Đề số 95

2 Câu Cho parabol  P  : y  x  x  đường thẳng d : y mx  Tìm tất giá trị thực m để d cắt  P  hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d nghiệm phương trình :  x 0 x  x  mx   x  x   m    0    x m  Để d cắt  P  hai điểm phân biệt A, B  m 0  m  Với x 0  y 3  A  0;3  Oy 2 Với x 4  m  y m  4m   B   m; m  4m   Gọi H hình chiếu B lên OA Suy BH  xB   m 9 Theo giả thiết tốn, ta có S OAB   OA.BH   m   2 2  m   m  3    m  Câu Giải phương trình: 23 x - 13 x +1 Lời giải x - x + 25 = Điều kiện: x ¹ - Đặt x - x + 25 = t , t ³ Khi phương trình trở thành: 23x - 13 t= Û ( x +1) t - 23x +13 = Û t +( x +1) t - x - 17 x - 12 = x +1 ét - x - = ( 1) Û ( t - x - 3) ( t + 3x + 4) = Û ê êt + 3x + = ( ) ê ë Giải (1): ïì x + ³ t - x - = ® x - x + 25 = x + Û ïí ïï x - x + 25 = ( x + 3) ỵ ìï x + ³ éx =1 Û ïí Û ê ïïỵ x - 18 x +16 = ê ëx = Giải (2): ìï - x - ³ t + x + = ® x - x + 25 =- x - Û ïí ïï x - x + 25 = ( - x - 4) î ïì - x - ³ ïì - x - ³ Û ïí Û ïí Û x =- - ïỵï 3x + 30 x - = ïï x =- ± ỵ Vậy tập nghiệm phương trình S = 1;8; - - { } (cos x  1).(sin x  sin x  cos x  2) 1 (1) sin x.(1  cos x) Lời giải  x k s inx 0   (k  Z ) *ĐK:   1 x   k  cosx    * Ta có: (1)  (cos x 1).(sin x  sin x  cos x  2) sin x  sin x (2) * Khi đó: (2)  (cos x  1).(sin x  sin x  cos x  1)  (cos x  1) sin x  sin x)  (cos x  1).(sin x  sin x  cos x  1)  (sin x  sin x  cos x  1) 0  (cos x  2).(sin x  sin x  cos x  1) 0  sin x  sin x  cos x  0  (sin x  cos x  1)(sin x  cos x  2) 0  sin x  cos x  0  x   k 2   cos( x  )   (k  )  x    k 2   Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x   k 2 ( k  ) ìï xy + x +1 = ( y + 2) x - + ( y - 1) ( x - 1) ( 1) ï Câu Giải hệ phương trình: ïí ïï y ( x - 2) + - y = ( x - y ) ( 2) ïỵ Lời giải Điều kiện: x - ³ 0, ( x - 1) ( y - 1) ³ 0, y ( x - 2) ³ Câu Giải phương trình: Đặt y ( x - 2) = t ( t ³ 0) , phương trình (2) trở thành: 2 8t + - y = ( x - y ) Û 4t + 4t - ( x + y ) + = Û ( 2t - x - y + 2) ( 2t + x + y + 2) = Û 2t - x - y + = ( Do 2t + x + y + > " t ³ 0, x ³ 2, y ³ 0) ìï y ( x - 2) = ( x + y - 2) 2 y ( x - 2) - x - y + = Û ïí ïï x + y - ³ ỵ ìï ( x - y - 2) = ïì y = x - Û ïí Û íï ïï x + y - ³ ïïỵ x + y - ³ ỵ Thay y = x - vào phương trình (1) được: x +1 = x x - + x - x + Û x + - x x - - x - x + = ) ( ( ) Û x - x x - + x - + x - x + - x - x + +1 = ìï x - x - = x - x + - = Û ïí ïï x - x + - = ïỵ Û x - x + = Û x = ± ( Û x- ) ( 4x - + Vi x = - ắắ đ y =- ) (loại) Với x = + ¾¾ ® y = (thỏa mãn) ( ) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = + 2; Câu Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: (a - a +1)( b - b +1)( c - c +1) ³ Lời giải Nhận xét ba số a - 1, b - 1, c - với a + b + c = có số dấu Khơng giảm tổng qt, giả sử ( b - 1) ( c - 1) ³ Ta có: ( b2 - b +1)( c - c +1) = bc ( b - 1) ( c - 1) + b + c - b - c +1 ( b + c ) - ( b + c ) +1 1 = ( - a ) - ( - a ) +1 = ( a - 4a + 5) 2 Ta quy toán chứng minh: ³ b + c - b - c +1³ ( a2 - a +1)( a - 4a + 5) ³ ( *) Nhưng ( *) Û ( a - 1) ( a - 3a + 3) ³ đúng, suy điều phải chứng minh Dấu xảy a = b = c = Câu Cho dãy số   thỏa mãn v1  , v2  1.vn  2vn2 vn1  3vn 2 vn 2  3vn 1  2vn với  n 1 Tìm Lời giải Ta có: 1.vn  2vn2 vn1  3vn2 vn 2  3vn 1  2vn  vn1.vn   1  3vn2  3vn 2  3vn    vn2 vn1  vn2  1  1   vn1  1   1 3  2  1   1   2  1  1  1  vn2  Đặt un   (do  1, n ) vn1     un 2 3un1  2un   x 1 Xét phương trình đặc trưng x  3x  0    x 2  a  2b 3  a b 1  un a  b.2n với u1 3 u2 5 ta hệ   a  4b 5  un 1  2n   1  2n Câu Một nhóm 10 học sinh gồm nam có Quang, nữ có Huyền xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học Tính xác suất để xếp bạn nữ gần có bạn nam, đồng thời Quang khơng ngồi cạnh Huyền Lời giải Ta có: n    10! Giả sử ghế đánh số từ đến 10 Để có cách xếp cho bạn nữ có bạn nam bạn nữ phải ngồi ghế đánh số , , , 10 Có tất số cách xếp chỗ ngồi loại 6!.4! cách Ta tính số cách xếp chỗ ngồi cho Huyền Quang ngồi cạnh Nếu Huyền ngồi ghế 10 có cách xếp chỗ ngồi cho Quang Nếu Huyền ngồi ghế có cách xếp chỗ ngồi cho Quang Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang Huyền ngồi liền  2.2 6 Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người cho Quang Huyền ngồi liền là: 6.3!.5! Gọi A: “ Giữa bạn nữ gần có bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền” n  A  12960   n  A  4!.6! 6.3!.5! 12960  P  A   n    10! 280 280 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AD : x  y  0 Trên đường thẳng qua B vng góc với đường chéo AC lấy điểm E cho BE  AC ( D E nằm khác phía so với đường thẳng AC ) Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết E (2;  5) đường thẳng AB qua điểm F (4;  4) Lời giải Đường thẳng AB qua điểm F (4;  4) vng góc với AD  AB có phương trình: x y 4   x  y  0 2  x  y  0  x 1   A(1; 2) Ta có A  AB  AD  tọa độ A nghiệm hệ phương trình:   x  y  0  y 2 Vậy xác suất cần tìm C D x - 2y + = A F(4;-4) B H E(2; - 5) Từ E kẻ EH  AB H Xét ABC EHB có    HEB BAC , EHB  ABC 900 BE  AC ( gt )  ABC EHB  EH  AB 4 5   AB  Mà EH d ( E; AB )  Mặt khác:  b 0    2b    b  1    b 2 Với b 0  B (0; 4)  phương trình BC là: x  2( y  4) 0  x  y  0  Phương trình AC qua A có véc tơ pháp tuyến EB( 2;9)  AC :  2( x  1)  9( y  2) 0   x  y  16 0 Ta có C  AC  BC  tọa độ C nghiệm hệ phương trình: B  AB  B(b;  2b)  AB   b  1 phương trình  x  y  16 0  x    C ( 8;0) Gọi I trung điểm AC   x  y  0  y 0  I ( ;1)  D(  7;  2) Loại D, E phía so với AC Với b 2  B (2; 0)  phương trình BC là: ( x  2)  y 0  x  y  0  Phương trình AC qua A có véc tơ pháp tuyến EB (0;5)  phương trình AC : y  0 Ta có C  AC  BC  tọa độ C nghiệm hệ phương trình:  x  y  0  x 6   C (6; 2)   y  0  y 2 Gọi I trung điểm AC  I ( ; 2)  D (5; 4) Thỏa mãn Vậy A(1; 2) , B (2; 0) , C (6; 2) , D(5; 4) Câu Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D đáy nửa lục giác với AD 2a , AB BC CD a Đường cao hình lăng trụ h , (P) mặt phẳng qua AD , cắt cạnh BB, CC  B1 , C1 a) Thiết diện hình lăng trụ cắt (P) hình gì? Tìm liên hệ a h tìm vị trí điểm B1 , C1 cho  P   AD b) Định vị trí  P  để chu vi thiết diện nhỏ Tính giá trị nhỏ Lời giải A' D' B' C' H C1 D A J B1 B I C  ADD ' A'  / /  BCC ' B '   '  ' ' ' ' Ta có  P    ADD A   AD  AD / / B1C1  ' '  P    BCC B  B1C1  Qua B1 dựng đường thẳng song song với BC , cắt CC  I Hai tam giác ADD ' B1 IC1 có cạnh song song từng đôi nên chúng đồng dạng suy AD AD AB   ( B1 I BC ) B1C1 B1 I BC ' Mặt khác AD 2 BC (do ABCD nửa lục giác đều) suy AD 2 B1C1 ' Vậy thiết diện hình AD C1 B1 Tìm liên hệ a h tìm vị trí B1 , C1 cho ( P)  A ' D Ta có ADD ' A' hình chữ nhật nên ( P)  A' D A' D  AD ' suy ADD ' A' hình vng Suy AA '  AD tức h 2a Hơn theo tính chất nửa lục giác ta có: BD  AB, AC  CD  BD  AB  BD   ABB ' A'   BD  AB1  AB1  A ' B AB1  A ' D Do  ' BD  AA  CD  AC  CD   ACC ' A'   CD  AC1  AC1  A ' C AC1  A ' D  ' CD  AA  h 2a  ' Vậy  AC1  A C ( P)  A ' D  '  AB1  A B Xác định vị trí (P) để chu vi thiết diện nhỏ Gọi p chu vi thiết diện, ta có: p  AD '  B1C1  AB1  D 'C1  AD '  AB1  D 'C1 ' Vì AD ' có độ dài khơng đổi nên chu vi nhỏ AB1  D C1 nhỏ DD ' h  2 h  h ' Ta có CC1 CC   C1 I  CI  h    x    x 2  Đặt BB1  x , CI  x, C1 I  h ' Ta có AB1  D C1  AB  BB12  C ' D  C 'C12  a  h  a    x  2    h    h  Đặt u  a; x  , v  a;  x  u  v  2a;  2        h2 u  v  u  v  4a  h  a a2 a h h  u , v hướng 4a     x  x x a x h h2 h2 đạt x   p  4a  h  4a  4 h Vậy giá trị nhỏ đạt (P) cắt BB ' B1 với BB1  T  4a   13   , đường thẳng d : x  y  0 2  Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm J  ; 2 đường tròn  C  : x  y  x  y  0 Gọi M điểm thuộc đường thẳng d nằm ngồi đường trịn (C) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Gọi (J) đường tròn tâm J tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M cho đường trịn (J) có chu vi lớn Lời giải Đường trịn (C) có tâm I   2;1 bán kính R=3 Do M thuộc d nên M(a ;1-a) 2 Điều kiện M nằm (C): IM>R  IM   2a  4a   (*) Ta có MA2 MB MI  IA2 2a  4a  2 A, B thuộc đường trịn tâm M bán kính MA :  x  a    y  a  1 2a  4a  (học sinh chọn A, B thuộc đường tròn khác) 2 A, B thuộc đường tròn  C  : x  y  x  y  0 Suy phương trình AB:  a   x  ay  3a  0 Do (J) tiếp xúc với AB nên (J) có bán kính d(J,AB) Chu vi (J) lớn d(J,AB) lớn  11   2 2 AB qua điểm cố định K  ; d(J,AB) lớn K hình chiếu vng góc J AB  Đường thẳng AB có vecto phương AB  a; a     JK AB 0  a 2 (thỏa mãn (*)) Vậy M  2;  1