ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 Thực hiện: Nguyễn Ngọc Phương Linh Lờ Hong Trung Cõu Giải phơng trình: x x2 x2 3 x Lời giải a) x 2 x +Điều kiện : 2 x 3 x x x 0 Ta có: 1 x x + x x 5 + Đặt t = x x , ta có: t 2 x x 3(t 2) 3 x x 2 + Khi trở thành: t2 t 0 3t t 16 0 t 3t 0 t 2 t - Với t = ta có x x 2 x x 2 x 1 0 x 1 - Với t = - ta có x x x x 3 (1) 2x2 16 46 0 (phương trình vơ nghiệm) Thử lại ta thấy x = thoả mãn +Đáp số: x = Câu x y xy 7 Giải phương trình: 2 x y 3 Lời giải Cách 1: (1) (2) x y xy 7 2 x y 3 Từ phương trình suy 7( x y ) 3( x y xy ) x xy 10 y 0 (4 x y )( x y ) 0 x 2 y x y y 1 + Nếu x 2 y , thay vào (2) ta y 3 y Nếu y 1 x 2 Nếu y x y y 3 + Nếu x y , thay vào (2) ta 16 y Nếu y x 3 Nếu y x 3 5 ; );( x, y ) ( ; ) thoả Thử lại ta thấy ( x, y ) (2;1); ( x, y ) ( 2; 1);( x; y ) ( 3 3 mãn toán Đáp số: ( x, y ) (2;1);( x, y ) ( 2; 1); ( x; y) ( Cách 2: x y xy 7 2 x y 3 x xy 10 Hệ tương đương với y xy 4 5 ; );( x, y) ( ; ) 3 3 x x 10 y y y (do y 0 không nghiệm hệ) x 2 y y2 Đặt t x , hệ trở thành y 10 2t t y 2 t y2 2t t 10 t (do t 0 ) y 2 t y 4t 3t 10 0 y t t t 2 y 16 y 1 t t t 2 t 2 y y y 1 y ; y x Nếu xy t ; y x Nếu xy t Nếu xy t 2; y 1 x 2 Nếu xy t 2; y x Đáp số: ( x, y ) (2;1);( x, y ) ( 2; 1); ( x; y) ( Cách 3: 5 ; );( x, y) ( ; ) 3 3 x y xy 7 2 x y 3 x xy 10 10 2x (do x 0 nghiệm hệ) y x 10 2x Thay y vào (1) ta x (1) 10 x 2 ) 0 x x (10 x ) 10 x x2 ( x 37 x 100 0 Nếu Nếu Nếu Nếu x 4 25 x x 2 x x x x 2 y 1 x y x y 3 x y 3 Đáp số: ( x, y ) (2;1);( x, y ) ( 2; 1); ( x; y) ( 5 ; );( x, y) ( ; ) 3 3 Câu Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c số nguyên a > Biết tam thức có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1) Hãy tìm tam thức có hệ số a nhỏ Lời giải f ( x ) ax bx c Do f ( x) có nghiệm phân biệt khoảng (0;1) a nên c 0 a b b 4ac b b 4ac 0 1 2a 2a b 4ac a c b b 4ac b 4ac a c b Ta có a b c (do f (1) ) b nên a c b Tương đương với b (a c) Kết hợp điều vừa chứng minh được, với a, b, c ta có bảng a c 4ac b (a c) loại b2 loại 12 b 16 2 loại 24 b 25 loại 16 b 25 loại 32 b 36 loại 48 b 49 thoả mãn 20 b 36 2 loại 40 b 49 loại 60 b 64 loại 80 b 81 … … … … Do a số nguyên nhỏ toả mãn toán nên a 5 Khi c 1; b (do b 0) Ta có f ( x ) 5 x x 0 Đáp số: f ( x ) 5 x x 0 Câu Chịu file đề 152 khơng có đề tạm sửa theo đáp án Viết phương trình đường thẳng qua M ( 2;3) đường tròn (C ) : ( x 3) ( y 2) 9 dây cung AB mà AB 12 Lời giải 2 Ta có (C ) : ( x 3) ( y 2) 9 Gọi tâm đường tròn (C) O( 3; 2) , bán kính R 3 Gọi đường thằng qua M ( 2;3) d 36 Hạ OH d ( H d ) , ta có OH R ( AB) 5 (1) Do d M ( 2;3) nên d : a ( x 2) b(y 3) 0 (a b 0) Ta có d (O d ) OH Kết hợp với (1) (2) ta có a b a b 5 a b 3 a b 5(a b) 9(a b ) 4a 10ab 4b 0 2(a 2b)(2a b) 0 a 2b 2a b + Với a 2b , chọn a 2; b 1 , ta d : x y 0 (2) + Với 2a b , chọn a 1; b 2 , ta d : x y 0 Đáp số: d : x y 0 d : x y 0 Câu Cho tam giác ABC có a< b < c, biết tam giác ABC đồng dạng với tam giác có độ dài cạnh độ dài đường trung tuyến tam giác ABC Chứng minh rằng: cotA + cotC = 2cotB Lời giải Gọi ma ; mb ; mc trung tuyến ABC Do a