7 Vậy phương trình có nghiệm 7, 6, (0,5 điểm) (0,5 điểm) Nếu z 3 phương trình trở thành 1 1 1 x y 1 1 y y - Nếu y 3 ta có x 8 Vậy phương trình có nghiệm 8,3,3 - Nếu y 4 ta có x 5 Vậy phương trình có nghiệm 5, 4,3 Vậy ta nhận nghiệm 15, 4, , 9,5, , 7, 6, , 8,3,3 , 5, 4,3 (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Câu hỏi (3 điểm) Cho hình chữ nhật có kích thước 2018 2017 chia thành vng có cạnh đơn vị Gọi s (2018, 2017) số bị đường chéo cắt hình chữ nhật có kích thước 2018 2017 nói Chứng minh s (2018, 2017) 4034 Đáp án câu hỏi Để chứng minh toán, ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề Trong hình chữ nhật có kích thước m n với m, n 1 đường chéo khơng qua đỉnh đơn vị hai đầu mút đường chéo Chứng minh A m B M n D H C Giả sử đường chéo AC qua đỉnh M ô đơn vị Xét tam giác vuông ADC tạo hai cạnh hình chữ nhật ABCD đường chéo AC Ta có kích thước MH DC Vì M có tọa độ ngun nên H có tọa độ nguyên MH HC số nguyên Theo hệ thức tỉ lệ MH m HC.n nên HC.n m Vì m, n 1 nên HC m Mặt khác, HC m nên suy HC m HC 0 tức điểm M trùng với hai đầu mút đường chéo AC (1,0 điểm) Bổ đề Trong hình chữ nhật có kích thước m n với m, n 1 s m, n m n Chứng minh Theo Bổ đề đường chéo AC, ngồi hai đầu mút A C, không qua đỉnh ô đơn vị hình nên ngồi hai đầu mút A C đường chéo cắt m-1 đường dọc n-1 đường ngang Do đó, AC có m+n-2 điểm cắt khác phía Nếu tính hai đầu mút AC có m+n điểm cắt Hai điểm cắt liên tiếp thuộc vào ô đơn vị Vậy số ô đơn vị bị đường chéo AC cắt m+n-1 ô (1,0 điểm) Quay lại toán Áp dụng kết Bổ đề với giá trị m 2018; n 2017 ta có : s (2018, 2017) 2018 2017 4034 (1,0 điểm) Câu hỏi (3 điểm): Tìm tất f : * * cho f x y f x 2y f x , x, y * (1) 2x f y f x y f y Đáp án câu hỏi Giả sử f hàm số thỏa mãn toán Trong (1) thay x n, y n , ta f 2n 2n, n * Vậy f x x, x số chẵn (1,0 điểm) Xét cặp số lẻ x, y tùy ý Khi đó, ta có x y số chẵn nên f x y f x f y Từ (1) suy ra: x y f x 2y f x x y y x f x x y f y 0 2x f y x y f y x y x y f x f y 0 f x x f y y với x, y lẻ; x y hay f x x c với x lẻ, c * số (2) Xét cặp số x chẵn, y lẻ tùy ý Khi đó, x y lẻ nên (1,0 điểm) f x y x y c; f x x; f y y c Từ (1) suy ra: x y c x 2y x c 0 2x y c x y c y c Từ (2) ta có f x x với x lẻ Do đó, f x x, x * Thử lại, ta thấy hàm số thỏa mãn điều kiện toán là: f x x, x * (1,0 điểm)