Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 TP Hồ Chí Minh năm học 2011-2012 Ngày thi: 14-3-2012 Bài 1: (4 điểm) Giải phương trình sau: a) sin 2x 2x + tan x = + cos π √ = sin x b) sin x − Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình sau: √ a) x3 − x2 − 10x − = 7x2 + 23x + 12 √ b) (3x + 2) 2x − = 2x2 + 3x − Bài 3: (4 điểm) a) Cho số thực a, b, c > thỏa mãn abc = Chứng minh: 1 + + ≤1 a+b+1 b+c+1 c+a+1 b) Cho số thực a, b, c ∈ [−1; 2] a + b + c = Chứng minh a2 + b + c ≤ Bài 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh a Gọi M điểm cạnh CD cho CM = CD Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AM B Bài 5: (2 điểm) Cho số thực x, y, z ∈ (0; 1) xy + yz + zx = Chứng minh √ y z 3 x + + ≥ − x2 − y − z 2 Bài 6: (3 điểm) Giải hệ phương trình sau: x2 y + 2y + = 7xy x2 + 2y + 6y = 3xy Hết Lời giải đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 TP Hồ Chí Minh năm học 2011-2012 Bài 1: (4 điểm) Giải phương trình sau: a) sin 2x + cos 2x + tan x = Điều kiện: cos x 6= Do cos x = nghiệm phương trình nên ta đặt t = tgx 1−t2 2t ⇒ sin2x = 1+t ; cos 2x = 1+t2 Phương trình cho trở thành t3 − 3t2 + 3t − = (t − 1)3 = ⇔ t = π ⇔ tgx = ⇔πx = 4√+ kπ(k ∈ Z) b) sin3 x − = sin x Phương trình cho h√ π i3 ⇔ sin x − = sin x ⇔ (sin x − cos x)3 = sin x ⇔ (tan x − 1)3 = tan x(1 + tan2 x) π ⇔ 3tan3 x+3tan2 x+tan x+1 = ⇔ (tan x+1)(3tan2 x+1) = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − +kπ(k ∈ Z) Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình sau: √ a) x3 − x2 − 10x − = 7x2 + 23x + 12 Phuong trình cho ⇔ (x + 2)3 + x + = √ 7x2 + 23x + 12 + 7x2 + 23x + 12 Đặt f (t) = t3 + t; f (t) = 2t2 + > 0∀t ∈ R Vậy hàm số f (t) đồng biến nên ta có √ √ 3 f (t + 2) = f ( 7x2 + 23x + 12) ⇔ x + = 7x2 + 23x + 12 x=4 √ 2 ⇔ x − x − 11x − = ⇔ (x − 4)(x − 3x + 1) = ⇔ x = 3+2 √ x = 3−2 √ b) (3x + 2) 2x − = 2x2 + 3x − Điều kiện x ≥ 32 √ Đặt t = 2x − (t ≥ 0) Phương trình cho ⇔ (3x + 2)t = 2x2 + x − + t2 ⇔ t2 − (2x + 2)t + 2x2 + x − = ∆ = x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 > 0∀x ≥ " t = 2x + ⇔ t=x−1 Với t = 2x + ⇒ t2 − t = ⇒ t = ∨ t = t = ⇒ x = 23 t=1⇒x=2 √ Với t = x − ⇒ 2x − = x − ⇒ x = Thử lại thấy x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = 2 Bài 3: (4 điểm) a) Cho số thực a, b, c > thỏa mãn abc = Chứng minh: 1 + + ≤1 a+b+1 b+c+1 c+a+1 Cách 1: Sau quy đồng kết hợp đẳng thức a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ac); ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) = (a + b + c)(ab + bc + ac) − 3abc điều kiện abc = ta có bất đẳng thức cần chứng minh ⇔ (a + b + c)(ab + bc + ac − 2) ≥ Bất đẳng thức cuối a + b + c ≥ 3; ab + bc + ac ≥ nên ta có điều cần chứng minh Cách 2: Đặt a = x3 ; b = y ; c = z với xyz = bất đẳng thức viết lại thành x3 + y3 + xyz + y3 + z3 + xyz + x3 + z3 + xyz ≤1 Sử đụng bất đẳng thức sau x3 + y ≥ xy(x + y) ta có x3 + y3 + xyz + y3 + z3 + xyz + x3 + z3 + xyz ≤ 1 + + =1 xy(x + y + z) xz(x + y + z) zy(x + y + z) Vậy tốn chứng minh Ngồi ta có tốn tổng quát sau: Cho a, b, c > abc = 1 + + ≤ 1(k > 0) k k 1+a+b 1+b+c + c + ak b) Cho số thực a, b, c ∈ [−1; 2] a + b + c = Chứng minh a2 + b + c ≤ Từ điều kiện ta có (a − 2)(a + 1) ≥ ⇔ a2 ≤ a + Tương tự ta có b2 ≤ b + 2; c2 ≤ c + Cộng lại ta có a2 + b2 + c2 ≤ a + b + c + = (đpcm) Bài 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh a Gọi M điểm cạnh CD cho CM = CD Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AM B Bạn đọc tự giải Bài 5: (2 điểm) Cho số thực x, y, z ∈ (0; 1) xy + yz + zx = Chứng minh √ x y z 3 + + ≥ − x2 − y − z 2 Cách 1:Đặt x = tan A2 ; y = tg B2 ; z = tg C2 (tg A2 ; tg B2 ; tg C2 ∈ (0; 1)) Với A, B, C cạnh tam giác √ Ta cần chứng minh tanA + tanB + tanC ≥ Để chứng minh bất đẳng thức ta cần sử dụng đẳng thức quen thuộc: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC Cách 2: Vì < x < nên − x2 > áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2x2 + (1 − x2 ) + (1 − x2 ) = ≥ 3 √ q 3 x 2 2 x 2x (1 − x ) ⇒ √ ≥ x(1 − x ) ⇒ ≥ − x2 3 Thiết lập tương tự cộng lại ta có √ √ √ 3 3 3 2 VT ≥ (x + y + z ) ≥ (xy + xz + yz) = 2 Dấu "=" đạt x = y = z = √13 Cách 3: Ta có đánh giá sau √ √ √ x 6x − ⇔ ( 3x − 1) (2x + 3) ≥ (đúng x>0) ≥ − x2 Thiết lập tương tự cộng lại p √ √ √ 3(xy + xz + yz) − 3 6(x + y + z) − 3 3 VT ≥ ≥ = 2 Bài 6: (3 điểm) Giải hệ phương trình sau: x2 y + 2y + = 7xy(1) x2 + 2y + 6y = 3xy (2) Từ (2) ta có : Từ (1) ta có: x2 +2y 3y 2 = xy − 2 2 x y + − 4xy = 3xy − 2y ⇔ (xy − 2) = 3xy − 2y ⇔ x2 + 2y 3y 2 = 3xy − 2y 2 Nhận thấy y = nghiệm phương trình nên ta chia hai vế cho y ta 3t − với t = t2 + 2 = x y " ⇔ t4 + 4t2 − 27t + 22 = ⇔ (t − 1)(t3 + t2 + 5t − 22) ⇔ " t=1 t=2 x=y=1 Với t = ta thấy khơng thỏa mãn Vậy phương x=y=2 trình có hai nghiệm (x; y) = (1; 1); (2; 2) Hết Với t = x = y giải ta