đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài (2điểm) Cho hä ®êng cong (C m ) : y x mx n víi m n x Chøng minh r»ng: NÕu a ®Ĩ ®êng thẳng : y=a không cắt họ đờng cong (C m ) họ đờng cong có cực đại cực tiểu Bài (2điểm) e Chứng minh rằng: sin x dx > 3 Bµi (2®iĨm) 2x 13 x 6 x 5x x x Gi¶i phơng trình: Bài (2điểm) Giải phơng trình: x x 5 Bài (2điểm) Giải phơng trình: cos x 3 sin x cos x Bài (2điểm) < t /2 , nÕu Π/2 < t 1 th× f (1) f (2) f (n) n f (n) HÃy xác định công thức đơn giản tính f (n) ? Bài (2điểm) Giải hệ phơng tr×nh log log log x log y log z 2 y log x log z 2 z log 16 y log 16 x 2 Bµi (2®iĨm) Cho tø diƯn ABCD, chøng minh r»ng: ( AC BD) ( AD BC ) > ( AB CD) Bài 10 (2điểm) Chøng minh r»ng: C n1 C n2 ( 1) n C nn 2.4.6 2n , n 2n 1.3.5 ( 2n 1) Đáp án - thang điểm ®Ò thi häc sinh giái cÊp tØnh Néi dung Thang điểm Bài ( điểm) Vì m+n nên họ đờng cong (C m ) có cực đại, cực tiểu m+n > -1 Đờng thẳng không cắt (C m ) nên phơng trình: 0.5 0.25 x mx n a v« nghiƯm x Nên suy phơng trình: 0.25 x (a m) x n a 0 v« nghiƯm a 2a (m 2) m 4n < cã nghiÖm a 0.5 a 4m 4n > 0.5 m n > -1 (C m ) có cực đại, cực tiểu 0.25 Bài ( điểm) Bổ đề: x>0 e x >x+1 Thật vậy: 0.5 Đặt f(x) = e x - x - x 0 Ta cã: f ( x) e x 0 , x 0 0.25 x > th× f(x) > f(0) = e x > x+1 x >0 1.0 ¸p dơng bỉ ®Ò ta cã: x (0, ) e sin x > 1 sin x sin e x dx > (1 sin x)dx 3 0.25 Bµi ( điểm) Điều kiện x x NhËn thÊy x 0 kh«ng phải nghiệm nên phơng trình 13 6 3 x x x x 0.5 t Đặt x 13 t phơng trình trở thành: 6 t 11 x t t 1 0.5 Víi t =1 th× phơng trình vô nghiệm x 0.25 0.25 11 Với t phơng trình có nghiệm x 2 x 2 x Kết luận: Phơng trình có nghiệm 0.25 Bài ( điểm) Điều kiện: x Đặt 0.25 x t t x Phơng trình trở thành: x t 5 ( x t )( x t 1) 0 t 5 x x 5 t x t x 0 x x x 0 t x 0 x x x 0 x 0 21 17 1 21 x 17 x 0.5 Bài ( điểm) Biến đổi tơng đơng phơng trình đà cho 1.25 cos x cos x 3 sin x 0 sin x sin x 3 sin x 0 sin x sin x (3 sin x ) 3 sin x 0 sin x sin x(1 cos x) 3 0 sin x 0 sin x(1 cos x) 3 Giải (1) ta đợc x=k với k 0.5 Gi¶i (2): Ta cã (2) sin x cos x sin x 3 0.25 sin x cos 2 x sin x 3 (3) 0.25 2 áp dụng BĐT Côsi cho sè: sin 2 x, cos x , cos x 2 2 2 ta đợc sin 2 x cos x cos x 33 (sin x cos x) 2 sin x cos 2 x sin x cos 2 x ®ã sin x cos 2 x sin x 0.25 3 1 < 3 3 0.5 suy (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm Kết luận: Phơng trình có nghiệm x=k với k Bài ( điểm) Trờng hợp 1: Tam giác ABC không tù, ta có f ( A) f ( B ) f (C ) sin A sin B sin C 3 0.25 3 Chøng minh bÊt đẳng thức Trờng hợp 2: Tam giác ABC tù, không giảm tính tổng quát giả sử góc C tù, ta cã: f ( A) f ( B ) f (C ) 0.5 3 sin A sin B cos C sin A sin B sin C 3 3 V× ta cã nhËn xÐt: cos C sin C víi C góc tù Chứng minh trờng hợp Bài ( điểm) 0.5 0.25 Vì f (1) f (2) 4 f (2) f (2) 0.25 f (1) Víi n 3 , theo gi¶ thiÕt: f (1) f ( 2) f ( n 1) f ( n ) n f ( n ) f ( 2) f ( n 1) ( n 1) f ( n 1) 0.5 f ( n) n f (n) ( n 1) f ( n 1) f ( n) n f (n 1) n 1 0.25 vËy víi n 3 f (n) v× f (1) 2; f ( 2) (n 1)(n 2) f (2) (n 1)n n(n 1) thoả mÃn công thức nên 0.5 f (n) n * n(n 1) 0.5 Bài ( điểm) Điều kiện x,y,z>0 Với điều kiện hệ phơng trình log log log x y 16 2 z log log 0.5 y log x log log 16 y x yz xz y z yx z z log 16 2 2 x 0.25 2 log log log 16 x y 2 z yz 2 xz 2 yx 2 0.25 16 81 256 Giải hệ phơng trình ta đợc x y z 27 32 0.5 lµ nghiƯm hệ phơng trình Bài ( điểm) Gọi O,M,N,P,Qlần lợt trung điểm cạnh: CD, AC, CB, BD, DA Suy raMNPQ hình bình hành O kh«ng thuéc (MNPQ) Ta cã (MO+OP) +(NO+OQ) >MP +NQ =2(PQ +QM )>(PQ+QM) VËy: (MO+OP) +(NO+OQ) >(PQ+QM) 2 2 Hay ( AD BC ) ( BD 0.5 1 AC ) >( AB+ CD) 2 2 ( AC BD) ( AD BC ) > ( AB CD) (đpcm) 0.75 Bài 10 ( ®iĨm) Ta cã (1 x ) n 1 C n1 x C 2n x ( 1) n C nn x n n * n n n n 2n (1 x ) dx (1 C n x C x ( 1) C n x )dx = 0 ( 1) n C nn = C n1 C n2 2n 1 TÝnh I n = (1 x ) n dx (1) 0.25 0.5 0.5 0.5 đặt x= cost, x cos t , t 0, 2 0.25 dx sin tdt 0.25 I n sin n 1 tdt 2n u sin t đặt dv sin tdt 0.5 0 I n 2n cos t sin n tdt 2n (1 sin t ) sin n tdt 2nI n 2nI n In VËy 2n 2.4 2n I n I0 2n 3.5 (2n 1) In= 2.4.6 2n 1.3.5 ( 2n 1) (2) Tõ (1) (2) đpcm 0.5 0.5 0.25 Lu ý: Các cách giải khác cho điểm tối đa Phần nhận xét không chứng minh cho 0.25 điểm