ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 11 CẤP TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN - THANH HÓA - NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu Giải phương trình lượng giác sau: a sin x cos x 0 b (cos x sin x) cos x 1 Lời giải cos x 1 cos x cos x - 0 cos x -2 a cos x 1 x k 2 , k cos x vơ nghiệm Kết luận phương trình có nghiệm x k 2 , k b (cos x sin x) cos x 1 sin x sin x cos x 0 cos x 0 cos x 0 6 k cos x 0 x k x ,k 6 6 k x ,k Kết luận phương trình có nghiệm Câu Tính giới hạn 5x x2 x 3x L lim Lời giải (1 x)(1 6x) 6x lim x x 3( x 1) L lim L lim x 1 6x 3 Câu Cho dãy số xn x1 2018 x 2 xn 3n 1, n 2 xác định: n x Xác định công thức tổng quát dãy số n Lời giải x 3n 2 xn 3( n 1) 5 Ta có n Đặt yn xn 3n Ta có y1 2026 yn 2 yn , n 2 n n Suy yn y1.2 2026.2 xn Vậy Công thức tổng quát là: xn yn 3n xn 2026.2n 3n , với n 1, 2,3 8 Câu Tìm số hạng chứa x khai triển biểu thức (1 x x ) thành đa thức Lời giải 8 k 0 k 0 (1 x x )8 x (1 x) C8k x k (1 x) k C8k x k x k C k 0 x 2k 1 x k k k i i k k k i i k k i k i C x Ck x C8 x Ck x = C8 Ck x k 0 k 0 i 0 i 0 k 0 i 0 k 8 Số hạng chứa x tương ứng với số hạng chứa k i thỏa mãn 2k i 8 k 3 2k i 8 2k i 8 i Vì i k 8 nên k 4 i 0 Vậy hệ số số hạng chứa x là: C8 C3 C8 C4 238 Câu Cho (un ) cấp số cộng thỏa mãn u1 u3 u5 10 u1 u6 17 Tính u2018 Lời giải u1 16 d Tìm Tính đươc u2018 6035 Câu Cho tập X {1, 2,3, 4,5,6,7,8} Có thể lập số tự nhiên có chữ số đôi khác từ tập X Chọn ngẫu nhiên số vừa lập, tính xác suất để chọn số có chữ số chẵn chữ số chẵn xếp kề Lời giải Số số có chữ số đơi khác A8 20160 số Để thành lập số có chữ số chẵn mà chữ số chẵn xếp kề xem thành lập số có chữ số chữ số chẵn chữ số nên ta thực sau: - Chọn vị trí cho chữ số chẵn có vị trí,với vị trí : + Chọn chữ số chẵn chữ số chẵn xếp ta có A4 cách + Chọn chữ số lẻ chữ số lẻ xếp ta có A4 cách 3 Do có tất A4 A4 2304 số Vậy Xác suất cần tìm P 2304 20160 35 Câu Cho tứ diện ABCD, hai mặt ABC ABD hai tam giác cạnh 2a a Chứng minh AB CD vng góc với Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, BC, BD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ hình chữ nhật b Tính góc hai đường thẳng BC AD, biết MP a c Gọi BH độ dài đường cao tam giác BCD, H nằm CD cho CD, BH, BD theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm cơng bội cấp số nhân tính độ dài đoạn CD Lời giải a C N M H B P I 60o D 60o A Q CD AB AD AC AB AD.AB AC AB Ta có: CD AB AD AB cos 60o AC AB cos 60o 0 Vậy CD AB MN PQ AB * Ta có: MN // PQ // AB Nên tứ giác MNPQ hình bình hành Vì MN // AB NP // CD mà AB CD nên hình bình hành MNPQ hình chữ nhật IP / / AD (CB, AD) ( IM , IP ) IM / / BC b Gọi I trung điểm AB Ta có: Xét tam giác IMP có: IM IP a, MP a IM IP MP 2a 3a cos MIP MIP 1200 2.IM IP 2a Do đó, 0 Vậy: (CB, AD) 180 120 60 c Theo ra: CD, BH, BD theo thứ tự lập thành cấp số nhân Gọi q công bội cấp số nhân , q >0 Khi ta có: BH CD.q; BD CD.q HC HD CD (Vì tam giác BCD cân B) CD BD 2a 4a q 1 1 2 Trong tam giác BHD vng H nên ta có: Khi : CD CD BD BH HD BD ( ) BH (CD .q ) (CD.q) 2 1 q CD 2 2 CD q CD q 4q 4q 0 1 q 1 1 q2 q 2 Do 1 2 Vậy BD 2a 4a CD q 1 1 2 Khi : q HẾT –