ĐỀ KHẢO SÁT CHÁT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT LÊ LỢI NĂM HỌC 2018 - 2019 2 Câu 1: Cho parabol P : y 2 x 2mx m đường thẳng d : y x 4m Tìm tất giá trị m để cắt d hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 biểu thức P A x1 x2 x1 x2 đạt giá trị lớn Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: 2 x 2mx m x 4m x x m 1 m 4m 0 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ' 0 m 1 m 4m 0 m 6m 0 m m 4m * ) Theo định lí Viet ta có x1 x2 m 1 , x1 x2 suy A x1 x2 x1 x2 m 4m m2 8m m 8m m 1 (do m 1) 2 Suy Amax 9 m Câu 2: Giải bất phương trình: x x x 2 x x x 11 Lời giải Điều kiện : x Từ đk VP VT x3 x x ( x 3)( x 1) x Ta có : x3 x x 2 x x x 11 x3 3x x x x x x x 3 x 32 x 4 x2 x4 x2 ( x 3) 4( x 4) x 11 0 x 11 0 ( x 2) (2 x 11) x x 11 0 x2 x x2 x 0 x x x x 11 x x 2x x x x x 11 0 Vì x x x 2 x x 11 x x 32 x 4 x x 11 0 (*) Do (*) x x 0 x x 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm x [ 2; ) sin x.sin x cos x.cos x Câu 3: Giải phương trình tan( x ) tan( x ) Lời giải Điều kiện : sin x cos x 0 sin x 0 x m m * 3 sin x cos x 0 3 3 Ta có tan x tan x cot x tan x 6 3 3 3 1 3 2 Suy (1) sin x sin 3x cos x cos x sin x sin x sin x cos x cos x cos 3x 8 sin x cos x cos x cos x cos x cos x sin x cos x cos x cos x sin x cos x 1 cos x cos x cos x cos x cos x cos x 4 cos x x k k Kết hợp với điều kiện ta có: x k k x x y y xy x Câu 4: Giải hệ phương trình: x 3x x 60 18 y y Lời giải y 0 Điều kiện x 2 - Từ phương trình (1) x 1 y x 1 y x xy x x y x y 1 x y 1 x x y 1 x 1 y x y 1 x y 1 0 x 1 y y 0 Do x 2 x 1 y (3) x y nên (3) x y - Thay vào (2) ta phương trình x 18x 3x x 78 0 x 18x 81 x x 0 x x 0 x 0 x 3 (thỏa mãn điều kiện) Với x 3 y 2 thỏa mãn ĐK x 0 x 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm y 2 Câu 5: Cho x, y số thực dương thỏa mãn ( x y )3 xy 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3( x y x y xy ) 2( x y ) Lời giải Ta có ( x y ) 4 xy ( x y ) xy ( x y )3 ( x y ) x y 1 3 P ( x y ) ( x y ) 2( x y ) 3xy 2 Ta có ( x y )2 4 xy ( x y )3 xy ( x y )3 ( x y ) x y 1 3 P ( x y ) ( x y ) 2( x y ) 3xy 2 1 2 2 Đặt t x y t ( x y ) P t 2t 2 4 1 1 Hàm số f (t ) t 2t đồng biến ; nên f (t ) f ( ) 4 16 2 Vậy: P đạt giá trị nhỏ x y 16 Câu 6: Cho dãy số (un) với u1 = 2, un 1 2017 un , n 1 Tính lim un 2019 un Lời giải un 1 Þ 2(un 1) , dễ thấy un 1 với n 2019 un un+1 - = Þ vn+1 =- vn+1 - 2019 - un 1009 , đặt = =- + 2(un - 1) un - un - 1 +1009vn v1 =- có 1 = 1009(vn ) Þ ( ) cấp số nhân có cơng bội 2016 2016 2016 q 1009 un 2015 2015.1009n 1009n 2016 2016 2016 2015.1009n 2017 lim un 1 2015.1009n Câu 7: Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, cho số có ba chữ số 1, chữ số lại đôi khác Lấy ngẫu nhiên số thuộc S Tính xác suất lấy số mà khơng có chữ số chẵn đứng cạnh nhau? Lời giải Mỗi số thuộc tập S hoán vị chữ số 1, 1, 1, 3, 5, 2, 4, 8! 6720 Số phần tử S số hoán vị chữ số 1, 1, 1, 3, 5, 2, 4, 3! Đặt biến cố A: “lấy số mà khơng có chữ số chẵn đứng cạnh nhau” 5! Số hoán vị chữ số lẻ 1, 1, 1, 3, 3! Ứng với hốn vị có vị trí đầu, cuối xen kẽ chữ số lẻ Do có A36 cách xếp ba chữ số chẵn 2, 4, vào vị trí để số thỏa mãn khơng có chữ số chẵn cạnh 5! n A A36 2400 3! p A 2400 6720 14 Câu 8: Cho tam giác ABC vng cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D 1; 1 , đường thẳng IG có phương trình x y 0 điểm E có hồnh độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải B H E K A G F C I D Gọi K trung điểm BI, suy HK / / CD A trung điểm KI, HK DI IC ; AK BK GK / / AC GK AB GB GI GC hay G tâm đường tròn qua ba điểm C , I , B CGI 2 IBC 90o , ID IC DE / / IG Phương trình đường thẳng DE: x y 0 E 1;3 CE IG , suy phương trình CE : x y 0 x x y 0 7 7 G ; Tọa độ G nghiệm hệ phương trình 3 6 x y 0 y 7 C 5;1 5 DG AG A 1;1 B 1;5 Vậy, A 1;1 , B 1;5 C 5;1 Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân với AD // BC, AB = BC = a, AD = 2a tam giác SAD vuông cân S SB = a Gọi M trung điểm SA, G trọng tâm tam giác SCD, H giao điểm BG mp(SAC) Chứng minh BM // (SCD) tính tỉ số HB HG Lời giải Gọi N trung điểm AD ta có BC = DN = a BC // DN tứ giác BCDN hình bình hành BN / / CD Vì M, N trung điểm SA AD nên MN // SD ( BMN ) / /( SCD) mà BM ( BMN ) BM / /( SCD) S M *) Gọi P trung điểm CD, I AC BP; H SI BG H=BG (SAC) G N A J B H D K P I C Gọi J giao điểm BN AC, tứ giác BCNA hình bình hành nên J trung điểm BN mà IJ // NP nên I trung điểm BP *) Trong tam giác SBP vẽ GK // SI, ta có: HB IB IP SP (do G trọng tâm tam giác SCD) HG IK IK SG Câu 10: Cho tứ diện ABCD cạnh a Hai điểm M, N chạy tương ứng đoạn AB CD cho BM = DN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ MN Lời giải BM DN = x , với £ x £ Þ = x Khi ta có: Đặt BA DC uuur uur uuur uuur BM = x.BA DN = x.DC Ta có: uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r DN = x.DC Û BN - BD = x ( BC - BD ) Û BN = x.BC + (1- x).BD uuur uuu r uuur uuu r uuu r uur Do đó: MN = BN - BM = x.BC + (1- x).BD - x.BA a2 a2 a2 - x - x (1- x) 2 2 2 éx + (1- x) + x + x(1- x) - x - x(1- x)ù ú ë û= (2x2 – 2x + 1)a2 = a2 ê MN2 = x a + (1- x ) a + x a + x (1- x ) Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + đoạn [ 0;1] ta có: 1 max f ( x) = f (0) = f (1) = 1, f ( x) = f ( ) = 2 a M, N trung điểm AB, CD MN đạt giá trị lớn a M º B, N º D M º A,N º C MN đạt giá trị nhỏ