SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MƠN: TỐN Câu 1: Giải hệ phương trình 1 x y x y x y 1 2 y x x y x, y Lời giải Điều kiện x, y Đặt x a 0, y b 0; viết hệ cho dạng 1 2 2 a 2b a 3b 3a b 2 b a a 2b (1) (2) a 10a 2b 5b a 10a 3b 5ab 2 (1)+(2) thu a (3) 5a 10a 2b2 b 5a 4b 10a 2b3 b5 1 (2)-(1) thu b (4) 5 Từ (3) (4) thu ( a b) 3 (a b) 1 Từ đó, tìm a Và đó, tìm Câu 2: 5 1 31 b x ( 1) ( 1) ,y 4 Tìm tất giá trị a, b cho phương trình x ax bx 3a 0 có nghiệm số nguyên dương Lời giải Giả sử phương trình cho có ba nghiệm ngun dương Khi đó, theo định lý Viette a, b 3a 3 3 3 3 Nếu (1) (2) 3 3 , mâu thuẫn với (1) Vậy 3 3 : 3, 3 3 3 3 3.3 1 1 4 Từ 3 Với a 9, b 27 2, 2 3 3 3.22 2 21 Với 2 : Giải phương trình ; 12; , 5;3 Với 12, 2 a 16, b 52 với ý 2 ta Với 5, 3 a 10, b 31 1: 1, 2 3 3 3.1 2 3 12, vơ lí Với Vậy tất cặp số Câu 3: Giả sử a; b 9; 27 , 16;52 , 10;31 a, b, c, d số nguyên cho a b c d số nguyên lẻ chia hết a b2 c d Chứng minh với số nguyên dương n có a b c d chia hết a n bn c n d n Lời giải + Chứng minh nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t số nguyên cho a b ước x y ước z t a b | xz yt ” 2 + Mặt khác, ( a c) (b d ) (a b c d )(a b c d ) (a b c d ) nên suy a b c d | a b c d 2(ac bd ) Từ đó, giả thiết nên thu a b c d | ac bd (1) + Ta chứng minh kết luận toán phương pháp quy nạp toán học Với n 1, : kết luận hiển nhiên n n n n Giả sử khẳng định tới n, tức a b c d | a b c d với n , n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 Ta cần chứng minh a b c d | a b c d (2) Thật vậy, a b c d | (a c) (b d ) nhận xét suy a b c d ước (a c)(a n c n ) (b d )(b n d n ) a n 1 b n 1 c n 1 d n 1 ac(a n c n ) bd (b n d n ) Nhưng, (1), giả thiết quy nạp nhận xét suy a b c d | ac (a n c n ) (bd (b n d n ) Vậy suy a b c d ước (a c)(a n c n ) bd (b n d n ) ac(a n c n ) bd (b n d n ) a n1 b n 1 c n 1 d n 1 (2) chứng minh n n n n Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy a b c d | a b c d với số nguyên dương n Câu 4: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC khơng cân ngoại tiếp đường trịn tâm I Lấy E F đường thẳng AC AB cho CB CE BF , đồng thời chúng nằm phía với A đường thẳng BC Các đường thẳng BE CF cắt G Chứng minh bốn điểm C, E, I G nằm đường tròn Trên đường thẳng qua G song song với AC lấy điểm H cho HG AF đồng thời H khác phía với C đường thẳng BG 1 EHG CAB Chứng minh Lời giải H F G A E N M I B C Khơng tính tổng qt, xét trường hợp AB BC CA, trường hợp khác xét tương tự Khi đó, E nằm đoạn CA, F nằm tia đối tia AB, … (hình vẽ) Từ giả thiết, suy F đối xứng với C qua phân giác góc ABC Do ABC AIC 1800 CAB BCA 900 ABC CFA CFB 900 2 Suy tứ giác AFCI nội tiếp CAB AFI ACI BCA IAC IFC ICF Từ BCA CAB CAB EBA BEC CAB (900 ) CAB IBE 2 Do Hơn nữa, tính đối xứng nên IEB IBE 90 MGC MCG ICG suy tứ giác CIEG nội tiếp BCA EGI ECI AFI 2 Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên Hơn nữa, IAB IEB nên GEI FAI suy GEI đồng dạng FAI EG EG AF HG AF AI EI AI GE GE BI Suy BI BCA HGE AEB 900 AIB Nhưng suy HGE đồng dạng AIB CAB EHG BAI Từ Nếu khơng có giả sử AB BC CA để có thứ tự điểm hình vẽ, Chú ý u cầu phải sử dụng góc định hướng chứng minh hai phần (với cách giải trên); trường hợp thí sinh khơng sử dụng góc định hướng, khơng có giả sử thứ tự cạnh, đề nghị giám khảo trừ 0,5 điểm cho hai phần Câu 5: å å Ký hiệu để tập hợp số thực khác Tìm tất hàm số f xác định , nhận giá trị thực thỏa mãn 1 y 1 x xf x yf ( y ) yf y xf ( x ) x, y 0 y x x y Lời giải Đặt f ( x ) x g ( x) , phương trình hàm cho viết lại dạng 1 xg ( x ) yg ( y ) yg ( y ) xg ( x) x, y 0 y x (1) Cho y 1 thu xg ( x 1) g (1) g (1 ) xg ( x) x 0 x (2) Trong (2), thay x x , ta 1 1 1 g ( 1) g (1) g (1 x) g ( ) g (1 ) xg ( x 1) g ( ) xg (1) x 0 (3) x x x x x x xg ( x) g ( ) ( x 1) g (1) x 0 x Từ (2) (3) suy (4) Trong (1), cho y , lập luận tương tự, Từ (4) (5) suy xg ( x) ( g (1) g ( 1)) x ( g (1) g ( 1) x 0 hay a, b hai số Suy f ( x ) a g ( x) a b x 0 x ,ở b x x 0 x b f ( x) a x x 0 x Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình cho xg ( x) g ( ) g ( 1)( x 1) n 0 x (5) Câu 6: Một số nguyên dương gọi dễ thương biểu diễn thập phân khơng có chứa chữ số tổng bình phương chữ số số phương Tìm số dễ thương lớn có hai chữ số Hỏi có hay khơng số dễ thương có 2013 chữ số? Lời giải 2 Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn ab,1 a, b 9 Theo giả thiết ta có a b c 2 a b2 2 mod 3 số phương Nếu a, b khơng chia hết cho , vơ lý a b số phương suy ab 0 mod 3 +) Nếu a 9 81 b c c b 81 khơng có nghiệm ngun dương với b 9 a 8 b3 b 3;6;9 +) Nếu , thử trực tiếp ta thấy b 6 thỏa mãn Vậy số dễ thương lớn có chữ số 86 A 222211 Xét số số dễ thương 2009 so1 2 22 2 2 22 12 2025 45 Khi 2009 so12 suy A 222211 2009 so1