Đề số 116 theo mau

ĐỀ THI SÁT HẠCH ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11 TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG TỈNH THANH HÓA Câu Biện luận theo m số nghiệm phương trình x  x  m Lời giải + Vẽ đồ thi hàm số y  x  x  ( P1 ) + Xóa bỏ phần bên trái Oy ( P1 ) , sau lấy đối xứng phần giữ lại ( P1 ) qua Oy ta đồ thị hàm số y  x  x  ( P2 ) + Lấy đối xứng phần phía Ox ( P2 ) , sau xóa bỏ phần phía Ox ta đồ thị hàm số y  x  x  ( P) + Số nghiệm pt số điểm chung d: y = m ( P) : y  x  x  KL: + Pt vô nghiệm khi: m < + Pt có nghiệm khi: m > + Pt có nghiệm khi: m = + Pt có nghiệm khi: m   1;3   0 + Pt có nghiệm khi: m =1 + Pt có nghiệm khi: m   0;1 Câu Tìm m để phương trình: x  x  m x  x   0 (1) có hai nghiệm phân biệt Lời giải Đk: x    ;1   3;   Đặt x  x  t 0  x  x  t Phương trình trở thành: t  mt  0 (2) Xét hàm số y  x  x  3, x    ;1   3;   x 0 -1 Nhận xét: Cứ giá trị t 0 cho giá trị x Do (1) có nghiệm phân biệt (2) xảy trường hợp sau  0 m  0    m 2 TH1: Có nghiệm kép t 0    b  m    2a TH2: Có hai nghiệm trái dấu (ko xảy ra) TH3: Có nghiệm =0 ngiệm âm (Không xảy ra) KL: m 2 Câu Giải phương trình:    sin  x    sin x 3  6 sin x  cos x   sin  x   3  Lời giải  Đ/K x   n Từ phương trình suy  sin x  cos x  sin x (1  cos x)(sin x  cos x)   (1  cos x)(  sin x  sin x   cos x 0 (1) cos x) 0      sin x  sin x  cos x 0 ( 2)  (1)  cos x   x   k (2)  3    sin x  cos x  sin x  0  sin sin x  cos cos x  sin x  sin 0 2 6      cos( x  )  cos( x  )sin( x  ) 0 6    x   m       cos( x  ) 0 x   m (l )      x    l 2     6  sin( x   )  x    l 2     x    5  l 2  6   Vậy pt có nghiệm x   k ; x   l 2   y  x  y   x 3   x  y   y Câu Giải hệ phương trình:   y  x  y  2 x  y   Lời giải (1) x  y  (2) ĐK: y 0, x  y  0, x  y  0, x  y  0 (*) (1)    y     x  y  2  x  y    x  y   x  y   y    y  1 y 1 x  y  1  y 0   x  y    x y  x  y   x  y   y x  y  1  1 y  y   1 0  x  y  1      x  y  0   y 1 TH1: Với y = Thay vào (2) ta x = ( thỏa mãn (*) ) TH2: Với x – y – =  x  y  Thay vào (2) ta được: y  y    y   1 3  x y 2    2 2  x y  2    1       ; ; Kết hợp với (*) ta nghiệm (x; y) hệ là:   ,   2 2        1       ; ; KL: Hệ có nghiệm (x; y) là:  4;1 ,   ,   2 2     10 2018   2 Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 10  x  y 2018  z 2 y  y  0   4 y  12 y  y  11 y  0  y  y  0   2  y  y  1  y  y  3 0 Tìm giá trị lớn biểu thức A = xyz Lời giải  10 2018 10   2018  y z   2       1  10  x  y 2018  z 10  x   y   2018  z   y 2018  z  T2 : 10 y z 2 10  x  y 2018  z x z 2 3 y 10  x 2018  z (1) 2018 y x 2 2018  z  y 10  x (2), (3) Lấy BĐT nhân với ta được: 10 2018 x y z 10.3.2018 15135 23  xyz   A  xyz  10  x  y 2018  z 10  x  y 2018  z 2 Dấu đẳng thức xảy khi: x y z 10 2018        x 5, y  , z 1009 10  x  y 2018  z 10  x  y 2018  z 15135 Vậy maxA= x 5, y  , z 1009 2 u1 3 Tìm limun  n   un 2  n  1 un   5n  Câu Cho dãy số  un  xác định bởi:  Lời giải v1 9 vn 2vn   5n  Đặt  n   un  v1    u1 9 Ta có dãy số   :  a  b  a 1  b  Đặt  an  b 2    a  n  1  b   2vn   an  b  a   Vậy:  5n  2     n  1    a1 0  an 0  an 2an  Đặt an vn  5n  ta dãy số   :   5n    n   un 5n   un  5n   lim un 5 n2 Câu Lập số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để số tạo thành có tổng chữ số số chẵn Lời giải Gọi số tạo thành a1a2 a3a4 a5 a6 a7 A biến cố cần tính xác suất + Lập số tự nhiên có chữ số có n    9.10 cách + Lập số tự nhiên có chữ số mà số tạo thành có tổng chữ số số chẵn: n  A  9.10 cách Vì: Chọn a1a2 a3a4 a5 a6 : có 9.105 cách Khi tổng: a1  a2  a3  a4  a5  a6 chẵn lẻ Chọn a7 : ln có cách Do đó: P  A   n  A  n    Câu Cho ABC có A(- 1; -1), trực tâm H(3; 1), BC = Trung điểm M cạnh BC thuộc đường thẳng d: x – 2y - = Gọi B’, C’ chân đường cao hạ từ B C ABC Lập phương trình BC biết B’C’ qua N(4; -4) điểm M có tung độ dương Lời giải A * Phương trình đường trịn đường kính AH:  x  1 C' B'  y 5  x  y  x  0 (C1 ) N H * M thuộc d nên M(2t+2; t), t > 0=> PT đường trịn đường kính BC:  x  2t   2   y  t  5  x  y  (4t  4) x  2ty  5t  8t  0 (C2 ) B M  x  y  x  0 (C1 ) * B’, C’ thuộc (C1) (C2) nên có tọa độ thỏa mãn hệ:   2 d  x  y  (4t  4) x  2ty  5t  8t  0 (C2 ) => thỏa mãn: (4t  2) x  2ty  5t  8t  0 (d ) đường thẳng qua B’ C’ * Do N thuộc d nên: (4t  2)4  8t  5t  8t  0  t 1  t 1  M (4;1) C  * BC qua M có VTPT AH (4; 2)  pt BC : x  y  0 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB  AD  CD 2a , SA 2a SA  (ABCD) Gọi M, N, K trung điểm AB, SB, SD 1/ Tính góc hợp đường thẳng SB DM S 2/ Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt (ANK) Lời giải 1/ Kẻ BE//DM Ta tính được: BE MD  AE a 5, SB 2a 2, SE 3a 2a + Áp dụng định lí cosin tam giác SBE ta có: cos SBE  A 2a a SB  BE  SE  0 2.SB.BE 10 M E B 3a     SB, MD   SB, BE  SBE arccos    10  C 2/ Cách dựng thiết diện: Gọi O  AC  BD, F SO  NK Trong (SAC), H SC  AF Thiết diện ANHK S H S H N K N x F D O 4a B Q 2x 2x 2x A K F F 2a A x H O C A C Ta có: AN  AK  SD BD a2 a 2, NK  a  ANK  S ANK  a sin 600  2 2 a2 3a S HNK  S ANK   STD  4   D