§Ị thi häc sinh giái líp 12 THPT MƠN TỐN (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C) Từ điểm đờng thẳng x=2 ta kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) (Đại học ngoại thơng khối A năm 2000) Bài 2: (4 ®iÓm) TÝnh I= x x x dx Cho f(x) = 2x + m + log2mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1 Tìm m để f(x) có tập xác định R Bài 3: (4 điểm) Giải phơng trình: ln(sinx+1) = esinx-1 Bài 4: (2 điểm) Giải hệ phơng trình: x y z y z x Bµi 5: (4 điểm) Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh a Lấy M đoạn AD', N đoạn BD với AM=DN=x, (0y=-1 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0 Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1 Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ xác đẹp (2điểm) Điểm + + 0,5 -1 0,5 Xét A(2,a) đờng x=2 Tiếp tuyến A có phơng trình là: y=(3x02-12x0+9)(x-x0)+x03-6x02+9x0-1 0,5 Tiếp tuyÕn nµy qua A vµ chØ a=(3x02-12x0+9)(2-x0)+x03-6x02+9x0-1 0,5 2x03-12x02+24x0-17+a=0 (1) Số nghiệm phơng trình (1) lµ sè tiÕp tuyÕn qua A XÐt g(x)= -2x3+12x2-24x+17 0,5 g'(x)=-6(x-2)2 x g(x) nghịch biến có tập giá trị (- ,+ ) phơng trình (1) có nghiệm Vậy từ điểm x=2 kẻ đợc tiếp tuyến đến (1) 0,5 Bài (4®iĨm) (2®iĨm) I= x(x 1) dx = x dx x x 1 dx 0,5 1 = x dx (2®iĨm) x = x 1 x dx + 0,5 3 3 x dx+ x dx - x dx 0,5 8 = + 15 0,5 Ta chØ cÇn mx2-2(m-2)x+2m-1>0 x R Khi =>m >1 Vậy m>1 f(x) có tập xác định R 0,5 m ' m 3m 0,5 m m m 0,5 0,5 Bài (4điểm) Điều kiện sinx -1, x - k (k Z) 0,5 Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey y 1(1) e ta cã hÖ sin x 1(2 ) e sinx y 0,5 Lấy (1) trừ (2) ta có phơng trình esinx – ey = y-sinx 0,5 NÕu sinx > y esinx > ey Phơng trình nghiệm Nếu sinx < y esinx < ey Phơng trình nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm sinx=y thay vµo (2) ta cã: esinx=sinx+1 (3) XÐt f(x)= ex-x-1 víi x -1 f'(x)= ex – 1=0 x=1 VËy ph¬ng tr×nh (3) cã nghiƯm sinx=0 =>x=k 0,5 0,5 0,5 (k Z) 0,5 0,5 Bài (2điểm) Ta có x y z y (1) ®iỊu kiƯn x,y,z 1 z (2 ) x (3) NÕu (x,y,z) lµ mét nghiƯm cđa hƯ gäi x= min(x,y,z) th× x y,x z (4) z 1+ y =x =>z x VËy z=x x y => x y =>1+ x 1+ z z y (5) 0,5 0,5 Tõ (4) (5) ta có x=y=z nên x=1+ x => x=y=z= 0,5 0,5 Bài5 (4điểm) (2điểm) Dùng MM' AD; NN' AD DNN' vu«ng cân nên AM'=MM' Ta có AM2= x2=2MM'2 =>MM'=AM'= x 2 0,5 Vì N'DN cân => N'D=N'N= x 2 => c©n MM'A = c©n NN'D =>AM'=DN'=>AN'=DM' M'N'= AD - 2AN'= x M'N'=a - 2(a- x )= x - a MM'N M' nên MN2 2 =M'M2+M'N2= x +(M'N'2+N'N2)= x +(x -a)2 + x 2 =3x2 -2ax +a2 Đặt f(x)=3x2 -2ax +a2 xÐt trªn f'(x)= 6x- 2a =0 x= a VËy f(x) nhá nhÊt x= a a 2 MN2=3 - 2a a +a2 0, a 0,5 2 0,5 2 a = 2a - 4a +a2 = a => MN= 2 (2®iĨm) 0,5 3 XÐt MM'D: MD2=MM'2+M'D2 = a 2 vµ MN2= a + a 2 a DN2=x2= 2a =>MN2+DN2= 5a 2 = a 4a 5a 9 9 0,5 Ta l¹i cã MD2=MN2+DN2= 5a VËy MDN t¹i N =>MN DB XÐt AN'N ta cã AN2=AN'2+N'N2= a 2 a a AM=x= a MN= nªn AM2+MN2= 5a 3 0,5 + x = 5a 2 ®ã 0,5 0,5 AN2=AM2+MN2 => AMN M MN AD Vậy MN đờng vuông góc chung Bài6 (2 điểm) Đặt sinx=a; siny=b; sinz=c th× a,b,c ,1 2 a b b c c a (a b)(b c)(c a ) Ta cã c a b abc (a b)(b c)(c a ) 1 Ta chøng minh a,b,c ,1 abc Đặt u= a b ; v= ; c c a b c 1 th× u v 1 ta chøng (v u )(1 u )(1 v ) 2 uv 1 (v )(1 )(1 v ) (v u )(1 u )(1 v ) 2 ta cã: uv v 2 = 1+ -v- 1 v = 2 2v v 1 DÊu = u= ; v= hay x= ; y= ; z= 2 minh: Tµi liệu tham khảo: Đề thi Đại học Bộ giáo dục xuất năm 1996 Báo toán học tuỏi trẻ năm 2000 Hng dn tỡm v ti tài liệu https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6 0,5 0,5 0,5 0,5