SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SĨC TRĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC ( Đề thi có 01 trang ) KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Mơn Tốn – Lớp 12 Năm học 2016 – 2017 Ngày thi : 18/9/2016 Thời gian làm : 180 phút ( Không kể thời gian phát đề ) Bài 1: (6,0 điểm) Chứng minh với số nguyên n , số n(n6 1) chia hết cho Bài 2: (7,0 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số thực: x y y 2 x x ( x 2) y ( x 1) Bài 3: (7,0 điểm ) Cho tam giác ABC có đường phân giác BM , CN ( M AC , N AB ) Tia MN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D 1) Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu vng góc D xuống đường thẳng BC , CA, AB Chứng minh DB1 DA1 DC1 2) Chứng minh : 1 DB DA DC Hết - ĐÁP ÁN Bài 1: (6,0 điểm) Chứng minh với số nguyên n , số n(n 1) chia hết cho Lời giải Ta cần chứng minh n(n6 1) chia hết cho với số nguyên n n 0 hay n phương pháp quy nạp tốn học n(n6 1) chia hết cho với số nguyên n n 0 n(n 1) chia hết cho với số nguyên n n Với n 0 ta có n(n 1) 0 nên n(n 1) chia hết cho Giả sử n(n 1) chia hết cho với n k (k * ) tức k (k 1) chia hết cho Khi ta có (k 1)6 1 6k 15k 20k 15k 6k k Suy (k 1)[(k 1)6 1] (k 1)(6k 15k 20k 15k 6k k ) k k 21k 35k 35k 21k 6k (k k ) (7 k 21k 35k 35k 21k k ) (k k ) 7(k 3k 5k 5k 3k k ) Mà (k k ) chia hết cho ( (1) ) 7( k 3k 5k 5k 3k k ) chia hêt (k 1)[(k 1)6 1] chia hết cho Do n(n 1) chia hết cho với n k Vậy n(n 1) chia hết cho với số nguyên n ( đpcm) Bài 2: (7,0 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số thực: x y y 2 x x ( x 2) y ( x 1) Lời giải Điều kiện : y 0 y Xét phương trình x y y 2 x x (1) ( x 2) y ( x 1) (2) Ta có (1) (2 x y x ) ( y x ) 0 x ( y x ) ( y x )( y yx x ) 0 ( 1) ( y x )(2 x y yx x ) 0 ( y x )[( x y ) x y ] 0 y x 2 ( x y ) x y 0 (*) +Với y x thay vào (2) ta ( x 2) x ( x 1) (3) Ta có x x (3) 2 2 ( x 2) ( x 1) ( x 1) ( x x 4)( x 1) ( x x 1) x x x x x x x x x x x x 3 x x Ta có x 3 y 3 ( thỏa mãn ) +Từ (*) suy x y 0 thay vào (2) ta 1 ( vơ lí ) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) ( 3; 3) ( 3; 3) Bài 3: (7,0 điểm ) Cho tam giác ABC có đường phân giác BM , CN ( M AC , N AB ) Tia MN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D 1) Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu vng góc D xuống đường thẳng BC , CA, AB Chứng minh DB1 DA1 DC1 2) Chứng minh : 1 DB DA DC (Đây khó, nhóm hỏi nhóm hỗ trợ: Cơ Lưu Thêm, Thầy Nguyễn Tất Thu,… khơng có định hướng giải) Hướng dẫn tìm tải tài liệu https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6