Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán Thời gian: 180 phút Câu1: (6 điểm) Cho hàm số y= x3 + 4x2 + 4x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Cho M(x0;y0) đồ thị Một đờng thẳng d thay đổi qua M cắt đồ thị M1 M2 khác M Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn M1M2 c) Tìm a cho tồn tiếp tuyến hệ số góc a đồ thị hàm số, gọi tiếp điểm M3 M4 Viết phơng trìng đờng thẳng chứa M3 M4 Câu 2: ( điểm) Giải phơng trình sau: a) tgxsin2x - 2sin2x = (Cos2x + sinxcosx) (1) 2 x b) X = (2x – x +1)2 (2) Câu 3: ( điểm) Tính tích phân sau: I= sin sin x dx x cos x Câu 4: ( điểm) Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O Tìm điểm M không gian cho trọng tâm tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách điểm O Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán Câu 1: ( điểm) a) ( điểm) TXĐ: D =R Chiều biến thiên: y = 3x2 + 8x + (0,25đ) y = x = -2; x= - Hàm số đồng biến (- ; -2) ( 2 ;) , nghÞch biÕn ( 2; ) (0.25) 3 Cực đại, cực tiểu: Cực đại :) xCĐ = -2; yCĐ = ; yCT = 27 y Giíi h¹n lim y ; xlim Cùc tiĨu t¹i: xCT = - (0.25®) x TÝnh låi lâm điểm uốn: y = 6x + = x= - 4 ), lâm (- ; + ) 3 Hàm sô lồi từ (- ; §iÓm uèn: I( x -2 + y 11 ) ; 27 (0.25đ) Bảng biến thiên: - y (0,5®) - - - + + + 11 27 27 - Đồ thị (0,5 đ) A -5 -2 -4 b) ( 2®iĨm) Gäi d qua M cã hƯ s« gäc k : d: y=k(x-x0) + y0 (0,25đ) Hoành độ giao điểm đồ thị với đờng thẳng d nghiệm phơng trình: x3 + 4x2 + 4x +1 = k(x-x0) + x03 + 4x02 + 4x0 +1 x=x0 (0, ®) x2 + ( + x0)x + x02 + 4x0 + – k = (1) Gäi x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình (1) => x1, x2 lần lợt hoành ®é cña M1, M2 => x 4 xI = - (0,75 ®) 3x yI = y0 + k( ) x 4 I x= Giới hạn: (1) có nghiệm phân biệt f(x0) 0 k > 3x0 x0 k x0 x0 b) ( 2đ) Để thỏa mÃn YCBT: y’ = 3x2 + 8x + = a cã nghiệm phân biệt a> - (0,25đ) NhËn xÐt: x3 + 4x2 + 4x + = (3x2 + 8x +4)( (0,25®) x 8x (0,5®) )8 9 Gäi M3(x3; y3), M4(x4; y4) x 8x y3 = a( ) 9 x 8x y4 = a( )- 9 Vậy phơng trình đờng thẳng qua M3; M4 là: (0,5đ) (0,5) x 8x )+ 9 y= a( (0,5đ) Câu 2: (4 đ) §/K : x k ( k z ) (0,25đ) Chia vế phơng trình cho cos2x (1) tg3x -2tg2x = 3(1-tg2x+tgx) tgx=-1 tgx= (1®) x=- k (k z ) (0,5®) x= k (k z ) (0,5đ) Vậy nghiệm phơng tr×nh : x=- k (k z ) x= k (k z ) a) (2) 2 x (0,25®) (0.5®) x x x 1 Đặt 2x2 – x = t (t ) (0.25®) Phơng trình trở thành: t t t t Khảo sát f(t) = t t (0.25®) f’(t) = 2tln2 – =0 2t = = ln t f’(t) f(t) - + Quan s¸t bíên thiên nhận thấy phơng trình có tối đa nghiƯm t f(0) = f(1) = Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm t = 0; t= 1 x= ; x= ; x=1 (1® ) (0.25đ) (0.25đ ) Câu 3: (4 đ) Xét J= sin cos x dx x cos x Mặt khác (0.25đ) Ta CM đợc I = J (đặt x= t ) (0.75đ) I+J = dx = sin x sin x cos x cos x tg dtgx x tgx cot g d cot gx x cot gx (0.75®) §Ỉt tgx(cotgx) = t 1 ) dt =2 t t 1 (t ) I + J = 2 d (t = tgy 2 4 => I + J = 3 => I= 3 (0.75đ) Đặt t - (0.75đ) (0.75) Câu 4: ( điểm) Đặt x OM 4OG (0.5đ) Gọi A, B, C, D lần lợt trọng tâm tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC Ta cã 4OA' OM OB OC OD OM 4OG OA x OA (1®) OB ' = x OB 4OC ' x OC (1®) 4OD' x OD Ta cã: OA’ =OB’= OC’ = OD’ 2 16OA' 16OB ' 16OC ' 16OD' ( x OA) ( x OB ) ( x OC ) ( x OD) xOA xOB xOC xOD => x 0 => OM 4OM O => GM 5GO Vậy có điểm M thoả mÃn điều kiện đề Hướng dẫn tìm tải tài liệu https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6 (1.5®) (0.5®) (0.5®)